第6章 变量之间的关系（思维导图+知识梳理+易错点拨+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共36题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第6章 变量之间的关系 （思维导图+知识梳理+易错点拨+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共36题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：变量、常量的概念 2 知识点梳理02：用表格表示变量间关系 2 知识点梳理03：用关系式表示变量间关系 2 知识点梳理04：用图象表示变量间关系 3 易错考点点拨汇总 3 易错知识点01：自变量与因变量判断错误 3 易错知识点02：三种表示方法的转换错误 3 易错知识点03：图像分析中的典型错误 3 易错知识点04：常量与变量的混淆 4 易错知识点05：关系式建立与应用错误 4 易错知识点06：多变量问题处理不当 4 易错知识点07：经典例题易错分析 4 期末真题考点汇编讲练 4 期末考向一：现实中的变量 4 重点考点讲练01：现实中的变量 4 期末考向二：用表格表示变量之间的关系 6 重点考点讲练02：用表格表示变量之间的关系 6 期末考向三：用关系式表示变量之间的关系 7 重点考点讲练03：用关系式表示变量之间的关系 7 期末考向四：用图象表示变量之间的关系 8 重点考点讲练04：用图象表示变量之间的关系 8 优选真题难度分层练 11 中档题—夯实基础能力 11 压轴题—强化解题技能 14 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 【易错点剖析】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量. 知识点梳理02：用表格表示变量间关系 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 【易错点剖析】表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 知识点梳理03：用关系式表示变量间关系 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 【易错点剖析】关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 知识点梳理04：用图象表示变量间关系 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量. 【易错点剖析】图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 易错知识点01：自变量与因变量判断错误 定义混淆： 自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而被动变化的量。 易错点：在动态问题中将结果变量误判为自变量。 示例： 错误：认为“汽车行驶时间随路程增加而变化”，误将路程作为自变量。 正确：路程 = 速度 × 时间，若速度固定，时间才是自变量，路程是因变量。 易错知识点02：三种表示方法的转换错误 表格、关系式、图像的特点： 表格：直观但数据有限，需注意变量取值是否连续。 关系式：精准但需明确变量间的数学关系（如一次函数、正比例函数）。 图像：能展示变化趋势，但需分析关键点（起点、转折点）及斜率含义。 易错点： 从表格推导关系式时忽略数据规律（如非线性关系误判为线性）。 画图像时未标注坐标轴变量及单位，或误连离散点为连续曲线（如时间不连续的温度变化图）。 易错知识点03：图像分析中的典型错误 1. 斜率与变化速率的对应关系： 陡峭程度反映因变量随自变量的变化快慢。 易错点：将陡峭程度误解为数值大小而非速率。 示例：温度-时间图像中，快速升温段（陡峭）误认为温度值更大，而非升温更快。 2. 关键点误读： 图像的最高点、最低点、交点需结合实际问题解释（如最高温度、相遇时间）。 易错点：漏读图像横纵坐标含义，导致结论与情境不符。 易错知识点04：常量与变量的混淆 常量：变化过程中保持不变的量（如匀速运动中的速度）。 易错点： 将隐含的常量误判为变量（如“购买单价固定的笔记本”，单价是常量）。 忽略题目中未明确说明的常量（如三角形面积公式中的½）。 易错知识点05：关系式建立与应用错误 1. 正比例函数与一次函数的混淆： 正比例函数是特殊的一次函数（形式为 y=kx ，无常数项）。 易错点：在非过原点的关系中错误使用正比例函数（如“月租费+按分钟计费”应设为 y=ax+b ）。 2. 单位与符号错误： 关系式中变量单位需统一（如时间用“小时”而非“分钟”）。 忽略实际问题中变量的取值范围（如人数、时间为非负整数）。 易错知识点06：多变量问题处理不当 示例： 错误：在“长方形周长固定，长与宽的关系”中，仅设长为自变量，忽略宽与长的相互制约。 正确：设长为 x ，宽为C2−x \frac{C}{2}-x 2C​−x，明确周长 C 为常量。 易错知识点07：经典例题易错分析 例题：某水箱水位随时间变化如图，分析注水阶段的速率变化。 错误解法：认为斜率逐渐增大表示注水速度越来越快。 正确思路：斜率绝对值增大说明单位时间水位上升更快，可能因注水速度加快或水箱横截面积变小。 期末考向一：现实中的变量 重点考点讲练01：现实中的变量 【母题精讲】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（    ） A．的度数 B．的面积 C．的长度 D．的长度 【训练1】（22-23七年级·全国·课后作业）一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（    ） A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量 C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量 【训练2】（22-23八年级下·全国·单元测试）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 【训练3】（23-24七年级下·四川成都·期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 期末考向二：用表格表示变量之间的关系 重点考点讲练02：用表格表示变量之间的关系 【母题精讲】（22-23八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【训练1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，他们得到如下数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 90 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由 ． 【训练2】（23-24七年级下·江西吉安·期末）某公交车每月的支出费用为4000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． x 1000 1500 2500 3000 y (1)请写出y与x之间的关系式， (2)完成表格： (3)当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？ 【训练3】（23-24七年级下·陕西西安·期末）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出苹果的数量x（千克）与售价y（元）的关系如下表： 数量x/千克 1 2 3 4 5 … 售价y/元                          … 则售价y与数量x之间的关系式是 ． 