精品解析：2025年河南省周口市扶沟县中考一模数学试题

2024-2025学年九年级数学一模试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A B. C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴四个数中比小的数是， 故选：B． 2. 《哪吒2》上映了，以其深刻的主题、精良的制作、动人的音乐和丰富的彩蛋，赢得了观众的喜爱和认可，DeepSeek预测其票房将突破160亿．数据“160亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的应用．科学记数法将数字表示为的形式，其中，n为整数．需要将“160亿”转换为科学记数法，并匹配选项．本题关键在于将“160亿”准确转换为科学记数法，注意a的取值范围及指数的计算．正确选项需满足a在1到10之间且指数与原数位数对应． 【详解】解：160亿=． 故选：C． 3. 如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：． 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 7. 下列运算一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B；根据积的乘方运算法则计算并判断C；根据幂的乘方运算法则计算并判断D． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 9. 如图，、是的切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ） A. 60° B. 20° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线性质得出，根据，得出，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】解：设交于，连接， ∵、是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 10. 如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，则，因为是直角三角形，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即可求出正方形的边长，从而可得点的坐标，根据旋转的性质可知正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称，根据中心对称的性质即可得到第次旋转结束后，点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， 点的坐标为， ，， 是直角三角形， ， ， 解得：， 正方形的边长为， 点的坐标是， 正方形绕点顺时针旋转，每次旋转， 又， 正方形绕点顺时针旋转次回到出发点， ， 正方形绕点顺时针旋转次，到达的位置与点的位置关于原点中心对称， 将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后点的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、中心对称图形的性质、旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出点的坐标，再根据旋转的性质和中心对称的性质求出旋转次后点到达的位置的坐标． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 12. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 13. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 14. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，去绝对值，再进行加减运算； （2）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 18. 如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，结合，利用即可证明； （2）作的垂直平分线，分别交于点，连接即可． 【小问1详解】 证明：， ，． 在和中，， ； 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ， 由（1）的结论可知，, 又∵, 则, ∴ ， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， 如图所示，菱形为所求． 【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，平行线的性质，三角形全等的判定，菱形的判定，熟练掌握垂直平分线的作法及三角形全等的判定定理是解题的关键． 19. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识， （1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解； （2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵， ∴如图， 设，则，由勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴， ∴折射率为：． 【小问2详解】 根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形，点O是中点， ∴，， 又∵， ∴， 在中，设，， 由勾股定理得，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴截面的面积为：． 20. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧． （1）求反比例函数的解析式； （2）求弧所在圆的半径； （3）直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为， ， , ， 所在圆的半径为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 21. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 （2）该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 小问1详解】 解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． 【小问2详解】 解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级引发点的高度为． ①直接写出a，b值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______．∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2）不发生变化．理由见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质，折叠的性质及平行线的性质可得出答案； （2）由折叠的性质可得出，．证出．过点作交于点，由折叠的性质，可知，证出．则可得出结论； （3）可分和 两种情况讨论．由勾股定理及直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：（1）补充内容为：①；②． 故答案为：①；②； （2）不发生变化． 理由如下：由折叠性质，可知，． 又∵， ． ． ∴． 过点作交于点， 如图1所示，则． ∵，， 四边形为平行四边形． ． ∵， ． 将矩形纸片沿过顶点的直线折叠， ， ． ． 由折叠的性质，可知， ． （3）， 不可能为直角． 则可分和两种情况讨论． ①当时， 如图2所示． ， ， ，，三点共线， 即． 由（2）可知四边形为平行四边形， 此时四边形为菱形， ． 又， ． ， 设，则，． 在中，， 即， 解得． ． 由（2）可知， ； ②当时， 如图3所示．设，则，， ，， ∴． 又∵， ∴， ． 又， ． ． ， ， 即． 又， ， ． ， 解得 或 （舍去）． ， 由（2）可知， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级数学一模试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，按答题卡上注意事项要求把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分共30分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A. B. C. 4 D. 1 2. 《哪吒2》上映了，以其深刻的主题、精良的制作、动人的音乐和丰富的彩蛋，赢得了观众的喜爱和认可，DeepSeek预测其票房将突破160亿．数据“160亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 下列运算一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、是的切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ） A. 60° B. 20° C. 30° D. 45° 10. 如图，正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的“赵爽弦图”．以顶点为原点、边所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点，将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是________． 12. 如图，，与相交于点，且与面积比是，若，则的长为______． 13. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 14. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 15. 如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 18. 如图，与相交于点，，． （1）求证：； （2）用无刻度的直尺和圆规作图：求作菱形，使得点M在上，点N在上．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 19. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． （1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率； （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积． 20. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧． （1）求反比例函数的解析式； （2）求弧所在圆的半径； （3）直接写出图中阴影部分的面积． 21. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 综合与实践课上、数学老师让同学们通过折纸进行探究活动． 【动手操作】 如图1，将平行四边形纸片沿过顶点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点，再沿着过点的直线折叠，使得点落在边上的点处，折痕交于点．将纸片展平，画出对应点，及折痕，，连接，，． 【初步探究】 （1）确定和的位置关系及线段和的数量关系． 求知小组经过一番思考和研讨后，发现，证明过程如下： 由折叠，可知，． 又由平行四边形的性质，可知，∴． ∴①______．∴． 先测量和的长度，猜想其关系为②______． 奋进小组经过一番思考和研讨后，发现在寻找和的数量关系时，方法不一： 方法一：证明，得到，再由可得结论． 方法二：过点作平行线交于点，构造平行四边形，然后证可得结论 补充上述过程中横线上的内容：①______；②______． 【类比探究】 （2）如图2，将平行四边形纸片特殊化为矩形纸片，重复上述操作．请判断和的位置关系及和的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点，连接．当为直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $