专题02 分式的基本性质重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题02 分式的基本性质重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型八 最简公分母 题型九 通分 题型十 分式基本性质的新定义问题 知识点一、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点二、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点三、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）下列各分式正确的是（  　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·重庆·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）利用分式的基本性质填空：． 5．（23-24八年级上·山东·课后作业）要使分式，则 . 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）成立的条件是 ． 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果使分式有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4倍，那么整式A可以是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为 ． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）把分式的和都扩大倍，分式的值 ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝ 方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得， 原式＝ (1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若（a，b都不为0），请直接写出的值． 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例4】（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例5】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 14．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）不改变分式的值．将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为 ． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【经典例题六 最简分式】 【例6】（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·北京·期中）请从，，中任选两个构造成一个分式，并化简该分式．你构造的分式是 ，该分式化简的结果是 ． 17．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列四个分式：、、、，其中最简分式有 个． 18．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）将分式化成最简分式等于 ． 【经典例题七 约分】 【例7】（2025·四川泸州·三模）化简：． 19．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）我们知道表示5的阶乘，即，易知，则 （n为正整数）． 20．（24-25八年级上·广东广州·期末）化简分式的结果为 ． 21．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题八 最简公分母】 【例8】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·四川眉山·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D．24a 23．（23-24八年级上·全国·课堂例题）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·全国·期末），的最简公分母是 ． 【经典例题九 通分】 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为 ． 25．（2023·辽宁朝阳·二模）对于任意的值都有，则值为 ． 26．（23-24七年级上·上海黄浦·期末）如果，那么的值是 ． 27．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)与； (2)与． 【经典例题十 分式基本性质的新定义问题】 【例10】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 28．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 30．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 16．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）若把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．缩小倍 B．扩大倍 C．缩小 D．不变 17．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 18．（2025·河南郑州·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 20．（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：（1）；（2）．括号内应填 ； ． 22．（2023九年级·全国·专题练习）分式，的最简公分母是 ． 23．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知， ． 24．（2021九年级·全国·专题练习）若，，则 ． 25．（2021九年级·全国·专题练习）在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： ． 26．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）用分式表示下列各式的商，并约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 28．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 29．（23-24八年级·全国·假期作业）小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 30．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式的基本性质重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型八 最简公分母 题型九 通分 题型十 分式基本性质的新定义问题 知识点一、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点二、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点三、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列式子从左到右的变形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，依次分析各个选项，即可求出答案． 【详解】解：A、，变形正确，符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、的分子和分母不能约分，，变形错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）下列各分式正确的是（  　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变，分别判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，原计算错误； 故选：C． 3．（23-24八年级上·重庆·期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质的进行变形即可． 【详解】∵， ∴=， ∴A，B都是错误的； ∵=， ∴C是错误的； ∵=， ∴D是正确； 故选D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，运用性质正确进行变形是解题的关键． 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．根据分式的性质，可化简变形． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）利用分式的基本性质填空：． 【答案】 【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5．（23-24八年级上·山东·课后作业）要使分式，则 . 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以同一个不为0的式子，分式的值不变, 【详解】分式, 则 即 故答案为. 【点睛】考查分式的基本性质，即分子、分母同时乘以一个不为0的式子，分式的值不变. 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）成立的条件是 ． 【答案】x≠1且x≠0 【详解】由题意,得x-1≠0,且x≠0, 解得,x≠1且x≠0. 故答案是:x≠1且x≠0. 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如果使分式有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍，则分式的值扩大为原来的4倍，那么整式A可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则A不符合题意； 若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值不变，则B不符合题意； 若整式A是将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的2倍，则C不符合题意； 若整式A是，将原分式中a和b的值都扩大为原来的2倍可得，分式的值扩大为原来的4倍，则D符合题意； 故选：D． 7．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）若分式的的值为5，则x、y扩大2倍后，这个分式的值为 ． 【答案】5． 【分析】用2x，2y分别代替原式中的x，y，再根据分式的基本性质进行化简，观察分式的变化即可． 【详解】根据题意，得新的分式为． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 8．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）把分式的和都扩大倍，分式的值 ． 【答案】扩大3倍 【分析】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，得 ， 故答案为：扩大3倍． 【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键是注意把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示的是小婷同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题： ×年×月×日，星期日 整体代入法求分式的值 今天我在一本数学课外书上看到这样一道题：已知求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了这两种方法： 方法1：，∴∴y﹣x＝2xy，∴x﹣y＝﹣2xy， ∴原式＝ 方法2：x y≠0，将分式的分子、分母同时除以x y得， 原式＝ (1)“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是 　 　． (2)请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． (3)若（a，b都不为0），请直接写出的值． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据分式的基本性质求解； （2）将分式的分子、分母同时除以得原式，然后利用整体代入的方法计算； （3）把代入分式中化简即可． 【详解】（1）“方法一”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 故答案为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）∵， ∴原式＝ ＝ ＝， ∵， ∴， ∴原式=； （3）∵， ∴， ∴=1． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：灵活运用分式的基本性质是解决问题的关键．也考查了整体代入的方法． 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例4】（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 11．（23-24八年级上·山东·课后作业）.不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故选D. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 12．（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例5】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3） 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 14．（23-24八年级上·贵州铜仁·期中）不改变分式的值．将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘10即可． 【详解】解：将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行变形． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）分子与分母同乘以10即可得； （2）分子与分母同乘以12即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题六 最简分式】 【例6】（23-24八年级上·河北承德·期中）若表示的是一个最简分式，则☆可以是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，分子与分母没有公因式的分式，叫最简分式． 【详解】解：A、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为x时，，是最简分式，故该选项符合题意； C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 16．（23-24八年级上·北京·期中）请从，，中任选两个构造成一个分式，并化简该分式．你构造的分式是 ，该分式化简的结果是 ． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】任意选两个组成分式，再根据分式的基本性质化简分式即可． 【详解】解：可选择，构成分式， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质并正确化简是解答的关键． 17．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）下列四个分式：、、、，其中最简分式有 个． 【答案】2/两 【分析】最简分式是分式的分子、分母没有非零的公因式，即不能再约分，据此判断即可解答． 【详解】解：是最简分式， ，不是最简分式， 是最简分式， ，不是最简分式， 故最简分式有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简最简分式，判断一个分式是最简分式，主要看分式的分子、分母是不是有公因式． 18．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）将分式化成最简分式等于 ． 【答案】 【分析】将分式进行因式分解即可得． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查了最简分式，解题的关键是掌握因式分解． 【经典例题七 约分】 【例7】（2025·四川泸州·三模）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查方式的化简及因式分解，熟练掌握平方差公式及十字相乘法分解因式是解题关键．先把分子展开，再利用平方差公式及十字相乘法分解因式，最后约分即可得答案． 【详解】解： ． 19．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）我们知道表示5的阶乘，即，易知，则 （n为正整数）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据题干中所给的运算方法列式计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·广东广州·期末）化简分式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．先对分子和分母因式分解，然后根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的约分； （1）分子分母提取公因式后约分即可； （2）分子分母提取公因式后约分即可； （3）分子分母因式分解后约分即可； （4）分子分母因式分解后约分即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【经典例题八 最简公分母】 【例8】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）下列三个分式、、的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母； 【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ， 故最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 22．（23-24八年级下·四川眉山·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D．24a 【答案】A 【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：∵，，的系数的最小公倍数是，字母的最高次数是，字母的最高次数是，字母的最高次数是， ∴分式，，的最简公分母是：， 故选：A． 