期末考向三：用关系式表示变量之间的关系 重点考点讲练03：用关系式表示变量之间的关系 【母题精讲】（24-25七年级上·河北沧州·期末）某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温 【训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【训练3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示：    底边长x（cm） 1 2 三角形面积 3 6 (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)由上表可知，边上的高为________； (3)y与x的关系式可以表示为________； (4)当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________． 期末考向四：用图象表示变量之间的关系 重点考点讲练04：用图象表示变量之间的关系 【母题精讲】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【训练1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)货车在乙地卸货停留了多长时间？ 【训练2】（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【训练3】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 中档题—夯实基础能力 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 2．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 3．（22-23七年级下·四川达州·期末）表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系： 40 50 60 80 100 25 30 35 45 55 用关系式表示y与x的这种关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东清远·期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表： 温度 … 100 150 200 250 … 导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 … 当温度为时，该材料的导热率为 ． 6．（24-25七年级上·北京西城·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：用式子表示与的关系为 ． 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 2 5 … 7．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 8．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 9．（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 10．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 压轴题—强化解题技能 11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 12．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）探究小组的同学在做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据： 支撑物高度（单位：厘米） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 小车下滑时间（单位：秒） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 根据实验数据，判断下列说法正确的是（    ） A．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.45秒 B．支撑物的高度每增加，小车下滑的时间都将减少0.09秒 C．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.35秒 D．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.30秒 13．（21-22七年级下·山西运城·期末）为预防新冠肺炎，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量y（mg）和时间x（min）的数据如表： 时间x（min） 2 4 6 8 含药量y（mg） 16 14 12 10 则下列叙述错误的是（    ） A．时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为4mg B．在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小 C．挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg D．室内每立方米空气中的含药量是自变量 14．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是 ． 15．（22-23七年级下·广东河源·期末）某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于千米），超过千米每增加千米（不足千米按千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）（）之间的关系式为 ． 16．（21-22七年级下·广东深圳·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为 ． 17．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 18．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点D在斜边上，，设，．    (1)根据表格的数据，猜想y与x的数量关系为：______________ x 20 40 60 80 … y 10 20 30 40 … (2)在图1的条件下，点E在边上，且，如图2．求的度数． 19．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 20．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）五一期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的） (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第6章 变量之间的关系 （思维导图+知识梳理+易错点拨+4大考点讲练+优选真题难度分层练 共36题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：变量、常量的概念 2 知识点梳理02：用表格表示变量间关系 2 知识点梳理03：用关系式表示变量间关系 2 知识点梳理04：用图象表示变量间关系 3 易错考点点拨汇总 3 易错知识点01：自变量与因变量判断错误 3 易错知识点02：三种表示方法的转换错误 3 易错知识点03：图像分析中的典型错误 3 易错知识点04：常量与变量的混淆 4 易错知识点05：关系式建立与应用错误 4 易错知识点06：多变量问题处理不当 4 易错知识点07：经典例题易错分析 4 期末真题考点汇编讲练 4 期末考向一：现实中的变量 4 重点考点讲练01：现实中的变量 4 期末考向二：用表格表示变量之间的关系 7 重点考点讲练02：用表格表示变量之间的关系 7 期末考向三：用关系式表示变量之间的关系 9 重点考点讲练03：用关系式表示变量之间的关系 9 期末考向四：用图象表示变量之间的关系 13 重点考点讲练04：用图象表示变量之间的关系 13 优选真题难度分层练 17 中档题—夯实基础能力 17 压轴题—强化解题技能 24 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 【易错点剖析】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量. 