第九章 分式 重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

第九章 分式 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若有意义，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：有意义， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3．（2025·山东临沂·一模）随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据电动汽车与公交车平均速度间的关系，可得出电动汽车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合张老师驾车上班比乘公交车所需的时间少用了 12 分钟，即可列出关于的分式方程． 【详解】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2倍，且乘公交车平均每小时走千米， ∴电动汽车的平均速度是千米／小时． 根据题意得：， 即． 故选：D． 4．（2025·河北·模拟预测）在求的倒数的值时，嘉淇同学误将看成了，她求得的值比正确答案小5．下列说法正确的是（    ） A．依题意 B．依题意 C．x的值为1 D．的倒数的值为8 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意知：的倒数的倒数，据此列出方程求解，再判断各选项即可． 【详解】解：根据题意，可列方程：， 解得， ∴的倒数为， ∴A、B、C选项错误，D选项正确， 故选：D． 5．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，设，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知，求（   ） A． B．12 C． D．18 【答案】D 【分析】本题考查分式化简求值；准确化简分式并掌握整体代入法是解题的关键； 首先对化简变形为，然后化简原式，再整体代入即可解答． 【详解】 ∴ ． 故选：D． 7．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）若分式方程有增根，那么k的值为（   ） A．2 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程有增根，根据增根的定义，满足整式方程，使分式方程无意义，将分式方程化为整式方程，再将的值代入，求出参数的值即可．熟练掌握增根的定义，是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵分式方程有增根， ∴把代入，得：； 故选C． 8．（2025·安徽淮南·二模）已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，分式的化简，完全平方公式，根据题意得，则，再代入选项中计算，化简即可求解．利用等式的基本性质得，再代入求解是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴，故B正确； ， ∵， ∴，故C正确； ∵，则， ∴，故D正确； ∵，则 ∴当，时，，此时，故A错误； 故选：A． 9．（2025·湖南湘潭·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了分式的化简，各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】解：①根据新定义得，，， ∵， ∴， 即， 故①不成立； ②，， ∵， ∴， 故②不成立； ③，， ∴， 故③成立； ④，， ∵， ∴． 综上，成立的有③． 故选：A． 10．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解和一元一次不等式组的整数解．由题意分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程的解是不小于的整数”，得到a的值进而即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组的解中至少包含三个整数， ∴该不等式组至少有整数解5，6，7， 则有，解得， 解分式方程得： 且， ∵该分式方程的解是不小于的整数， ∴，则a的值为3的倍数，且， ∴，且， ∵， ∴，且a为3的倍数，， 则整数a的值为或或， 即满足条件的所有整数a的值之和为． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（北京市丰台区2025年中考一模考试数学试题（　）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．先去分母化为整式方程，解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 经检验：是原分式方程的解． 12．（24-25八年级下·上海·期中）某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天修米，则实际每天修米，根据实际比原计划提前2天完成了任务，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天修米，则实际每天修米， 由题意得：， 故答案为：． 13．（2025·四川成都·一模）若 ，则代数式 的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简求值，先得到，然后把括号内分式通分，除法化为乘法，然后因式分解约分，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验． （1）分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得的范围；（2）解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式．求得的范围；综上所述，求得的范围．根据为整数，求出的值，最后求和即可． 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； （2）分式方程两边都乘以得：， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴为整数． ∴为偶数， ∵分式要有意义， ， ， 综上所述，且且为偶数， ∴符合条件的所有整数的数有：， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：；． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，先计算括号内分式的加法，再计算分式除法即可． 【详解】解： 16．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中与构成的三边，且为整数． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值和三角形三边关系，正确化简分式是解题关键．先化简分式，再根据三角形的三边关系以及分式有意义的条件找到即可． 【详解】解：原式． 与2，3构成的三边，且为整数， ，即 ． 当或时，原式没有意义，故． 当时，原式． 17．（2023九年级·安徽·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程．方程两边都乘以得出方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：去分母，得． 去括号、移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 经检验，是原分式方程的解． 18．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.08倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 【答案】(1)“丰收号”小麦试验田的单位面积产量高 (2)“丰收号”小麦试验田的边长为 【分析】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键． （）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量高； （）根据“高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍”列出分式方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量为， “丰收号”小麦试验田的单位面积产量为， ， ，， ∵， ∴， ∴， 答：“丰收号”小麦试验田的单位面积产量高； （2）解：由题意可得，， 去分母，两边同乘，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“丰收号”小麦试验田的边长为． 19．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________________； (2)猜想第n个等式：________________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字规律问题，理解题目中代数式中各式的数量关系，掌握整式的运算，分式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示中的数量关系即可求解； （2）根据材料提示，分式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，第6个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为：，理由如下， 证明：左边右边， ∴等式成立， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读理解： 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：． 类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母和分式的值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.3 0.25 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：_______，_______； (2)当时；随着的增大，分式的值如何变化？ (3)当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，随着的增大，分式的值逐渐变小 (3)2，见解析 【分析】（1）先变形得出，再求出答案即可； （2）分别求出，，时，的值，再比较大小即可； （3）得出原式，再求出答案即可． 本题考查了分式的加减，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ∴ 当时，随着的增大，分式的值逐渐变小； （3）解：2， 理由如下： ， 随着的值的增大，的值逐渐减小， 随着的值的增大，的值无限趋近于2． 21．（23-24八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④． （2）， 故答案为:. （3）（3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，整式的混合运算，乘法公式，熟练掌握作差法比较大小是解题关键． （1）将与作差，根据无理数的估算以及不等式的性质，即可求解； （2）将与作差，根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开合并，再根据平方的非负性即可求解； （3）将与作差，通分化简，根据已知条件可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： ，， ， ， ， ，即 （3）解： ， m、n都是正实数， ，， ， ，即． 23．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小； （2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答； （3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算，根据，，得到，即可得到，从而解答． 【详解】（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 分式 重难点检测卷 （满分150分，考试时间120分钟，共23题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若有意义，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·一模）随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·模拟预测）在求的倒数的值时，嘉淇同学误将看成了，她求得的值比正确答案小5．下列说法正确的是（    ） A．依题意 B．依题意 C．x的值为1 D．的倒数的值为8 5．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，设，则有（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川宜宾·阶段练习）已知，求（   ） A． B．12 C． D．18 7．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）若分式方程有增根，那么k的值为（   ） A．2 B．5 C．3 D． 8．（2025·安徽淮南·二模）已知 ，，若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南湘潭·模拟预测）设都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个等式： ①；②；③；④；成立的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 第II卷（非选择题） 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分） 11．（北京市丰台区2025年中考一模考试数学试题（　）方程的解为 ． 12．（24-25八年级下·上海·期中）某工程计划修一条800米长的公路，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修米，那么根据题意可列出方程 ． 13．（2025·四川成都·一模）若 ，则代数式 的值为 ． 14．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知关于的一元一次不等式组． （1）若此不等式组的解集为，则的取值范围为 ． （2）在（1）的条件下，若关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 三、解答题（9小题，共90分） 15．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）计算： 16．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）先化简，再求值：，其中与构成的三边，且为整数． 17．（2023九年级·安徽·专题练习）解方程：． 18．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)若高的单位面积产量是低的单位面积产量的1.08倍，求“丰收2号”小麦的试验田的边长． 19．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________________； (2)猜想第n个等式：________________________（用含n的等式表示），并证明． 20．（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读理解： 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：． 类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母和分式的值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.3 0.25 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：_______，_______； (2)当时；随着的增大，分式的值如何变化？ (3)当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由． 21．（23-24八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 22．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）知识链接： ①对于任意两个实数，如果，那么；如果，那么；如果，那么． ②任意实数的平方都是非负数，即． 知识运用： (1)直接写出与的大小关系； (2)已知a为实数，且，，你能比较A与B的大小关系吗？请写出比较过程． (3)已知m、n都是正实数，请直接写出与之间的大小关系． 23．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 学科网（北京）股份有限公司 $$