广东省汕头某校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

汕头市潮阳实验学校2024~2025学年度第二学期 高一期中考数学试卷 命题人：黄佳 审题人：朱海涛 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x<2,x∈Z}, 则A∪B= ( ). A. {0,1} B. {-1,0,1} C. {-1,0,1,2} D. {-2,-1,0,1,2} 2. (2+i)(3-2i)= ( ) A. 4-i B. 8-i C. 4+i D. 8+i 3.在矩形ABCD中， E为线段AB的中点，则 4. 已知c>0, 则“a>b”是“ac> bc”的 ( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知||ā|=4，ē为单位向量，当向量a，c的夹角α为²π/₃，则向量a在向量c上的投影向量为( ) A. a B. e C. - 2e D. - e 6. 已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则( ) A. 若α∥β, m∥α, n∥β, 则m∥n B. 若α∥β, m⊥α, n∥β, 则m∥n C. 若α⊥β, m⊥α, n⊥β, 则m⊥n D. 若α⊥β, m∥α, n∥β, 则m⊥n 7.已知函数 在定义域R上为增函数，则实数a的取值范围为( ) A. (3,4] B. [4,8] C. (3,8] D. [4,6] 8. 在△ABC中, 点E是边AB上的点, 且|AE|=|CE|=2, |BE|=3, ∠ACB=²π/₃,则△ABC的面积为( ) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在△ABC中, 则角C的可能取值是 ( ) A. π6 B. π/3 C. 2π/3 10. 将f(x)=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)的图象, 则( ) A. 当 时，g(x)为偶函数 是函数 的一条对称轴 C. 函数 在 上单调递增 D.若函数y=g(x)+1的一个对称中心为 ，则φ的一个可能值为 11. 已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(1+x)为偶函数, 且当0<x≤1时,. 则( ) A. f(x)的周期为4 B. f(1)+f(2)+…+f(2025)=0 的所有零点之和为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数 则 13. 如图, 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, E是BC的中点, 则DE与CD₁两条异面直线所成角的余弦值为 . 14. 在锐角△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 则 的取值范围为 . 2 四、解答题: 本题共5小题, 第15小题13分, 第16、17小题15分, 第18、19小题17分,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中, 已知A(1,2), B(3,5), C(4,m). (1)若A,B,C三点共线, 求实数m的值; (2)若∠BAC=90°，以△ABC的边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成一个几何体，求该几何体的体积. 16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为： ①2bcosA=ccosA+acosC; ③cosC+(cosB- sinB)cosA=0. (1)求角A的大小； (2)若 求△ABC的面积. 17. 欧拉公式： (i为虚数单位，x∈R)，是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”. (1)根据欧拉公式计算 (2)设函数 求函数f(x)在 上的值域. 3 18. 如图,在四棱锥S-ABCD中, 平面SAD⊥平面ABCD, SA=SD=AD=2, 四边形ABCD为正方形, E、M分别为AD、BC的中点. (1)求证: EM∥平面SCD; (2)求证: 平面SAD⊥平面SCD; (3)在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在，求 若不存在，说明理由. 19.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程 其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数 类似的，我们可以定义双曲正弦函数 它们与正、余弦函数有许多类似性质. (1)判断双曲余弦函数的奇偶性和单调性(直接写结论，不用证明)； (2)(i) 证明 (ii)类比正弦函数和余弦函数的和(差)角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明； (3)是否存在实数a，使得函数 在R上的最大值为0?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 4 汕头市潮阳实验学校2024~2025学年度第二学期 高一期中考数学参考答案 1.【答案】C【解析】先化简集合B的元素再求A∪B. 【详解】由B={x|-2<x<2,x∈z}={-1,0,1},所以A∪B={-1,0,1,2}故选: C 2.【答案】B【分析】利用复数的乘法运算计算得解.【详解】 3.【答案】D 4.【答案】A【详解】因为c>0, 若a>b, 由不等式的性质知, ac> bc, 即a>b可以推出 ac> bc,若 ac> bc, 则有 ac-bc=c(a-b)>0, 所以a-b>0, 得到a>b, 即 ac> bc可以推出a>b,所以“a>b”是“ac> bc”的充要条件, 故选: A. 5.【答案】C【详解】向量a在向量e上的投影向量为： 6.【答案】C 【详解】A: 若α∥β, m∥α, n∥β, 则m∥n或m,n异面或m,n相交, 故A 错误; B: 若α∥β, m⊥α, n∥β, 则m⊥n, 故B错误; C: 若α⊥β, m⊥α, n⊥β, 则m⊥n, 故C正确; D: 若α⊥β, ml/α, n/lβ, 则m⊥n或m,n相交, 或m,n异面, 故D错误; 7.【答案】A【详解】由函数 在定义域R上为增函数，则满足 解得3<a≤4, 即实数a的取值范围为(3,4].故选: A. 8.【答案】D 【详解】设 因为 所以 因为||AE|=|CE|=2所以∠ACE=∠CAE=α, ∠CEB=2α, ∠BCE=2π/-α. 在△BCE中，由正弦定理可得 即得 化简得 即 故 解法一：因为 所以 故选: D. 解法二：在△ABC中，由正弦定理得 即 得 所以 故选: D. 9.【答案】BC【详解】由正弦定理有 即 解得 注意到AB>AC从而 所以角C的可能取值是 故选: BC. 10.【答案】ABD 【详解】解: ∵将f(x)=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)= sin(2x-2φ)的图象, 故当 时， 为偶函数，故A 正确； 当 时，求得 为最大值，可得 是函数 的一条 对称轴，故B正确； 当 故 没有单调性，故C错误； 若函数y=g(x)+1= sin(2x-2φ)+1|的一个对称中心为 则 即 令k=-1, 可得 故D 正确, 故选: ABD. 11.【答案】ACD【详解】∵f(1+x)为偶函数, ∴f(1-x)=f(1+x), ∴f(x+2)=f(-x), 且函数f(x)的图象关于直线x=1对称, 2 又f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 且函数f(x)的图象关于点(2,0)对称, ∴函数f(x)的周期为4, 故正确; ∵当0<x≤1时, 而 ,故B错误； 当0≤x≤2时, f(x)与 均为奇函数， 则当-2≤x≤0时, ∴当-2≤x≤2时, 又f(x)与 的周期都为4， 在R 上成立，故C 正确. 函数g(x)的零点可看作y=f(x)与 的图象交点的横坐标，作出. 与 的图象， 观察图象知，直线 与y=f(x)的图象共有7个交点，且它们关于点(2，0)成中心对称，∴所有零点之和为3×4+2=14, 故D 正确; 故选: BCD. 12.【答案】2【详解】函数 所以 故答案为：2 13.【答案】 【详解】 3 如图, 作D₁E₁∥DE, 易知E₁是C₁B₁的中点, 连接CE₁, 故∠CD₁E₁即为所求角,设正方体的棱长为2，由勾股定理得 在△CD₁E₁中，由余弦定理得 故答案为： 14.【答案】 7 [-4,2 -9)【详解】锐角△ABC中, 所以 由正弦定理得 故b=5sinB,c=5sinC, 由余弦定理得 即 故 令 则 因为b=5sinB,c=5sinC, 所b+c=5sinB+5sinC=5sinB+5sin(A+B)=5sinB+5( cosB+ cosB) 其中锐角φ的终边经过点(2，1)，故 因为△ABC为锐角三角形，所以 故 注意到： 所以 所以 因为 所以 从而 因为 故g(t)在 上单调递减，其中 所以 的取值范围是 故答案为： 15.【详解】(1) ∵A(1,2), B(3,5), C(4,m), ∴AB=(2,3), AC=(3,m-2). ……2分 ∵A,B,C三点共线, ∴AB∥AC, ∴2(m-2)-3×3=0, 解得 即实数m的值为 ……5分 (2) 由(1)知 4 即m=0. …8分 … 10分 以△ABC的边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是底面半径 高 的圆锥， 故该几何体的表面积为 …13分 16.【详解】(1) 若选①: 因为2bcosA=ccosA+acosC, 由正弦定理可得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC= sin(C+A)=sinB,………4分 且B∈(0,π), 则sinB>0, 可得( ……6分 且A∈(0,π), 所以. ……7分 若选②：因为 由正弦定理可得： …3分 且B∈(0,π), 则sinB>0, 可得 ……6分 且A∈(0,π), 所以 ……7分 若选③：因为 则 可得： … 3分 且B∈(0,π), 则sinB>0, 可得t , ……6分 且A∈(0,π), 所以 …7分 (2) 由(1) 可知: 由余弦定理可得： , …10分 又 即28=64-2bc-bc, 解得 bc=12. …13分 所以三角形的面积 …15分 17.【详解】(1 …5分 …10分 因为 所以 即f(x)∈[-4,2]……153 5 18.【详解】(1) 在正方形中, E、M分别为AD、BC的中点,所以EM∥CD, 因为EM⊄平面SCD, CD⊂平面SCD,所以EM∥平面SCD. ………4分分 (2) 由于平面SAD⊥平面ABCD, 且交线为AD,由于CD⊥AD,CD⊂平面ABCD, 所以CD⊥平面SAD,由于CD⊂平面SCD, 所以平面SAD⊥平面SCD. ………1 (3) 存在, 当N为SC中点时, 平面DMN⊥平面ABCD, ……11分 证明如下:连接EC, DM交于点O, 连接SE.0分 因为ED∥CM, 并且ED=CM , 所以四边形EMCD为平行四边形, 所以EO=CO. 又因为N为SC中点, 所以NO∥SE. ………13分 因为平面SAD⊥平面ABCD, 平面SAD∩平面ABCD=AD, 又SE⊂平面SAD, 由已知SE⊥AD, 所以SE⊥平面ABCD, ………15分 所以NO⊥平面ABCD. 又因为NO⊂平面DMN, 所以平面DMN⊥平面ABCD. 所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD， …17分 19.【详解】(1) 双曲余弦函数y= coshx是偶函数, ……1分在(-∞,0]上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增. ……3分 所以 …5分 (ii) 结论; cosh(x+y)= coshxcoshy+ sinhxsinhy………7分 证明: 右边= coshxcosh y+ sinh xsinhy …9分 所以 cosh(x+y)= coshxcoshy+ sinhxsinh y成立. (注：以下三个结论有证明也得分)： sinh(x+y)= sinhxcoshy+ coshxsinhy, sinh(x-y)= sinhxcoshy-coshxsinh y cosh(x-y)= coshxcoshy-sinhxsinhy (3) 令t= coshx, 因为 当且仅当 即x=0时取等号，所以t∈[l,+∞). ……10分 因为 cosh(x+y)= coshxcoshy+ sinhxsinhy, cosh²x-sinh²x=1, 所以cosh2 那么函数 …13分 因为函数 在(0,+∞)上单调递减, 要使 在R上最大值为0，则 在[1,+∞)上有最小值1. ……14分函数 的对称轴为 当 即a≥-4时, u在[1,+∞)上单调递增, 则 由1+a=1, 解得a=0. 当 即a<-4时, u在 上单调递减，在( 上单调递增， 则 由 即 此方程无实数解. 综上，实数a的值为0.………17分 7 学科网（北京）股份有限公司 $$