精品解析：2025年江苏省泰州市姜堰区中考一模数学试题

2025年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算：等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（ ） A. 85分 B. 86分 C. 87分 D. 88分 5. 如图，点 是矩形 的对角线 的中点，交 于点 ，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 的三个顶点坐标分别为，，，关于 的面积，下列说法正确的是（ ） A. 只与 的大小有关 B. 只与 的大小有关 C. 与 、 的大小都无关 D. 与 、 的大小都有关 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 8. 2025年春节期间，泰州全市接待游客约7543000人次．数据7543000用科学记数法表示为__________． 9. 关于的一元二次方程的两根是，，则__________． 10. 已知圆锥的底面圆的半径为2cm，侧面积为，则该圆锥的母线长为________cm． 11. 因式分解：=______． 12. 如图，直线，将直角三角板如图放置，若，则__________ ． 13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是__________． 14. 如图，正六边形内接于 ，若点为 上异于的一点，则的度数为__________． 15. 定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为__________． 16. 如图，在矩形 中，，，E为 的中点，为 上的一点，连接、，当的值最小时，__________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 为了解某品牌A，B两种型号扫地机器人的销售情况，王明对某商场1-7月份的销售情况进行了调查统计，并绘制了如下统计表（单位：台）： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 型销售量 8 12 15 14 11 12 12 型销售量 4 8 12 13 13 15 19 统计量 型号 平均数 中位数 众数 型销售量 12 12 型销售量 12 13 （1）根据统计表完成表格（单位：台）； （2）请你在图中绘制出1-7月份 型号扫地机器人销售量的折线统计图； （3）对商场七月份以后这两种型号扫地机器人的进货提出合理的建议，并说明理由． 19. 中国书法是中华文化独有的传统艺术形式．小明和小华都是书法爱好者，他们准备从下列3种书体中分别随机选择一种书体练习写“姜”字． （1）小明选择“楷书”书体的概率为_____； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小华选择同一种书体的概率． 20. 4月的溱湖，春光正盛，春潮涌动；千舟竞发，篙声如雷．2025“康养名城·活力姜堰”溱湖篙船大赛决赛于4月6日落幕．已知篙船决赛的距离为，其中甲、乙两艘篙船同时出发，甲篙船的速度是乙篙船的倍，结果甲篙船比乙篙船早到达终点，求甲、乙两艘篙船的速度． 21. 如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的中点，交 的延长线于点 ，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 22. 如图，水坝的横截面是梯形 ，迎水坡 的坡角为，背水坡 的坡度（即）为，背水坡，坝顶，坝底． （1）求坝高； （2）求迎水坡 的坡角的度数．（结果精确到）（参考数据：，，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点 ． （1）若点 的横坐标为2，求的值； （2）点 为轴正半轴上一点，且，过点 垂直于轴的直线分别交函数、的图象于点 、，猜想 与 的数量关系，并证明． 24. 如图， 、 为 上的两点，且，延长至点 ，使，连接 ． （1）判断 与 的位置关系；并说明理由； （2）用无刻度的直尺和圆规在 上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 25. 已知二次函数（ 为常数，且）． （1）求证：该二次函数的图像与轴总有两个公共点； （2）若点、和在该二次函数的图像上；且，直接写出 的取值范围； （3）当 时，该二次函数的最大值与最小值的差为4，求 的值． 26. 现有一块质地、厚度均匀的三角形薄片， ，，，学校优学社团兴趣小组围绕三角形薄片的重心进行了系列探究．甲组：根据三角形重心的定义，如图1，作出 中线 、 ，交点为 ，则点 为 的重心．乙组：如图2，在 中线上取点 ，使，则点 为 的重心．丙组：根据物理学知识，将薄片悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心．如图3，图4，分别在边 上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点为 的重心（如图5）． 解决问题： （1）试说明乙组同学探究结论的正确性；如图是小智、小慧同学的部分思路和方法：根据小智、小慧同学的方法或其他方法，完成证明； （2）如图3， 为 的重心，若悬线的延长线，垂足为，求的长； （3）在薄片边 上任意一点处系一根细线，把薄片悬挂至静止，薄片的厚度忽略不计，悬线的延长线把薄片分成两部分，记这两部分的面积分别为，且． ①如图4， 为 的重心，悬线的延长线交 于，若，求的值； ②直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级第一次学情调查 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意： 1．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 2．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 计算：等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是负整数指数幂．