第5章 图形的轴对称（思维导图+知识梳理+易错点拨+12大考点讲练+优选真题难度分层练 共56题）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末培优知识讲练【2024新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第5章 图形的轴对称 （思维导图+知识梳理+易错点拨+12大考点讲练+优选真题难度分层练 共56题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：轴对称 2 知识点梳理02：作轴对称图形 3 知识点梳理03：等腰三角形 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：轴对称图形与轴对称的混淆 5 易错知识点02：对称轴数量判断错误 5 易错知识点03：等腰三角形性质的应用错误 5 易错知识点04：垂直平分线与角平分线混淆 5 易错知识点05：坐标系中对称点的坐标变换错误 6 易错知识点06：折叠问题中的隐藏条件遗漏 6 易错知识点07：轴对称图形的判定误区 6 易错知识点08：典型例题易错分析 6 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：轴对称及其性质 6 重点考点讲练01：轴对称图形的识别 6 重点考点讲练02：根据成轴对称图形的特征进行判断 7 重点考点讲练03：折叠问题 8 重点考点讲练04：画轴对称图形 9 重点考点讲练05：设计轴对称图案 10 期末考向二：简单的轴对称图形 11 重点考点讲练06：等边对等角 11 重点考点讲练07：三线合一 12 重点考点讲练08：线段垂直平分线的性质 13 重点考点讲练09：作已知线段的垂直平分线 14 重点考点讲练10：角平分线的性质定理 16 重点考点讲练11：作角平分线(尺规作图) 17 重点考点讲练12：最短路径问题 18 优选真题难度分层练 19 中档题—夯实基础能力 19 压轴题—强化解题技能 23 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 【易错点剖析】成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 【易错点剖析】 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【易错点剖析】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 3.角平分线 角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 【易错点剖析】前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 知识点梳理02：作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 知识点梳理03：等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 【易错点剖析】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 【易错点剖析】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 【易错点剖析】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 易错知识点01：轴对称图形与轴对称的混淆 易错点：将“轴对称图形”（一个图形自身对称）与“轴对称”（两个图形之间的对称关系）混淆。 示例： 错误：认为“两个全等三角形一定是轴对称的”。 正确：两个全等三角形需满足沿某条直线折叠后能重合，才成轴对称，否则可能仅是平移或旋转关系。 易错知识点02：对称轴数量判断错误 常见图形的对称轴数目： 线段：2条（线段本身所在的直线 + 垂直平分线）。 角：1条（角平分线所在直线）。 圆：无数条（任何过圆心的直线）。 正多边形：对称轴数 = 边数（如正五边形5条，正六边形6条）。 易错点： 误判线段的对称轴仅有垂直平分线，漏掉线段自身所在直线。 混淆正多边形对称轴数量（如将正三角形对称轴数误认为1条而非3条）。 易错知识点03：等腰三角形性质的应用错误 三线合一性质：等腰三角形底边的高、中线、顶角平分线重合。 易错点： 在证明题中未明确区分“高”“中线”“角平分线”的不同作用，导致逻辑混乱。 忽略“等边对等角”性质（底角相等），误用直角三角形性质解题。 易错知识点04：垂直平分线与角平分线混淆 性质对比： 垂直平分线：线上任意点到线段两端距离相等。 角平分线：线上任意点到角两边距离相等。 易错点： 在求最短路径问题（如“将军饮马”）中，错误选择角平分线而非垂直平分线作对称轴。 混淆两种性质的应用场景（如用垂直平分线性质解决角平分线问题）。 易错知识点05：坐标系中对称点的坐标变换错误 规律： 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反（如点(2,3)(2,3)(2,3)→(2,−3)(2,-3)(2,−3)）。 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反（如点(2,3)(2,3)(2,3)→(−2,3)(-2,3)(−2,3)）。 易错点： 变换符号时方向错误（如将关于x轴对称的纵坐标写成正数）。 多步对称变换中叠加错误（如先关于x轴再关于y轴对称，结果应为(−2,−3)(-2,-3)(−2,−3)，但误写成(2,−3)(2,-3)(2,−3)）。 易错知识点06：折叠问题中的隐藏条件遗漏 折叠本质：折痕是对称轴，折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等。 易错点： 未利用“对应点连线被对称轴垂直平分”的性质，导致无法找到关键等量关系。 忽略折叠后重合的边或角，直接使用原图形数据解题。 易错知识点07：轴对称图形的判定误区 错误理解： 认为“两个角相等的三角形是等腰三角形或直角三角形”（实际仅等腰三角形）。 误判组合图形的对称轴数量（如将长方形与圆组合后的对称轴数简单相加，忽略重叠部分）。 易错知识点08：典型例题易错分析 例题：如图，将长方形沿EF折叠，点D落在D'，判断EF是否为对称轴。 错误解法：直接认为EF是对称轴，忽略需验证对应点连线是否被EF垂直平分。 正确思路：需证明EF垂直平分DD'和CC'，并确认折叠后图形全等。 期末考向一：轴对称及其性质 重点考点讲练01：轴对称图形的识别 【母题精讲】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【训练1】（22-23七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    【训练2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）在“线段、圆、等边三角形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为 ． 重点考点讲练02：根据成轴对称图形的特征进行判断 【母题精讲】（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称． (1)线段AD的对称线段是________，CD＝________，∠CBA＝________，∠ADC＝________． (2)AE与BF平行吗？为什么？ (3)若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？ 【训练1】（21-22七年级下·重庆·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【训练2】（22-23七年级下·广东清远·期末）下列说法不正确的是 （    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C．圆有无数条对称轴 D．等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线 重点考点讲练03：折叠问题 【母题精讲】（21-22七年级上·湖北武汉·期末）将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C 落在点 B 处，得到折痕AP 后展开纸片；（2）如图②，将对折，点 B 落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图③，将对折，点C落在折痕上的点C处，得到折痕，则 ° ． 【训练1】（20-21七年级下·江苏南京·期中）中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P，当中有两个角相等时，的度数为 ．    【训练2】（22-23七年级下·江苏·期末）在中，，，点D是边上一点，过点D将折叠，使点C落在下方的点处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，的度数为 ．    