精品解析：山东省淄博市第七中学2024-2025学年高一下学期4月阶段性检测数学试题

高一数学阶段性检测试题 命题人：王博 审核人：王坤 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分． 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 给出下列四个命题，正确的是（ ）． A. 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 7. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足＝λ，则当＝0时，λ的值所在的区间是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分． 9. 若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确是（ ） A. B. C. 若是纯虚数，则 D. 若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则 10. 若是函数图象一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数图象的一条对称轴 C. 点是函数图象一个对称中心 D. 函数在上单调递减 11. 已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（ ）. A. B. C. D. 点坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果一个水平放置图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________；原平面图形的周长是__________． 13. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的模是__________． 14. 定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝ (a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论： ①a⊗b＝b⊗a； ②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)； ③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c； ④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1. 以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 四、解答题：本题共5个小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，). （1）当时，用向量，表示向量； （2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值. 16. 如图，在平面四边形中，． （1）若，求； （2）若，求四边形面积． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，且．求： （1）求的值； （2）求三角函数式的取值范围． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求边上的中线长度的最小值； （3）若，，若为角平分线，求的长度． 19. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； （2）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，， ①求面积的最大值． ②求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学阶段性检测试题 命题人：王博 审核人：王坤 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分． 1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模及除法运算化简复数，即可得到复数对应点得解. 【详解】， 复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 给出下列四个命题，正确的是（ ）． A. 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件结合诱导公式进行角的变换，再利用二倍角公式计算作答. 详解】因，所以. 故选：B 4. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 分析】利用平面向量基本定理计算即可. 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有. 故选：A 5. 若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简函数，由，可得，根据题意，得到，即可求解. 详解】由题意，函数， 因为，可得， 要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则满足，解得， 所以取值范围为. 故选：B. 6. 下列命题中不正确的是（ ）． A. 在中，，则 B. 在锐角中，恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 7. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 8. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足＝λ，则当＝0时，λ的值所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，求出，，的值，结合平面向量的运算法则及，求得值后得答案. 【详解】在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2， 可得 所以，， 所以 又，所以 则 所以 代入可得： 即2λ2－7λ＋2＝0，解得(舍去)或. 故选：B 【点睛】本题考查了平面向量的加、减运算，平面向量的数量积运算等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分． 9. 若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是纯虚数，则 D. 若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的除法判断A选项；由共轭复数的概念和复数的乘法判断B选项；由纯虚数的定义判断选项C；由复数的几何意义计算后判断D选项. 【详解】解析对于A，，A错误； 对于B，∵，∴． 又， ∴，B正确； 对于C ∵为纯虚数，∴，解得，C正确； 对于D，由题意得，，∴， ∴，D错误． 故选：BC. 10. 若是函数图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数图象的一条对称轴 C. 点是函数图象的一个对称中心 D. 函数在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，代入化简可得的关系，对于B，求的值是否能取得最值，对于C，判断点是否在函数图象上即可，对于D，分和判断即可 【详解】对于A，因为是函数图象的一条对称轴，所以，所以，得，所以A正确， 对于B，由A选项可知，则，所以是函数图象的一条对称轴，所以B正确， 对于C，因为，所以点是函数图象的一个对称中心，所以C正确， 对于D，当时，，即，所以当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以D错误， 故选：ABC 11. 已知向量，将绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到的位置，则（ ）. A. B. C. D. 点坐标为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的夹角判断A，再由全等三角形可判断B，根据向量的数量积的定义判断C，根据向量的模相等判断D. 【详解】因为绕原点O旋转﹣30°，30°，60°到， 所以与的夹角为，故，A选项正确； 由题意知，,所以，即，故B正确； 因为,, 所以由数量积的定义知，故C正确； 若点坐标为，则，故D不正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是__________；原平面图形的周长是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出直观图中梯形的下底长，作出原图形，结合梯形的周长和面积公式可求得结果. 【详解】直观图中，梯形的下底长为， 作出原图形如下图所示： 由图可知，原图形为直角梯形，且该梯形的上底长为，下底长为，高为，， 因此，原图形的面积为.， 原图形的周长为. 故答案为：；. 13. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的模是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义可得，利用向量模的计算公式可得，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】依题意得，， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量的模是. 故答案为：. 14. 定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝ (a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论： ①a⊗b＝b⊗a； ②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)； ③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c； ④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1. 以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号) 【答案】①④ 【解析】 【详解】当共线时， 当不共线时，，故①正确； 当时，时，，，故②不正确； 当与共线时，则存在与不共线，则， ，显然，故③不正确； 当与不共线时， 当与共线时，设，，，故④正确， 故答案为①④ 点睛：本题考查了对新定义的理解和应用，难度较大，解题的关键是掌握向量的相关运算法则．对于①，分共线和不共线两种情况求出的结果，再与右边比较即可判断正确；对于②，同样分别算出和，比较即可，接下来利用同样的方法分析其他结论． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，). （1）当时，用向量，表示向量； （2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值. 【答案】（1）＋ （2）， 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算求解即可； （2）用向量，表示向量，应用数量积运算先求的最小值，即可求出. 【小问1详解】 解：因为当时，＝， 所以＝ (＋) ＝ [(－)＋(＋)] ＝ ＝＋ 【小问2详解】 因为＝(＋) ＝[(－)＋(＋)] ＝ ＝ ＝＋， 由于||＝2，，＝2，知||＝||＝2， ∴||2＝2＋2＋ ＝＝， 因为，所以当λ＝时，||2有最小值， 即||有最小值. 16. 如图，在平面四边形中，． （1）若，求； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接后由余弦定理与两角和的正弦公式求解 （2）由余弦定理与面积公式求解 【小问1详解】 连接，在中，， 且，，所以． 在中，由余弦定理得， 所以． 所以 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以四边形的面积为 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，且．求： （1）求的值； （2）求三角函数式的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】（1）∵，∴，根据正弦定理， 得， 又， ∴，∵，∴， 又∵，∴，． （2）原式 ， ∵,∴, ∴,∴, ∴的值域是． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求边上的中线长度的最小值； （3）若，，若为角平分线，求的长度． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理、中点向量公式，结合基本不等式求出最小值. （3）利用三角形面积公式列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得， 即，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得， ，当且仅当取等号，则，又， 因此， 所以当时，边上的中线取得最小值. 【小问3详解】 依题意，，，， 由，得， 则，解得， 所以的长度为. 19. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个： ①函数的最大值为2； ②函数的图象可由的图象平移得到； ③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式； （2）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，， ①求面积的最大值． ②求周长的取值范围． 【答案】（1）选①③，； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分析条件中的矛盾之处，判断后求解； （2）①先求出的值，再由余弦定理与面积公式，利用基本不等式求最值；②由（1）求得，由锐角三角形求得的范围，用正弦表示出（也用表示），求和，利用三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数，然后结合正弦函数性质得取值范围，从而得周长范围． 【小问1详解】 若②成立，则的最大值为，分析条件知①②矛盾， 若③成立，则的最小正周期为，而②成立，则其最小正周期为，则②③矛盾，故满足的条件为①③， 由③知，则，故. 【小问2详解】 ①，由，由余弦定理得，当且仅当时等号成立， 又，故面积最大值为. ②，，，，，所以， 由，得，， ， 因为，所以，， 所以，即．即周长范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$