根据（p为正整数），进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：此几何体的俯视图如图： 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方．根据合并同类项，同底数幂的乘除，幂的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，此选项符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项不符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：A． 4. 某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（ ） A. 85分 B. 86分 C. 87分 D. 88分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数．根据加权平均数的定义进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵（分）， ∴该选手的平均得分是86分． 故选：B． 5. 如图，点 是矩形 的对角线 的中点，交 于点 ，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理．由矩形的性质可得，，，证明，得到，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形 是矩形，O是 的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 的三个顶点坐标分别为，，，关于 的面积，下列说法正确的是（ ） A. 只与 的大小有关 B. 只与 的大小有关 C. 与 、 的大小都无关 D. 与 、 的大小都有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，整式的混合运算，割补法求不规则图形的面积，三角形的面积公式，熟练掌握割补法求不规则图形面积的方法是解题的关键．先在坐标系中画出三角形，沿着三角形的顶点作关于坐标轴的垂线，构造矩形，根据割补法表示出三角形的面积，结合整式的混合运算，化简即可求解． 【详解】解：如图：过点 作轴，过点 作轴，与交于点；过点 作轴，与交于点 ；过点 作轴，与交于点； ∵，，， ∴点 的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故，，， ，，， 的面积 四边形的面积的面积的面积的面积， ， 即 的面积是固定值，与与 、 的大小都无关． 故选： C． 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 【答案】x≥﹣2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得x+2≥0， 解得x≥﹣2， 所以x的取值范围为x≥﹣2． 故答案为x≥﹣2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使二次根式有意义，需让被开方数是非负数即可解决问题． 8. 2025年春节期间，泰州全市接待游客约7543000人次．数据7543000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 9. 关于 的一元二次方程的两根是，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程的两根是，， ∴， 故答案为： ． 10. 已知圆锥的底面圆的半径为2cm，侧面积为，则该圆锥的母线长为________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 则， 解得． 故答案为：4． 11. 因式分解：=______． 【答案】x（x﹣y）（x+y）． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 【详解】x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x﹣y）（x+y）， 故答案为x（x﹣y）（x+y）. 12. 如图，直线，将直角三角板如图放置，若，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 根据题意可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：35 ． 13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，直接用涂有黑色的小正方形个数除以小正方形的总个数即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形等分为9个小正方形，其中涂有黑色的小正方形有5个，且每个小正方形被击中的概率相同， ∴任意投掷飞镖1次，击中黑色区域的概率是， 故答案为：． 14. 如图，正六边形内接于 ，若点为 上异于的一点，则的度数为__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角．构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可． 【详解】解：连接 ，，如图所示： 六边形是正六边形， ， 当点不在上时， ， 当点在上时， ， 故答案为： 或． 15. 定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案为： ． 16. 如图，在矩形 中，，，E为 的中点，为 上的一点，连接、，当的值最小时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；在 的延长线上截取，过点作，使得，则得出，即可证明，进而得出，则点 在与垂直的上运动，当时，即时，最小，进而得出四边形是矩形，证明，得出，即可求解． 【详解】解：在矩形 中，，， ∴，， 如图所示，在 的延长线上截取，则，过点作，使得 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点 在与垂直的上运动， 当的值最小时，在 上，最小值为 的长 ∴当时，即时， 最小 此时如图， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并即可求解； （2）先根据乘法分配律变形为，再计算二次根式的乘法，最后进行减法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了解某品牌A，B两种型号扫地机器人的销售情况，王明对某商场1-7月份的销售情况进行了调查统计，并绘制了如下统计表（单位：台）： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 型销售量 8 12 15 14 11 12 12 型销售量 4 8 12 13 13 15 19 统计量 型号 平均数 中位数 众数 型销售量 12 12 型销售量 12 13 （1）根据统计表完成表格（单位：台）； （2）请你在图中绘制出1-7月份 型号扫地机器人销售量的折线统计图； （3）对商场七月份以后这两种型号扫地机器人的进货提出合理的建议，并说明理由． 【答案】（1）12；13 （2） 补充折线统计图如下； （3）观察折线统计图， 型扫地机器人销量呈上升趋势，且中位数、众数大，应该多进 型扫地机器人． 【解析】 【分析】本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念． （1）根据平均数、中位数概念可求解； （2）根据统计表中的数据即可绘制出1-7月份 型号扫地机器人销售量的折线统计图； （2）比较A型、B型扫地机器人的销售量平均数、众数可得答案． 【小问1详解】 解： 型销售量的平均数为； 型销售量中位数为13； 补充表格如下： 统计量 型号 平均数 中位数 众数 型销售量 12 12 12 型销售量 12 13 13 【小问2详解】略 【小问3详解】 解：观察折线统计图， 型扫地机器人销量呈上升趋势，且中位数、众数大，应该多进 型扫地机器人； 19. 中国书法是中华文化独有的传统艺术形式．小明和小华都是书法爱好者，他们准备从下列3种书体中分别随机选择一种书体练习写“姜”字． （1）小明选择“楷书”书体的概率为_____； （2）用列表或画树状图的方法，求小明和小华选择同一种书体的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到二人选择同一种书体的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3种字体，每种字体被选择的概率相同， ∴小明选择“楷书”书体的概率为； 【小问2详解】 解：分别用A、B、C表示行书，楷书和隶书，列表如下： 小明 小华 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明和小华选择同一种书体的结果数有3种， ∴小明和小华选择同一种书体的概率为． 20. 4月的溱湖，春光正盛，春潮涌动；千舟竞发，篙声如雷．2025“康养名城·活力姜堰”溱湖篙船大赛决赛于4月6日落幕．已知篙船决赛的距离为，其中甲、乙两艘篙船同时出发，甲篙船的速度是乙篙船的倍，结果甲篙船比乙篙船早到达终点，求甲、乙两艘篙船的速度． 【答案】甲篙船的速度为，乙篙船的速度为 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙篙船的速度为，则甲篙船的速度为，根据甲篙船比乙篙船早到达终点建立方程求解即可． 【详解】解：设乙篙船的速度为，则甲篙船的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲篙船的速度为，乙篙船的速度为． 21. 如图，在 中， 是 边上的中线， 是 的中点，交 的延长线于点 ，连接 ． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵， ， 是 的中点， ， 在和中， ， ， ， 是 边上的中线， ， ． ∵， 四边形是平行四边形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． （1）根据证，利用全等三角形的对应边相等得到．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论； （2）根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上中线性质得出，得出四边形是菱形，再利用菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 是 边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的面积． 22. 如图，水坝的横截面是梯形 ，迎水坡 的坡角为 ，背水坡 的坡度（即）为，背水坡，坝顶，坝底． （1）求坝高； （2）求迎水坡 的坡角 的度数．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点分别作 的垂线，垂足分别为，得出四边形是平行线四边形，根据背水坡 的坡度（即）为，设， 则，勾股定理求得 ，进而得出，即可求解； （2）解，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点分别作 的垂线，垂足分别为，则 ∴ ∵梯形 ∴ ∴四边形是平行线四边形， ∵ ∴四边形是矩形，则 ∵背水坡 的坡度（即）为，则 设， 则 ∴ 在中，， ∴ ∴即坝高为 【小问2详解】 解：∵坝底，坝顶， ∴ ∴ ∵ ∴迎水坡 的坡角 的度数约为 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点 ． （1）若点 的横坐标为2，求的值； （2）点 为 轴正半轴上一点，且，过点 垂直于 轴的直线分别交函数、的图象于点 、，猜想 与 的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），理由如下： ∵正比例函数与反比例函数的图象相交于点 ． ∴设， ∴，， ∴反比例函数为：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，二次根式的除法运算； （1）先求解点 坐标为，代入可得的值； （2）设，可得，，可得反比例函数为：，结合，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵ 点在正比例函数上，且点 的横坐标为， 把代入中，得到， ∴点 坐标为， ∵点 在反比例函数图象上， 将代入到反比例函数得，； 【小问2详解】 略 24. 