重点考点讲练04：画轴对称图形 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有直线l和线段（点A、点B在格点上）． (1)作出线段关于直线l对称的线段； (2)请在直线l上找到一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不写作法）． 【训练1】（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【训练2】（21-22七年级上·上海普陀·期末）如图，已知四边形ABCD和直线MN． (1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称； (2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称； (3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 　　． 重点考点讲练05：设计轴对称图案 【母题精讲】（2023·江苏扬州·三模）如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ． 【训练1】（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．      A．涂黑一个        B．涂黑一个         C．涂黑两个 【训练2】（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）如果小球在如图所示的方格上自由滚动，并随机停留在方格的某处，请你用阴影设计两种不同的轴对称图形图案，使小球在上面自由滚动时停留在阴影部分的概率是． 期末考向二：简单的轴对称图形 重点考点讲练06：等边对等角 【母题精讲】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在等腰中，，点D是线段上一点，过点D作交于点E，且，，则（     ） A． B． C． D． 【训练1】（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，过的中点作的垂线，交直线于点，若，则 °． 【训练2】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 重点考点讲练07：三线合一 【母题精讲】（21-22八年级上·湖南娄底·期末）如图，点C在线段上，平分． (1)证明：； (2)若，求的面积． 【训练1】（20-21七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为 ． 【训练2】（20-21八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为 ． 重点考点讲练08：线段垂直平分线的性质 【母题精讲】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 【训练1】（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（    ） A．18 B．14 C．17 D．19 【训练2】（19-20八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为 ． 重点考点讲练09：作已知线段的垂直平分线 【母题精讲】（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知等腰顶角．    (1)在上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）． (2)求证：是等腰三角形． 【训练1】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）作图题： 金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．    【训练2】（20-21七年级下·山东济南·期末）在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，求证：； （3）当是等腰三角形时，请直接写出所有可能的与的数量关系． 重点考点讲练10：角平分线的性质定理 【母题精讲】（22-23八年级上·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D． 故选：B． 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 【训练2】（20-21八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 重点考点讲练11：作角平分线(尺规作图) 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： (1)以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； (2)以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； (3)以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为 ． 【训练1】（20-21七年级下·广东佛山·期末）解答下列问题 （1）如图1，使用角尺这个工具，可以画出角平分线．做法如下：已知∠AOB，在边OA、边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，此处用到三角形全等的判定方法是_______________． （2）①如图2，在△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上的一点，点E是AB的中点．利用尺规作图作∠DAB的平分线AM，连接CE并延长交AM于点F．（要求：在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法） ②试猜想AF与BC有怎样的关系，并说明理由． 【训练2】（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，． （1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．） （2）根据要求用尺规作图：作出点到边的距离；（不写作法，只保留作图痕迹．） （3）在（1）（2）的条件下，，求的面积． 重点考点讲练12：最短路径问题 【母题精讲】（21-22七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ． 【训练1】（20-21七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【训练2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）下列图形中，为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，点在长方形纸片的边上，将纸片沿折叠，点A落在处．若，则 ． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 6．（24-25七年级上·陕西安康·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为 °． 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 8．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 9．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 10．（23-24七年级上·广东广州·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点在边上，点在边上，如图所示． (1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则____________； (2)若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处； ①当点共线时，如图2，求的度数； ②当点不共线时： 如图3，若，求的度数； 如图4，设，直接写出满足的关系式． 压轴题—强化解题技能 11．（20-21七年级下·山东菏泽·期末）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（　　） ①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 12．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（20-21七年级下·重庆北碚·期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 16．（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm． 17．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．    (1)格点（顶点均在格点上）的面积＝ ； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在上画出点P，使最小． 18．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，在长方形中，，点在边上运动，连接，点关于直线的对称点为．    (1)点落在边上，求线段的长； (2)点落在线段上，求线段的长； (3)当点运动到点时，连接．请问是否与平行？若平行，请加以证明，若不平行，请说明理由． 19．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 20．（21-22七年级下·湖北随州·期末）完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（              ）， 又∵（已知）， ∴， ∴______， ∵（已知）， ∴______， 又∵平分（已知）， ∴______（    ）， 又∵平分（已知）， ∴______， ∴（______+______）， ∴， ∴， 即． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习知识串讲（优等生培优版）【2024新教材】 第5章 图形的轴对称 （思维导图+知识梳理+易错点拨+12大考点讲练+优选真题难度分层练 共56题） 讲义简介 2 思维导图指引 2 章节知识回顾梳理 2 知识点梳理01：轴对称 2 知识点梳理02：作轴对称图形 3 知识点梳理03：等腰三角形 4 易错考点点拨汇总 5 易错知识点01：轴对称图形与轴对称的混淆 5 易错知识点02：对称轴数量判断错误 5 易错知识点03：等腰三角形性质的应用错误 5 易错知识点04：垂直平分线与角平分线混淆 5 易错知识点05：坐标系中对称点的坐标变换错误 6 易错知识点06：折叠问题中的隐藏条件遗漏 6 易错知识点07：轴对称图形的判定误区 6 易错知识点08：典型例题易错分析 6 期末真题考点汇编讲练 6 期末考向一：轴对称及其性质 6 重点考点讲练01：轴对称图形的识别 6 重点考点讲练02：根据成轴对称图形的特征进行判断 8 重点考点讲练03：折叠问题 10 重点考点讲练04：画轴对称图形 13 重点考点讲练05：设计轴对称图案 17 期末考向二：简单的轴对称图形 19 重点考点讲练06：等边对等角 19 重点考点讲练07：三线合一 24 重点考点讲练08：线段垂直平分线的性质 26 重点考点讲练09：作已知线段的垂直平分线 30 重点考点讲练10：角平分线的性质定理 33 重点考点讲练11：作角平分线(尺规作图) 35 重点考点讲练12：最短路径问题 40 优选真题难度分层练 43 中档题—夯实基础能力 43 压轴题—强化解题技能 50 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，全章节知识点梳理，易错点考点点拨，期末真题考点汇编讲练，优选题难度分层训练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 【易错点剖析】成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 【易错点剖析】 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【易错点剖析】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 3.角平分线 角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上. 【易错点剖析】前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 知识点梳理02：作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 知识点梳理03：等腰三角形 1.等腰三角形 　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 【易错点剖析】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ． （2）等腰三角形性质 　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）. 【易错点剖析】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 【易错点剖析】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包 括等边三角形． （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 易错知识点01：轴对称图形与轴对称的混淆 易错点：将“轴对称图形”（一个图形自身对称）与“轴对称”（两个图形之间的对称关系）混淆。 示例： 错误：认为“两个全等三角形一定是轴对称的”。 正确：两个全等三角形需满足沿某条直线折叠后能重合，才成轴对称，否则可能仅是平移或旋转关系。 易错知识点02：对称轴数量判断错误 常见图形的对称轴数目： 线段：2条（线段本身所在的直线 + 垂直平分线）。 角：1条（角平分线所在直线）。 圆：无数条（任何过圆心的直线）。 正多边形：对称轴数 = 边数（如正五边形5条，正六边形6条）。 易错点： 误判线段的对称轴仅有垂直平分线，漏掉线段自身所在直线。 混淆正多边形对称轴数量（如将正三角形对称轴数误认为1条而非3条）。 易错知识点03：等腰三角形性质的应用错误 三线合一性质：等腰三角形底边的高、中线、顶角平分线重合。 易错点： 在证明题中未明确区分“高”“中线”“角平分线”的不同作用，导致逻辑混乱。 忽略“等边对等角”性质（底角相等），误用直角三角形性质解题。 易错知识点04：垂直平分线与角平分线混淆 性质对比： 垂直平分线：线上任意点到线段两端距离相等。 角平分线：线上任意点到角两边距离相等。 易错点： 在求最短路径问题（如“将军饮马”）中，错误选择角平分线而非垂直平分线作对称轴。 混淆两种性质的应用场景（如用垂直平分线性质解决角平分线问题）。 易错知识点05：坐标系中对称点的坐标变换错误 规律： 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取反（如点(2,3)(2,3)(2,3)→(2,−3)(2,-3)(2,−3)）。 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标取反（如点(2,3)(2,3)(2,3)→(−2,3)(-2,3)(−2,3)）。 易错点： 变换符号时方向错误（如将关于x轴对称的纵坐标写成正数）。 多步对称变换中叠加错误（如先关于x轴再关于y轴对称，结果应为(−2,−3)(-2,-3)(−2,−3)，但误写成(2,−3)(2,-3)(2,−3)）。 易错知识点06：折叠问题中的隐藏条件遗漏 折叠本质：折痕是对称轴，折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等。 易错点： 未利用“对应点连线被对称轴垂直平分”的性质，导致无法找到关键等量关系。 忽略折叠后重合的边或角，直接使用原图形数据解题。 易错知识点07：轴对称图形的判定误区 错误理解： 认为“两个角相等的三角形是等腰三角形或直角三角形”（实际仅等腰三角形）。 误判组合图形的对称轴数量（如将长方形与圆组合后的对称轴数简单相加，忽略重叠部分）。 易错知识点08：典型例题易错分析 例题：如图，将长方形沿EF折叠，点D落在D'，判断EF是否为对称轴。 错误解法：直接认为EF是对称轴，忽略需验证对应点连线是否被EF垂直平分。 正确思路：需证明EF垂直平分DD'和CC'，并确认折叠后图形全等。 期末考向一：轴对称及其性质 重点考点讲练01：轴对称图形的识别 【母题精讲】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【思路点拨】根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，对选项进行分析判断即可． 【规范解答】解：选项、、中的图形都能找到对称轴，使得对称轴两旁的部分能够相互重合，都是轴对称图形，选项中的图形，没有对称轴可以使对称轴两旁的部分能够相互重合，不是轴对称图形， 故选：． 【考点点拨】本题考查轴对称图形，解答本题的关键是明确轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【训练1】（22-23七年级下·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．    【答案】2 【思路点拨】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【规范解答】解：如图所示，      即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【训练2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）在“线段、圆、等边三角形”中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的为 ． 【答案】线段、圆 【思路点拨】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【规范解答】线段和圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形， 故答案为：线段、圆． 重点考点讲练02：根据成轴对称图形的特征进行判断 【母题精讲】（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称． (1)线段AD的对称线段是________，CD＝________，∠CBA＝________，∠ADC＝________． (2)AE与BF平行吗？为什么？ (3)若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？ 【答案】(1)EH，GH，∠GFE，∠EHG (2)，原因见解析 (3)不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线 【思路点拨】（1）根据对称的性质解答即可； （2）对称图形的每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，据此求解； （3）根据平面内两条直线的位置关系可回答． 【规范解答】（1）解：由对称的性质可知：线段AD的对称线段是EH，CD＝GH，，． 故答案为：EH，GH，∠GFE，∠EHG； （2）解：． 理由：因为每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分， 即，， 所以； （3）解：由，不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线． 【训练1】（21-22七年级下·重庆·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查成轴对称的性质，根据成轴对称的性质，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，垂直平分， ∴， 故选项A，B，C正确，不符合题意； 不一定平行，故选项D不一定正确，符合题意； 故选：D． 【训练2】（22-23七年级下·广东清远·期末）下列说法不正确的是 （    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C．圆有无数条对称轴 D．等腰三角形的对称轴是底角平分线所在直线 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质，轴对称的性质，由题意根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质一一判断即可． 【规范解答】解：．角平分线上的点到这个角两边的距离相等是角平分线的性质，说法正确，故该选项不符合题意； ．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是线段的垂直平分线的性质，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴，说法正确，故该选项不符合题意； ．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线，而不是底角的平分线所在的直线，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 重点考点讲练03：折叠问题 【母题精讲】（21-22七年级上·湖北武汉·期末）将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C 落在点 B 处，得到折痕AP 后展开纸片；（2）如图②，将对折，点 B 落在折痕上的点处，得到折痕；（3）如图③，将对折，点C落在折痕上的点C处，得到折痕，则 ° ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查折叠的性质，补角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到，，求出，即可得到答案． 【规范解答】解：根据折叠的性质得到， ， ， ， ． 故答案为：． 【训练1】（20-21七年级下·江苏南京·期中）中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P，当中有两个角相等时，的度数为 ．    【答案】或或； 【思路点拨】分，，三类讨论结合折叠的性质及三角形内角和定理即可得到答案； 【规范解答】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ②当时 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ③当时 ∵， ∴ ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； 综上所述答案为：或或； 【训练2】（22-23七年级下·江苏·期末）在中，，，点D是边上一点，过点D将折叠，使点C落在下方的点处，折痕与交于点E，当与的一边平行时，的度数为 ．    【答案】或 【思路点拨】需要分两种情况讨论：①当时；②当时．可先求得的度数，然后求得的度数，利用三角形内角和，即可求得答案． 【规范解答】解：①当时． 由轴对称图形的性质可知 ，． ， ． ． ． ． ． ． ②当时． 由轴对称图形的性质可知 ，． ， ． ． ． ． ． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 重点考点讲练04：画轴对称图形 【母题精讲】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有直线l和线段（点A、点B在格点上）． (1)作出线段关于直线l对称的线段； (2)请在直线l上找到一点P，使点P到点A、B的距离之和最短（不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了作图−轴对称变换，最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用网格特点和对称的性质作出A、B关于直线l的对称点、即可； （2）连接交直线l于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 【训练1】（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中． (1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形； (2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形； (3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． （1）把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形中心对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称图形；根据上述性质，即可拼接组成图形； （2）结合（1）即可拼接组成图形； （3）结合（1）即可拼接组成图形． 【规范解答】（1）解：如图1所示： （2）解：如图2所示： （3）解：如图3所示： 【训练2】（21-22七年级上·上海普陀·期末）如图，已知四边形ABCD和直线MN． (1)画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称； (2)画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称； (3)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系是 　　． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)关于直线成轴对称． 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质即可画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1与四边形ABCD关于直线MN成轴对称； （2）根据中心对称性质即可画出四边形A2B2C2D2，使四边形A2B2C2D2与四边形ABCD关于点O成中心对称； （3）结合以上画图确定四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的位置关系即可． 【规范解答】（1）解：如图，A1B1C1D1即为所求； （2）解：如图，A2B2C2D2即为所求； （3）解：如图可知: 四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2关于直线CO成轴对称． 故答案为：关于直线CO成轴对称． 重点考点讲练05：设计轴对称图案 【母题精讲】（2023·江苏扬州·三模）如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了轴对称图形的概念，根据概率公式求概率，根据白色的小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，结合概率公式计算即可得出答案． 【规范解答】解：如图， ∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况， ∴使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：． 故答案为：． 【训练1】（23-24七年级下·甘肃白银·期末）在的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中按要求再涂黑一个（或两个）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．      A．涂黑一个        B．涂黑一个         C．涂黑两个 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查设计轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行作图即可． 【规范解答】解：答案不唯一，如下： A．涂黑一个，如图所示． B．涂黑一个，如图所示． C．涂黑两个，如图所示． 【训练2】（20-21七年级下·陕西宝鸡·期末）如果小球在如图所示的方格上自由滚动，并随机停留在方格的某处，请你用阴影设计两种不同的轴对称图形图案，使小球在上面自由滚动时停留在阴影部分的概率是． 【答案】见解析 【思路点拨】根据小球停留在阴影部分的概率是可得阴影部分的小正方形的个数为2，由此再作出轴对称图形即可． 【规范解答】解：如图： 期末考向二：简单的轴对称图形 重点考点讲练06：等边对等角 【母题精讲】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在等腰中，，点D是线段上一点，过点D作交于点E，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理及外角性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，，根据平行线的性质得出，继而得到，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出即可．掌握等腰三角形的性质及平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵在等腰中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【训练1】（22-23七年级下·四川成都·期末）在中，，过的中点作的垂线，交直线于点，若，则 °． 【答案】74或16 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观． 分是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论即可． 【规范解答】解：分两种情况： ①如果是锐角三角形，如图1， ， ， ， ， ， ； ②如果是钝角三角形，如图2， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：74或16． 【训练2】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 或 【思路点拨】（1）由及面积关系，即可求得； （2）由，得，由面积公式即可求得t的值； （3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点 A 作轴于 A， 使得 ，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点 B作轴于B，使得 连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标． 【规范解答】（1）解∶ ， ， 或（舍）， ； （2）解：由题意知：， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，； 轴⊥轴， ， ， ， 在中，， ， ， ； 在和中， ， ． ， ； ①当点N在上，且时， 则，且， ， ； ， ， ； ②过点 A 作轴于 A， 使得 连接， ，， ， ， ， ， 则 轴， ， ， ； ③过点 B作轴于B，使得 连接， 与②同理得：， 轴，  ， ； 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为或 或 ． 重点考点讲练07：三线合一 【母题精讲】（21-22八年级上·湖南娄底·期末）如图，点C在线段上，平分． (1)证明：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【思路点拨】（1）根据，可以得到，然后根据即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到的长，，再根据三角形的面积计算公式即可计算出的面积． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， 又∵平分， ∴， ∴垂直平分， ∵． ∴， ∴， 即的面积是12． 【训练1】（20-21七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，是边上的中线，的平分线交于点E，于点F，若，则的长度为 ． 【答案】5 【思路点拨】利用角平分线的性质定理解决问题即可． 【规范解答】解：∵AC＝AB，AD是中线， ∴AD⊥BC， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC， ∴ED＝， 故答案为：5． 【训练2】（20-21八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为 ． 【答案】14 【思路点拨】根据三角形的面积公式得到AD=14，由EF垂直平分AB，得到点A，B关于直线EF对称，于是得到AD的长度=PB+PD的最小值，即可得到结论． 【规范解答】解：∵AB=AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， 又∵BC=12，S△ABC=84， ∴×12×AD=84， ∴AD=14， ∵EF垂直平分AB， ∴PA=PB， ∴PB+PD=PA+PD， ∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD， 即AD的长度=PB+PD的最小值， ∴PB+PD的最小值为14， 故答案为：14． 重点考点讲练08：线段垂直平分线的性质 【母题精讲】（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识 ： （1）由“”可证，可得； （2）连接，证明；，得出是的垂直平分线，得出，故可得结论 【规范解答】（1）证明：∵于点D， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）证明：连接 ∵E在垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 【训练1】（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（    ） A．18 B．14 C．17 D．19 【答案】D 【思路点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，解答此题的关键是求出的周长．先根据线段垂直平分线的性质求出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【规范解答】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 故选：D． 【训练2】（19-20八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，是的平分线．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、三角形的面积．作点Q关于的对称点，连接，则，利用点到直线垂直线段最短可得出当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再利用面积法可求出的值，进而可得出的最小值． 【规范解答】解：点Q关于的对称点，连接，如图所示： ∵平分， ∴点在直线上，， ∴， ∴当，点P为与的交点时，取得最小值，最小值为． 在中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 重点考点讲练09：作已知线段的垂直平分线 【母题精讲】（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知等腰顶角．    (1)在上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑）． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路点拨】（1）作的垂直平分线交于； （2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再利用得到，所以，从而可判断是等腰三角形． 【规范解答】（1）解：如图，点为所作，    （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【训练1】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）作图题： 金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．    【答案】见解析 【思路点拨】以为圆心，适当长为半径画弧交直线于，分别以为圆心，长为半径画弧，交点为，连接，交直线于，连接，由线段垂直平分线的性质可得，则，点即为所求． 【规范解答】解：如图，点即为所求；        【训练2】（20-21七年级下·山东济南·期末）在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点． （1）如图1，若，，求的度数； （2）如图2，若，求证：； （3）当是等腰三角形时，请直接写出所有可能的与的数量关系． 【答案】（1）50°；（2）见解析；（3）、、 【思路点拨】（1）知道，，，分别为，的垂直平分线，用垂直平分线的性质可求； （2），分别为，的垂直平分线，可得，求出可证； （3）分别考虑AE=AG、、AG=GE时这三种情况即可． 【规范解答】（1），， ； ，分别为，的垂直平分线， ，， ，， ； （2）， ， ，分别为，的垂直平分线， ，， 在与中， （3）当是等腰三角形时 ①当AE=AG时， ∴∠AEG=∠AGE， ∵，， ∴， ∴ ②当时， ∴∠EAG=∠EGA， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴． ③当AG=GE时，同理可得 综上所述：、、． 重点考点讲练10：角平分线的性质定理 【母题精讲】（22-23八年级上·黑龙江伊春·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【规范解答】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 【训练1】（24-25七年级下·全国·期末）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G． (1)试说明：垂直平分； (2)若，请问满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路点拨】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定等知识点 （1）由题意，证明再证明，得到，且，即可推出结论； （2）由已知推出，证明再由三角形内角和推出，即可推出结论． 【规范解答】（1）证明：∵为的角平分线，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，且， ∴垂直平分． （2）当时，． 理由：当时，． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴当时，． 【训练2】（20-21八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 【答案】 【思路点拨】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案． 【规范解答】解：作于点， 射线是的角平分线， ，， ， 的面积． 故答案为：． 重点考点讲练11：作角平分线(尺规作图) 【母题精讲】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下： (1)以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别于，两点，连结； (2)以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点； (3)以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；若，，当为的平分线时，的度数为 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【思路点拨】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；分射线在的内部和外部两个情况求解即可． 【规范解答】（1） 解：． （2） 解：． （3）解：由作图可知，， 当射线在的内部时，如图： ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴； 如图，当射线在的外部时， ， ∵，， ∴， ∵为的平分线， ∴． 故答案为：或． 【训练1】（20-21七年级下·广东佛山·期末）解答下列问题 （1）如图1，使用角尺这个工具，可以画出角平分线．做法如下：已知∠AOB，在边OA、边OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线，此处用到三角形全等的判定方法是_______________． （2）①如图2，在△ABC中，AB＝AC，D是CA延长线上的一点，点E是AB的中点．利用尺规作图作∠DAB的平分线AM，连接CE并延长交AM于点F．（要求：在图中标明相应字母，保留作图痕迹，不写作法） ②试猜想AF与BC有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1）SSS；（2）①图见解析；②AF∥BC且AF＝BC，见解析 【思路点拨】（1）根据作法和全等三角形的判定SSS即可解答； （2）①根据角平分线的尺规作图的方法步骤作出角平分线即可；②先根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，结合三角形的外角性质得出∠FAB＝∠B，可判断AF∥BC，再根据线段中点定义和全等三角形的判定证明△AEF≌△BEC（ASA），进而可得出AF=BC即可． 【规范解答】解：（1）由作法可得：OD=OE，PD=PE，又OP=OP， ∴△OPD≌△OPE（SSS）， ∴∠POD=∠POE， ∴OP为∠AOB的平分线， 故答案为：SSS； （2）①如图所示：   ②AF∥BC且AF＝BC，理由如下：   ∵AM平分∠DAB， ∴∠FAB＝∠DAB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠DAB＝∠B＋∠ACB， ∴∠B＝∠DAB， ∴∠FAB＝∠B， ∴AF∥BC， ∵点E为AB中点， ∴AE＝BE， 在△AEF和△BEC中 ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）， ∴AF＝BC． 【训练2】（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，． （1）根据要求用尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，只保留作图痕迹．） （2）根据要求用尺规作图：作出点到边的距离；（不写作法，只保留作图痕迹．） （3）在（1）（2）的条件下，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【思路点拨】（1）根据要求作出图形即可． （2）过点D作DE⊥AB于E．证明DE=DC=2，可得结论． 【规范解答】解：（1）作图，射线AD即为所求作． （2）如图，线段DE即为所求. （3）过点D作DE⊥AB于E． ∵DC⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE=DC=2， ∴S△ABD=•AB•DE=×6×2=6． 重点考点讲练12：最短路径问题 【母题精讲】（21-22七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】4 【思路点拨】由线段垂直平分线的性质可得，可得当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为的长． 【规范解答】解：连接． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当点A，P，C在一条直线上时，有最小值，最小值为． 故答案为：4． 【训练1】（20-21七年级下·江苏盐城·期末）如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【思路点拨】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【规范解答】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【训练2】（20-21七年级上·浙江杭州·期末）如图，是平面内三点． （1）按要求作图：请先用铅笔作图，确认无误后，再用黑色水笔描深． ①作射线，过点作直线，使两点在直线两旁； ②过点作直线的垂线段，垂足为； ③点为直线上任意一点，点为射线上任意一点，连结线段． （2）在（1）所作图形中，若点到直线的距离为2，点到射线的距离为5，点、之间的距离为8，点之间的距离为6，则的最小值为__________，依据是___________． 【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）5，垂线段最短 【思路点拨】（1）①作射线BC，过点B作直线l，使A、C两点在直线l两旁即可； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P为直线l上任意一点，点Q为直线BC上任意一点，连接线段AP、PQ即可： （2）根据垂线段最短，即可求出AP+PQ的最小值． 【规范解答】解：如图所示， （1）①射线BC，直线l即为所求； ②过点A作AE⊥直线，垂足为E，则线段AE为所求； ③点P、Q、线段AP、PQ即为所求； （2）根据作图可知： 过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，与直线相交与点P， ∴AP+PQ的最小值即为点A到直线BC的距离为：AQ=5． 依据为：垂线段最短． 故答案为：5，垂线段最短． 中档题—夯实基础能力 1．（24-25七年级上·山东淄博·期末）下列关于体育运动的图标中，为轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【规范解答】解：A、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意； C、图标属于轴对称图形，故此选项符合题意； D、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）下列图形中，为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【规范解答】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，故此选项符合题意； C、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据内角和定理求得，由线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，点在长方形纸片的边上，将纸片沿折叠，点A落在处．若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平角的定义，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； 先利用平角定义可得，然后利用折叠的性质可得即可解答． 【规范解答】， ， 由折叠得：， 故答案为：50． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接，若，则的周长为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【规范解答】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：12． 6．（24-25七年级上·陕西安康·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为 °． 【答案】64 【思路点拨】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠的性质，角平分线的性质是解题的关键．根据、为折痕，可知、分别为的角平分线，由此即可求解． 【规范解答】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64． 7．（24-25七年级下·全国·期末）如图，这是由五个大小相同的小正方块拼凑而成的． (1)该图是轴对称图形吗？如果是，请画出对称轴． (2)若移动一个小方块重新拼凑成一个新的轴对称图形，共有几种方法（相同方法算一种）？请你画出图形和对称轴． 【答案】(1)是，图见详解； (2)有四种，图见详解． 【思路点拨】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，解答本题的关键是掌握轴对称的定义，难点在第二问，注意不要漏解． （1）根据轴对称图形的概念，可得此图为轴对称图形，然后画出对称轴即可． （2）只要满足移动之后是轴对称图形即可，注意不要遗漏． 【规范解答】（1）解：该图是轴对称图形，对称轴如图所示： （2）解：共有四种方法，如图所示： 8．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 【答案】，见解析 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，连接，先证，得到，结合角平分线性质求解即可得到证明； 【规范解答】证明：，证明： 连接， 在与中， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 9．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）根据线段垂直平线上的点，到线段两端的距离相等，可得，由等边对等角可得，根据三角形内角和定理，通过等量代换，即可求解， （2）设，则，在中，应该用勾股定理，即可求解， 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，解题的关键是：选择合适的直角三角形，应用勾股定理，进行求解． 【规范解答】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：， （2），，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即：， 解得， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·广东广州·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点在边上，点在边上，如图所示． (1)如图1，将彩带沿翻折，点落在处，若，则____________； (2)若将彩带沿同时向中间翻折，点落在处，点落在处； ①当点共线时，如图2，求的度数； ②当点不共线时： 如图3，若，求的度数； 如图4，设，直接写出满足的关系式． 【答案】(1)30 (2)①，② ， 【思路点拨】（1）先根据平角定义得出的度数，再根据翻折的性质即可得出的度数； （2）①根据翻折和共线找到求解即可． ②根据题意得到进行计算求解即可． 根据题意得到进行计算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①由翻折可得，， ∴， ② ， ， 由①可得：， 由①可得：，， ，， ’ ’ ’ 即． 压轴题—强化解题技能 11．（20-21七年级下·山东菏泽·期末）如图，AB⊥BC于点B，DC⊥BC于点C，DE平分∠ADC交BC于点E，点F为线段CD延长线上一点，∠BAF＝∠EDF，则下列结论正确的有（　　） ①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【思路点拨】①证明AB∥CD，可做判断； ②根据平行线的判定和性质可做判断； ③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE＝∠CDE，从而可做判断． 【规范解答】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， 故①正确； ②∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠BAF＝180°， ∵∠BAF＝∠EDF， ∴∠AFD+∠EDF＝180°， ∴AF∥DE， 故②正确； ③∵AF∥ED， ∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠DAF＝∠F， 故③正确； 故选：A． 12．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】由三个已知条件可得AB∥CD，从而①正确；由①及平行线的性质则可推得②正确；由条件无法推出AC∥BD，可知③错误；由及平分，可得∠ACP=∠E，得AC∥BD，从而由平行线的性质易得，即④正确． 【规范解答】∵平分，平分 ∴∠ACD=2∠ACP=2∠2，∠CAB=2∠1=2∠CAP ∵     ∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜ ∴ 故①正确 ∵ ∴∠ABE=∠CDB ∵∠CDB+∠CDF=180゜ ∴ 故②正确 由已知条件无法推出AC∥BD 故③错误 ∵，∠ACD=2∠ACP=2∠2 ∴∠ACP=∠E ∴AC∥BD ∴∠CAP=∠F ∵∠CAB=2∠1=2∠CAP ∴ 故④正确 故正确的序号为①②④ 故选：C． 13．（20-21七年级下·重庆北碚·期末）如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【思路点拨】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明； ③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明； ④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明． 【规范解答】解：①过点F作FH∥AB，如图： ∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH， ∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°， ∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确； ②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP， ∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1， ∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2， ∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°， 即2∠1=180°-2∠2-∠CGF， ∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF， ∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)， ∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF， ∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确； ③∵∠MGF＝2∠CGF， ∴∠MGC＝3∠CGF， ∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°； 3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确； ④∵∠MGF＝n∠CGF， ∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC， ∵∠AEF+∠CGF=90°， ∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确． 综上，①②③④都正确，共4个， 故选：A． 14．（22-23七年级下·广东清远·期末）如图，在中，，现将它们折叠，使点C与点B重合 ，为折痕，则 ． 【答案】/度 【思路点拨】此题考查了折叠的性质和等边对等角等知识，根据折叠得到，再由等边对等角即可得到． 【规范解答】解：由折叠可知，， ∵， ∴， 故答案为：， 15．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，翻折的性质，三角形外角性质．延长交于点G，根据三角形内角和定理可求出，由翻折的性质可知，，即得出，从而求出，由三角形外角性质结合三角形内角和定理即可得出，从而可求出． 【规范解答】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 故答案为： 16．（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm． 【答案】8 【思路点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答． 【规范解答】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， ∴，即， ∴，即 ∴． 故答案为：8． 17．（22-23七年级下·河南郑州·期末）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．    (1)格点（顶点均在格点上）的面积＝ ； (2)画出格点关于直线对称的； (3)在上画出点P，使最小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可； （2）先画出点A、B、C关于直线的对称点、、，连接即可得到； （3）根据抽对称、两点之间线段最短，连接和的交点P，使最小，即最小． 【规范解答】（1）， 故答案为：5 （2）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、，连接即可得到， 所作图形如图所示：    （3）如图所示：    连接和的交点即为点P，使最小 和关于直线对称，点P在上， ， 根据两点之间线段最短，连接和的交点P，使最小，即最小． 18．（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图，在长方形中，，点在边上运动，连接，点关于直线的对称点为．    (1)点落在边上，求线段的长； (2)点落在线段上，求线段的长； (3)当点运动到点时，连接．请问是否与平行？若平行，请加以证明，若不平行，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平行，理由见解析 【思路点拨】（1）由长方形的性质可得，由折叠的性质可得，因此可得，由此得为等腰直角三角形，于是可得的长. （2）根据折叠性质可得，，利用面积法可证得，则可得的长. （3）方法1：由长方形的性质和折叠的性质可得，由于两个三角形同底，因此它们的高相等，根据“平行线间的距离处处相等”，可得. 方法2：由长方形的性质和折叠的性质可得，再证，由三角形内角和定理和对顶角相等可得，则可得. 【规范解答】（1）解：如图1中，      ∵四边形是长方形， 点落在边上， 为等腰直角三角形， ． （2）如图2中，点落在线段上，      ，即点到的距离为2， ， ， ， ， 的高等于， ， ， . （3）如图3，方法1：长方形，      ， 又三角形沿对折， ，即， 与共底， 所以上的高相等，故过点的高等于过点的高， 即点与点到直线的距离相等， 又点与点在的同一侧， 故； 方法2：三角形沿对折， ， 又长方形， ， 为等腰三角形，   ， 又， ， ， 在和中，     ， 又 ， 19．（22-23七年级下·河北张家口·期末）如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．    (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找点P使最小，在图形上画出点P的位置； (3)在直线上找点Q使最大，直接写出这个最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；最大值为3 【思路点拨】（1）利用网格特点，先画出A、B、C关于直线的对称点、、，再顺次连接即可； （2）作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为点P； （3）由于，则，而由三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：即为所求作的三角形，如图所示：    （2）解：如图，作点C关于的对称点D，连接交于一点，该点即为所求作的点P；    ∵点C与D关于的对称， ∴， ∴， ∵，只有当点P、B、D三点共线时等号成立， ∴当点P、B、D三点共线时，最小，即最小； （3）解：先作出A关于直线的对称点，连接并延长交于一点，该点即为点Q，如图所示：    ∵， ∴， 根据三角形的三边关系可得，当Q、、B三点共线时取等号， ∴的最大值为． 20．（21-22七年级下·湖北随州·期末）完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（              ）， 又∵（已知）， ∴， ∴______， ∵（已知）， ∴______， 又∵平分（已知）， ∴______（    ）， 又∵平分（已知）， ∴______， ∴（______+______）， ∴， ∴， 即． 【答案】两直线平行，内错角相等；∠3+∠4；∠EFD；∠BEF；角平分线的性质；；∠BEF； 【思路点拨】根据平行线的性质，角平分线的性质，逐个进行分析填空即可． 【规范解答】解：证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴， ∴∠3+∠4， ∵（已知）， ∴∠EFD， 又∵平分（已知）， ∴∠BEF（角平分线的性质）， 又∵平分（已知）， ∴ ， ∴（∠BEF +）， ∴， ∴， 即． 故答案为：两直线平行，内错角相等；∠3+∠4；∠EFD；∠BEF；角平分线的性质；；∠BEF； 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$