23．（23-24八年级上·全国·课堂例题）分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：，， 故最简公分母为： 故选：C 【点睛】本题考查最简公分母．将各分式分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义即可求解． 24．（23-24八年级上·全国·期末），的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，先把分母因式分解，再根据确定最简公分母的方法是本题的解题方法． 【详解】解：∵， ， ∴，的最简公分母是． 故答案为：． 【经典例题九 通分】 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）分式的分母经过通分后变成，那么分子应变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，是基础知识，需熟练掌握． 分式的分母，经过通分后变成，那么分母乘以了，根据分式的基本性质，将分子乘以，计算即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（2023·辽宁朝阳·二模）对于任意的值都有，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法运算，涉及异分母分式加法运算、通分、多形式相等的条件等知识，由题中给的等式，将右边异分母分式通分后相加，再由等式左右两边分子相等列方程组求解即可得到答案，熟记分式的加法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 26．（23-24七年级上·上海黄浦·期末）如果，那么的值是 ． 【答案】0 【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决. 【详解】解： 所以， 故答案是：0 【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键. 27．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】（1）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； （2）本题考查分式的通分，根据最简公分母确定分母，再根据分式的性质分子分母同时乘以同一个不为0的式子即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，，最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，； （2）解：由题意可得，，的最简公分母是， ∴， ， ∴答案为：，． 【经典例题十 分式基本性质的新定义问题】 【例10】（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 28．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 【答案】（3）见解析；【实践应用】 【分析】根据等式的性质及材料提供的方法即可． 【详解】（3）④设，则，， ，， ． ⑤设，则，， ，，． （6）设， 则，，…，， ， ． 【实践应用】解：， 设， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的运算，熟练运用等式的性质是本题的关键． 30．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 16．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）若把分式中的和都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．缩小倍 B．扩大倍 C．缩小 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 运用分式的基本性质，对分子分母约分处理． 【详解】解：， 故选：C 17．（24-25八年级下·江苏南京·期中）下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 当时，，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D 18．（2025·河南郑州·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式混合运算，分式的基本性质，先根据题意列出即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 故选：． 19．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）下列说法错误的是（  ） A．代数式不是分式 B．分式的值不可能为0 C．分式是最简分式 D．分式中的x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式，分式的性质等知识，根据分式的定义，最简分式，分式的性质对各选项进行判断作答即可，熟练掌握分式的定义，最简分式，分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、代数式不是分式，说法正确，故选项不符合题意； B、分式的值不可能为0，说法正确，故选项不符合题意； C、分式是最简分式，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到，分式的值改变，故选项符合题意； 故选：D． 20．（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）根据分式的基本性质填空：（1）；（2）．括号内应填 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质计算即可得． 【详解】解：（分子分母同除以），， 故答案为：；． 22．（2023九年级·全国·专题练习）分式，的最简公分母是 ． 【答案】12x2y2 【分析】根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，的最简公分母为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 23．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知， ． 【答案】/-0.125 【分析】根据得出，然后将进行变形，求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，由得出，将变形为，是解题的关键． 24．（2021九年级·全国·专题练习）若，，则 ． 【答案】2 【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a、b和c的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案． 【详解】∵， ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解． 25．（2021九年级·全国·专题练习）在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可． 【详解】解：. 故填：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握最简分式的定义及分式化简的方法是解题的关键． 26．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）用分式表示下列各式的商，并约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】该题主要考查了分式的乘除运算，关键是要找到公分母，然后进行同通分，通分将各分母分解因式，以寻求公分母．分式运算的结果一般要化到最简． （1）写成分式的形式，再约分即可； （2）写成分式的形式，再约分即可； （3）写成分式的形式，再对分子因式分解，约分即可； （4）写成分式的形式，再对分子分母因式分解，约分即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 27．（2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 28．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 29．（23-24八年级·全国·假期作业）小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）根据题中真分式的定义直接判断即可； （2）仿照题中例子化成整式和真分式的和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，选项A、B、D中分子的次数大于分母的次数，不是真分式，不符合题意，选项C中分子的次数小于分母的次数，是真分式，符合题意， 故选：C； （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题中定义，会利用类比的思想方法求解是解答的关键． 30．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案； （2）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得，即不等式组无解， ∴； （2）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$