专题07 分式易错必刷题型专训（78题26个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题07 分式易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 分式的判断】 1．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）下列代数式：，，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【易错必刷二 分式的规律性问题】4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列各式：，-，，-，……，则第10个式子为 ． 5．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2021＝ ．（用含x在代数式表示） 6．（2023·安徽亳州·二模）观察下列等式 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出你猜想的第n个等式__________（用含n的等式表示），并证明． 【易错必刷三 按要求构造分式】 7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）要配制一种盐水，将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？ 8．（23-24七年级上·上海静安·课后作业）写出一个分式，使它分别满足下列条件： （1）当时，它没有意义．          （2）当时，它有意义． 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）小李要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字/，第二天她打字速度比第一天快了10字/，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ 【易错必刷四 分式有无意义的条件】 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）要使分式有意义，则应满足（   ） A． B． C． D．且 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 12．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）对于分式来说，当时，分式无意义，则的值为 ． 【易错必刷五 分式值为零的条件】13．（24-25八年级下·福建三明·期中）若分式的值为0，则的值为 ． 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式中，当 时，分式没有意义；当 时，分式的值为0． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）当 时，式子的值为0；当 时，式子的值为0；当x 时，式子的值为负数；当时， ． 【易错必刷六 分式的求值】 16．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，则的值为（   ） A．11 B．7 C．9 D．6 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值等于 ． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知求的值． 【易错必刷七 分式值为整数时的求值】 19．（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 20．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）若表示一个整数，则整数可以取哪些值? 【易错必刷八 分式变形】 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列各题的横线上填“”或“”： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 24．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列分式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【易错必刷九 分式的分子分母化简问题】 25．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·江苏·期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【易错必刷十 最简分式】 28．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 30．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，．其中是最简分式的有 个． 【易错必刷十一 约分】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空 （1），括号内应填入 ； （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ； （4），括号内应填入 ． 32．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 33．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷十二 最简公分母】 34．（24-25八年级上·广西来宾·期中）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 35．（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式的最简公分母是 ． 【易错必刷十三 通分】 37．（24-25八年级下·全国·课后作业），依次填 ， ， ， ． 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【易错必刷十四 分式的加减法】 40．（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算： (1)； (2)． 41．（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算：． 42．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 【易错必刷十五 分式加减的实际应用】 43．（2024八年级上·全国·专题练习）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？ 44．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）春田中学有一块实验菜地，原来用漫灌方式浇菜地n天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用2天，现在比原来每天节约用水多少吨? 45．（23-24八年级下·全国·课后作业）某人沿一条河顺流游泳，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为，水流速度为． （1）求他来回一趟所需的时间t； （2）用t，x，n的代数式表示l 【易错必刷十六 分式乘除法】 46．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 47．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）计算 (1)． (2)． 48．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【易错必刷十七 分式乘方】49．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 50．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）计算：. （2）化简：. 51．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，求的值． 【易错必刷十八 分式的化简求值】 52．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中． 53．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． (1)求的值． (2)求的值． 54．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【易错必刷十九 分式方程的定义】 55．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 56．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 57．（2021九年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【易错必刷二十 解分式方程】 58．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）观察下列算式：；；由此推断 ． （2）用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的规律：______． （3）用发现的规律解方程：． 59．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）解方程：． 60．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）解方程． (1)； (2)． 【易错必刷二十一 根据分式方程解的情况求参数】 61．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 62．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知关于的分式方程的解为正数，求的取值范围． 63．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【易错必刷二十二 分式方程的增根、无解问题】 64．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）当a为何值时，关于x的方程会产生增根？ 65．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚． (1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数． 66．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程无解，求的值． 【易错必刷二十三 分式方程的行程问题】 67．（24-25八年级下·全国·单元测试）某部门距离抢修工地．抢修车装载材料先从该部门出发，后，维修工乘轿车从同一地点出发，结果同时到达抢修工地．已知轿车的速度是抢修车的倍，求抢修车的速度． 68．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 69．（2025·云南玉溪·一模）2024年10月5日，主题为“跃动玉溪·前进前进”的2024玉溪马拉松在玉溪市红塔区聂耳音乐广场开跑，来自各地的10560名马拉松选手在聂耳的故乡与风竞速，用汗水浇灌梦想的种子，感受这座城市的活力脉动，体验滇中明珠的独特魅力．小许参加了这次马拉松比赛，全程42千米，小许出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前小时到达终点，求小许原计划的平均速度是多少？ 【易错必刷二十四 分式方程的工程问题】 70．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 71．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工程由乙单独完成比甲单独完成多用3天．计划甲、乙合做2天后，再由乙单独完成．如果乙一共所用的天数刚好与甲单独完成工程所用的天数相等，求甲单独完成该工程所用的时间． 72．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【易错必刷二十五 分式方程的经济问题】 73．（2025·山西大同·二模）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 74．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 75．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． (1)请分别求出水杯与笔记本的单价； (2)学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 【易错必刷二十六 分式方程的新定义问题】 76．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 77．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 78．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 分式易错必刷题型专训（78题26个考点） 【易错必刷一 分式的判断】 1．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义：形如的形式的式子叫分式，其中A，B都是整式，且B中含有字母，据此判断． 【详解】解：，，都是整式，是分式， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）下列各式：，，，，其中分式的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义．根据分式的定义：即分母中含有字母的式子叫做分式，即可一一判定． 【详解】解：，，都是整式，不是分式， ，是分式，共个； 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）下列代数式：，，，，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式即可得出答案，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：， ，，是分式，共个， 故选：C． 【易错必刷二 分式的规律性问题】 4．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列各式：，-，，-，……，则第10个式子为 ． 【答案】 【分析】根据题目已给的式子探寻规律即可达到解答． 【详解】解：∵，-，，-，……， ∴可探寻的规律为， ∴第10个式子为-． 故答案为：-． 【点睛】本题主要考查了列代数式，确定单项式的符号，系数，x的次数与单项式所在的序号之间的关系是解题的关键． 5．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2021＝ ．（用含x在代数式表示） 【答案】 【分析】根据题意分别求出y2，y3，y4，…，yn，得出一般性规律，即可确定出所求． 【详解】解：∵y1＝， ∴， ， ， … 依此类推，每隔3就循环一次， ∵2021÷3＝673余数为2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题借助分式的四则运算考查了找规律问题，本题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则，计算过程中细心即可． 6．（2023·安徽亳州·二模）观察下列等式 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出你猜想的第n个等式__________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察式子里得分子、分母与序数之间的关系即可求出结果； （2）观察式子里得分子、分母与序数之间的变化规律即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为． 故答案为：． （2）解：． 证明：左边 ， 右边， ∵左边=右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查了数字规律类，分式混合运算的应用，观察题目，找出数字的变化规律是解题的关键． 【易错必刷三 按要求构造分式】 7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）要配制一种盐水，将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求，请问：要配制的盐水的含盐量是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出代数式． 根据有m克盐完全溶解于n克水后，又加入5克盐，得出总盐有克，盐水有克，即可得出答案． 【详解】解：∵将盐完全溶解于水后仍然达不到所需的含盐量，又加入盐完全溶解后才符合要求 ∴要配制的盐水的含盐量是． 8．（23-24七年级上·上海静安·课后作业）写出一个分式，使它分别满足下列条件： （1）当时，它没有意义．          （2）当时，它有意义． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据分式有、无意义的条件，任意写出一个符合条件的分式即可． 【详解】解：（1）当时，分母为0，分式无意义，故分式可以为； （2）当时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为． 【点睛】本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等于0时，分式有意义． 9．（23-24八年级上·全国·课后作业）小李要打一份12000字的文件，第一天她打字，打字速度为w字/，第二天她打字速度比第一天快了10字/，两天打完全部文件，第二天她打字用了多长时间？ 【答案】 【分析】利用第二天打字用的时间＝（总数−第一天打的个数）÷第二天的速度，求解即可． 【详解】解：根据题意得第二天打字用的时间为：． 答：第二天她打字用了． 【点睛】本题主要考查了列分式，解题的关键是根据题意利用第二天打字用的时间＝总数−第一天打的个数）÷第二天的速度，正确的列式． 【易错必刷四 分式有无意义的条件】 10．（24-25七年级上·上海·阶段练习）要使分式有意义，则应满足（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，据此判断即可， 当分母不为0时，分式有意义． 【详解】解：由题意可得， 且， 且． 故选：D． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 12．（23-24八年级上·甘肃平凉·期末）对于分式来说，当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式无意义的条件，根据分式无意义分条件计算即可． 【详解】解：当分式无意义时，，而此时． 所以． 故答案为：． 【易错必刷五 分式值为零的条件】 13．（24-25八年级下·福建三明·期中）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为分式的分子等于零，且分母不等于零是解题的关键． 根据分式的值为零的条件解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为： 14．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式中，当 时，分式没有意义；当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式无意义及值为0的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零． 【详解】解：当分母，即时，分式没有意义； 当分子，即时，分式的值为0． 故答案为：2，． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）当 时，式子的值为0；当 时，式子的值为0；当x 时，式子的值为负数；当时， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了解一元一次方程，分式值为0的条件，解一元一次不等式，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键．根据解一元一次方程，分式值为0的条件，解一元一次不等式，代数式求值分别求解即可． 【详解】解：式子的值为0， ， 解得：； 式子的值为0， ，， 解得：； 式子的值为负数， ， 解得：； 当时，， 故答案为：；2；；． 【易错必刷六 分式的求值】 16．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，则的值为（   ） A．11 B．7 C．9 D．6 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，则的值等于 ． 【答案】4 【分析】此题考查了分式的求值，完全平方公式， 首先将变形为，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 18．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点，利用设k法是解题的关键． 设，代入化简计算即可． 【详解】解：∵ 设， 则 【易错必刷七 分式值为整数时的求值】 19．（2025·河北唐山·一模）分式的结果等于一个整数，则x的值不可能是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值．先利用分式的运算法则把原式进行化简，再根据分式的值为整数求出的取值即可判断． 【详解】解：， 当和时，分式的结果都等于一个整数， 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 20．（24-25八年级上·江西上饶·期末）若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 21．（23-24八年级上·全国·课后作业）若表示一个整数，则整数可以取哪些值? 【答案】，，，，， 【分析】根据分式的性质，得出或或，即可求解． 【详解】解：由题意可知或或， 取，，，，， 【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【易错必刷八 分式变形】 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (2)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 (3)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (4)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 【分析】本题考查分式的基本性质， （1）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （2）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （3）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （4）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； 正确观察分式的分子与分母变化是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （2）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边； （3）∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （4）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）在下列各题的横线上填“”或“”： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 24．（24-25八年级下·全国·单元测试）下列分式中，与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，直接利用分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，与分式的值不相等，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，与分式的值相等，故此选项符合题意； D．，与分式的值不相等，故此选项不符合题意； 故选：C． 【易错必刷九 分式的分子分母化简问题】 25．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 26．（23-24八年级下·江苏·期中）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可； （2）根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． 【易错必刷十 最简分式】 28．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母不能约分的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 29．（24-25八年级上·河南安阳·期末）请写出一个最简分式，要求该分式含有字母x且在实数范围内不论x取何值，分式都有意义．你写的分式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据最简分式的特点，分式有意义的条件，解答即可． 本题考查了最简分式，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，写出的分式是． 故答案为：． 30．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成了三个不同的式子：，，．其中是最简分式的有 个． 【答案】1 【分析】直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：分母中不含字母，不是分式， ，不是最简分式， 其中是最简分式的有：，共1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，熟知相关定义是解题的关键． 【易错必刷十一 约分】 31．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空 （1），括号内应填入 ； （2），括号内应填入 ； （3），括号内应填入 ； （4），括号内应填入 ． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的性质． （1）观察分子的变化情况，分母作同样的运算，即可作答； （2）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答； （3）观察分子的变化情况，分母作同样的运算，即可作答； （4）观察分母的变化情况，分子作同样的运算，即可作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)． 【答案】(1)等式左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式 (2)等式左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到等式左边分子和分母的公因式是解题的关键． （1）找到等式左边的分子和分母的公因式即可得到答案； （2）找到等式左边的分子和分母的公因式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴等式的左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式； （2）解：∵， ∴等式的左边的分子和分母同时除以即可得到等式右边的分式． 33．（24-25八年级下·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （2）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （3）先提取公因式，再约分即可得到答案； （4）先提取公因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【易错必刷十二 最简公分母】 34．（24-25八年级上·广西来宾·期中）分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，先找系数的最小公倍数，找所有因式的最高次幂，其积便是最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【详解】解：分式与的分母分别是、，故最简公分母是， 故选：D． 35．（2024八年级下·江苏·专题练习）分式与的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是正确运用确定最简公分母的方法求解； 先把分母因式分解，再确定最简公分母即可． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是， 故选：C． 36．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】此题考查了最简公分母，各分母所有因式的最高次幂的乘积即为分式的最简公分母，据此求解即可． 【详解】分式的最简公分母是． 故答案为：． 【易错必刷十三 通分】 37．（24-25八年级下·全国·课后作业），依次填 ， ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的性质可得答案； 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【分析】本题主要考查分式的通分运算，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，通分时，取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，掌握分式的性质及分式的计算是关键． （1）公分母是，由通分计算即可求解； （2）公分母是，由通分计算即可求解； （3）公分母是，由通分计算即可求解； （4）公分母是，由通分计算即可求解；． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，； （3）解： ，； （4）解： ，． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母，通分的依据是分式的基本性质． （1）（2）（3）根据最简公分母的确定方法确定最简公分母，再通分即可． 【详解】（1）∵，的最简公分母是， ∴； （2）∵ ，的最简公分母是， ∴； （3）∵的最简公分母是， ∴． 【易错必刷十四 分式的加减法】 40．（24-25八年级上·广西来宾·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减． （1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加，再结合因式分解化简即可； （2）先通分，再进行同分母分式的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 41．（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的减法，熟练掌握运算法则是关键． 同分母分式相减，分母不变，分子相减，再化简即可． 【详解】解： ． 42．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【易错必刷十五 分式加减的实际应用】 43．（2024八年级上·全国·专题练习）小强的爸爸开汽车到距离外的单位去上班，在正常情况下经过可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发，小强的爸爸每小时应该多走多少，才能按时到达单位？ 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式及分式的减法运算，解题关键在非正常情况下与正常情况的联系解答． 【详解】解：由题意可知，正常情况下汽车的速度为，如果晚出发并且按时到达单位的速度为， 根据题意，得． 答：小强的爸爸每小时应该多走，才能按时到达单位． 44．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）春田中学有一块实验菜地，原来用漫灌方式浇菜地n天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用2天，现在比原来每天节约用水多少吨? 【答案】 【分析】列出原来及现在每天用水的数量，两者相减即可． 【详解】解：原来每天用水吨， 现在每天用水吨， 则现在比原来每天节约用水吨． 【点睛】此题考查了分式加减法的应用，正确理解题意列得分式减法是解题的关键． 45．（23-24八年级下·全国·课后作业）某人沿一条河顺流游泳，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为，水流速度为． （1）求他来回一趟所需的时间t； （2）用t，x，n的代数式表示l 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）已知某人在静水中游泳速度为 ，水流速度为 ，可得顺流速度为:,逆流速度为： ，结合游泳距离，根据：来回一趟所需时间 顺流游一趟所用的时间 逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案； （2）由（1）所得的等式，利用等式的基本性质，变形即可得出答案． 【详解】解：（1）顺流的实际速度 静水中的速度 水流速度；逆流的实际速度静水中的速度水流速度，所以顺流速度为： ，逆流速度为：， ； （2）由（1）得： 即 ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算及等式的基本性质的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键． 【易错必刷十六 分式乘除法】 46．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，掌握负整数指数幂的运算法则和分式乘除法混合运算法则是解题关键．根据负整数指数幂进行计算，将除法变为乘法，然后再算乘法即可． 【详解】解：原式 ． 47．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用． （1）先把各分式的分子、分母因式分解，然后约分即可； （2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 48．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷十七 分式乘方】 49．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用积的乘方与幂的乘方法则求解； （2）利用积的乘方与幂的乘方法则求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【点睛】本题考查分式的乘方、积的乘方与幂的乘方，熟记运算法则是解题的关键．积的乘方：先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方：底数不变，指数相乘． 50．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）计算：. （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算分式的乘方，再计算分式的乘法； （2）先计算分式的乘方，再计算分式的乘除. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 【点睛】本题考查了分式的运算，涉及分式的乘方和乘除，熟练掌握运算法则是解题关键. 51．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知，求的值． 【答案】 【分析】先计算分式的乘方，再令即可求解． 【详解】解：原式 ∵ 令 则 【点睛】本题考查分式的乘方运算．抓住“”是解决此题的关键． 【易错必刷十八 分式的化简求值】 52．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 53．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵，∴，∴，∴． 任务：已知． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的化简求值，掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据材料提示的倒数法计算即可求解； （2）根据材料提示的倒数法的方法计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 54．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的代入求值，平方差公式的运用，掌握整式，分式的混合运算，平方差公式是关键． 根据题意得到，根据整式，分式的混合运算将原式变形得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴原式， 故答案为： ． 【易错必刷十九 分式方程的定义】 55．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）观察下列分式方程：①；②；③；…．根据他们所蕴含的规律，写出这一组分式方程中的第⑥个方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，代数式规律的探索；探索出方程的规律是解题的关键；分式方程的规律是：方程左边是分式与1的和，其中分式的分母为未知数x，分子为从1开始的相邻两个自然数的积，方程右边是从3开始的奇数；根据此规律即可写出第⑥个方程． 【详解】解：根据规律知，第⑥个方程为：， 即， 故答案为：． 56．（23-24八年级上·吉林松原·期末）有下列方程：①，②，③（为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了分式方程的定义，利用分母中含有未知数的方程叫做分式方程，进而判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②是分式方程， ③（为不等于2的常数），是一元一次方程， 故答案为：②． 57．（2021九年级·全国·专题练习）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】④⑤⑥⑦⑨ 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】①是整式方程，故①不符合题意； ②是整式方程，故②不符合题意； ③是整式方程，故③不符合题意； ④是分式方程，故④符合题意； ⑤是分式方程，故⑤符合题意； ⑥是分式方程，故⑥符合题意； ⑦是分式方程，故⑦符合题意； ⑧是整式方程，故⑧不符合题意； ⑨是分式方程，故⑨符合题意； 故答案为：④⑤⑥⑦⑨． 【点睛】本题考查分式方程的定义，充分理解分式方程的定义是解答本题的关键． 【易错必刷二十 解分式方程】 58．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）观察下列算式：；；由此推断 ． （2）用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的规律：______． （3）用发现的规律解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解分式方程，弄清题中的拆项规律，是解本题的关键． （1）根据已知等式得出规律，计算即可得到结果； （2）写出一般性规律即可； （3）方程变形后，计算即可求出解． 【详解】（1）解：∵； ； ∴． 故答案为：． （2）根据题意得：． 故答案为：． （3） 方程整理得：， 即， 去分母得：， 解得：， 检验把代入得：， ∴是分式方程的解． 59．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）解方程：． 【答案】无解． 【分析】本题考查了解分式方程．解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入所以为增根， 所以原方程无解． 60．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程， （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解 【易错必刷二十一 根据分式方程解的情况求参数】 61．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】解：依题意， 则化为整式，得 则， ∵方程有解，且解为负数， ∴ 解得， 则且， 所以m的取值范围为且． 62．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知关于的分式方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据解分式方程的方法解出，根据解为正数可得，，解不等式即可求解． 【详解】解：方程两边同乘得：，解得：， 根据分式方程的解为正数，得到，解得：， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查根据分式方程的解求参数，掌握解分式方程的方法，解不等式的解集的方法是解题的关键． 63．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）若关于x的方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】解分式方程得出，根据分式方程的解为非负数可得关于的不等式（同时保证），解之可得． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得， 分式方程的解为非负数， 且， 解得且． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【易错必刷二十二 分式方程的增根、无解问题】 64．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）当a为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【答案】当时，关于x的方程会产生增根． 【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，可知增根为，再将代入，即可得出的值． 【详解】解：去分母，得． ∵方程的增根是， ∴把代入，即， 解得． ∴当时，关于x的方程会产生增根． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根． 65．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）已知分式方程，由于印刷问题，有一个数“△”看不清楚． (1)若“△”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小颖说：“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“△”代表的数． 【答案】(1) (2)原分式方程中“△”代表的数为2 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程一定注意要验根． （1）把△代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设△为m，利用分式方程无解得到增根，解答即可． 【详解】（1）解：，方程两边同乘， 得，解得， 经检验，得是原分式方程的解； （2）解：设，，方程两边同乘， 得． ∵原分式方程无解，即原方程产生增根， ∴， ∴是增根， 把代入， 得． 得， ∴原分式方程中“△”代表的数为2． 66．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】m的值为或或 【分析】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值，由分式方程无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到 即， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当，整式方程无解， 解得， 故m的值为或或． 【易错必刷二十三 分式方程的行程问题】 67．（24-25八年级下·全国·单元测试）某部门距离抢修工地．抢修车装载材料先从该部门出发，后，维修工乘轿车从同一地点出发，结果同时到达抢修工地．已知轿车的速度是抢修车的倍，求抢修车的速度． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设抢修车的速度为x千米/时，则轿车的速度为千米/时，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】设抢修车的速度为x千米/时，则轿车的速度为千米/时． 由题意得， 解得， 经检验是原方程的根， 答：抢修车的速度为． 68．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 【答案】这列火车原来的速度为75千米／时 【分析】此题主要考查了列分式方程解应用题，关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程． 设这列火车原来的速度为每小时x千米，那么提速后的速度为每小时千米，根据等量关系：3小时后，按原速度行驶所用时间－提速后时间，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这列火车原来的速度为x千米／时， 根据题意，得． 解得． 经检验知是原方程的解． 所以，这列火车原来的速度为75千米／时． 69．（2025·云南玉溪·一模）2024年10月5日，主题为“跃动玉溪·前进前进”的2024玉溪马拉松在玉溪市红塔区聂耳音乐广场开跑，来自各地的10560名马拉松选手在聂耳的故乡与风竞速，用汗水浇灌梦想的种子，感受这座城市的活力脉动，体验滇中明珠的独特魅力．小许参加了这次马拉松比赛，全程42千米，小许出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前小时到达终点，求小许原计划的平均速度是多少？ 【答案】小许原计划的平均速度是10.5千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意设原计划的速度，进而表示提速后的速度，再根据后一半路程原计划所用时间减去提速后所用时间等于列出方程，求出解即可． 【详解】解：设小许原计划的平均速度为x千米/小时，提速后的平均速度为千米/小时， 根据题意得：， 解方程得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：小许原计划的平均速度是10.5千米/小时． 【易错必刷二十四 分式方程的工程问题】 70．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工．已知甲队比乙队每天多安装2台，乙队每天安装多少台？ (1)设乙队每天安装x台，根据题意，下列方程中，正确的是（   ）； A． B． C． D． (2)求解你选择的方程； (3)检验方程的解是否符合原方程且具有实际意义． 【答案】(1)D (2) (3)符合 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键： （1）根据两队同时开工且恰好同时完工，列出方程，进行判断即可； （2）去分母，将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可； （3）根据方程的解，进行检验即可． 【详解】（1）解：设乙队每天安装x台，根据题意，得：； 故选D； （2）解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解． （3）由（2）知方程的解为， 当时，， 把代入方程：左边右边， ∴左边等于右边， ∴方程的解符合原方程且具有实际意义． 71．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工程由乙单独完成比甲单独完成多用3天．计划甲、乙合做2天后，再由乙单独完成．如果乙一共所用的天数刚好与甲单独完成工程所用的天数相等，求甲单独完成该工程所用的时间． 【答案】甲单独完成该工程所用的时间为6天 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设甲单独完成工程所用的时间为x天，则乙单独完成该工程所用的时间为天，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设甲单独完成工程所用的时间为x天，则乙单独完成该工程所用的时间为天． 根据题意，可列方程， 解得． 经检验，是原方程的根， 答：甲单独完成该工程所用的时间为6天． 72．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料． 【易错必刷二十五 分式方程的经济问题】 73．（2025·山西大同·二模）随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．求购进一个A产品，一个B产品各需要多少元？ 【答案】购进一个A产品元，购进一个B产品元 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键． 设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，根据数量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设购进一个B产品元，则购进一个A产品元， ∵用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等 ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴是原分式方程的解，则（元） ∴购进一个A产品元，购进一个B产品元． 74．（24-25九年级下·云南曲靖·阶段练习）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【答案】购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，根据各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶，购进两种玩偶的数量共15个，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， 由题意可得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 即（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元． 75．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）为了调动同学们弘扬传统文化的积极性，某校开展了“一带一路”——多元文化节的艺术活动，计划从某商店购买水杯和笔记本作为奖品．已知该商店销售水杯的单价是笔记本的2倍，用180元购买笔记本的数量比用240元购买水杯的数量多6件． (1)请分别求出水杯与笔记本的单价； (2)学校设置了优秀奖和参与奖共25个，优秀奖的奖品为水杯，参与奖的奖品为笔记本，学校计划在购买奖品的经费不超过350元的情况下尽可能多地设置优秀奖，则学校应设置优秀奖和参与奖各多少个? 【答案】(1)水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元 (2)学校应设置优秀奖和参与奖各为10个 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意易得，然后求解即可； （2）设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本的单价为x元，则水杯的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 答：水杯的单价为20元，笔记本的单价为10元． （2）解：设学校应设置优秀奖为m个，则参与奖为个，由题意得： ， 解得：， ∵要尽可能多地设置优秀奖， ∴； 答：学校应设置优秀奖和参与奖各为10个． 【易错必刷二十六 分式方程的新定义问题】 76．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 77．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 78．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）对于两个非零有理数x，y，定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1)1 (2)a的值为 【分析】本题考查有理数的混合运算，解分式方程等知识，理解定义的运算是解题的关键． （1）运用定义运算代入计算即可； （2）运用定义运算代入得到一个分式方程，求解这个分式方程即可，注意检验． 【详解】（1）解：； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验：是方程的解， ⸫a的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$