四川省资阳天立学校2024-2025学年高一下学期第八周数学周练（A）

2025学年高一下4月第八周数学周练（A） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________ 一、单选题 1．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是（   ） A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 4．设O为等腰内切圆的圆心，，则（    ） A． B． C． D． 5．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，，，O为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 7．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（    ）. A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 8．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．在中，若，，则 C．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D．已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“” 9．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两个，则a的取值范围为 三、填空题 10．已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是 ． 11．如图所示，在中，，且点为边的中点且，则的最大值为 . 12．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 四、解答题 13．已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 14．的内角、、的对边分别为、、，已知，且. (1)求； (2)若的面积为，角C的角平分线为，求的长； (3)若为锐角三角形，E为边的中点，求的取值范围. 15．如图，在△ABC中，，，且，为线段上的两个动点（在的右侧），且    (1)若时，求的长； (2)若△的面积是△的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，△的面积最小，最小面积是多少？ 16．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，求角； (2)若的平分线与边交于点，且，求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025学年高一下4月第八周数学周练（A）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D C C B B ABD BCD AD 1．A 【分析】由条件，利用正弦定理化边为角，再利用二倍角公式及两角和公式化简可得，化简可得或，，再判断三角形形状. 【详解】设的外接圆半径为，则，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 又，，，， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形， 故选：A. 2．D 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 3．C 【分析】由题意结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即， 于是得，解得，显然9适合题意， 故选：C. 4．C 【分析】利用余弦定理求出三角形中，再由内切圆性质得出，根据向量求出即可. 【详解】因为，所以，所以． 由余弦定理，得， 即，解得． 取BC的中点E，连接AE，如图， 则， 所以的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为，所以， 所以，得， 所以，所以， 又， 所以， 所以，所以． 故选：C 5．B 【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值. 【详解】由题意可知，， ， ， ， ， ， . 故选：B. 6．B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 7．ABD 【分析】取线段的中点，得到，所以三点共线，再取线段的中点，证得三点共线，且三点共线，可得判定A正确；由“奔驰定理”，化简得到，可判定B正确；由，化简得到 ，求得，结合，可判定C错误；设内切圆的半径为，利用面积比求得，结合余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，若，则， 如图所示，取线段的中点，连接， 则， 所以，即，所以三点共线， 分别取线段的中点，连接， 同理可证：三点共线，且三点共线， 所以点为的重心，所以A正确； 对于B中，若， 由“奔驰定理”可得，所以， 所以，即，所以B正确； 对于C中，若， 即， 可得， 又由，且不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”，可得，所以C错误； 对于D中，若为的内心，设的内切圆的半径为， 则, 因为，所以， 设，则， 由余弦定理，可得，所以D正确. 故选：ABD. 8．BCD 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断； 对于C，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断； 对于D，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断. 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由即 解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，可知，故D正确． 故选：BCD. 9．AD 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，由正弦定理可得：，又三角形中“大边对大角”，则，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为钝角，即为钝角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 故选：AD 10． 【分析】根据已知条件建系，再应用三角换元计算化简，应用辅助角公式及正弦函数值域求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，且，以A为坐标原点以为x轴，过A且垂直AB的直线为轴建系， 则，因为，设， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 11． 【分析】由余弦定理有，结合基本不等式可得，再由及向量数量积的运算律求的最大值. 【详解】由，则， 又， 所以，即， 所以 ， 而，则， 当且仅当时取等号，故最大值为16， 所以，即的最大值为. 故答案为： 12． 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 13．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解. （2）由余弦定理，得出方程，求得，再由是的平分线，得到，利用，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． （2）解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得，， 所以，解得． 14．(1)； (2) (3) 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； （2）因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； （3）在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 15．(1)2； (2)； (3)时，的面积取最小值为. 