精品解析：广东省潮州市松昌中学2024-2025学年高二下学期期中教学检测数学试卷

潮州市松昌中学2024-2025学年度第二学期期中教学检测 高二级数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A 2 B. 1 C. D. 6 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（ ）元/t. A. B. C. D. 4. 今天是星期四，经过天后是星期（ ） A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 5. 用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 60个 C. 72个 D. 120个 6. 已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（    ） A. B. C. D. 7. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为64 C. 常数项为1215 D. 二项式系数最大的项为第3项 10. 如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则( ) A. B. C. D. 11. 若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（ ） A 1 B. 2 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有________种. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为__________. 14. 若的二项展开式中第项和第项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为_____ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知（）在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 17. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 18 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）当时，如果曲线恒在轴上方，求的取值范围. 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． （1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； （2）当每件产品售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 潮州市松昌中学2024-2025学年度第二学期期中教学检测 高二级数学科试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的概念求解. 【详解】由已知有， 则. 故选：B 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由，则，而， 所以点处的切线方程为，即. 故选：A 3. 日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（ ）元/t. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出函数的导函数，然后令即可求解． 【详解】因为， 所以， 则， 故选：． 4. 今天是星期四，经过天后是星期（ ） A. 三 B. 四 C. 五 D. 六 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式定理的通项公式，得到除以7余数是1，然后利用周期性进行计算即可． 【详解】解：一个星期的周期是7， 则， 即除以7余数是1， 即今天是星期四，经过天后是星期五， 故选：． 5. 用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ） A. 48个 B. 60个 C. 72个 D. 120个 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊元素优先法，结合计数原理以及排列数，可得答案. 【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为， 若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为， 所以五位数为偶数的情况数为. 故选：B 6. 已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值． 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 7. 某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ） A. 48 B. 54 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，再考虑甲特殊情况. 【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有 种方法； 由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选， 所以由 种方法； 按照分步乘法原理，共有 种方法； 故选：C 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为64 B. 所有项的系数和为64 C. 常数项为1215 D. 二项式系数最大的项为第3项 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式系数和性质可判断选项A；用赋值法求出所有系数和可判断选项B；求出展开式的通项可判断选项C，由二项式系数的性质可判断D. 【详解】的展开式所有项的二项式系数和为，选项A正确； 中令得，选项B正确； 展开式通项为， 令，得，所以常数项为，选项C正确； 二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式系数性质，熟记通项是解题的关键，掌握赋值法求系数和，属于中档题. 10. 如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则( ) A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图像即可求f(3)，可判断A；根据l过(3，1)可求，可判断B；根据f(3)可计算g(3)，可判断C；根据可求，可判断D. 【详解】由图可知，f(3)＝1，故A正确； (3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误； ，则，故C正确； ，，故D正确. 故选：ACD. 11. 若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将函数有两个零点问题转化成直线与曲线有两个交点问题，对求导，分析其单调性，再数形结合即可求解. 【详解】由，得，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，且， 作出的大致图像如图所示， 要使有两个不同的零点，只需直线与的图像在区间上有两个交点． 数形结合可知m的取值范围为． 故选：BCD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有________种. 【答案】27 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】易知每个人都有3种选法，故不同的选法有27种. 故答案为：27. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在区间上单调性可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在上的最大值即可求解. 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即恒成立，因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 若的二项展开式中第项和第项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由二项式系数相等求得，写出二项展开式通项公式，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组求得，从而得结论． 【详解】由题意可得，的通项公式为， 设第项的系数最大，解得，所以最大的系数为 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）1 （2）243 （3） 【解析】 【分析】（1）设，求出即可； （2）先利用二项式定理确定系数的正负，从而得出； （3），最后计算即可. 【小问1详解】 设， 则. 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴. 【小问3详解】 . 16. 已知（）在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）1；（2）增区间为，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）求导，由已知得，解得的值，再代入检验可得结论. （2）由（1）得，求导，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间. （3）由（2）得出的函数的单调性可求得函数的极值，从而求得函数的最值. 【详解】（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故. （2）由（1）得，，由得或；由得. 故的单调增区间为，，单减区间为. （3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值、单调性、最值，属于中档题. 17. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解； （2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解； （3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； （4）利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【小问1详解】 从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法， 再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法， 【小问2详解】 先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种， 由乘法原理共有种排法. 【小问3详解】 先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种， 【小问4详解】 甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种. 18 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）当时，如果曲线恒在轴上方，求的取值范围. 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解， （2）由导数与单调性的关系求解， （3）由题意得不等式在上恒成立，参变分离后转化为最值问题求解， 【小问1详解】 时，， 故， 故切线方程是：，即； 【小问2详解】 ， ①当时，由于，故，∴， ∴的单调递增区间为，无单调减区间； ②当时，令，得， 在区间上，；在区间上，； ∴的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意知在上恒成立，即在上恒成立， 令， 则， 令，解得：；令，解得：； 故在递增，在递减， 而， ∴在上， 故，即a的范围为 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． （1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； （2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）通过利润＝每件产品利润×售价，代入计算即可． （2）通过利润表达式求导函数，由a的范围分类讨论原函数的单调性，并求出a在不同范围内的利润的最值即可． 【小问1详解】 分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：． 【小问2详解】 ． 令得或（不合题意，舍去）． ，．在两侧的值由正变负． 所以当即时， ． 当即时，， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$