临考押题卷01（安徽卷）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

临考押题卷01（安徽卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共23题，选择10题，填空4题，解答9题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．若a是一个有理数，下列说法中，正确的是（    ） A．一定是负数 B．若，则 C．的倒数是 D．a与互为相反数 2．今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2．将68000用科学记数法表示为（　　） A．6.8×104 B．6.8×105 C．0.68×105 D．0.68×106 3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 4．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系中，直线y＝6﹣x与函数y（x＞0）的图象相交于点A，B，设点A的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 6．如图，AB是的直径，CD是弦，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A．1 B．2 C．3 D．4 8.（安徽中考特色题代数推理题）已知为非零实数，且满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（安徽中考特色题分析判断函数图象题）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D是AC的中点，点P由点D出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为7cm/s，同时，点Q从C出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为6cm/s，当点P追上点Q时，两点停止运动．设运动时间为t（s），△DPQ的面积为s（cm2），则s关于t的函数图象大致为（　　）    A．   B．   C．   D．   10．（安徽中考特色题几何最值问题）如图，、均是边长为2的等边三角形，点是边、的中点，直线相交于点．当绕点旋转时，线段长的最小值是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．比较大小： （填，或号）． 13．从分别写有﹣2，，0，4的4张卡片中随机抽取两个数，记为m，n．若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限的概率是 ． 14.（安徽中考特色双空类问题）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ． （1）的值为 ； （2） 的值为 ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．已知，求分式的值． 16．（安徽中考特色网格作图题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点），其中点A，B，C的坐标分别为． (1)将平移，使得平移后点A对应的点的坐标为，请画出； (2)若以，为邻边作，直接写出顶点 D 的坐标_______； (3)只用无刻度直尺在上作出点M，使得平分（保留作图痕迹，不必写作法）． 17．夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10％，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5％．已知调价前买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花遇24元；调价后再买同样多的两种饮料要多花费元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 18．（安徽中考特色探究规律题）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 19．某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 20．如图，在中，，以为直径作，交于点是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 21.（安徽中考新趋势数学与科技）【调查背景】人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷测试． 【数据收集与整理】测试得分采用得分制．得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且为整数），共分为4组：组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表． 被抽取学生的测试得分频数分布表 组别 频数 百分比 A 30 24 D 10 被抽取学生的测试得分扇形统计图 【数据分析与应用】 任务一：___________，___________，扇形统计图中组对应的圆心角度数为___________． 任务二：计算所抽取学生的测试得分的平均数（取组中值）； 任务三：若得分不少于4分记为“合格”，已知该校共有5000名学生，请估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数． 22．（安徽中考特色中点类模型）综合与实践 在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题． 问题情境： 如图，在中，，，点D在边AB上运动，点E在边BC上运动． 探究发现： (1)如图2，当沿DE折叠，点B落在边AC的点处，且时，发现四边形是菱形．请证明； 探究拓广： (2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿DE折叠，点B落在点处，延长交AC于点F，，点G在边BC上运动，沿FG折叠使点C落在线段的中点处，求线段DF的长； 探究应用： (3)沿DE折叠，点B的对应点恰好落在边AC的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出BD的长． 23．如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临考押题卷01（安徽卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷共23题，选择10题，填空4题，解答9题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的. 1．若a是一个有理数，下列说法中，正确的是（    ） A．一定是负数 B．若，则 C．的倒数是 D．a与互为相反数 【答案】D 【分析】根据有理数的绝对值、相反数和倒数的定义逐项判断即得答案. 【详解】解：A、当时，一定是正数，故本选项说法错误，不符合题意； B、若，则，故本选项说法错误，不符合题意； C、当时，没有倒数，故本选项说法错误，不符合题意； D、a与互为相反数，故本选项说法正确，符合题意； 故选：D. 2．今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2．将68000用科学记数法表示为（　　） A．6.8×104 B．6.8×105 C．0.68×105 D．0.68×106 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：68000＝6.8×104． 故选：A． 3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　） A．三棱柱 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 【答案】B 【详解】试题解析：根据主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，再根据俯视图的形状，可判断柱体是长方体．故选B． 4．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的运算法则，合并同类项法则，逐个计算，即可得出结论． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，不是同类项，不能合并，故B不符合题意； C、，故C计算不正确，不符合题意； D、，故D计算正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，在直角坐标系中，直线y＝6﹣x与函数y（x＞0）的图象相交于点A，B，设点A的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】此题首先要观察题目，求的是矩形的周长，矩形的周长：2（x+y），此时发现周长的表达式正好符合直线AB的解析式，根据A点在直线AB的函数图象上即可得解． 【详解】解：∵点A在函数y=6-x上， ∴x1+y1=6， ∴矩形的周长为2（x1+y1）=12， 故选：B． 6．如图，AB是的直径，CD是弦，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式．先根据平行线的性质得出，再根据圆周角定理得出，然后根据弧长的计算公式即可得． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵，， ， ， 则的长为， 故选：C． 7．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线，与y轴的交点为，当时，，然后逐个选项判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线， ∴． 又由图象，可得当时，， ∴，故①错误． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴，故②错误． 由题意，令， ∴抛物线与直线有两个不同的交点． ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误． ∵当时，y＝2， 又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴当时，． 又抛物线开口向下， ∴满足的x的取值范围为，故④正确． 故选：A． 8.（安徽中考特色题代数推理题）已知为非零实数，且满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质，根据题意，将选项中的代数式表示为，根据多项式相等的条件解方程组求出的值，再由不等式性质变形求解即可得到答案，熟练掌握不等式性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、， ，即， ，且， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ，即， ，且， ，故该选项正确，符合题意； C、由A知，则， 为非零实数， 不一定成立，故该选项错误，不符合题意； D、， ，即， ，且， ，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 9．（安徽中考特色题分析判断函数图象题）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D是AC的中点，点P由点D出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为7cm/s，同时，点Q从C出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为6cm/s，当点P追上点Q时，两点停止运动．设运动时间为t（s），△DPQ的面积为s（cm2），则s关于t的函数图象大致为（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】分0≤t≤、＜t≤、＜t≤、＜t≤3四段，分别求出函数表达式即可求解． 【详解】解：①当0≤t≤时， s＝×DP×CQ＝7t×6t＝21t2， 该函数为开口向上的抛物线； ②当＜t≤时， s＝PQ×CD＝×（6t﹣7t+3）×3＝（3﹣t）， 该函数的一次函数； ③当＜t≤时，如下图， 过点Q作GQ⊥AC于点G，作QH⊥BC于点H， sinB＝＝，则QH＝BQsinB＝BQ，同理QG＝AQ， 则PC＝7t﹣6，PB＝8﹣7t+6＝14﹣6t，BQ＝t﹣8，AQ＝18﹣（t﹣8）＝26﹣t， s＝S△ABC﹣（S△PDC+S△ADQ+S△BPQ）＝6×8[3×（7t﹣6）+（14﹣7t）（t﹣8）×+（26﹣t）×]＝﹣2.1t2﹣13.5t+9.6， 该函数为开口向下的抛物线； ④当＜t≤3时， 同理可得：s＝﹣t+， 该函数为一次函数； 故选：D． 10．（安徽中考特色题几何最值问题）如图，、均是边长为2的等边三角形，点是边、的中点，直线相交于点．当绕点旋转时，线段长的最小值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，如图，易证，则有，从而可得四点共圆，根据两点之间线段最短可得，即，当M在线段与该圆的交点处时，线段最小，只需求出的值，进而即可求解. 【详解】解：取的中点O，连接、、、，如图．   均是边长为2的等边三角形，点是边的中点， ， ，， ， ， ∴四点共圆． 根据两点之间线段最短可得：， 即， 当在线段与该圆的交点处时，线段最小， 此时，，， ． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式中分母不能为0， 依据分母不能为0即可解答． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得：， 故答案为：． 12．比较大小： （填，或号）． 【答案】 【分析】直接比较分子大小即可，分子越大则分数越大． 【详解】解：∵，即， ∴． 故答案为：． 13．从分别写有﹣2，，0，4的4张卡片中随机抽取两个数，记为m，n．若k＝mn，则正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限的概率是 ． 【答案】． 【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用正比例函数的性质得到k＞0时，正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，然后找出两数之积为正数的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两数之积为正数的结果数为2，即k＞0有两种可能， 所以正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限的概率为， 故答案为：． 14.（安徽中考特色双空类问题）在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 绕着原点 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 恰好落在反比例函数的图象上， 边与反比例函数图象交于点， 边与轴交于点 ，且 ． （1）的值为 ； （2） 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与反比例函数图像的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定；分别过点作轴的垂线，垂足分别为，得出，根据相似三角形的性质以及点的坐标得出点的坐标，进而求得；延长交轴于点，过点作于点，求得直线的解析式，进而求得点的坐标，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵，则 ∴ ∴ ∴ ∴； 则反比例函数解析式为 如图，延长交轴于点，过点作于点， ∵ ∴， ∴ 又∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 联立 解得：或（舍去） ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据题意先对分式进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解：由条件可知，因此． 原式 ． 另解：∵，∴， ∴ ． 16．（安徽中考特色网格作图题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点），其中点A，B，C的坐标分别为． (1)将平移，使得平移后点A对应的点的坐标为，请画出； (2)若以，为邻边作，直接写出顶点 D 的坐标_______； (3)只用无刻度直尺在上作出点M，使得平分（保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】平移(作图)、无刻度直尺作图、勾股定理与网格问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平移，平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平移，矩形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据平移后对应的点的坐标为，得到平移变换是向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度，继而得到，画图即可． （2）根据，到中点坐标为，设，结合得到其中点坐标为，根据平行四边形中点唯一性，得，解答即可． （3）根据题意，得，利用矩形的对角线互相平分，构造矩形，连接对角线，则交点即为所求． 【详解】（1）解：根据平移后对应的点的坐标为，得到平移变换是向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度， ∴，画图如下： （2）根据，到中点坐标为， 设，结合得到其中点坐标为， 根据平行四边形中点唯一性，得， 解得 故， 故答案为：． （3）根据题意，得， 利用矩形的对角线互相平分，构造矩形， 连接，交于点M， 则， ∵， ∴， ∴平分， 则点M即为所求． 17．夏季来临，天气逐渐炎热起来，某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10％，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5％．已知调价前买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花遇24元；调价后再买同样多的两种饮料要多花费元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 【答案】调价前碳酸饮料每瓶4元，果汁饮料每瓶6元 【分析】设调价前碳酸饮料每瓶元，果汁饮料每瓶元，，根据调价前买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花遇24元；调价后再买同样多的两种饮料要多花费元，列出方程组，求出解即可． 【详解】解：设调价前碳酸饮料每瓶元，果汁饮料每瓶元， 则， 解得， 所以，调价前碳酸饮料每瓶4元，果汁饮料每瓶6元． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键． 18．（安徽中考特色探究规律题）【阅读材料】数列是一个古老的数学课题，我国对数列概念的认识很早，例如《易传·系辞》：“河出图，洛出书，圣人则之；两仪生四象，四象生八卦”，这是世界数学史上有关等比数列的最早文字记载． 【等比数列】 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，．．．，．．．． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q表示．如：数列1，2，4，8，．．．为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列3，9，27，．．．的公比q为___，第5项是___． 【公式推导】 如果一个数列，，，．．．，．．．，是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到： ，，，．．．，． 所以， ， ，．．． （2）由此，请你填空完成等比数列的通项（即第n项）公式___． 【拓广探究】 等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．欧几里得在《几何原本》中就给出了等比数列前n项和公式，而错位相减法则直到1822年才由欧拉在《代数学基础》中给出，时间相差两千多年．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， 得， ∴． 【解决问题】（3）求的值； （4）直接写出的值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，数的规律探究．理解题意并正确的运算是解题的关键． （1）由题意知，，第5项是，计算求解即可； （2）由题意知，，然后作答即可； （3）令，则，，计算求解即可； （4）令，则，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，第5项是， 故答案为：3，； （2）解：由题意知，， 故答案为：； （3）解：令，则， ∴， 解得，， ∴． （4）解：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 19．某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）    (1)求点到地面的高度； (2)求建筑物的高度． 【答案】(1)点到地面的高度为； (2)． 【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可； （）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可； 此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）过点作于点，于点，    在中，，设，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴点到地面的高度为； （2），过点作于点，如上图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，∴， 即：，解得：， ∴， 答：建筑物的高度约为米． 20．如图，在中，，以为直径作，交于点是的切线且交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义以及勾股定理： （1）连接，由切线的性质得，再证明即可得出结论； （2）连接，证明，由可求出，再由勾股定理可得结论 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ； （2）解：连接，如图， ∵对的圆周角是， ∴， （已证）， ， ， ， ， ， ， ， ． 21.（安徽中考新趋势数学与科技）【调查背景】人工智能作为当下科技领域的热门议题，展现出广泛的应用场景与巨大的发展潜力．某学校为全面了解该校学生对人工智能的关注和认知程度，对全校学生开展了问卷测试． 【数据收集与整理】测试得分采用得分制．得分越高，表明学生对人工智能的关注与了解程度就越高．现从该校学生中随机抽取80名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且为整数），共分为4组：组，组，组，组，并绘制了如下不完整的统计图表． 被抽取学生的测试得分频数分布表 组别 频数 百分比 A 30 24 D 10 被抽取学生的测试得分扇形统计图 【数据分析与应用】 任务一：___________，___________，扇形统计图中组对应的圆心角度数为___________． 任务二：计算所抽取学生的测试得分的平均数（取组中值）； 任务三：若得分不少于4分记为“合格”，已知该校共有5000名学生，请估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数． 【答案】任务一：，，；任务二：分；任务三：估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数为人 【分析】本题考查了频数分布表，加权平均数，样本估计总体等； 任务一：，，组对应的圆心角度数为所占百分比，即可求解； 任务二：先求出组中值，由加权平均数的定义即可求解； 任务三：得分不少于4分记为“合格”所占百分比，即可求解； 能从频数分布表及扇形统计图中获取正确信息，并能熟练求解加权平均数及样本估计总体是解题的关键． 【详解】解：任务一： ， ， 组对应的圆心角度数为：， 故答案为：，，； 任务二：组的组中值为，组的组中值为，组的组中值为，组的组中值为， （分）， 答：所抽取学生的测试得分的平均数为分； 任务三：（人）， 答：估计该校对人工智能的了解程度“合格”的人数为人． 22．（安徽中考特色中点类模型）综合与实践 在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题． 问题情境： 如图，在中，，，点D在边AB上运动，点E在边BC上运动． 探究发现： (1)如图2，当沿DE折叠，点B落在边AC的点处，且时，发现四边形是菱形．请证明； 探究拓广： (2)如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿DE折叠，点B落在点处，延长交AC于点F，，点G在边BC上运动，沿FG折叠使点C落在线段的中点处，求线段DF的长； 探究应用： (3)沿DE折叠，点B的对应点恰好落在边AC的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出BD的长． 【答案】(1)见解析 (2)DF的长是 (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，再由平行和等角对等边可证得，即可证明． （2）由（1）可得四边形和四边形是菱形，则可得AF、DF都可以用BD进行表示，再用三角函数列出方程求解即可． （3）分成两种情况：靠近A点的三等分点和靠近C点的三等分点，然后设未知数用勾股定理列方程即可求得． 【详解】（1）证明：∵沿DE折叠，点B落在点处， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是菱形． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，四边形和四边形是菱形， ∴，， ∵的中点是点， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴．解得， ∴， ∴线段DF的长是． （3）当 在靠近A点的三等分点时， ， ∵沿DE折叠，点B的对应点， ∴设 ，则 ， 在中， ， ， 即 ， 解得： ， 当 在靠近C点的三等分点时， ， ∵沿DE折叠，点B的对应点， ∴设 ，则 ， 在中， ， ， 即 ， 解得： ， 或者 ． 23．如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3） 【分析】（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解； （2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解； （3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0）， 则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a， 故-3a=3，解得：a=-1， 故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①； 对称轴为：直线 （2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数， 故CD+AE最小时，周长最小， 取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D， 取点A′（-1，1），则A′D=AE， 故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小， 四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+； （3）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE， 则BE：AE，=3：5或5：3， 则AE=或， 即：点E的坐标为（，0）或（，0）， 将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3， 解得：k=-6或-2， 故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…② 联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）． 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$