【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； （2）设，根据已知条件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，结合角的范围可得出角的值，即可得解； （3）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【详解】（1）由，，， 得， 又，则，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，则，                              因为，所以， ∵，∴， （2）设， 因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得，                        从而，即，而， 由，得，所以，即. （3）设，由（2）知， 又在中，由，得，          所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）先根据条件限制出的范围，并求出，然后在中利用正弦定理即可； （2）先证明角平分线定理并得出，，再利用余弦定理得出的值，即可利用面积公式求解. 【详解】（1）因，且， 则且， 在中利用正弦定理得，，即，得， 因，则或， 若，则，不符合题意；若，则， 故. （2）因是的角平分线，且， 则，则， 在中利用余弦定理得，， 得，则， 则的面积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2025学年高一下4月第八周数学周练（A）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D C C B B ABD BCD AD 1．A 【分析】由条件，利用正弦定理化边为角，再利用二倍角公式及两角和公式化简可得，化简可得或，，再判断三角形形状. 【详解】设的外接圆半径为，则，，， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 又，，，， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形， 故选：A. 2．D 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【详解】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故选：D 3．C 【分析】由题意结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即， 于是得，解得，显然9适合题意， 故选：C. 4．C 【分析】利用余弦定理求出三角形中，再由内切圆性质得出，根据向量求出即可. 【详解】因为，所以，所以． 由余弦定理，得， 即，解得． 取BC的中点E，连接AE，如图， 则， 所以的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为，所以， 所以，得， 所以，所以， 又， 所以， 所以，所以． 故选：C 5．B 【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知，，然后化简已知等式，得到的值. 【详解】由题意可知，， ， ， ， ， ， . 故选：B. 6．B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 7．ABD 【分析】取线段的中点，得到，所以三点共线，再取线段的中点，证得三点共线，且三点共线，可得判定A正确；由“奔驰定理”，化简得到，可判定B正确；由，化简得到 ，求得，结合，可判定C错误；设内切圆的半径为，利用面积比求得，结合余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，若，则， 如图所示，取线段的中点，连接， 则， 所以，即，所以三点共线， 分别取线段的中点，连接， 同理可证：三点共线，且三点共线， 所以点为的重心，所以A正确； 对于B中，若， 由“奔驰定理”可得，所以， 所以，即，所以B正确； 对于C中，若， 即， 可得， 又由，且不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”，可得，所以C错误； 对于D中，若为的内心，设的内切圆的半径为， 则, 因为，所以， 设，则， 由余弦定理，可得，所以D正确. 故选：ABD. 8．BCD 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断； 对于C，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断； 对于D，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断. 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由即 解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，可知，故D正确． 故选：BCD. 9．AD 【分析】对于ABC，由正弦定理边角互化结合题意可判断选项正误；对于D，由余弦定理可得，然后由关于c的方程有两个不同正根可判断选项正误. 【详解】对于A，由正弦定理可得：，又三角形中“大边对大角”，则，故A正确； 对于B，由正弦定理边角互化可得：， 则C为钝角，即为钝角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理边角互化可得， 或，则为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， 因这样的三角形有两个，则对应方程有两个正数解，则， 解得，故D正确. 故选：AD 10． 【分析】根据已知条件建系，再应用三角换元计算化简，应用辅助角公式及正弦函数值域求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，且，以A为坐标原点以为x轴，过A且垂直AB的直线为轴建系， 则，因为，设， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 11． 【分析】由余弦定理有，结合基本不等式可得，再由及向量数量积的运算律求的最大值. 【详解】由，则， 又， 所以，即， 所以 ， 而，则， 当且仅当时取等号，故最大值为16， 所以，即的最大值为. 故答案为： 12． 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 13．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，利用正弦定理化简得到，结合余弦定理，求得，即可求解. （2）由余弦定理，得出方程，求得，再由是的平分线，得到，利用，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． （2）解：在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得，， 所以，解得． 14．(1)； (2) (3) 【分析】（1）由条件，利用正弦定理化边为角化简可得，解方程求； （2）由条件结合三角形面积公式可求，再由关系结合三角形面积公式列方程求； （3）在中利用正弦定理结合条件求的范围，在中结合余弦定理求的范围，再求结论. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 因为， 所以， 又， 所以， 所以，又，故， 所以，因为，故， 所以，故， 所以； （2）因为的面积为，又的面积，， 由（1），所以， 因为为角的角平分线，故， 又， 所以，即， 所以； 所以的长为； （3）在中由正弦定理可得， 由（1），又，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，， 所以，故， 所以， 在中由余弦定理可得， 又，，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 15．(1)2； (2)； (3)时，的面积取最小值为. 【分析】（1）求出角、的大小，利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长； （2）设，根据已知条件可得出，由正弦定理得出，可得出的值，结合角的范围可得出角的值，即可得解； （3）设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值. 【详解】（1）由，，， 得， 又，则，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，则，                              因为，所以， ∵，∴， （2）设， 因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得，                        从而，即，而， 由，得，所以，即. （3）设，由（2）知， 又在中，由，得，          所以 ， 所以当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）先根据条件限制出的范围，并求出，然后在中利用正弦定理即可； （2）先证明角平分线定理并得出，，再利用余弦定理得出的值，即可利用面积公式求解. 【详解】（1）因，且， 则且， 在中利用正弦定理得，，即，得， 因，则或， 若，则，不符合题意；若，则， 故. （2）因是的角平分线，且， 则，则， 在中利用余弦定理得，， 得，则， 则的面积. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$