第8周 函数的奇偶性-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 30 — 第八周 函数的奇偶性 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第5题.该题主要考查根据函数的奇偶性求参数,题目设置紧扣概念,考查学生的灵 活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 函数奇偶性的判断 1.(2025·广东·质量检测)下列函数是奇函数的是 ( ) A.f(x)=x2+1 B.f(x)=x3-1 C.f(x)=x3+1x D.f (x)=x4+2x2 考点二 由奇偶性求解析式 2.(2025·河南·专题练习)已知偶函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,f(x)= ( ) A.-x2+x B.-x2-x C.x2+x D.x2-x 3.(2025·甘肃兰州·质量检测)设函数f(x)=ax+b1+x2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且f 12 =45. 则函数f(x)的解析式为 . 考点三 由函数的奇偶性求参数 4.(2025·广西南宁·质量检测)若函数f(x)=ax2+(2b+a)x-a+b是定义在[2a,2-a]上的偶 函数,则a-b= ( ) A.-3 B.-4 C.3 D.2 5.(2025·四川内江·质量检测)若函数f(x)= x2+ax,x≥0 bx2-2x,x<0 是奇函数,则a+b= . 考点四 根据函数的奇偶性解不等式 6.(2025·北京·质量检测)已知定义在上[-4,4]的偶函数f(x)在[0,4]上为减函数,且f(x+1) >f(-2),则实数x的取值范围是 ( ) A.(-3,+∞) B.(-3,3] C.(-3,1) D.(-1,3) 7.(2025·北京·质量检测)已知函数f(x)是偶函数,若在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,则f (x) x <0的解集为 ( ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 考点五 函数奇偶性的应用 8.(2025·广东深圳·质量检测)已知f(x)=x5+ax3+bx+3且f(-2)=5,则f(2)的值是( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 9.(2025·北京·质量检测)已知函数f(x)=ax3+x2+bx-3,且f(10)=6,则f(-10)= . 考点六 奇偶函数对称性的应用 10.(2025·福建三明·质量检测)已知函数f(x)= (x+1)2 x2+1 ,当x∈[-3,3]时,f(x)的最大值为 M 最小值为m,则 M+m= ( ) A.0 B.2 C.4 D.6 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 函数恒成立问题 已知函数f(x)=x 2+1 ax+b 是定义域上的奇函数,且f(-1)=-2. 探究问题: (1)判断并证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)令函数h(x)=x2+1 x2 -2tf(x)(t<0),若对∀x1,x2∈ 12,2 ,都有|h(x1)-h(x2)|≤154,求 实数t的取值范围. — 29 — — 32 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·上海·质量检测)已知f(x)=ax-b4-x2 ,函数y=f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,且 f(1)=13. (1)求f(x)的解析式; (2)判断y=f(x)的单调性,并用函数单调性的定义加以证明. 2.(2025·云南昆明·质量检测)已知奇函数f(x)= x+b 1-x ,-1<x≤0 ax 1+x ,0<x<1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 . (1)求a,b的值并确定函数f(x)的解析式; (2)用定义法证明f(x)在(0,1)上是增函数; (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·广东肇庆·质量检测)已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),对∀x1,x2∈D,都 有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)+2,且对∀x3,x4∈(2,+∞)都有(x3-x4)[f(x3-2)-f(x4-2)] <0.若f(m)>-2,求m 的取值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 31 — —84 — (2)由f(x)<0的解集为 14,1 ,可知a>0,且14,1是方程ax2 -(a+1)x+1=0的解,则 a+1 a =1+ 1 4 1 a= 1 4 ,解得a=4,所以实数a 的值为4. (3)由题意可得:f(x)=(ax-1)(x-1)<0, 因为a>0,令f(x)=0,解得x=1a 或1,则有: 当0<a<1时,解集为 x 1<x<1a ; 当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为 x 1a<x<1 参考答案 (1)x x≠1 (2)4 (3)答案见解析 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)= x2,x≤0 1-x x ,0<x<1 x-3 -2,x≥1 ,所以f(x)的图象如图 所示: (2 ) 由 题 可 得 x≤0x2≥2 或 0<x<1 1-x x ≥2 或 x≥1x-3 -2≥2 , 解得x≤- 2或0<x≤13 或x≥7, 所以实数x的取值范围为(-∞,- 2] ∪ 0,13 ∪[7,+∞). 2.解 (1)因为2>-1,且f(x)= x-4 x ,x≤-1 1-x 1+x ,x>-1 ,所以f(2)=1-21+2 =-13. 因为g(x)=x2-1,所以g(2)=22-1=3. (2)依题意,令g(a)=t, 若t≤-1,则f(g(a))=f(t)=t-4t =- 7 9 ,解得t=94>-1 , 与t≤-1矛盾,舍去; 若t>-1,则f(g(a))=f(t)=1-t1+t=- 7 9 ,解得t=8>-1, 故g(a)=a2-1=8,解得a=±3,所以实数a的值为±3; 综上所述:a的值为±3. 选做·一飞冲天 解 (1)由题意可知3-2x=x,得x=1,故函数y=3-2x的稳定 点为(1,1) (2)设点(x0,x0)是稳定点,则有x0= 3x0+18 2x0+a 即2x20+(a-3)x0- 18=0,由题意知方程有两个根,且这两个根互为相反数.故a-3 =0,且-18<0,解得a=3. 得x20=9,x0=±3则稳定点为A(-3,-3),B(3,3) (3)对任意实数b,函数恒有两个相异的稳定点, 即ax2+(b+1)x+(b-4)=x恒有两个不相等实数根, 即ax2+bx+(b-4)=0有两不等实数根, ∴Δ1=b2-4a(b-4)>0恒成立, 令u=b2-4ab+16a>0,视作关于b的不等式恒成立, 所以Δ2=16a2-4×16a<0,解得0<a<4. 第七周 函数的单调性 考点·一应俱全 1.A [f(x)=|x-2|x= x 2-2x,x≥2 -x2+2x,x<2 ,画 出f(x)的 图 象 如 下:f(x)的 单 调 减 区 间 为 [1,2],故选A.] 2. -∞,- 32 , - 32,+ ∞ [f(x)= 4x-3 2x+3= 4x+6-9 2x+3 =2- 9 2x+3 ,由2x+3≠0, 得x≠-32 ,当x∈ -∞,-32 时,y= 92x+3单调递减,f(x)单 调递增;当x∈ -32,+∞ 时,y= 92x+3单调递减,f(x)单调递 增,所以f(x)的单调增区间为 -∞,-32 , -32,+∞ .故答案 为: -∞,-32 , -32,+∞ .] 3. 14,32 [令-2x2+x+3≥0,解得x∈ -1,32 ,设y=t= t 1 2,t=-2x2+x+3,外函数y=t 1 2 为增函数,则复合函数的减区 间即为内函数的减区间,t=-2x2+x+3,对称轴为x=14 ,其开 口向下,故其减区间为 14,32 .故答案为: 14,32 .] 【破题技巧】 首先求出函数的定义域为 -1,32 ,利用复合 函数单调性,同增异减的原则,先确定外函数的单调性,再确定 内函数的单调性即可得到答案. 4.D [由函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上为单调递增函 数,当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上为单调递增函数,符合 题意;当a≠0时,则满足 a<0 -1a≥4 ,解得-14≤a<0,综上可得, 实数的取值范围为 -14,0 .故选D.] 5.D [因为函数f(x)= -x2-ax-5,x≤1 a x ,x>1 是 R上的增函数,所以 a<0 -a2≥1 -1-a-5≤a ,解得-3≤a≤-2,即的取值范围是[-3,-2]. 故选D.] 【破题技巧】 根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不 大于右侧的函数值得到不等式组,解得即可. 6.A [∵ 函 数 f(x)是 定 义 在 (0,+ ∞)上 的 增 函 数,∴ 有 x>0 8x-16>0 x>8x-16 ,解得2<x<167,∴不等式f(x)>f(8x-16)的解集 为 2,167 ,故选A.] 7. 23,1 [因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(2a-1)<f(1-a),所以 -1<2a-1<1 -1<1-a<1 2a-1>1-a ,解得a∈ 23,1 ,故 答案为: 23,1 .] 【易错警示】 (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区 间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大 小关系,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参 数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结 合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 8.BC [∵y=x2-3x-4= x-32 2 -254 ,作 出函数y=x2-3x-4在区间[0,m]上的图象 如图 所 示.由 图 象 可 知,当 x= 32 时,ymin= -254. 令y=x2-3x-4=-4得出x=0或x =3.当0<m<32 时,函数y=x2-3x-4在区 间[0,m]上单调递减,此时ymin=m2-3m-4> -254 ,不符合题意;当3 2≤m≤3 时,且当x∈ [0,m]时,由图象可知ymin=- 25 4 ,ymax=-4,符合题意;当 m>3 时,且当x∈[0,m]时,由图象可知ymin=- 25 4 ,ymax=m2-3m-4 >-4,不符合题意.综上所述,实数 m 的取值范围是 32,3 .故 选BC.] 9.AD [函数f(x)=x2-2x+1的对称轴为x=1,开口向上.当a≥ 1时,函数f(x)在区间[a,a+8]上单调递增,所以f(x)min=f(a) =a2-2a+1=9,解得a=-2或a=4,因为a≥1,所以a=4;当a +8≤1,即a≤-7时,函数f(x)在区间[a,a+8]上单调递减,所 以f(x)min=f(a+8)=a2+14a+49=9,解得a=-10或a=-4, 因为a≤-7,所以a=-10;当-7<a<1时,f(x)在[a,1]上递 减,在(1,a+8]上递增,所以f(x)min=f(1)=0,不合题意;综上: 实数a可能的取值4或-10.故选AD.] 10.D [f(x)=(x+2a)2+2-4a2, 当-2a≤-1,即a≥12 时,f(x)min=f(-1)=1-4a+2=1,则a =12 ;当 -1<-2a<3,即 - 32 <a< 1 2 时,f(x)min(x)= f(-2a)=4a2-8a2+2=1,则a=-12 ;当-2a≥3,即a≤-32 时,f(x)min(x)=f(3)=9+12a+2=1,无解.所以a=± 1 2. 故 ABC错误;故D正确.故选D.] 【破题技巧】 把f(x)配方后找到对称轴与给定区间的关系,结 合其单调性求出相应最小值并结合题意判断即可. 探究·一举突破 探究路径 (1)函数f(x)= -x 2+1,|x|<1 |x|-1,|x|≥1 ,当-1<x<1时,f(x)=-x2 +1的图象是开口向下的抛物线在(-1,1)的一段, 当x≤-1或x≥1时,f(x)= -x-1 ,x≤-1 x-1,x≥1 的图象是射线y= -x-1,x≤-1和射线y=x-1,x≥1组成, 函数f(x)的图象,如图, (2)f f -32 =f 32-1 =f 12 =- 12 2 +1=34. (3)当-1<x<1时,f(x)=-x2+1在[0,1)上单调递减, 当x≤-1或x≥1时,f(x)= -x-1 ,x≤-1 x-1,x≥1 在(-∞,-1]上单 调递减,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1],[0,1). 参考答案 (1)作图见解析 (2)34 (3)(-∞,-1],[0,1). 综合·一练到底 1.