8.1 与三角形有关的边和角（23大题型提分练）（题型专练）数学新教材华东师大版七年级下册

8.1 与三角形有关的边和角（23大题型提分练） 知识点1：三角形有关的概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）． （2） 三角形的表示 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作 “△ABC”，读作“三角形ABC”。 如图，三角形有三个顶点：A、B、C；有三条边：AB、BC、AC;有三个角：、、． △ABC的三边用表示时，所对的边BC用表示．所对的边AC用表示．所对的边AB用c表示． 知识点2:三角形的分类 三角形的分类： 知识点3：三角形中边的关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 ： 三角形的稳定性： ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5： 三角形的重要线段 知识点6：面积法解题 例如：如图7 -4 -6，在△ABC中，AB =AC，AC边上的高BD= 10，求AB边上的高CE的长． 解析：由三角形面积公式有： 因为AB =AC，BD =10， 所以CE= BD= 10. 知识点7 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 题型一 三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和差关系，由题意可得，即得，得到，最后根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 【答案】 5 4 3 【分析】本题考查了三角形周长公式，三角形的边长关系，解题的关键在于理解并应用三角形的周长公式； 根据三角形周长公式及题目中给出的关系式，代入求值即可． 【详解】解：的周长为12， ， ，， ， 解得：， ，， 故答案为：5，4，3． 5．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 【答案】（1）3；3；2；（2）=；； 【分析】本题主要考查了三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．根据三角形的性质计算即可； 【详解】解：（1）根据测量可得：，，； 故答案为：3；3；2； （2），，． 故答案是：=；；． 题型二 三角形的个数问题 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 4．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 【答案】44 【分析】本题主要考查分类讨论的思想，根据三角形中包含的小三角形的个数进行分类求解，再求总数即可． 【详解】解：由一个小三角形组成的三角形数量为16个； 由二个小三角形组成的三角形数量为16个； 由四个小三角形组成的三角形数量为8个； 由八个小三角形组成的三角形数量为4个； 则共有个， 故答案为：44． 5．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 【答案】4个三角形,三角形的个数与四边形的边数相等 【分析】本题主要考查的是图形的规律性问题，根据图形得到一般规律是解题的关键．首先观察图形，结合三角形的定义及识别方法得到三角形的个数；然后再结合三角形的个数与多边形的边数进行分析，即可完成解答． 【详解】解：为四边形内一点，连接、、、可以得到4个三角形； 三角形的个数与四边形的边数相等． 题型三 三角形的分类 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）类比“三角形”特殊化后得到研究对象等腰三角形，把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，熟练掌握三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形是解题的关键． 根据三角形按边分类解答即可． 【详解】解：∵三角形按边分为：等腰三角形和没有边相等的一般三角形，等腰三角形分为：等边三角形和底与腰不等的等腰三角形． ∴把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象“等边三角形”． 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类，理解并掌握三角形的分类是解题的关键． 三角形根据角度分为：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是钝角， ∴与可能是两个锐角， 故选：D ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 【答案】 8 cm，12 cm，12 cm 等腰 【分析】本题考查了三角形的分类，根据题意设三角形三边的长度比为，即可列方程求解． 【详解】解：设三角形三边的长度比为， 则：， 解得： ∴ 故答案为：①8 cm，12 cm，12 cm②等腰 4．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 【答案】 20 锐角 【分析】本题主要考查了三角形的分类．设顶角度数为，则，即可解得，故三个内角度数为20，80，80，即可得它是锐角三角形． 【详解】解：设顶角度数为，则， 解得， 故三个内角度数为20，80，80， 它是锐角三角形． 故答案为：20，锐角． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有： 【分析】根据三角形的分类进行求解即可． 【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：． 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键． 题型四 三角形的稳定性及应用 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度 C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 2．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 本题考查三角形的稳定性，关键在于熟记三角形具有稳定性的特征． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得A、B、D都具有稳定性，不具有稳定性的是C选项． 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）要使一个六边形框架稳固且不活动，至少要钉 根木条． 【答案】3 【分析】此题主要考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．过同一顶点作对角线把木架分割成三角形，解答即可． 【详解】解：如图所示，至少要钉上3根木条． 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）修理一把摇晃的椅子，我们可以斜着钉上一块木条（如图），其中所涉及的数学原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：图中的椅子斜着钉上一块木条，与椅子两边合成了一个三角形，是运用了三角形的稳定性原理． 故答案为：三角形的稳定性． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查三角形的稳定性在生活中的具体应用，根据三角形的稳定性进行解答即可． 【详解】解：木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是三角形的稳定性． 题型五 画三角形的高 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列各图中，能正确画出的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：A、是的边上的高，不是的边上的高，不符合题意； B、不是的边上的高，不符合题意； C、是的边上的高，不是的边上的高，不符合题意； D、是的边上的高，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键，根据三角形高的定义判断，即可得到答案． 【详解】解：∵中边上的高，是过点并垂直的线段， ∴为边上的高， 故选：C． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H， 的高线是 ； 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据定义判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； 故答案为：， 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，边上的高是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可． 【详解】解：根据高的定义，为中边上的高． 答案为：． 5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，画出中边上的高； 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的高线，根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高定义作图即可． 【详解】解：如图所示，即为中边上的高 题型六 与三角形的高有关的计算问题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（   ） A．60 B．120 C．90 D．100 【答案】B 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积等知识，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为12， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在中，，边上的高，，则的面积为（   ） A．16 B．8 C．12 D．8或16 【答案】D 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，分类讨论是解答的关键．分高在三角形的内部和外部求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①如图， ∵，， ∴， ∴； ②如图， ∵，， ∴， ∴； 综上，的面积为8或16， 故选：D． 3．（河南省三门峡市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解： 由题意得：，，， ， 的边上的高为，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，点，都在线段上，分别过点、作的垂线、，连接、、、、交于点，已知，．如果的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先根据，，得到，然后求出，，根据，，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴ ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先画图，根据三角形的面积公式即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图： ∵，是边上的高，，，． ∴； ∴ ∴； （2）解：∵的边上的中线是 ， ∴． 题型七 垂心 1．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 2．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 【答案】D 【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确； B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确； C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确； D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·广东江门·期中）若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高交于三角形外部进行求解即可． 【详解】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解题的关键． 4．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，连接并延长交于点F，若，，，则值为 【答案】 【分析】由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而可得，设，则有，，，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，，k不为0， ∴，化简得：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业） (1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可； （2）根据（1）所作图形进行求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部． 【点睛】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键． 题型八 根据三角形中线求长度 1．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．垂直平分线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质及三角形的中线，正确掌握中线的定义，即可解题． 【详解】解：根据折叠的性质得， ， 是的中线． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，为中线，，，则与的周长之差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线和三角形周长，先根据中线的性质得，再根的周长为，的周长为，两者相减即可得到周长差． 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， 的周长为：， 的周长为：， 与的周长之差为：， ∵，， ∴，即与的周长之差为4， 故选：A． 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图所示，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴周长为：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点是的重心，延长交于点，延长交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的重心性质，掌握三角形的重心性质是解决问题的关键．根据三角形重心的定义，即三角形三条中线的交点，可得，，即可求解． 【详解】解：点是的重心，延长交于点，延长交于点， ，， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出，是解题的关键．根据中线的定义知．结合三角形周长公式知；又．即可求出的长度． 【详解】解：是边上的中线， 为的中点，． 的周长的周长． ． 又， ，即． 即的长度是． 题型九 根据三角形中线求面积 1．（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线，且的面积为， ∴， 又∵是的的中线， ∴ 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，面积为，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形面积有关的计算，连接，由题意得，从而得出，求出，设的面积为，则的面积为，，，结合，得出的面积为，的面积为，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵面积为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设的面积为，则的面积为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴的面积为，的面积为， ∴, 故选：A． 3．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接、、， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，进而可得；然后根据同理可得：，从而可得，再根据同理可得：，即可解答． 【详解】解：∵三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形， ∴， ∴， ∴； 同理可得：， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：30． 5．（23-24九年级上·浙江·期末）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． (1)在图1中的线段上找一点D，连接，使平分的面积． (2)在图2中的线段上找一点E，连接，使平分的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的周长及比例线段问题，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键； （1）因从点B到点C水平数方格共7个，故中点在第3单元格和第4单元格个中点，连接第3单元格和第4单元格的对角线即得到的中点D，连接即为所求； （2）由图可知，从点B到点C水平数方格共7个，连接第2单元格和第4单元的对角线即得到点E，连接即为所求； 【详解】（1）如图所示：中线平分的面积．   （2）如图所示：平分的周长． 题型十 重心的概念 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键．根据三角形重心的定义可知为中线，即可选择． 【详解】解：因为的重心为，点在线段上， 所以，故C符合题意； 不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长， 所以A、B、D都不符合题意． 故选C． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点．三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心． 故选A． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据重心是三角形中线的交点，得到，解得即可． 