是自变量，是因变量. 知识点梳理02：用表格表示变量间关系 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 【易错点剖析】表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 知识点梳理03：用关系式表示变量间关系 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 【易错点剖析】关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 知识点梳理04：用图象表示变量间关系 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量. 【易错点剖析】图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 易错知识点01：自变量与因变量判断错误 定义混淆： 自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而被动变化的量。 易错点：在动态问题中将结果变量误判为自变量。 示例： 错误：认为“汽车行驶时间随路程增加而变化”，误将路程作为自变量。 正确：路程 = 速度 × 时间，若速度固定，时间才是自变量，路程是因变量。 易错知识点02：三种表示方法的转换错误 表格、关系式、图像的特点： 表格：直观但数据有限，需注意变量取值是否连续。 关系式：精准但需明确变量间的数学关系（如一次函数、正比例函数）。 图像：能展示变化趋势，但需分析关键点（起点、转折点）及斜率含义。 易错点： 从表格推导关系式时忽略数据规律（如非线性关系误判为线性）。 画图像时未标注坐标轴变量及单位，或误连离散点为连续曲线（如时间不连续的温度变化图）。 易错知识点03：图像分析中的典型错误 1. 斜率与变化速率的对应关系： 陡峭程度反映因变量随自变量的变化快慢。 易错点：将陡峭程度误解为数值大小而非速率。 示例：温度-时间图像中，快速升温段（陡峭）误认为温度值更大，而非升温更快。 2. 关键点误读： 图像的最高点、最低点、交点需结合实际问题解释（如最高温度、相遇时间）。 易错点：漏读图像横纵坐标含义，导致结论与情境不符。 易错知识点04：常量与变量的混淆 常量：变化过程中保持不变的量（如匀速运动中的速度）。 易错点： 将隐含的常量误判为变量（如“购买单价固定的笔记本”，单价是常量）。 忽略题目中未明确说明的常量（如三角形面积公式中的½）。 易错知识点05：关系式建立与应用错误 1. 正比例函数与一次函数的混淆： 正比例函数是特殊的一次函数（形式为 y=kx ，无常数项）。 易错点：在非过原点的关系中错误使用正比例函数（如“月租费+按分钟计费”应设为 y=ax+b ）。 2. 单位与符号错误： 关系式中变量单位需统一（如时间用“小时”而非“分钟”）。 忽略实际问题中变量的取值范围（如人数、时间为非负整数）。 易错知识点06：多变量问题处理不当 示例： 错误：在“长方形周长固定，长与宽的关系”中，仅设长为自变量，忽略宽与长的相互制约。 正确：设长为 x ，宽为C2−x \frac{C}{2}-x 2C​−x，明确周长 C 为常量。 易错知识点07：经典例题易错分析 例题：某水箱水位随时间变化如图，分析注水阶段的速率变化。 错误解法：认为斜率逐渐增大表示注水速度越来越快。 正确思路：斜率绝对值增大说明单位时间水位上升更快，可能因注水速度加快或水箱横截面积变小。 期末考向一：现实中的变量 重点考点讲练01：现实中的变量 【母题精讲】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，把两根木条和的一端A用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，常量为（    ） A．的度数 B．的面积 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【思路点拨】此题考查的是常量与变量，掌握它们的概念是解决此题关键．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可． 【规范解答】解：把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动．在转动过程中，的度数，的面积，的长度都在变化，属于变量， ∴常量为的长度， 故选：D． 【训练1】（22-23七年级·全国·课后作业）一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（    ） A．r是因变量，V是自变量 B．r是自变量，V是因变量 C．r是自变量，h是因变量 D．h是自变量，V是因变量 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，函数值为因变量，另一个值为自变量．根据自变量、因变量的定义进行求解即可． 【规范解答】解：圆柱的高h为，因此h是常量不是变量，故排除C、D，圆柱的体积V随底面圆半径r的变化而变化，所以r是自变量，V是因变量． 故选：B． 【训练2】（22-23八年级下·全国·单元测试）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)x， y；(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；(3)每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【思路点拨】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案； （2）直接利用表中数据分析得出答案； （3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案． 【规范解答】解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量； 故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损； 故答案为观察表中数据可知，每月乘客量达到2000； (3)由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元， 当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【训练3】（23-24七年级下·四川成都·期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 【答案】B 【思路点拨】本题考查实际生活中的变量，读懂题意，理解水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，即可得到答案，熟记数学概念在生活中的运用是解决问题的关键． 【规范解答】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化， 其中的变量是重量和金额， 故选：B． 期末考向二：用表格表示变量之间的关系 重点考点讲练02：用表格表示变量之间的关系 【母题精讲】（22-23八年级上·全国·课后作业）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【思路点拨】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 【规范解答】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B 【训练1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的实际，他们得到如下数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 90 小车下滑的时间 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为： ，请说出你估计的理由 ． 【答案】 （答案不唯一） 随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少 【思路点拨】本题考查用表格表示函数关系，解题的关键是观察所得数据之间的关系，发现规律． 【规范解答】根据表格数据，估计当支撑物的高度为时，小车下滑的时间为，理由：随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少． 故答案为：1.33s（答案不唯一）；随着支撑物的高度的增加，小车下滑的时间逐渐较少 【训练2】（23-24七年级下·江西吉安·期末）某公交车每月的支出费用为4000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． x 1000 1500 2500 3000 y (1)请写出y与x之间的关系式， (2)完成表格： (3)当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？ 【答案】(1) (2)，，1000，2000 (3)当每月乘客量达到2000人以上，该公交车才不会亏损 【思路点拨】本题考查用关系式表示两个变量的关系、用表格法表示变量的关系，理解题意是解答的关键． （1）直接根据题中的等量关系：每月收入与支出的差额票价每月乘车人数支出求解即可； （2）分别求出对应的y值即可求解； （3）根据每月收入与支出的差额不小于0求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，y与x之间的关系式； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 完成表格如下： x 1000 1500 2500 3000 y 1000 2000 （3）解：根据题意，令， 解得， 答：当每月乘客量达到2000人以上，该公交车才不会亏损． 【训练3】（23-24七年级下·陕西西安·期末）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出苹果的数量x（千克）与售价y（元）的关系如下表： 数量x/千克 1 2 3 4 5 … 售价y/元                          … 则售价y与数量x之间的关系式是 ． 【答案】 【思路点拨】该题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是掌握与的数量关系． 根据表中所给信息，判断出与的数量关系，列出函数关系式即可． 【规范解答】解：根据表格可知：数量x每增加1千克，售价y每增加元， ， 故答案为：． 期末考向三：用关系式表示变量之间的关系 重点考点讲练03：用关系式表示变量之间的关系 【母题精讲】（24-25七年级上·河北沧州·期末）某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察表格数据，发现，，，，结合工作时间工作效率工作总量，且工作总量不变，即可作答． 【规范解答】解：由表格数据，得，，，， ∴这批毛绒玩具共360件， ∵工作总量不变，都是360件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变， ∴， 故答案为：． 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【思路点拨】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【规范解答】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 【训练2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）已知一个长方形中，相邻的两边长分别是和，设长方形的周长为． (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是_________； (2)试写出与之间的关系式； (3)求长方形周长为时，的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了函数的性质，长方形的周长等知识点， （1）根据长方形的周长公式和函数的定义解答即可； （2）根据长方形的周长公式列式即可得解； （3）把代入函数解析式即可求出x的值； 熟练掌握长方形的周长的综合应用是解决此题的关键． 【规范解答】（1）解：∵相邻的两边长分别是和， ∴长方形的周长为， ∴随的变化而变化， ∴自变量为，因变量为， 故答案为：，； （2）解：根据长方形的周长公式得， ∴与之间的关系式， （3）解：∵长方形周长为时， ∴， 解得． 【训练3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示：    底边长x（cm） 1 2 三角形面积 3 6 (1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________； (2)由上表可知，边上的高为________； (3)y与x的关系式可以表示为________； (4)当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________． 【答案】(1)底边长x，三角形面积y (2)6 (3) (4)9，36 【思路点拨】本题主要考查的是函数关系式，常量与变量，函数值及三角形的面积，解题的关键是能求出y与x的关系式． （1）根据函数的定义找出自变量和函数； （2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，设边上的高为h，有三角形面积即可计算出高； （3）根据三角形面积公式表示出y与x的关系式； （4）根据三角形的面积公式求出面积，根据面积即可得出结论． 【规范解答】（1）解：在这个变化过程中，自变量是底边长即x，函数是的面积即y， 故答案为：底边长x，三角形面积y； （2）由表可知，当面积为6时，底边长为2， 设边上的高为h， ， ， 故答案为：6； （3）， 故答案为：； （4）当时，， 当时，， 当底边长由变化到时，三角形的面积从变化到， 故答案为：9，36． 期末考向四：用图象表示变量之间的关系 重点考点讲练04：用图象表示变量之间的关系 【母题精讲】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． (1)在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； (2)林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； (3)若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【答案】(1)自变量：小球滑行的时间，因变量：小球滑行的速度 (2)①4；②当小球的滑行时，小球的速度为 (3)不能，理由见解析 【思路点拨】本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程． （1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②由可知，，用时，所以点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与20比较即可． 【规范解答】（1）解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． 故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度． （2）解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， 小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ② ， ，则用时， 点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为； （3）解：由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了， 故段的． 第一次在段运动时的路程． ， 达不到斜板顶端． 【训练1】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离（千米）与时间（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题： (1)在这个变化过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)货车在乙地卸货停留了多长时间？ 【答案】(1)时间是自变量，货车距乙地的距离是因变量 (2)1小时 【思路点拨】本题考查了自变量与因变量、从函数图象中获取信息，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据自变量和因变量的概念并结合题意即可得出答案； （2）由函数图象即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意得：时间x是自变量，货车距乙地的距离y是因变量． （2）解：由图象可得：（小时）， 答：货车在乙地卸货停留了1小时． 【训练2】（23-24七年级下·山东枣庄·期末）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； (2)小明从家到学校的路程共______米，小明共用了______分钟； (3)小明修车用了______分钟； (4)小明修车以前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)离家时间，离家距离 (2)2000，20 (3)5 (4)小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【思路点拨】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）所给图象中横轴为自变量，纵轴为因变量； （2）根据图象中的数据可直接得出答案； （3）根据图象中的数据可直接得出答案； （4）根据速度等于路程除以时间求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：自变量是离家时间，因变量是离家的距离； （2）解：由图图象可得：小明从家到学校的路程共2000米；小明共用了20分钟； （3）解：由图象可得：从第10分钟开始到15分钟在修车，故小明修车用了5分钟， （4）解：由图象可得，小明修车前的速度为：（米/分钟）； 小明修车后的速度为：（米/分钟）． 即小明修车前的速度为100米/分钟，小明修车后的速度为200米/分钟． 【训练3】（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：    (1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒； (2)a表示的数字是____________； (3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米． 【答案】(1)6，2 (2)小明和妈妈相遇时距起点的距离 (3)小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米 【思路点拨】（1）小明在前70秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离除以所用时间即可； （2）两图象的交点处表示两人相遇．因此，表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离； （3）两人有可能三次相距60米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后且、时，分别讨论计算即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米， 小明前70秒的速度是（米秒）． 妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是（米， 妈妈的速度是（米秒）． 故答案为：6，2． （2）解：两图象的交点处表示两人相遇， 表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离． 故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离． （3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． 当时，设小明距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为． ①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得 ，解得； ②在第一次相遇后且，当两人第二次相距60米时，得 ，解得． ③当时，两人第三次相距60米时，得 ，解得． 综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米． 中档题—夯实基础能力 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 【答案】D 【思路点拨】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【规范解答】解：观察图象得：期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态， 因此实际骑行时间为，故A选项错误，不符合题意； 内，小王派送快递的平均速度是，故B选项错误，不符合题意； 小王派送快递的平均速度是， 小王派送快递的平均速度是， 因为， 所以小王骑行的平均速度比快，故C选项错误，不符合题意； 点表示小王出发，共骑行，故D选项正确，符合题意； 故选D． 2．（22-23七年级下·宁夏银川·期末）灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 【答案】D 【思路点拨】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可． 【规范解答】解：A、在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费，故本选项叙述正确，不符合题意； B、所缴电费随用电量的增加而增加，故本选项叙述正确，不符合题意； C、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，故本选项叙述正确，不符合题意； D、若用电量为5千瓦∙时，则应缴电费元，故本选项叙述错误，符合题意． 故选：D． 3．（22-23七年级下·四川达州·期末）表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系： 40 50 60 80 100 25 30 35 45 55 用关系式表示y与x的这种关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了函数的表示法，分析表格中的数据得出x每增加10，y增加5，从表格中的数据得出规律，求出函数解析式即可． 【规范解答】解：由表格中的数据可知，当x每增加10，y增加5， ∵， ， ， ， ， ∴． 故选：D． 4．（23-24七年级下·广东清远·期末）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 【答案】 【思路点拨】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【规范解答】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以． 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料的导热率与温度的关系如下表： 温度 … 100 150 200 250 … 导热率 … 0.15 0.2 0.25 0.3 … 当温度为时，该材料的导热率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了列表法表示函数和常量与变量，利用表中数据分析和判断即可，认真分析表中数据，提取正确信息是求解本题的关键． 【规范解答】解：由表中数据知，温度每增加，导热率就增加， ∴当温度为时，该材料导热率为， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·北京西城·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：用式子表示与的关系为 ． 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 2 5 … 【答案】 【思路点拨】本题考查了用关系式表示变量间关系，根据表可得与的关系，，据此即可求解，由表中数据得出与的函数关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴与成反比例函数关系，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 【思路点拨】本题主要考查代数式： （1）根据常量和变量的定义即可求得答案； （2）根据表格数据可知，每分钟放水立方米； （3）根据题意，得，求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：常量：每分钟的放水量． 变量：放水时间，水池中剩余水量． （2）∵表格数据可知，每分钟放水立方米，且原本有50立方米的水， ∴． （3）根据题意，得 ． 解得 ． 答：当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 8．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 【答案】(1)剩下的圆环面积 (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，因变量的定义： （1）根据圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，可得因变量是剩下的圆环面积； （2）用大圆面积减去挖去的小圆面积即可得到答案； （3）把代入（2）中所求关系式中求出y的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小， ∴因变量是剩下的圆环面积； 故答案为：剩下的圆环面积； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）把代入中得：， ∴剩下的圆环面积为． 9．（23-24七年级下·全国·期末）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费（元）与印刷数量（张）之间的关系如表： 印刷数量（张） 收费（元） (1)上表反映了 和 之间的关系，自变量是 ，因变量是 (2)从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而 (3)若要印制张宣传单，收费 元 【答案】(1)印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费 (2)增加 (3)150 【思路点拨】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【规范解答】（1）解：根据表格中的数据变化可得： 上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张的费用为：（元）， 故答案为：150． 10．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 【答案】(1)距离与时间，超市离家900米 (2)20分钟，35分钟 (3)在超市购物或休息 (4)45米/分钟，60米/分钟 【思路点拨】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象横纵坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据纵轴和横轴，知图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系，显然超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟，小明从超市回到家花了15分钟； （3）这一段时间内表明离家的距离没有变化，因此可能是在超市购物，也可能是在休息（只要合理即可）； （4）根据速度路程时间进行计算． 【规范解答】（1）解：由图可知，图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系；超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟；返回用了分钟，往返共用了分钟； （3）小明离家出发后20分钟到30分钟可以在超市购物或休息； （4）小明到超市的平均速度是米/分钟； 返回的平均速度是米/分钟． 压轴题—强化解题技能 11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表，以下说法错误的是（    ） 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 A．在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量 B．随的增大而增大 C．当刹车时车速为时，刹车距离是 D．在限速的高速公路上，最大刹车距离为 【答案】C 【思路点拨】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可得刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：在变化中，刹车时车速是自变量，刹车距离是因变量，故A正确，不符合题意； 由表格可得：随的增大而增大，当刹车时车速每增加，刹车距离增加，故B正确，不符合题意； 当刹车时车速为时，刹车距离是，故C错误，符合题意； 在限速的高速公路上，最大刹车距离为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 12．（22-23七年级下·山东菏泽·期末）探究小组的同学在做“测量小车从不同高度下滑的时间”的实验时，得到如下数据： 支撑物高度（单位：厘米） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 小车下滑时间（单位：秒） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 根据实验数据，判断下列说法正确的是（    ） A．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.45秒 B．支撑物的高度每增加，小车下滑的时间都将减少0.09秒 C．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.35秒 D．当支撑物的高度为时，小车下滑的时间可能为1.30秒 【答案】C 【思路点拨】由表格法表示的函数中获取信息，再逐一分析可得答案． 【规范解答】解：由表格信息可得：随支撑物的高度逐渐升高，小车下滑的时间逐渐减少，而，故A错误，不符合题意； B、支撑物的高度每增加， 小车下滑的时间减少的值不确定，故B错误，不符合题意； ∵由表格信息可得：； ∴， ∴， ∴C正确，符合题意，D错误，不符合题意； 故选：C． 13．（21-22七年级下·山西运城·期末）为预防新冠肺炎，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量y（mg）和时间x（min）的数据如表： 时间x（min） 2 4 6 8 含药量y（mg） 16 14 12 10 则下列叙述错误的是（    ） A．时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为4mg B．在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小 C．挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg D．室内每立方米空气中的含药量是自变量 【答案】D 【思路点拨】根据表中数据表示出函数的解析式以及表格，两个变量之间的变化关系即可正确解答本题． 【规范解答】解：根据表格数据可以得出两个变量的关系式为y＝−x＋18， A、当x＝14min时，y＝−14＋18＝4mg，故选项不符合题意； B、在一定范围内，燃烧时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小，故选项不符合题意； C、挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg，故选项不符合题意； D、因为室内每立方米空气中的含药量随时间的变化而变化，所以时间是自变量，每立方米空气中的含药量是时间的函数，故选项符合题意． 故选：D． 14．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列函数关系式，根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可，熟练掌握由题意列出函数关系式是解题的关键． 【规范解答】由题意得：， 故答案为：． 15．（22-23七年级下·广东河源·期末）某市区出租车的收费标准是起步价元（行程小于或等于千米），超过千米每增加千米（不足千米按千米计算）加收元，则出租车费（元）与行程（千米）（）之间的关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】根据出租车的收费标准，用含有的代数式表示车费即可． 【规范解答】解：由题意可知， 当时， ， 故答案为：． 16．（21-22七年级下·广东深圳·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过立方米时，水价为每立方米元；超过立方米时，超出部分按每立方米元收费，该市每户居民月份用水立方米，应交水费元，则与的关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】根据用水不超过立方米的收费标准、用水超过立方米时的收费标准分别得出与的函数关系式，然后根据确定与的关系式即可 【规范解答】解：由题意可得：每户每月应交水费元与用水量立方米之间的函数关系式为 ， 因为月份用水量为立方米，应交水费元，则关于的函数表达式为； 故答案为：． 17．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【思路点拨】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离 ， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离 ， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离 ， 小明离家的时间时，小明离家的距离 ， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离 ， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离 ， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 18．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点D在斜边上，，设，．    (1)根据表格的数据，猜想y与x的数量关系为：______________ x 20 40 60 80 … y 10 20 30 40 … (2)在图1的条件下，点E在边上，且，如图2．求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角并结合三角形的内角和定理表示和的度数是本题的关键． （1）先根据等边对等角可得，再根据三角形的内角和定理可得的度数，从而可得； （2）先根据直角三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质和角的差可得结论． 【规范解答】（1）解：猜想，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，中，， ， ， ， ． 19．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水量为立方米，换水时关闭进水口打开排水口，以每小时立方米的速度将水放出．当放水时间增加时，游泳池的存水量随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 (1)在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)打开排水口后，经过多长时间，游泳池的存水量是立方米？ 【答案】(1)自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量 (2)表格见解析 (3)小时 【思路点拨】本题考查函数关系式， （1）根据自变量和因变量即可解答； （2）根据“游泳池的存水换水前存水放水速度×放水时间”即可解答； （3）根据“（换水前存水游泳池的存水）放水速度放水时间”即可解答； 理解题意，找准等量关系式是解题关键． 【规范解答】（1）解：由题意可知，自变量是放水时间，因变量是游泳池的存水量； （2）当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 当放水小时时，游泳池的存水为：（立方米）， 表格如下： 放水时间/小时 游泳池的存水量/立方米 （3）（小时）， ∴当放水时间为小时时，游泳池的存水量为立方米． 20．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）五一期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升．（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的） (1)求该车平均每千米的耗油量，并写出剩余油量（升）与行驶路程（千米）的关系式； (2)当千米时，求剩余油量的值． 【答案】(1)每千米耗油量为升； (2)升 【思路点拨】本题考查了用关系式表示变量间的关系，读懂题中变量间的关系是解题的关键． （1）根据平均每千米的耗油量总耗油量行驶路程，即可得出该车平均每千米的耗油量，再根据剩余油量总油量平均每千米的耗油量行驶路程，即可得出关于的关系式； （2）将代入（1）中关系式，求出值即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，汽车行驶150千米时，耗油量为升 则该车平均每千米的耗油量为（升） 答：该车平均每千米的耗油量为升，剩余油量与行驶路程的关系式为． （2）解：由（1）可知， 则当时， 答：当千米时，剩余油量的值为升． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$