解 (1)当a=1时,f(x)=x2-x+3, 联立方程 y=x 2-x+3 y=3x ,解得:x=1y=3 或 x=3y=9 , 即交点坐标为(1,3)和(3,9). (2)函数f(x)=x2-ax+3在 a2,+∞ 上单调递增,在 -∞, a 2 上单调递减;又函数f(x)在(-∞,0)上不具有单调性, 所以a 2<0 ,即a<0. (3)函数f(x)=x2-ax+3在 a2,+∞ 上单调递增,在 -∞, a 2 上单调递减; 当a 2≤-2 时,f(x)=x2-ax+3在x∈[-2,2]上 单 调 递 增, f(x)的最小值f(-2)=4+2a+3=7+2a. 当a 2≥2 时,f(x)=x2-ax+3在x∈[-2,2]上单调递减,f(x) 的最小值f(2)=4-2a+3=7-2a. 当-2<a2<2 时,f(x)=x2-ax+3在 a2,2 上单调递增,在 -2,a2 上单调递减,f(x)的最小值f a2 =a 2 4- a 2×a+3= 3-a 2 4. 当a≤-4,f(x)的最小值f(-2)=7+2a. 当a≥4,f(x)的最小值f(2)=7-2a. 当-4<a<4,f(x)的最小值f a2 =3-a 2 4. 2.解 (1)f(x)=-x2+ax-a=- x-a2 +a 2 4-a , 因为f(x)的最大值为0,所以a 2 4-a=0 ,所以a=0或a=4. (2)函数f(x)=-x2+ax-a的对称轴为x=a2 ,当a 2≤0 ,即a≤ 0时,f(x)在[0,2]上是减函数,所以 M(a)=f(0)=-a; 当0<a2<2 ,即0<a<4时,当x∈ a2,2 时,f(x)是减函数,当 x∈ 0,a2 时,f(x)是增函数,所以 M(a)=f a2 =a 2 4-a ; 当a 2≥2 ,即a≥4时,f(x)在[0,2]上是增函数,所以 M(a)=f(2) =a-4,所以 M(a)= -a,a≤0 a2 4-a ,a∈(0,4) a-4,a≥4 . (3)由题意g(x)=-f (x) x =x+ a x -a ,令x=ax 可得x= a,简图 如下,当0< a≤1时,即0<a≤1时, g(x)在x∈[1,2]是增函数, 所以g(1)=1+a-a=1,成立. 当1< a<2时,即1<a<4时, g(x)在[1,a]上是减函数,在[a,2]上 是增函数,所以g(a)= a+ a-a=1, 解得a=1,不成立; 当 a≥2时,即a≥4时,g(x)在[1,2]上 是减函数,所以g(2)=2+12a-a=1 ,解 得a=2,不成立;综上所述,0<a≤1. 选做·一飞冲天 解 f(x)=-4x-8- 9x-2=-4 (x-2)- 9x-2-16 ,x∈[0,1], ∵x∈[0,1],∴x-2∈[-2,-1],设t=x-2,则t∈[-2,-1], 则函数f(x)等价为y=-4t-9t-16 , 由对勾函数的单调性可得, t∈ -2,-32 时,y=-4t-9t-16单调递减, t∈ -32,-1 时,y=-4t-9t-16单调递增, 当t=-32 时,函数取得最小值,ymin=-4× -32 - 9-32 -16 =6+6-16=-4,当t=-2时,y=8- 9-2-16=- 7 2 ,当t=-1 时,y=4+9-16=-3, 设函数f(x)的值域为 M,则函数f(x)的值域 M=[-4,-3]; 由g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),∴g(x)在[0,1]上是减函数, 则最大值为g(0)=-2m,最小值g(1)=1-4m-2m=1-6m,(m≥1), 设g(x)的值域为 N,则 N=[1-6m,-2m], 若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成 立,则等价为 M⊆N,即 -2m≥-3 1-6m≤-4 m≥1 ,解得1≤m≤32, 所以实数的取值范围是 1,32 . 【破题技巧】 根据对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使 得f(x1)=g(x2)成立,得出g(x)的值域包含f(x)的值域,是 解决本题的关键. 第八周 函数的奇偶性 考点·一应俱全 1.C [对 于 A,因 为f(x)=x2+1的 定 义 域 为 R,且f(-x)= (-x)2+1=x2+1=f(x),所以f(x)=x2+1为偶函数;对于B, 因为f(x)=x3-1的定义域为 R,且f(-x)=(-x)3+1=-x3 +1≠-f(x),所以f(x)=x3-1不是奇函数;对于C,因为f(x) =x3+1x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)3+ 1 -x=-x 3-1x=- x3+1x =-f(x),所以f(x)=x3+1x 为 奇函数;对于D,因为f(x)=x4+2x2 的定义域为 R,且f(-x)= (-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)=x4+2x2 为偶函 数;故选C.] 【破题技巧】 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运 算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x) =0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 83 — —86 — 2.D [当x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,又 f(x)为偶函数,所以,当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x.故选D.] 【技法点拨】 设x<0,可得出-x>0,求出f(-x)的表达式, 利用偶函数的性质可得出函数f(x)在x<0时的解析式. 3.f(x)= 2x1+x2 [由奇函数的性质可知,f(0)=b=0,即f(x)= ax 1+x2 ,又f 12 = 1 2a 1+14 =45 ,得a=2,所以f(x)= 2x1+x2 .故答 案为:f(x)= 2x1+x2 .] 4.A [因为函数f(x)是定义在[2a,2-a]上的偶函数,所以定义域 关于原点对称,可得2-a=-2a,所以a=-2,由f(-x)=f(x), 可得2b+a=0,解得b=1,所以a-b=-3.故选A.] 5.-3 [函数f(x)= x 2+ax,x≥0 bx2-2x,x<0 是奇函数,f(0)=0,当x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2-ax)=-x2+ax,而当x< 0时,f(x)=bx2-2x,则b=-1,a=-2,当x>0时,-x<0, f(x)=-f(-x)=-(bx2+2x)=-bx2-2x,而当x>0时,f(x) =x2+ax,则b=-1,a=-2,所以b=-1,a=-2.a+b=-3.故 答案为:-3.] 【破题技巧】 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取 值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或 得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合 几何直观求解相关问题. 6.C [因 为f(x)为 定 义 在[-4,4]上 的 偶 函 数,且f(x+1)> f(-2),可得f(|x+1|)>f(2),且f(x)在[0,4]上为减函数,则 0≤|x+1|<2,解得-3<x<1,所以实数x的取值范围是(-3,1). 故选C.] 7.B [函数f(x)是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,则 f(x)在(- ∞,0)上 单 调 递 减,f(-1)=0,f (x) x <0 ,则 有 x<0 f(x)>0=f(-1) 或 x>0f(x)<0=f(1) ,解得x<-1或0<x< 1,所以不等式f (x) x <0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选B.] 8.C [令g(x)=x5+ax3+bx,因为g(-x)=-x5-ax3-bx= -g(x),所以函数g(x)为奇函数,由f(-2)=g(-2)+3=5,得g (-2)=2,所以g(2)=-g(-2)=-2,所以f(2)=g(2)+3=1. 故选C.] 9.188 [令g(x)=ax3+bx,h(x)=x2-3,x∈R,则g(-x)=-ax3 -bx=-(ax3+bx)=-g(x),h(-x)=x2-3=h(x),所以g(x) 为奇函数,h(x)为 偶 函 数,又f(x)=g(x)+h(x),且f(10)= g(10)+h(10)=6,h(10)=102-3=97,所 以 g(10)=-91, h(-10)=h(10)=97,又g(-10)=-g(10)=91,所以f(-10)= g(-10)+h(-10)=91+97=188.故答案为188.] 【技法点拨】 令g(x)=ax3+bx,h(x)=x2-3,即可判断g (x)、h(x)的奇偶性,再根据奇偶性求出f(-10). 10.B [f(x)= (x+1)2 x2+1 =x 2+2x+1 x2+1 =1+ 2x x2+1 ,设g(x)=f(x)- 1= 2x x2+1 ,x∈[-3,3],g(-x)= 2 (-x) (-x)2+1 = -2x x2+1 =-g(x), 则g(x)是[-3,3]上的奇函数,g(x)的最大值为 M-1,最小值为 m-1,则有(M-1)+(m-1)=0,所以 M+m=2.故选B.] 【破题技巧】 设g(x)=f(x)-1,证明g(x)是奇函数,则g(x) 的最大值与最小值互为相反数,可求 M+m. 探究·一举突破 探究路径 (1)由函数f(x)=x 2+1 ax+b 为奇函数,且f(-1)=-2,可得f(1)= 2,则 2 -a+b=-2 2 a+b=2 ,解得a=1,b=0,可得f(x)=x+1x, 经检验,有解析式可知,定义域{x|x≠0},关于原点对称, 可得f(x)+f(-x)=x+1x+ (-x)+ 1-x=0 ,所以f(x)是奇函 数,满足题意 函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 证明如下:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1 + 1x1 - x2 + 1x2 = (x1 -x2) x1x2-1x1x2 ,因为x1,x2∈(0,1),且x1<x2,所以x1-x2<0,0< x1x2<1,所以x1x2-1<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,同理可证明函数f(x) 在(1,+∞)上单调递增. (2)由题意,函数h(x)=x2+1 x2 -2t x+1x ,令z=x+1x,可得 y=z2-2tz-2,由(1)可知函数z=x+1x 在 12,1 上单调递减, 在[1,2]上单调递增,所以z∈ 2,52 ,因为函数y=z2-2tz-2 的对称轴方程为z=t<0, 所以函数y=z2-2tz-2在 2,52 上单调递增, 当z=2时,y=z2-2tz-2取得最小值,ymin=-4t+2; 当z=52 时,y=z2-2tz-2取得最大值,ymax=-5t+ 17 4. 所以h(x)min=-4t+2,h(x)max=-5t+ 17 4 , 又因为对任意的∀x1,x2∈ 12,2 都有|h(x1)-h(x2)|≤154恒 成立,所以h(x)max-h(x)min≤ 15 4 ,即-5t+174-4t+2≤ 15 4 ,解得 t≥-32 ,又因为t<0,所以-32≤t<0 ,所以实数t的取值范围是 -32,0 . 参考答案 (1)函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调 递增,证明见解析 (2) -32,0 综合·一练到底 1.解 (1)根据题意,f(x)=ax-b4-x2 是定义在(-2,2)上的奇函数, 则有f(0)=-b4 =0 ,解得b=0,又由f(1)=a3= 1 3 ,解得a=1, 所以f(x)= x4-x2 ,f(x)定义域为(-2,2), 且f(-x)= -x4-(-x)2 = -x 4-x2 =-f(x),所以f(x)= x4-x2 (-2 <x<2); (2)f(x)在区间(-2,2)上为严格增函数. 证明如下:设任意-2<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)= x1 4-x21 - x2 4-x22 = (4+x1x2)(x1-x2) (4-x21)(4-x22) ,由-2<x1<x2<2,得-4<x1x2<4, 即4+x1x2>0,x1-x2<0,(4-x21)(4-x22)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在区间(-2,2)上为严格增函数. 【破题技巧】 根据题意,由奇函数的性质可得f(0)=0,求出b 的值,结合函数的解析式求出a的值,计算可得答案. 2.解 (1)由f(0)=0得b=0, 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 当x∈(-1,0)时,-ax1-x=- x 1-x ,故a=1, 故f(x)= x 1-x ,-1<x≤0 x 1+x ,0<x<1 (2)任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1 1+x1 - x2 1+x2 = x1-x2 (1+x1)(1+x2) , ∵x1,x2∈(0,1),且x1<x2,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,1)上是增函数 (3)∵f(x)为奇函数,由(2)可知f(x)在(0,1)上是增函数, 且0<x<1时,f(x)>f(0)=0, ∴f(x)在[0,1)上单调递增,则f(x)在(-1,1)上是增函数, 而f(t-1)+f(t)<0⇒f(t-1)<-f(t)⇒f(t-1)<f(-t), 故 -1<t-1<1 -1<-t<1 t-1<-t ,解得 t0<t<12 , 所以原不等式的解集为 t0<t<12 . 选做·一飞冲天 解 在f(x1x2)=f(x1)+f(x2)+2中, 令x1=x2=1,得f(1)=-2,令x1=x2=-1,得f(-1)=-2, 令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x), 又f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以f(x)为偶函数, 又对∀x3,x4∈(2,+∞),都有(x3-x4)[f(x3-2)-f(x4-2)]<0, 即对∀x3,x4∈(2,+∞)都有[(x3-2)-(x4-2)][f(x3-2)- f(x4-2)]<0,所以y=f(x-2)在(2,+∞)上为减函数,所以y =f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=-2,f(m)>-2,f(x) 为偶函数,所以|m|<1,解得-1<m<0或0<m<1, 所以m 的取值范围为(-1,0)∪(0,1). 故答案为:(-1,0)∪(0,1). 【破题技巧】 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等 式,要设法将隐性划归为显性的不等式来求解,方法是: (1)把不等式转化为f[g(x)]>f[h(x)]; (2)判断函数f(x)的单调性,再根据函数的单调性把不等式的 函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组),但要注意函数奇偶 性的区别. 第九周 幂函数、函数的应用(一) 考点·一应俱全 1.BC [根据幂函数的定义,幂函数的一般形式为y=xa,y=5x 是 系数为5的正比例函数,不是幂函数,选项 A错误;y=x5 是幂函 数,选项B正确;y= x=x 1 2 是幂函数,选项C正确;y=(x+1)3 不是幂函数,选项D错误;故选BC.] 2.D [设f(x)=xa,由f(2)=2a= 2,得a=12 ,∴f(x)=x 1 2, 则f(9)=9 1 2=3.故选D.] 3.f(x)=x- 1 5 [设幂函数为f(x)=xa,将点 243,13 代入得13= 243α,解得α=-15. 所以f(x)=x- 1 5.故答案为:f(x)=x- 1 5.] 4.A [因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上是增函 数,所以 m 2-m-1=1 2m-3>0 ,解得m=2.故选A.] 5.C [①y=x-2=1x2 的定义域为{x|x≠0},不符合.②y=x 4 5 = 5 x4的定义域为 R,符合.③y=x 1 4=4x的定义域为{x|x≥0},不 符合.④y=x 2 3= 3 x2的定义域为 R,符合.⑤y=x- 4 5= 15 x4 的定 义域为{x|x≠0},不符合.所以符合的是②④.故选C.] 6.[0,1] [由幂函数性质可知y=x 2 3 在[0,+∞]上单调递增,又易 知y=x 2 3,x∈R为偶函数,所以当-1≤x≤0时,可知y=x 2 3 在 [-1,0]上单调递减,可得0≤y≤1.故答案为:[0,1].] 7. 0,32 [因为f(x)=mxm-12 为幂函数,所以 m=1,则f(x)= x 1 2,故f(x)的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数, 所以由f(3-a)>f(a),可得 3-a≥0 a≥0 3-a>a ,解得0≤a<32,故a的取 值范围为 0,32 .故答案为: 0,32 .] 8.D [对于A,函数y=x 1 2 = x的定义域为[0,+∞),显然不符合 题意,故A错误;对于B,函数y=x- 1 2=1 x 的定义域为(0,+∞), 显然不符合题意,故B错误;对于C,函数y=x3 的定义域为 R,又 y=x3 为奇函数,但是y=x3 在(0,+∞)上函数是下凸递增,故不 符合题意,故C错误;对于D,y=x 1 3=3x定义域为R,又y=x 1 3 为 奇函数,且y=x 1 3 在(0,+∞)上函数是上凸递增,故D正确.故 选D.] 9.A [设该职工用水xm3 时,缴纳的水费为y 元,由题意得y= mx,(0<x≤10) 10m+(x-10)·2m,(x>10) ,则10m+(x-10)·2m=16m, 解得x=13.答:该职工这个月实际用水为13m3.故选A.] 【技法点拨】 解应用题关键是找出变量之间的关系,列方程求 解未知量. 10.y=6000 x+16x +1500×16,x>0 [根据条件,该蓄水池的 总造价y元,池底一边的长度x米,底面另一边长为16x 米, ∴长方体的底面积为16,侧面积为3×2 x+16x ,由题意得:y= 6000 x+16x +1500×16,x>0, 故答案为:y=6000 x+16x +1500×16,x>0.] 探究·一举突破 探究路径 (1)每辆车售价5万元,年产量x(百辆)时销售收入为500x万元, 总成本为2000+C(x)= 10x2+100x+2000(0<x<50) 501x+8100x -5000+2000 (x≥50) , 所以L(x)= 500x-(10x2+100x+2000)(0<x<50) 500x- 501x+8100x -3000 (x≥50) = -10x2+400x-2000(0<x<50) -x-8100x +3000 (x≥50) . 所以年利润L(x)= -10x2+400x-2000(0<x<50) -x-8100x +3000 (x≥50) . (2)由(1)当0<x<50时,L(x)=-10(x-20)2+2000, x=20∈(0,50)(百辆)时L(x)max=2000(万元), 当x≥50时L(x)=- x+8100x +3000≤-2 x·8100x + 3000=2820,当且仅当x=8100x =90∈ [50,+∞)(百辆)时,等 号成立,因为2820万元>20000万元,所以年产量90百辆时利 润最大,最大利润为2820万元. 参考答案 (1)L(x)= -10x2+400x-2000(0<x<50) -x-8100x +3000 (x≥50) (2)年产量为90百辆时利润最大,最大利润为2820万元. 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)是幂函数,所以3m2-m+1=1,解得m=0或m=13. 当m=0时,f(x)=x-2的图象不经过原点,符合题意, 当m=13 时,f(x)=x的图象经过原点,不符合题意,所以m=0. (2)由(1)得f(x)=x-2,易得f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当a>0时,由a2+1-a= a-12 2 +34>0 ,可得a2+1>a>0. 因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a). 当a<0时,-a>0,由a2+1-(-a)= a+12 2 +34>0 ,可得 a2+1>-a>0. 因为f(-a)=(-a)-2=a-2=f(a),且f(x)在(0,+∞)上为减 函数,所以f(a2+1)<f(-a)=f(a). 综上,f(a2+1)<f(a). 2.解 (1)由 题 意,利 润 W (x)= S (x)- C (x) = 1 50x 2+220x-20x-10000,0<x<120 25488+10x-20x-10000,x≥120 , 所以W(x)=S(x)-C(x)= 1 50x 2+200x-10000,0<x<120 15488-10x,x≥120 . (2)由(1)知,当0<x<120时,W(x)=150x 2+200x-10000= 1 50 (x+5000)2-510000, W(x)在(0,120)上单调递增,所以W(x)<W(120)=14288, 当x≥120时,W(x)=15488-10x在(120,+∞)上单调递减, 所以W(x)≤W(120)=15488-10×120=14288. 综上,为使该商品的利润最大化,产量为120百件. 【破题技巧】 (1)根据利润=销售量×售价-成本,表示出利润 关于产量的关系式W(x)=S(x)-C(x)即可,注意单位的统一; (2)先求出W(x)在0<x<120上的最大值,由一次函数单调性求x ≥120上的最大值,比较大小,即可确定利润最大时的生产量. 选做·一飞冲天 解 (1)因为g(x)=(m2-m+1)xm- 1 2 是幂函数, 所以有m2-m+1=1⇒m=0,或m=1, 当m=0时,函数g(x)=x- 1 2 在区间(0,+∞)上是单调递减,不符 合题意; 当m=1时,g(x)=x 1 2 在区间(0,+∞)上是单调递增,符合题意, 所以g(x)=x 1 2,因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0, 所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[g(-x)+2]=-(-x) 1 2-2, 因此f(x)的解析式为:f(x)= x 1 2+2,x>0 0,x=0 -(-x) 1 2-2,x<0 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 85 —