精品解析：2025年河南省濮阳市中招第一次模拟考试数学试卷

2025年中招第一次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下面运算结果是负数的是（ ） A B. C. D. 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 钧瓷是河南禹州特产，中国国家地理标志产品．钧瓷始于唐，盛于宋，是中国古代五大名瓷之一，它以其独特的釉料及烧成方法产生的窑变而闻名于世．如图是禹州钧瓷瓷碗，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，两根木条，分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中，．木条至少转动的角度为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程有两个相等的实数根，的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 7. 从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差 8. 在一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色．在一次化学实验课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是： 小明随机选取两瓶溶液并滴入酚酞试液，两瓶溶液都变红的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF=3，CE=4，EF=5，则CD的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 10. 下面三个问题都涉及两个变量： ①如图1，高铁匀速穿越隧道（隧道长度大于高铁长度），高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ②如图2，小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，到达后在图书馆内停留一段时间看书，之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离与所用时间； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放至底部后，再把铝块以同样的速度匀速拉出，直到全部拉出水面为止，铝块所受的浮力与所用时间； 其中，变量与之间的函数关系大致符合如图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次根式，给赋予一个实际意义_____． 12. 写出一个不等式，使它与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是，你写出的这个不等式是_____． 13. 如图，菱形中，是边上一点，把这个菱形放置在边长为的正方形网格中，若点、、在网格的格点上，以为圆心，长为半径画弧，图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为_____． 15. 如图，中，，，，点是上一点，把沿折叠，点对应点，连接，若为直角三角形，则_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产内存的高良品率领先业界．质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率（说明：良品率为合格，良品率为不合格），整理了最近批次的数据．分为组（良品率用表示）： 组、组、组、 组、组、组． 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 众数 中位数 方差 甲制造厂被抽取的批芯片良品率频数分布直方图 乙制造厂被抽取的批芯片良品率扇形统计图 已知： 甲厂组的良品率数据为：，，，，； 乙厂组的良品率数据为：，，，，，． 根据以上信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，组数据对应的圆心角为_____度，表中的值为_____，的值为_____； （2）对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由（至少两条）； （3）年，甲厂共生产芯片万片，乙厂生产万片．估算两厂合格芯片总数． 18. 垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． （1）小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ （2）小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾的处理量使总收益最大？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，放置一个含角的三角板．其中点为原点，在轴上，已知，，． （1）点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式； （2）将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，求点在旋转过程中到点经过的最短路径长； （3）将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合，直接写出和的值． 20. 小颖在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题： 她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离（参考数据：，，，，结果需精确到）． 21. 如图，在中，． （1）使用无刻度直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； （2）以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 22. 在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． （1）若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； （2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． 23. 数学综合实践课上，张老师带领同学们探索了下面的问题： 如图1，在中，，，点在上，且于，于． 【问题解决】 （1）如图1，设，，，则下列成立的等式为（ ） A． B． C． D． 【深入探索】 （2）如图2，在正方形中，点是线段上一点，连接，过点作交于点，连接． ①证明：； ②若，求的长． 拓展应用】 （3）如图3，平面直角坐标系中，点，过点作一条与夹角为的直线．请直接写出直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中招第一次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下面运算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多重符号化简，绝对值的性质，二次根式的性质，立方根的化简，掌握以上知识是关键． 根据多重符号化简，绝对值的性质，二次根式的性质，立方根的化简的计算求解即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D ． 2. 月日，正式发布官方并上线应用市场．从上线至月日，的累计下载量已超亿次，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的应用．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按照要求表示即可求解． 【详解】解：亿． 故选：A． 3. 钧瓷是河南禹州特产，中国国家地理标志产品．钧瓷始于唐，盛于宋，是中国古代五大名瓷之一，它以其独特的釉料及烧成方法产生的窑变而闻名于世．如图是禹州钧瓷瓷碗，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的含义是解题关键．根据从正面、上面和左面看到的图形，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：它的主视图是 ． 故选：C 4. 如图1，两根木条，分别与木条钉在一起，三根木条在同一平面内，固定木条和，顺时针转动木条，使（如图2），图1中，．木条至少转动的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，同位角相等得出当时，，结合题意即可求解． 详解】解：若，则， ∵固定木条和，顺时针转动木条， 即当时，； 此时木条顺时针转动． 故选：A． 5. 一元二次方程有两个相等的实数根，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根可知，故可得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 6. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可． 【详解】A. 2a与3b不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意； B. ，故选项B不合题意； C. a2×a=a3，故选项C符合题意； D. （a2 ）3=a6，故选项D不合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则及公式，是解题的关键． 7. 从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 最大值 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选． 【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选； 故选：B． 【点睛】本题主要考查中位数概念，掌握中位数的概念是解本题的关键． 8. 在一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色．在一次化学实验课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是： 小明随机选取两瓶溶液并滴入酚酞试液，两瓶溶液都变红的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两瓶溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将、、、分别标记为、、、， 列表如下： 第二瓶 第一瓶 共有种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，，共种， ∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 故选：D． 9. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB、CA、BC的中点，若CF=3，CE=4，EF=5，则CD的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先由勾股定理逆定理判断△ECF是直角三角形，由三角形中位线定理求出AB的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长即可． 【详解】∵CF=3，CE=4，EF=5， ∴CF2+CE2=EF2， ∴△ECF是直角三角形，即△ABC也是直角三角形， ∵E，F分别是CA、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴AB=2EF=10， ∵D为AB的中点， ∴CD=AB= 故选：A． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，三角形的中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握上述知识是解答此题的关键． 10. 下面的三个问题都涉及两个变量： ①如图1，高铁匀速穿越隧道（隧道长度大于高铁长度），高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ②如图2，小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，到达后在图书馆内停留一段时间看书，之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离与所用时间； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放至底部后，再把铝块以同样速度匀速拉出，直到全部拉出水面为止，铝块所受的浮力与所用时间； 其中，变量与之间的函数关系大致符合如图的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象应用，根据每个选项中的描述情况进行分类讨论，得出随的变化而怎样变化，再与图象表达的意义是否符合，即可作答． 【详解】解：①∵高铁在隧道内的长度与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间； ∴当时，则， 当车头开始进入隧道至车尾也刚好进入隧道，此时高铁在隧道内的长度随的增大而增大， 当整个高铁进入隧道后，此时高铁在隧道内的长度不随的变化而变化， 当车头开始离开隧道至整个高铁完全离开隧道，此时高铁在隧道内的长度随的增大而减小， 故①符合题意； ②当小明从家出发去图书馆．他先以速度沿直线匀速步行前往图书馆，此时他离家的距离随着所用时间的增大而增大， 当到达后在图书馆内停留一段时间看书，此时他离家的距离不随的变化而变化， 当之后以速度沿原路匀速返回家中，他离家的距离随着所用时间的增大而减小， 故②符合题意； ③如图3，把一个铝块从接触水面开始匀速下放到整个进入水前，此时铝块所受的浮力随所用时间的增大而增大， 当整个铝块完全进入水放至底部后；此时铝块所受的浮力不随所用时间的变化而变化， 当把铝块以同样的速度从水面匀速拉出，直到全部拉出水面为止，此时铝块所受的浮力随所用时间的增大而减小， 故③符合题意； 故选：D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次根式，给赋予一个实际意义为_____． 【答案】面积是的正方形的边长（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了代数式的实际意义，二次根式的意义，根据代数式表示的实际意义的方法即可求解． 【详解】解：一个实际意义为：面积是的正方形的边长． 故答案为：面积是的正方形的边长（答案不唯一）． 12. 写出一个不等式，使它与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是，你写出的这个不等式是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，先求出不等式的解，结合不等式组的解集，得出需写一个不等式，其解集为，根据题意写出不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，需写一个不等式，其解集为， ∵， ∴， 故不等式与不等式组合为一个不等式组，不等式组的解集是． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，菱形中，是边上一点，把这个菱形放置在边长为的正方形网格中，若点、、在网格的格点上，以为圆心，长为半径画弧，图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据勾股定理和勾股定理的逆定理求出，，根据菱形的性质和扇形的面积公式分别求出菱形的面积与扇形的面积，根据阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵点、、在网格的格点上， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 即，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为， 扇形的面积为， 故阴影部分的面积菱形的面积扇形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，菱形的性质，扇形的面积，割补法求不规则图形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 14. 如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可． 【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图： ∵点与点关于直线对称， ∴， 故， 当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 即点是与直线的交点； ∵点关于直线对称点坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点是直线与直线的交点， 故联立方程组， 解得：， 即点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，中，，，，点是上一点，把沿折叠，点对应点，连接，若为直角三角形，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定及性质，合理分类讨论是解题的关键． 分类讨论直角的情况，利用折叠的性质分析求解即可． 【详解】解：当时，如图所示： ∵折叠， ∴， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴； 当时，如图所示： ∵折叠， ∴， ∴，，， ∴，，三点共线， ∵在中，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，化简二次根式，分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，化简二次根式，然后计算加减即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 在全球半导体竞争中，内存芯片领域是关键战场，国产内存的高良品率领先业界．质检部门抽查了甲、乙两家芯片制造企业的良品率（说明：良品率为合格，良品率为不合格），整理了最近批次的数据．分为组（良品率用表示）： 组、组、组、 组、组、组． 部分统计信息如下： 甲、乙制造厂批次芯片良品率统计表 制造厂 甲 乙 平均数 众数 中位数 方差 甲制造厂被抽取的批芯片良品率频数分布直方图 乙制造厂被抽取的批芯片良品率扇形统计图 已知： 甲厂组的良品率数据为：，，，，； 乙厂组的良品率数据为：，，，，，． 根据以上信息解答下列问题： （1）扇形统计图中，组数据对应的圆心角为_____度，表中的值为_____，的值为_____； （2）对比甲、乙两厂的数据，判断哪家制造厂的芯片质量更高，并说明理由（至少两条）； （3）年，甲厂共生产芯片万片，乙厂生产万片．估算两厂合格芯片总数． 【答案】（1），， （2）乙制造厂的芯片质量更高，理由见解析 （3）两厂合格芯片总数约为万件 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图求出D组数据对应的圆心角，结合众数、中位数的概念即可求解； （2）根据平均数和方差进行分析即可求解； （3）用甲厂生产的合格芯片数量加上乙厂生产的合格芯片数量，即可求解． 【小问1详解】 解：扇形统计图中，D组数据对应的圆心角为； 乙制造厂被抽取的批次芯片中：A组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次，组有个批次， 其中乙制造厂组的良品率中，良品率为的有个批次，故乙制造厂的批次芯片良品率的众数是； 结合频数分布直方图和甲制造厂组的良品率可得，甲制造厂的批次芯片良品率的中位数是； 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：乙制造厂的芯片质量更高， 理由：乙制造厂的平均数比甲制造厂高，乙制造厂的方差比甲制造厂小． 故乙制造厂的芯片质量更高． 【小问3详解】 解：（万件） 故两厂合格芯片总数约为99.5万件． 【点睛】本题考查了求扇形统计图中的圆心角，求中位数，求众数，用平均数和方差做决策，样本估计总体等．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18. 垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用．居民投入可回收垃圾（如废纸、塑料瓶）可获得积分，用于兑换生活用品．每千克废纸和塑料瓶分别获得5分和3分． （1）小明家本周分类垃圾情况 小明家本周收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分．求小明家本周收集废纸和塑料瓶各多少千克？ （2）小区垃圾分类收益优化 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15吨，处理收益如下：①可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）；②厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）． 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）；②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 问题：如何分配每日两类垃圾处理量使总收益最大？ 【答案】（1）小明家本周废纸和塑料瓶各6千克、4千克 （2）每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克．根据收集废纸和塑料瓶共10千克，获得42分，列出方程，求解即可． （2）设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元．根据总收益=可回收垃圾的收益+厨余垃圾的收益，列出函数关系式，再根据可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨，列出不等式组，求出x的范围，再根据一次函数的性质求出y的最大值即可． 【小问1详解】 解：设小明家本周收集废纸千克，则塑料瓶千克． 由题意得： 解得： 塑料瓶：千克 答：小明家本周废纸和塑料瓶分别6千克、4千克． 【小问2详解】 解：设每日处理吨可回收垃圾，吨厨余垃圾，此时总收益为元． 由题意得：， ， ， ， 随的增大而增大 当时，有最大值， 此时厨余垃圾：（吨）， 即：每日处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨时，总收益最大． 19. 如图，在平面直角坐标系中，放置一个含角的三角板．其中点为原点，在轴上，已知，，． （1）点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式； （2）将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，求点在旋转过程中到点经过的最短路径长； （3）将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合，直接写出和的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数的计算得到，则，运用待定系数法即可求解； （2）将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，如图所示，可证是等边三角形，根据弧长公式计算即可； （3）根据题意可得直线的解析式为，根据图形平移规律即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点落在轴上，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在旋转过程中到点经过的最短路径长为； 【小问3详解】 解：由（2）可得，是等边三角形， ∴，且， ∴，， ∴， 如图所示，过点作轴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵将旋转后的沿轴方向向下平移个单位得到，若平移后的线段与直线重合， ∴与直线重合， ∴． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形，一次函数图象的性质，图形平移的规律，求弧长，解直角三角形的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 20. 小颖在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题： 她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离（参考数据：，，，，结果需精确到）． 【答案】点到点的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先根据题意推得，结合锐角三角函数的性质求出，根据矩形的判定和性质求出，，结合锐角三角函数的性质求出，即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ∴． 故点到点的距离约为． 21. 如图，在中，． （1）使用无刻度的直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； （2）以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②时，四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定及性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图作出高即可； （2）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出等于半径即可； ②连接，，利用等边三角形的判定方法判定出和为等边三角形，再利用等边三角形的性质和菱形的判定方法判定即可． 【小问1详解】 解：如图所示：即为所求： 【小问2详解】 ①证明：∵为直径， ∴点是中点， ∴， 连接，如图： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点在上； ②时，四边形是菱形，理由如下： 连接，如图： 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 22. 在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． （1）若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； （2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）①抛物线水线最大高度是米；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）①根据喷出的水恰好达到岸边，由抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴是直线，再把代入，求出y值即可求解； ②根据抛物线水线最大高度达4米，则抛物线顶点的纵坐标为，把代入求得，即可求解； （2）根据，得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在直线上，得到，求得，然后根据喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，得，求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ①∵喷出的水恰好达到岸边 ∴抛物线过， ∵抛物线过原点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴当时，， ∴抛物线水线最大高度是米； ②∵抛物线水线最大高度达4米， ∴抛物线顶点的纵坐标为， 当 时，， 解得：， ∴抛物线的顶点是， ∴， ∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ∴，即， 解得． 23. 数学综合实践课上，张老师带领同学们探索了下面的问题： 如图1，在中，，，点在上，且于，于． 【问题解决】 （1）如图1，设，，，则下列成立的等式为（ ） A． B． C． D． 【深入探索】 （2）如图2，在正方形中，点是线段上一点，连接，过点作交于点，连接． ①证明：； ②若，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，平面直角坐标系中，点，过点作一条与夹角为的直线．请直接写出直线的解析式． 【答案】（1）C；（2）①见解析；②的长为；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明，得，在中由勾股定理即可求解； （2）①如图所示，过点作于点，可得，是等腰直角三角形，四边形是矩形，在证明，得到，即可求解； ②根据是等腰直角三角形，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，，由此即可求解； （3）根据题意，如图所示，过点作轴于点，则，分类讨论：过点作一条与夹角为的直线，则，可证，得，运用待定系数即可求解；如图所示，过点作一条与夹角为的直线，则，可得，运用待定系数即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，即， 故选：C； （2）①如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3） 如图所示，过点作轴于点，则， 在轴上取点，则， ∴， 在中，， ∴，则，， ∴， 过点作一条与夹角为的直线，则， ∴， ∴， 如图所示，在轴上取，连接，过点作于点，过点作轴于点，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，则， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点作一条与夹角为的直线，则， ∵，， ∴将绕点顺时针旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作延长线于点， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； 综上所述，过点作一条与夹角为的直线，直线的解析式为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，掌握正方形的性质，合作作出辅助线证明全等三角形，正确解出旋转后点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$