专题05 分式100道计算题专项训练（10大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

第05讲 分式100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）已知：，则 . 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式． (1)当x取何值时，分式有意义？ (2)填表： x 1 2 3 (3)随着x的值的变化，的值是如何变化的？ 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，求分式的值． 7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知求的值． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，求分式的值． 9．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）当时，求的值 10．（23-24八年级上·江西宜春·期中）代数式，求代数式的值． 【经典计算题二 分式的加减法】11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 16．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）化简：． 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：． 19．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典计算题三 分式的乘除法】21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）化简． 25．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知，求代数式的值． 26．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1) (2) 27．（24-25九年级上·北京·期中）化简： 28．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 29．（2025·陕西西安·一模）化简：． 30．（2024·陕西汉中·一模）化简：． 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 31．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 32．（2025·陕西宝鸡·一模）化简：． 33．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 35．（2025·江苏南京·模拟预测）化简： 36．（24-25九年级下·陕西西安·期中）化简：． 37．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 38．（2025·陕西西安·二模）化简：． 39．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）化简：． 40．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）化简： 【经典计算题五 分式的求整问题】 41．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 43．（24-25八年级上·吉林松原·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 44．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 45．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 46．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式B：________分式A：的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）． (2)分式的“可存异分式”是______； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”．若整数使得分式A的值是正整数，请写出分式A的值； 47．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数， ． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式． 解：由分母，可设，则 ． 对于任意x上述等式成立， ，解得 ． (1)已知，则分式的值为_______； (2)已知，求分式的值． 48．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 49．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 50．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）已知． (1)判断与0的大小关系，并说明理由． (2)若为整数时，设，求整数的值． 【经典计算题六 分式方程的解法】 51．（2025·甘肃兰州·模拟预测）解分式方程∶． 52．（2025·陕西西安·三模）解方程：． 53．（2025·上海金山·二模）解方程：． 54．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并完成下列问题． 通过观察发现：方程的解是的解是． (1)观察上述方程的解，可以猜想关于的方程的解是______； (2)把关于的方程变形为方程的形式（是含的代数式，c是含a的代数式）是______，方程的解是______． 55．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)． 56．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）解方程： 57．（2025·陕西渭南·一模）解方程：． 58．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）解方程： (1) (2)． 59．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 60．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 61．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知不等式的最小整数的解是关于x的分式方程的解，求m的值． 62．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，求k的取值范围． 63．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围． 64．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 65．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 66．（23-24八年级上·河北唐山·期末）已知关于的分式方程的解是非负数,那么的取值范围． 67．（23-24八年级下·全国·假期作业）关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围． 68．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 69．（23-24八年级上·山东威海·期中）（1）解方程：． （2）关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围 70．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 71．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 72．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程：． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 73．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程 ． (1)若方程的增根为，求a的值； (2)若方程无解，求a的值． 74．（23-24八年级上·山东济南·期中）若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 75．（23-24八年级上·河北保定·期中）已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 76．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于x的分式方程 (1)当时，求方程的根？ (2)若关于x的分式方程有增根，试求m的值？ 77．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式方程：． (1)若该分式方程有增根，则增根为____________． (2)在（1）的条件下，求出m的值， 78．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 79．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的分式方程有增根，求的值． 80．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 81．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ．．．．．． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_____； (2)猜想第个等式：_____（用含的等式表示），并证明． 82．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列式子： (1)你发现了什么规律？用含n的式子表示这一规律． (2)如果x的取值为大于1的整数，利用（1）中发现的规律计算． 83．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 84．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 85．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据以上规律解答下面问题： (1)直接写出第4个等式：__________； (2)猜想出第个等式（用含的式子表示），并证明． 86．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 87．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 88．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 89．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 90．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 91．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 92．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 93．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 94．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”． 初步验证 （1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）． ①；②；③；④． （2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 探究应用 （3）当时，求的最小值． 95．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 96．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 97．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 98．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 99．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 100．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 分式100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式的加减法 题型三 分式的乘除法 题型四 分式的四则混合运算 题型五 分式的求整问题 题型六 分式方程的解法 题型七 分式方程解的情况求参数 题型八 分式方程的增根无解问题 题型九 分式的规律计算问题 题型十 分式的新定义计算 【经典计算题一 分式的求值】 1．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）若，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确求出是解题的关键． 先根据完全平方公式得到，进而求出，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为或3． 故选D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，将代入求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）已知：，则 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，比例式的正确利用是解题关键．根据，设，，代入式子化简即可． 【详解】解：， 设，， ． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的求值，解题的关键是先求倒数． 先将已知的式子化为倒数形式，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式． (1)当x取何值时，分式有意义？ (2)填表： x 1 2 3 (3)随着x的值的变化，的值是如何变化的？ 【答案】(1) (2)，6，3，2 (3)当时，的值随x增大而减小，当时，的值随x增大而减小 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式的求值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）依据分式有意义的条件，即分式的分母不等于零，即可得出结论； （2）代数求解即可； （3）根据表格中的数据求解即可． 【详解】（1）∵分式 ∴当时，分式有意义； （2） x 1 2 3 6 3 2 （3）由表格可得， 当时，的值随x增大而减小，当时，的值随x增大而减小． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．由已知可得，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】解：， ， ， ． 7．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）已知求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值， 令，则，，．然后代入分式化简求值即可． 【详解】解：令，则，，． 原式． 8．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】根据已知条件式得到，再把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 9．（23-24八年级上·湖南娄底·期中）当时，求的值 【答案】 【分析】把直接代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了分式的求值，仔细计算是正确解题的关键． 10．（23-24八年级上·江西宜春·期中）代数式，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知条件得到，，再将所求代数式变形为结合进行求解即可． ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形，正确根据题意得到，是解题的关键． 【经典计算题二 分式的加减法】 11．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式，分式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，即可作答． （2）先整理原式，再根据分母相同的分式减法法则：分母不变，分子直接相减，得，再化简，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了同分母分式加减，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据同分母分式加减运算法则计算即可； （2）根据同分母分式加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查分式的加减，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键； （1）根据同分母分式相减时分母不变，分子相减计算即可； （2）先通分，再算加减即可； （3）先通分，再算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的加减运算，分式加减法分为同分母分式加减和异分母分式加减，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，异分母分式相加减，先通分，化为同分母分式，然后按照同分母分式的加减法则进行计算；解题的关键是熟练掌握分式运算法则．（1）（2）（3）分母相同，按照同分母分式加减法则进行计算即可；（4）分母互为相反数，提取负号，变为相同的分母，然后按照同分母分式加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 15．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握因式分解法，分式的性质，分式的混合运算法则是关键． 根据因式分解法，分式的性质及分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，分式的混合运算，掌握异分母分式的加减混合运算法则是关键． 根据异分母分式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．先通分化为同分母分式再进行加减，最后化为最简分式即可． 【详解】解：原式 ． 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键；根据分式的加减法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 19．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算．利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可． 【详解】解： ． 20．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的加减法，解题关键是熟练掌握计算法则，注意结果要约分化简． （1）根据分式的加减法法则计算即可； （2）根据分式的加减法法则计算即可； （3）根据分式的加减法法则计算即可； （4）根据分式的加减法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【经典计算题三 分式的乘除法】 21．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题的关键． （1）根据分式的乘法法则计算，即可； （2）根据分式的除法法则计算，即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 22．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （2）直接利用除法法则进行计算即可； （3）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可； （4）先进行除法运算，再进行减法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式 ． 23．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式因式分解，再利用乘法分配律去括号约分，最后进行同分母加法后，合并同类项再约分即可． （2）先利用乘法分配律去括号，再提公因式后约分，最后合并同类项即可． （3）先把除法写成乘法计算，再提公因式后约分即可． （4）先把除法写成乘法计算，利用平方差公式和完全平方公式因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 24．（2025·陕西西安·模拟预测）化简． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 25．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分式混合运算要注意先去括号；分子，分母能因式分解的先因式分解． 先计算括号，再算乘法，把分式化简，再将变形为，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， ． 26．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法、加法运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． （1）由分式的乘法运算法则进行计算，即可得到答案； （2）由分式的加法运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 27．（24-25九年级上·北京·期中）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把第二个分式分子分解因式后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 28．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）由分式的乘除和约分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 29．（2025·陕西西安·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算即可. 【详解】解：原式 ． 30．（2024·陕西汉中·一模）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 【经典计算题四 分式的四则混合运算】 31．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的四则混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， （1）先将第一个式子平方，然后与第二个分式相乘即可得到答案； （2）首先利用平方差公式将式了因式分解，再进行约会即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 32．（2025·陕西宝鸡·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 33．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据求分式的加法，再根据平方差公式即可求解； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法，结全完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 34．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）结合完全平方公式先对括号内通分计算，再计算乘法约分即可； （2）根据加法结合律将分子相同的分式加括号，先对括号内通分作差计算，再对结果通分计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 35．（2025·江苏南京·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 36．（24-25九年级下·陕西西安·期中）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 37．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 38．（2025·陕西西安·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【详解】解： 39．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 40．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，掌握因式分解相关知识以及分式运算的相关法则是正确化简分式的关键． 先算括号里面的分式的减法，再算分式的除法即可． 【详解】解： ． 【经典计算题五 分式的求整问题】 41．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真分式 (2) (3)化简得；当时，该式的值为整数． 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）解： ； （3）解： ， ∵是整数， ∴， 解得：或， ∵，，或3时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 42．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则 ． 对于任意x上述等式成立 解得 回答问题： (1)这样，分式就拆分成一个整式________与一个分式________的和的形式 (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为________． (3)已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数________． 【答案】(1)， (2) (3)2或0或3或或5或 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂材料掌握方法是解题的关键． （1）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （2）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； （3）仿照例题，列出方程组，求出a、b的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，根据整除运算解答． 【详解】（1）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：，； （2）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：， 拆分成， 故答案为：； （3）解：由分母，可设， 则 ， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得， 拆分成， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或或， 则满足条件的整数或0或3或或5或， 故答案为：2或0或3或或5或． 43．（24-25八年级上·吉林松原·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 【答案】(1)①④ (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了分式的定义、分式的加减运算等知识点，灵活运用分式的加减运算法则成为解题的关键． （1）根据真分式的定义逐一判断即可； （2）先对原式变形，然后逆用分式加法并约分即可解答； （3）由（2）的信息可得：是整数，可得或，然后再解方程即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， ∴①是真分式，②是假分数，③是假分数，④是真分式． 故答案为：①④． （2）解：． （3）解：∵假分式的值是整数， ∴，即是整数． ∴或，解得：或或0或， ∵x的值为整数， ∴x的值为0或． 故答案为：0或． 44．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）阅读材料： 通过小学的学习，我们知道，， 在分式中，类似地，． 探索： （1）如果，则 ；如果，则 ； 总结： （2）如果（其中a、b、c为常数），则求m的值．（用含a、b、c的代数式表示） 应用： （3）利用上述结论解决：若代数式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】（1）1；；（2）；（3）或或2或 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （2）类似于题干例子变形，再利用分式相等的条件确定出m的值即可； （3）类似于题干例子变形，根据得到的结论确定出整数x的值即可． 【详解】解：（1）∵ 又， ∴； ∵ ， 又， ∴， 故答案为：1；； （2）∵ ， 又， ∴； （3） ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴或， ∴或或2或． 45．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 46．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式B：________分式A：的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）． (2)分式的“可存异分式”是______； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”．若整数使得分式A的值是正整数，请写出分式A的值； 【答案】(1)不是 (2) (3)1，3，5； 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别化简，，则，即可作答． （2）设的“可存异分式”为，则，再运算，即可作答． （3）因为分式是分式A的“可存异分式”，得，则，因为整数使得分式A的值是正整数，且，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是 （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）解：∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； 47．（24-25八年级上·福建厦门·期末）阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数， ． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式． 解：由分母，可设，则 ． 对于任意x上述等式成立， ，解得 ． (1)已知，则分式的值为_______； (2)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； 此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即：， ∴， 则：， ∴． 48．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 49．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 50．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）已知． (1)判断与0的大小关系，并说明理由． (2)若为整数时，设，求整数的值． 【答案】(1)；理由见解析 (2)1 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的性质； （1）计算，得出，即可求解； （2）先化简，根据题意可得为整数，根据为整数，进而即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ∵， ∴，， ∴， 即． （2）解： ， ∴要使y为整数，则或， ∵为整数，， ∴， ∴整数y为1． 【经典计算题六 分式方程的解法】 51．（2025·甘肃兰州·模拟预测）解分式方程∶． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 52．（2025·陕西西安·三模）解方程：． 【答案】． 【分析】将分式方程化为整式方程求解，解后验根即可． 本题考查了解分式方程，解题的关键是找出公分母后将分式方程化为整式方程，注意检验增根的情况． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解． 53．（2025·上海金山·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．去分母后求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 化简得：， 即， 解得：， 经检验，是原方程的根， 原方程的根是． 54．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并完成下列问题． 通过观察发现：方程的解是的解是． (1)观察上述方程的解，可以猜想关于的方程的解是______； (2)把关于的方程变形为方程的形式（是含的代数式，c是含a的代数式）是______，方程的解是______． 【答案】(1)，； (2)；， 【分析】本题考查分式方程的解及解分式方程，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． （1）观察上述方程，猜想得到所求方程的解即可； （2）已知方程变形后，利用转化的思想找出方程的解即可． 【详解】（1）解：观察上述方程的解，可以猜想关于的方程的解是， 故答案为：； （2）解： ， ； 或， ， 故答案为：；，． 55．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 56．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）解方程： 【答案】分式方程无解． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程方法及步骤是解题的关键． 先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程无解． 57．（2025·陕西渭南·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．根据去分母，合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的解． 58．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解分式方程的解法是解答关键，分式方程一定要检验方程的根． （1）先将原方程去分母，再去括号，移项合并同类项，求出方程的解，再检验方程的根即可求解； （2）先将原方程去分母，求出方程的解，再检验方程的根即可求解． 【详解】（1）解：原方程去分母得 ， 去括号得 移项并合并同类项得 ， 经检验，是原分式方程的根， 原分式方程的解是． （2）解：原方程变形为 ， 方程去分母得 ， 解得， 经检验是原方程的增根， 原方程无解． 59．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】无解 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解，解分式方程注意要检验． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程无解． 60．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是去分母，注意分式方程的解一定要检验．去分母，将分式方程转化为整式方程解出的值并检验． 【详解】解： 去分母得： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得： 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 【经典计算题七 分式方程解的情况求参数】 61．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知不等式的最小整数的解是关于x的分式方程的解，求m的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分式方程的解．先求出一元一次不等式的解集，可得该不等式的最小整数解为，再把代入，即可求解． 【详解】解：解不等式，得， 所以该不等式的最小整数解为． 因为是分式方程的解， 所以， 所以． 62．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据方程的解为正数结合分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵方程的解为正数， ∴， ∴， ∵分母不能为0， ∴， ∴， 解得， 综上所述：且 63．（23-24八年级上·安徽铜陵·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，求实数的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程有解（无解）的判断方法是解题的关键．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据分式方程的解为正数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， 关于的分式方程的解为正数， ， 解得：且， 即实数的取值范围为且． 64．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的同解问题，先解出后一个分式方程，再将所得解代入前一个方程即可得解．注意检验． 【详解】解：在方程的两边同乘，可得：． 解得． 经检验，是方程的解． 把代入方程，得：． 解得． 经检验，是方程的解． ∴的值为． 65．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式的解得情况确定参数，需通过解分式方程，用含的式子表示，根据且，确定的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵方程两边乘，得， ∴． ∵方程的解为正数， ∴，即，解得． 又，即，解得， ∴且． 66．（23-24八年级上·河北唐山·期末）已知关于的分式方程的解是非负数,那么的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程,解一元一次不等式组．根据题意将整理为,再分析其结果为非负数列出关于的一元一次不等式组,即可得到本题答案． 【详解】解:, 整理得:, 移项整理得:, ∵分式方程的解是非负数,即, ∴, ∴解得且, 故答案为: 且． 67．（23-24八年级下·全国·假期作业）关于x的分式方程的解为正数，求a的取值范围． 【答案】a＜5且a≠3 【详解】解：方程两边都乘x－2，得1－a＋2＝x－2， 解得x＝5－a． 由题意可知，5－a＞0，解得a＜5． 当x＝5－a＝2，即a＝3时，方程的根为增根，不合题意，应舍去． 故a＜5且a≠3． 68．（23-24八年级上·吉林辽源·期末）已知关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】，且 【分析】本题主要考查分式方程的解法，分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为非负数列出不等式，求出不等式的解集得到a的范围，再根据分式分母不为零，得到a的取值，即可确定出a的范围． 【详解】解：分式方程去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 分式方程的解为非负数． ， ∵， ∴， 解得，且． 69．（23-24八年级上·山东威海·期中）（1）解方程：． （2）关于的分式方程的解为正数，则m的取值范围 【答案】（1）原方程无解（2）且 【分析】本题考查的是解分式方程及分式方程的解为正数，熟记“注意分式方程要检验，分母不为0”是解本题的关键． （1）根据解分式方程的步骤计算即可； （2）先解分式方程可得，再根据解为正数可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）方程两边都乘得： ， ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的增根， 所以，原方程无解； （2）， ， ， 关于的分式分程的解为正数， ， 解得：且． 70．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于x的方程的解为负数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【详解】解：依题意， 则化为整式，得 则， ∵方程有解，且解为负数， ∴ 解得， 则且， 所以m的取值范围为且． 【经典计算题八 分式方程的增根无解问题】 71．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先化为整式方程，将代入，即可求解． 【详解】解：去分母，整理得， 解得： ∵关于x的方程有增根， ∴ ∴， 解得. 72．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于的方程：． (1)若方程有增根，求的值； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1)的值为6或12． (2)的值为9、6或12 【详解】解：方程两边同时乘，得到，整理得． （1）由原分式方程有增根，得最简公分母，解得增根为或，当时，；当时，． 答：的值为6或12． （2）分两种情况： 去分母整理得到的整式方程无解，从而分式方程无解．即当时，该整式方程无解，此时． 整式方程有解，但它是分式方程的增根，从而分式方程无解．当时，这时分式方程有增根，由（1）得或． 综上所述，的值为9、6或12． 答：的值为9、6或12． 【易错点分析】易出现把分式方程无解等同于有增根的情况．分式方程无解包含两种情况：去分母整理得到的整式方程无解；分式方程有增根． 73．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）已知关于x的分式方程 ． (1)若方程的增根为，求a的值； (2)若方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的增根和无解的情况是解题的关键． （1）先去分母，再将代入整式方程求解即可； （2）根据最简公分母为以及整式方程无解求出答案． 【详解】（1）解：， 去分母并整理得：， 由于方程的增根为， ， 解得； （2）解：去分母并整理得：， ①当时，该整式方程无解，此时； ②当时，要使该整式方程无解，则， 解得或， 把代入整式方程，的值不存在， 把代入整式方程，， 综上所述，或． 74．（23-24八年级上·山东济南·期中）若关于x的方程： (1)有增根，求a的值； (2)无解，求a的值． 【答案】(1)或 (2)a的值为1或或8 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边同乘得：， 整理可得：， ∵原方程有增根， ∴， 即， 当时，， 当时，， ∴或时，方程有增根； （2）解：由（1）知：a取或8时，原方程无解， 当，方程无解， ∴时，原方程无解； 综上所述，a的值为1或或8时，原方程无解． 75．（23-24八年级上·河北保定·期中）已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程中，根据解分式方程的步骤，两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，解出整式方程的解后要检验是否是分式方程的解； （2）方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解整式方程的解，由于原分式方程有增根，故整式方程的解让最简公分母等于0，代入即可求出k的值． 【详解】（1）当时，原方程为：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2） 方程两边同乘，得， 解得：， ∵方程有增根， ∴当时，，即， 解得：． 76．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知关于x的分式方程 (1)当时，求方程的根？ (2)若关于x的分式方程有增根，试求m的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式方程去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案； （2）先把分式方程去掉分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根可得，求出x的值后再代入到整式方程即可求解. 【详解】（1）当时，方程即为， 两边同时乘以，得， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以原方程的解是； （2）方程同时乘以， 得， 即为， 若关于x的分式方程有增根，则， 解得：， 所以. 【点睛】本题考查了分式方程的求解和增根问题，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题的关键. 77．（23-24八年级上·全国·课后作业）对于分式方程：． (1)若该分式方程有增根，则增根为____________． (2)在（1）的条件下，求出m的值， 【答案】(1)或 (2)或6 【分析】（1）根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根求解即可． （2）把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵该分式方程有增根， ∴最简公分母， 解得：或，即增根为或， 故答案为：或； （2）解：， 两边都乘以，得：， 整理，得：． 当时，即， 解得：， 经检验符合题意； 当时，即， 解得：， 经检验符合题意． ∴m的值为或6． 【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 78．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，求m的值． 【答案】或 【分析】先将方程转化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程进行求解即可． 【详解】解：分式方程去分母，得：， 整理，得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； ∴或． 【点睛】本题考查分式方程有增根的问题．熟练掌握增根是使整式方程成立，使分式方程无意义的未知数的值，是解题的关键． 79．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母得， 当，即或时，分式方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 故m的值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键． 80．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)； (2)a的值为或2． 【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得 整理可得： ∵原方程有增根 ∴，即或， 当时，，故应舍去， 当时，，解得， ∴时，方程有增根； （2）解：由（1）知：时，原方程无解 当，方程无解 ∴时，原方程无解 综上所述，a的值为或2． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 【经典计算题九 分式的规律计算问题】 81．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ．．．．．． 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式：_____； (2)猜想第个等式：_____（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中的等式，可以写出第7个等式； （2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和乘法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立． 【详解】（1）解：根据题意得，第7个等式为： （2）解：第个等式为：，理由如下， 证明：左边 右边， 等式成立． 故答案为：． 【点睛】 82．（24-25八年级下·全国·单元测试）观察下列式子： (1)你发现了什么规律？用含n的式子表示这一规律． (2)如果x的取值为大于1的整数，利用（1）中发现的规律计算． 【答案】(1)（，且n为整数） (2) 【分析】题目主要考查分式的混合运算，规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． （1）根据题意，找出相应规律即可求解； （2）利用（1）中规律变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得出的规律为：（，且n为整数）； （2） ． 83．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：____________； (2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示）； (3)证明（2）中的等式． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，分式加法运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． （1）观察前几个等式即可写出第7个等式； （2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第个等式； （3）计算等式右边，验证其结果等于左边即可． 【详解】（1）解：第1个等式：，即：， 第2个等式：，即：， 第3个等式：，即：， 第4个等式：，即：， 第5个等式：，即：， …… 按照以上规律， 第6个等式：，即：； 故答案为：； （2）解：根据（1）可知，第个等式：， 故答案为：； （3）证明：∵等式右边 ； ∴左边右边． 即：． 84．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 85．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 根据以上规律解答下面问题： (1)直接写出第4个等式：__________； (2)猜想出第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式是，见解析 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，分式的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题干几个等式，即可找到规律求解； （2）对等式左边进行分式的混合运算，化简求证即可． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式为， 故答案为：； （2）解：第个等式是，理由如下： 证明： ， ∴． 86．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 87．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）观察下面的变形规律： (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的： (3)化简：． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了规律探究，相关知识点由：分式的运算，准确探究出规律是解题关键． （1）根据规律即可得出； （2）利用分式的加减计算证明即可； （3）将每一个式子根据规律变形化简即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）证明：， ∴； （3）解： ． 88．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）； （2）证明： ∴这个结论是正确的． 89．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“关联分式”． 例如：与 ，， 是的“关联分式”． (1)已知分式，则__________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； (2)求分式的“关联分式”； (3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础． （1）根据关联分式的定义判断； （2）仿照和谐小组成员的方法，设的关联分式是N，则，求出N即可； （3）根据（1）（2）的结果找出规律，再利用规律求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的“关联分式”． 故答案为：是； （2）解：设的关联分式是N，则： ， ∴， ∴ ∴； （3）解：由（1）（2）知：的关联分式为：． 故答案为：． 90．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，， 所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：__________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)与分式是“关联分式”，理由见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题属于创新探究类试题，主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，理解“关联分式”的定义是解决本题的关键． （1）根据关联分式的定义进行判断即可； （2）仿照题目中给到的方法进行求解即可； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：是的“关联分式”，理由如下： ∵，， ∴是的“关联分式”． （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． （3）解：①设的“关联分式”为N，则， ∴，即， ∴，即． 故答案为：； ②由题意，可得， 整理得，解得． 【经典计算题十 分式的新定义计算】 91．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如：，我们称是的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“差分式”． （含的代数式表示）； 若的值为正整数，为正整数，求值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； 根据为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 解得，； 为正整数， 当时，，则； 当时，，则； 的值为或． 92．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 93．（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．例如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)若分式，，请判断是否为的“雅中式”？若是，请求出关于的“雅中值”；若不是，请说明理由． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为，试用含的式子表示． 【答案】(1)为的“雅中式”，关于的“雅中值”为，理由见详解 (2) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的加减运算； 本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简， （1）计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得，即有，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴为的“雅中式”，关于的“雅中值”为 （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”为， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 94．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”． 初步验证 （1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）． ①；②；③；④． （2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 探究应用 （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）①③④；（2）；（3）的最小值为． 【分析】本题考查分式的约分和化简求值，掌握分式的基本性质是解题关键． （1）根据“优美分式”的定义进行变形解答； （2）将变形为，进而求解即可； （3）首先将变形为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）①，故①是“优美分式”； ②不是分式，故②不是“优美分式”； ③，故③是“优美分式”； ④，故④是“优美分式”； 综上所述，属于“优美分式”的是①③④； （2） ； （3） ∵ ∴ ∴ ∵在分母上， ∴当取得最大值时，有最小值 ∴当时， ∴的最小值为． 95．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由； (2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”； (2)不存在，理由如下 【分析】（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断； （2）根据题意用a表示出的值，再根据“相伴方程”的定义及a为正整数即可求出a的值．然后结合分式方程有意义进行分析，即可作答． 本题主要考查了一元一次方程，分式方程，按照定义求解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下： ∵， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 检验：是原分式方程的解 一元一次方程与分式方程是“相似方程”； （2）解：不存在，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 当时，即时，方程有意义 假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程” ∴ 则 解得 此时与相矛盾 ∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程” 96．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析 (2)或3 【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键， （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下： 解得 解得 经检验，是方程的解 ∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”； ∴方程与是“相似方程”． （2）解： ∵x，y，m均为整数 ∴ ∴ ∵m为正整数 ∴或3 97．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算：，例：．根据这种运算法则，完成下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，分式的加减混合运算，掌握分式的加减混合运算的运算顺序是解本题的关键； （1）根据新定义列式再通分计算即可； （2）根据新定义列式再通分计算即可； （3）根据新定义列式再通分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 98．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如． 解决下列问题： (1)分式是　　（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真分式 (2) (3)化简得； 【分析】本题考查分式的化简及分式的分离整数法，理解材料并掌握分式的运算是解题关键． （1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据材料给出的方法运算即可； （3）先化简，再将分式化为带分式，最后再求解，注意分式有意义的条件． 【详解】（1）解：因为分式的分子次数0小于分母次数1， 所以分式是真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3） ， ∵， ∵是整数， ∴或， 解得：，，或， ∵，，或时，原分式无意义， ∴， 即当时，该式的值为整数． 99．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 100．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析 (2)①，② 【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程， （1）根据“最友好分式”的定义，计算的值即可； （2）①根据题意得，结合E是F的“最友好分式”可求得；②当时，化简得，设，可得，结合定值得且，即可求得m和n之间的关系． 【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由： ∵ ∴C是D的“最友好分式”； （2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”， ∴， 解得； ②当时，， 设， ∴， ∴， ∵为定值， ∴且， 由解得， 把代入，得 ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$