4.5.3 函数模型的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用 我们学过的基本初等函数有一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数以及幂函数.它们都与现实世界有着紧密的联系,有着广泛的应用. 下面我们通过一些实例,来感受它们的广泛应用,体会解决实际问题建立函数模型的过程. 例1. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率. 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 人口数/万 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 1958 1959 65994 67207 下表是1950~1959年我国的人口数据资料： 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)，用马尔萨斯人口模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 解： (1) 设1951~1959年我国各年的人口增长率分别为 ， ，…… . 可得1951年的人口增长率 同理可得， 于是，1951~1959年期间，我国人口的年平均增长率为 可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. 则我国在1951~1959年期间的人口增长模型为 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数 的图象. 由计算工具得： 所以，如果人口按照(1)中的模型增长，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)，我国的人口就已达到13亿. 解： (2) 将题意知y=130 000，代入： 1、本题是应用已知的模型，解决实际问题. 2、在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的 使用条件. 总结： 上面涉及的实际问题，是应用已知的函数模型解决，接下 来是根据问题的条件自己建立函数模型解决. 例2. 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番． 请问,你会选择哪种投资方案？ 分析：用我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 解：设第x天所得回报是y元，则 方案一：y=40 (x∈N*)是个常值函数型； 要对三个方案进行选择，需要对它们的增长情况做细致分析. 方案二：y=10x (x∈N*)是个正比例函数型，是递增的； 方案三：y=0.4×2x-1 (x∈N*)是个“指数”函数型，是递增的. 我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况 x 方案一 方案二 方案三 y 增加量/元 y 增加量/元 y 增加量/元 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· 30 40 0 300 10 214784364.8 107374182.4 再画出三个函数的图象 函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，用虚线连接离散的点. y=40 y=10x y=0.4×2x-1 由表和图象可知，方案一的函数是常函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同. 可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的. 从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元. 根据这里的分析，是否应作这样的选择： 投资5天以下选方案一； 投资5~8天选方案二； 投资8天以上选方案三？ 思考： 下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下： 方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8 因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三. 上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异. 总结： 1.本题是自己建立函数模型解决实际问题； 2.函数的三种表示法：解析式、列表、图象各显身手，发挥自己的优势； 3.经历用数学的眼光看现实世界的过程，进一步理解函数的概念、函数的三要素、函数的图象和性质，感受数形结合的强大威力； 4.感受不同函数模型的不同特点，如：常值函数f(x)=m“保持不变”，一次函数f(x)=kx+b，k>0“直线上升”，指数函数f(x)=ax，a>1“指数爆炸”，对数函数f(x)=logax，a>1“平稳增长”等. 基本步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息. 基本步骤： 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型. 基本步骤： 第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果. 第四步：再转译为具体问题作出解答. 实际问题 数学模型 实际问题的解 抽象概括 数学模型的解 还原说明 推理 演算 小结：函数建模 实际情境 提出问题 数学模型 数学结果 检验 可用结果 合乎实际 不合乎实际 收集数据 画散点图 选择数学模型 求函数模型 检验 用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际 $$