本题考查了重心的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据重心是三角形中线的交点，得到， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期中）三条中线的交点叫做的 ． 【答案】重心 【分析】此题考查了三角形重心的概念，根据题意即可求解，解题的关键是正确理解三条中线的交点叫做三角形的重心． 【详解】三条中线的交点叫做的重心， 故答案为：重心． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查的是三角形重心的性质． （1）由点为的重心，可知是的中线，进而即可求解； （2）由三角形重心可得，进而即可求解． 掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵点为的重心（即：点为三条中线、、的交点）， ∴，则， 故答案为：； （2）∵点为的重心，    ∴由三角形中线性质可得：，，， 则：，， ∴，， ∴， 则，即：， ∵， ∴， 题型十一 三角形角平分线的定义 1．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的定义，线段与直线都没有方向性，而射线具有方向性；线段有两个端点，可以度量，而射线和直线都无法度量．根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线， ∴三角形的角平分线是线段． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，是的角平分线，是边上的中线（填“”“”或“”）． （1） ； （2） ． 【答案】 【解析】略 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 【答案】 /80度 3 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 5．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，（1）根据平行线的性质可得，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可得，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴． 题型十二 利用网格求三角形面积 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得的面积等于正方形的面积减去个直角三角形的面积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可． 【详解】解：如图，作长方形， ∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1， ∴，，，，，，， ∴． 故答案为： 4．（22-23七年级上·广西防城港·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形网格图中，每个小方格（都为正方形）的边长为1．的三个顶点都在格点上， (1)画出的中线； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】此题考查了画三角形中线以及性质，利用割补法求三角形面积， （1）根据三角形中线的定义画出图形； （2）求出的面积，然后根据三角形中线的性质可得结论． 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵的面积 ∵是的中线， ∴的面积． 题型十三 三角形的外角的定义及性质 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，直线过的顶点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．根据三角形外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）将含有和的一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（） A． B． C． D．105° 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，熟知三角形的外角定理是解题的关键。根据三角形的外角定理即可解决问题。 【详解】由三角形的外角定理可知， ． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角的性质，根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是： （）由三角形内角和定理可得，进而可得，再根据三角形内角和定理计算即可求解； （）根据三角形内角和定理并结合已知可得，然后结合即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 题型十四 三角形内角和定理的证明 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 2．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 4．（22-23七年级上·全国·课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于 ． 【答案】180° 【解析】略 5．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 题型十五 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求出∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的以及角的和差计算，连接，设，，，，由平行线的性质得，进一步得出，从而可得结论 【详解】解：连接，如图， ， 设，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ， ∴ 故答案为： 5．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 题型十六 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，中，与的角平分线交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和为是解答此题的关键．先根据得出的度数，再根据、分别为及的平分线得出，，即，再由三角形内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵、分别为及的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，然后在中，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线定义的应用，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，求出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，点是角平分线的交点，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和，角平分线，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和，角平分线定义可得，，再根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角之和是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质即可求解； （2）由三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ； （2）， ， 平分，平分， ，， ， ． 题型十七 三角形内角和定理的应用 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，若，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，，，再结合题意求解即可，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由三角形内角和定理可得：，，， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南许昌·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得出，结合，即可求出的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    【答案】45 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据网格特点得，利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据网格特点，， ∵， ∴， 故答案为：45． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，如果，则 °． 【答案】40 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于是解题的关键． 先根据角的比设出各角的度数，再利用三角形的内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， 设， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：40． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，的边和的边在同一条直线上，交于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定与性质．先根据，推出，再结合，利用三角形内角和定理求出，由同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十八 三角形折叠中的角度问题 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴, 故选：C． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为（   ）度． A．95 B．100 C．105 D．120 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则，据此求出，进而求出，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题，平角的定义等知识点，根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得,,从而得到,进而即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，图形的折叠的性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：, 由折叠的性质得：, , ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度； 【答案】50 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处 又， 故答案为：50 5．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型十九 直角三角形的两个锐角互余 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是关键． 根据直角三角形的两个锐角互余即可解答． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，另一个锐角是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角的个数，直角三角形两锐角互余，注意同一角由多种表示法，不能遗漏也不能重复，先确定直角，在找互余两角是解题关键．根据直角三角形两个锐角互余，找出直接与相加的角，或与的等角相加等于的角即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角有三个，分别为，，，不与互余． 故选择． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了直角三角形的性质及一元一次方程的应用，解题时注意：在直角三角形中，两个锐角互余．根据比例设两锐角分别为，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设两锐角分别为，由题意得 解得， 所以这个直角三角形的最小锐角度数为． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线． (1)求的大小； (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角的和差可得，根据垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，由直角三角形两锐角互余可得，在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， 在中，， 在中，． 题型二十 锐角互余的三角形是直角三角形 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义、分类讨论思想等知识点，根据题意画出图形是解题的关键． 分为斜边和直角边两种情况分别画出所有可能的直角三角形即可解答． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有4个， 如图： ②为直角边，或者，满足上述条件的点C有4个， 如图： 综上，满足上述条件的点C有8个． 故选C． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 故选D． 3．（22-23七年级下·山东烟台·期末）直角三角形的判定定理：有两个角 的三角形是直角三角形． 【答案】互余 【分析】根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，进行作答即可． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形； 故答案为：互余． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，是解题的关键． 4．（22-23七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 【答案】/15度 【分析】设较小的锐角是x度，则另一角是度．再根据直角三角形的两个角互余列方程求解即可． 【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是度． 则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握直角三角形的两锐角互余是解答本题的关键． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段交于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长线段交于点H， ， ． ， ． ， ， ． 题型二十一 构成三角形的条件 1．（24-25八年级上·重庆·期中）下列长度的各组线段可以组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．5，7，4 C．3，4，8 D．3，3，6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得解，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：A、，故2，3，5不能组成三角形，故不符合题意； B、，故5，7，4能组成三角形，故符合题意； C、，故3，4，8不能组成三角形，故不符合题意； D、，故3，3，6不能组成三角形，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图， （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的理解．根据题意利用两边之差小于第三边，两边之和大于第三边即可得到本题答案． 【详解】解：∵两边之和大于第三边， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·期末）从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 5．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）判断下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)三条线段之比为． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分析即可； （2）设三条线段的长度分别为，，，再利用三边关系进行判断即可． 【详解】（1）解：能， 因为，，， 所以能组成三角形； （2）解：不能， 设三条线段的长度分别为，，， 因为不满足三角形的三边关系， 故不能． 题型二十二 确定第三边的取值范围 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知三角形两边的长分别为4和9，则第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可． 【详解】解：此三角形第三边的长为x， 则， 即， 只有选项C符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么a取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得解． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 故a取值范围， 故选：D． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键；因此此题可根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：x的取值范围是，即； 故答案为． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）已知三角形的两边长分别为5和10，则第三边的长可以是 （填正整数）． 【答案】6 （答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 解得：． 故答案为：6（答案不唯一） 5．（24-25八年级上·吉林·期中）已知三角形的三边长分别为3、5和m． (1)若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围； (2)当m为整数时，直接写出三角形周长的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)11，15 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）由三角形三边关系可得，再结合3是该三角形的最短边长即可得解； （2）由（1）可得，，结合m为整数可得的最小值为，的最大值为，再根据周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为3、5和m， ∴，即， ∵3是该三角形的最短边长， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∵m为整数， ∴的最小值为，此时周长最小，为， 的最大值为，此时周长最大，为． 题型二十三 三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）以下列长度的三条线段为边，不能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴，能构成三角形，不符合题意； 、∵，，， ∴，能构成三角形，不符合题意； 、∵，，， ∴，不能构成三角形，符合题意； 、∵，，， ∴，能构成三角形，不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（   ） A．3，4，8 B．11，6，5 C．6，2，2 D．5，10，6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系即可进行解答． 【详解】解：A、，3，4，8不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、，11，6，5不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、，6，2，2不能组成三角形，故此选项不符合题意． D、，5，10，6能组成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）如图，线段和线段是三角形的两条边，点D在线段上，点E在线段上，将三角形沿所在直线裁去一个角得到四边形，则四边形的周长 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形的周长，理由是 ． 【答案】 小于 三角形两边之和大于第三边 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边．直接根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵线段是的三条边， ∴根据三角形的两边之和大于第三边，得， ∴四边形的周长小于的周长． 故答案为：小于，三角形两边之和大于第三边． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再解一元一次不等式得，即可得到，从而得到正整数解即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的正整数解为：三个， ∴这样的全等三角形有对， 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 3．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键．根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡， 点是的重心， 线段、、是的三条中线， 故选：A． 4．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，把一副含角和角的直角三角板拼在一起，那么图中度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算问题，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 由题意可得，，，再根据三角形的内角和定理可得，据此即可求出的度数． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·北京房山·期末）同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，设第三根小木条的长度为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到x的取值范围，根据选项中所给长度选求解即可． 【详解】解：设第三根小木条的长度为， 根据题意，得，则， 根据选项中数据，选项A中的符合题意， 故选：A． 6．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 【答案】钝角 【分析】根据得到最大角为，大于，根据三角形的分类解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类标准是解题的关键． 【详解】解：根据， 故三角形的最大角为， 大于， 故该三角形是钝角三角形． 故答案为：钝角． 7．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，由题意得，，据此即可求解； 【详解】解：∵是边上的中线， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为： 8．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质、角平分线的定义；由折叠得和，由题意得和，根据，即可求得． 【详解】解：由折叠的性质得到：，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 10．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中 能摆成三角形（只填序号即可）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形； ②∵，∴，，不能摆成三角形； ③∵，∴，，不能摆成三角形； ④∵，∴，，能摆成三角形． 故答案为：①④． 11．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中， 画出 边上的高 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的高，根据相关定义正确作图即可．根据三角形的高的定义作图即可． 【详解】解：如图，高即为所求作． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别是，边上的中线，若，，且的周长为32，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的有关计算，根据，分别是，边上的中线，，，得出，，再根据三角形的周长为32，得出答案即可． 【详解】解：的周长为32， ， ，分别是，边上的中线，，， ，， ． 13．（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质以及角度之间的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据角度之间的和差关系求出以及，由三角形的外角性质即可求出答案． 【详解】解：是的角平分线      又 ，     在中，，且     则      又是的角平分线      又是的外角      答：的度数是 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】(1)2 (2)购买铁条共需元 【分析】本题考查三角形三边关系，有理数加法的实际应用． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 共有2种制作方案； （2）解：当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需（元）， 答：购买铁条共需元． 71 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 与三角形有关的边和角（23大题型提分练） 知识点1：三角形有关的概念 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）． （2） 三角形的表示 三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作 “△ABC”，读作“三角形ABC”。 如图，三角形有三个顶点：A、B、C；有三条边：AB、BC、AC;有三个角：、、． △ABC的三边用表示时，所对的边BC用表示．所对的边AC用表示．所对的边AB用c表示． 知识点2:三角形的分类 三角形的分类： 知识点3：三角形中边的关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 ： 三角形的稳定性： ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5： 三角形的重要线段 知识点6：面积法解题 例如：如图7 -4 -6，在△ABC中，AB =AC，AC边上的高BD= 10，求AB边上的高CE的长． 解析：由三角形面积公式有： 因为AB =AC，BD =10， 所以CE= BD= 10. 知识点7 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点8 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 题型一 三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是高，是上一点，连接与交于点，且满足，若，则 ． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）的周长为12，三边a、b、c之间存在关系，，则三边长 ， ， ． 5．（22-23七年级上·安徽合肥·期中）（1）用刻度尺量出图中三角形三条边的长． ； ； ． （2）用“=”“<”“ >”填入下面的空格． ， ， ． 题型二 三角形的个数问题 1．（24-25六年级上·山东泰安·期中）如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有 个三角形．（写出所有可能的值） 4．（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）数一数图中共有（   ）个三角形． 5．（23-24七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，为四边形内一点，连接，，，，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 题型三 三角形的分类 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）类比“三角形”特殊化后得到研究对象等腰三角形，把“等腰三角形”特殊化可以得到研究对象（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．正方形 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，被木条遮住了一部分，只露出，则与可能是（    ） A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为，周长为 cm，则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形． 4．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）等腰三角形一个底角等于顶角的4倍，顶角是 度，按角分，它是 三角形． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形． 题型四 三角形的稳定性及应用 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在它上面就可以很方便地使用了，这是利用了（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度 C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边 2．（24-25八年级上·新疆喀什·期末）以下图形不具有三角形稳定性的是（　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）要使一个六边形框架稳固且不活动，至少要钉 根木条． 4．（24-25八年级上·福建福州·期中）修理一把摇晃的椅子，我们可以斜着钉上一块木条（如图），其中所涉及的数学原理是 ． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即），这样做的数学道理是什么？ 题型五 画三角形的高 1．（24-25八年级上·山东济宁·期中）下列各图中，能正确画出的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中边上的高是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H， 的高线是 ； 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，边上的高是 ．    5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，画出中边上的高； 题型六 与三角形的高有关的计算问题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（   ） A．60 B．120 C．90 D．100 2．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在中，，边上的高，，则的面积为（   ） A．16 B．8 C．12 D．8或16 3．（河南省三门峡市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，点，都在线段上，分别过点、作的垂线、，连接、、、、交于点，已知，．如果的面积为，的面积为，则 ． 5．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 题型七 垂心 1．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 3．（22-23八年级上·广东江门·期中）若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 4．（22-23七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，连接并延长交于点F，若，，，则值为 5．（22-23八年级上·全国·课后作业） (1)用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线． (2)观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？ 题型八 根据三角形中线求长度 1．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，下面是某同学的折纸示意图，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．垂直平分线 2．（24-25八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，为中线，，，则与的周长之差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图所示，是的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 4．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点是的重心，延长交于点，延长交于点．若，，则 ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 题型九 根据三角形中线求面积 1．（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，面积为，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 ． 5．（23-24九年级上·浙江·期末）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． (1)在图1中的线段上找一点D，连接，使平分的面积． (2)在图2中的线段上找一点E，连接，使平分的周长． 题型十 重心的概念 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则的重心是（     ） A．点D B．点E C．点F D．点G 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，点O是的重心，则 ．（填“”“”或“”） 4．（23-24八年级上·陕西西安·期中）三条中线的交点叫做的 ． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的重心．      (1)________； (2)若，求长． 题型十一 三角形角平分线的定义 1．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）三角形的角平分线是（    ） A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都对 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，是的角平分线，是边上的中线（填“”“”或“”）． （1） ； （2） ． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则 ． 5．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分，若，，求的度数． 题型十二 利用网格求三角形面积 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 4．（22-23七年级上·广西防城港·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 5．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形网格图中，每个小方格（都为正方形）的边长为1．的三个顶点都在格点上， (1)画出的中线； (2)求的面积． 题型十三 三角形的外角的定义及性质 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，直线过的顶点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）将含有和的一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（） A． B． C． D．105° 3．（24-25七年级上·江苏·期末）如图，若，则 ． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，若，，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 题型十四 三角形内角和定理的证明 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 2．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    4．（22-23七年级上·全国·课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于 ． 5．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 题型十五 与平行线有关的三角形内角和问题 1．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在边，上，若，则的度数为 ． 4．（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，，，，则 ． 5．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 题型十六 与角平分线有关的三角形内角和问题 1．（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，中，与的角平分线交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 ． 4．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，点是角平分线的交点，，则 ． 5．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 题型十七 三角形内角和定理的应用 1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，若，那么（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南许昌·期中）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图．正方形网格中，点，，都在格点上，则 ．    4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，如果，则 °． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，的边和的边在同一条直线上，交于点，，，求证：． 题型十八 三角形折叠中的角度问题 1．（21-22八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，，将纸片的一角折叠，使点落在外，若，则的度数为（   ）度． A．95 B．100 C．105 D．120 3．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 4．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度； 5．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 题型十九 直角三角形的两个锐角互余 1．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一个直角三角形中，一个锐角是，另一个锐角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，是斜边上的高，于点，则下列各角不与互余的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，于点，则的度数是 ． 4．（24-25八年级上·山东济宁·期中）一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 5．（24-25八年级上·天津红桥·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线． (1)求的大小； (2)求的大小． 题型二十 锐角互余的三角形是直角三角形 1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有（   ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（22-23七年级下·山东烟台·期末）直角三角形的判定定理：有两个角 的三角形是直角三角形． 4．（22-23七年级下·云南文山·期末）在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个锐角的度数为 度． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知． (1)如图①，当时，请判断与之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若，求的度数． 题型二十一 构成三角形的条件 1．（24-25八年级上·重庆·期中）下列长度的各组线段可以组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．5，7，4 C．3，4，8 D．3，3，6 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）如图， （填“”，“”或“”）． 4．（24-25九年级上·全国·期末）从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 5．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）判断下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)，，； (2)三条线段之比为． 题型二十二 确定第三边的取值范围 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知三角形两边的长分别为4和9，则第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么a取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）已知三角形的三条边长分别为2，7，x，则x的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）已知三角形的两边长分别为5和10，则第三边的长可以是 （填正整数）． 5．（24-25八年级上·吉林·期中）已知三角形的三边长分别为3、5和m． (1)若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围； (2)当m为整数时，直接写出三角形周长的最大值和最小值． 题型二十三 三角形三边关系的应用 1．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）以下列长度的三条线段为边，不能构成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（   ） A．3，4，8 B．11，6，5 C．6，2，2 D．5，10，6 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）如图，线段和线段是三角形的两条边，点D在线段上，点E在线段上，将三角形沿所在直线裁去一个角得到四边形，则四边形的周长 （填“大于”，“等于”或“小于”）三角形的周长，理由是 ． 4．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有 对． 5．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 1．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，把一副含角和角的直角三角板拼在一起，那么图中度数是（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京房山·期末）同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）在三角形中，已知，按角的特点分类，此三角形是 三角形． 7．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是 ． 8．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了 ． 9．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则 ． 10．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中 能摆成三角形（只填序号即可）． 11．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中， 画出 边上的高 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别是，边上的中线，若，，且的周长为32，求的长． 13．（24-25八年级上·广西百色·期中）如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线．求的度数． 14．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$