如图， 、 为 上的两点，且，延长 至点 ，使，连接 ． （1）判断 与 的位置关系；并说明理由； （2）用无刻度的直尺和圆规在 上求作一点，使．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 【答案】（1） 解： 与 相切，理由如下： 如图所示，连接 ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是 的半径， ∴ 与 相切； （2）如图，点D为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，弦与圆周角之间的关系，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等待，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接 ，可证明是等边三角形，，则可证明得到，进而可证明，据此可证明结论； （2）以点 为圆心， 长为半径作弧交 于点 ，连接并延长交 于点，则点D即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点 为圆心， 长为半径作弧交 于点 ，连接并延长交 于点； 可证明，则在以A为圆心，半径为 的圆上， 则， 可证明，则，则是等边三角形， 由可得，即． 25. 已知二次函数（ 为常数，且）． （1）求证：该二次函数的图像与 轴总有两个公共点； （2）若点、和在该二次函数的图像上；且，直接写出 的取值范围； （3）当 时，该二次函数的最大值与最小值的差为4，求 的值． 【答案】（1）证明：当时， ∴ 又∵ ∴ ∴该二次函数的图像与 轴总有两个公共点 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键； （1）当时，，根据一元二次方程根的判别式的意义即可求解； （2）先计算 ，进而可得，分别代入得出关于 的不等式，解不等式，即可求解； （3）分类讨论，根据对称轴的位置分别求得最大最小值，由（2）得出、在抛物线上，进而根据 时，该二次函数的最大值与最小值的差为4，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下， 对称轴为直线 点在该二次函数的图像上； ∴ ∵ ∴ ∴ ，解得： 解得：或 ∴ 【小问3详解】 由（2）可得、在抛物线上， ∵ ∴ ∵对称轴为直线 ①当时，即， ∵该二次函数的最大值与最小值的差为4， 当时， 此方程无解； ②当 时，最大值在顶点即 当 时，当 时， 解得：（舍去）或（舍去） 当 ，即时， 解得：（舍去）或 ③当即时， 解得：（舍去） 综上所述， 26. 现有一块质地、厚度均匀的三角形薄片， ，，，学校优学社团兴趣小组围绕三角形薄片的重心进行了系列探究．甲组：根据三角形重心的定义，如图1，作出 中线 、 ，交点为 ，则点 为 的重心．乙组：如图2，在 中线上取点 ，使，则点 为 的重心．丙组：根据物理学知识，将薄片悬挂至静止，悬线的延长线一定经过薄片的重心．如图3，图4，分别在边 上，两点处系一根细线，将薄片悬挂至静止，在薄片上分别画悬线的延长线，，则与的交点为 的重心（如图5）． 解决问题： （1）试说明乙组同学探究结论的正确性；如图是小智、小慧同学的部分思路和方法：根据小智、小慧同学的方法或其他方法，完成证明； （2）如图3， 为 的重心，若悬线的延长线，垂足为，求的长； （3）在薄片边 上任意一点处系一根细线，把薄片悬挂至静止，薄片的厚度忽略不计，悬线的延长线把薄片分成两部分，记这两部分的面积分别为，且． ①如图4， 为 的重心，悬线的延长线交 于，若，求的值； ②直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：根据小智同学的方法， 连接并延长交 于点，作交 于点， ∴， ∴， ∵是 的中线， ∴， ∴， ∴，即点是 的中点， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即 是 的中线， ∴ 为 的重心； 根据小慧同学的方法， 作 的中线 交于点，连接，则点为 的重心， ∵是 的中线， ∴是 的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点与点 重合， ∴ 为 的重心； （2）； （3）①；②． 【解析】 【分析】（1）小智同学的方法，连接并延长交 于点，作交 于点，证明和平行线分线段成比例，即可证明结论成立；小慧同学的方法，作 的中线 交于点，连接，则点为 的重心，证明，求得，说明点与点 重合，即可证明结论成立； （2）连接并延长交 于点，作交于点，证明和，设，则，利用三角函数的定义求得，利用相似三角形的性质求解即可； （3）①连接并延长交 于点，作交于点，作交 于点，和，设，求得，利用三角形面积公式分别求得的值，即可求解； ②分当点与点 重合和点时，两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接并延长交 于点，作交于点， ∵ ，，， ∴， ∵ 为 的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，即； 【小问3详解】 解：①连接并延长交 于点，作交于点，作交 于点， 同理， ∴， ∴， 同理， ∴， 设， ∴， 解得，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； ②当点与点 重合时，，， ∴； 当点时， ∵ 为 的重心， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $