第1讲 行程问题（一）(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第1讲 行程问题（一） 考点目录 相遇问题 2 追及问题 7 流水行船问题 11 多次相遇问题 17 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 相遇问题 ★★★★ ★★★ 追及问题 ★★★ ★★★ 流水行船问题 ★★★ ★★★ 多次相遇问题 ★★★ ★★★★ 【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，期中应用题出现的比例又较高。主要命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、钟面上的追及问题、列车过桥问题等问题 热点突破1 关键知识 相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度． 典型例题 例1： 例1:根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇． （1）甲、乙两人每小时共行多少千米？ （2）两地之间的路程是多少千米？ （3）相遇时，甲行了多少千米？ 【分析】（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可； （2）根据速度×时间=路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可； （3）根据速度×时间=路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可． 【解答】（1）15+6=21（千米） 答：甲、乙两人每小时共行21千米． （2）21×4=84（千米） 答：两地之间的路程是84千米． （3）15×4=60（千米） 答：相遇时，甲行了60千米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•龙亭区校级模拟）A、B两地相距16km,甲、乙两人都从A地到B地。甲步行，每小时4km,乙骑车，每小时行驶12km,甲出发2小时后乙再出发，先到达B地的人立即返回去迎接另一个人，在其返回的路上两人相遇，则此时乙所用时间为（　　） A．3.5小时 B．3小时 C．1.5小时 D．1小时 【答案】C 【分析】设乙所用的时间为x,根据题意可知：乙走的路程=16+甲所剩的路程，依此列出等量关系解方程即可。 【解答】解：设乙所用的时间为x,依题意得： 16+16-4（x+2）=12x 32-4x-8=12x  16x=24  x=1.5 答：此时乙所用的时间为1.5小时。 故选：C。 【跟踪训练2】（2024•兴隆县）两列高铁分别从A城和B城相对开出，2小时相遇，A城开出的高铁平均速度是240千米/时，B城开出的高铁平均速度是264千米/时。求A、B两城相距多少千米，下列算式错误的是（　　） A．2×240+2×264 B．2×240+264 C．2×（240+264） D．（240+264）×2 【答案】B 【分析】已知两车的速度和相遇时间，求两地之间的距离，可以分别用两车的速度乘相遇时间，求出两车行驶的路程再相加；也可以先求出两车的速度和，再用速度和乘相遇时间。 【解答】解：求A、B两城相距多少千米，可以列式为： 2×240+2×264； 240×2+264×2； 2×（240+264）； （240+264）×2。 选项B是错误的。 故选：B。 【跟踪训练3】（2025•北碚区）甲、乙两人同时从A地出发前往相距270千米的B地，甲每小时比乙多走12千米。甲到达B地后立即返回A地，在距B地30千米处与乙相遇。相遇后两人的速度保持不变，乙到达B地之后再过 ______小时，甲返回A地。 【答案】3.375。 【分析】根据题意，相遇时甲走的路程是全程多30千米，而乙的速度慢走的路程是全程少30千米，则相同的时间里面甲走的路程比乙多了60千米，且甲每小时比乙多走12千米，则5个小时就多走30千米，即甲和乙经过5个小时后相遇。5个小时甲行驶了300千米，速度=路程÷时间，甲每小时行驶60千米，同理乙每小时行驶48千米。 此时乙还需要行驶30千米才能到达B地，需要0.625小时，这段时间甲行驶了37.5千米。这时离A地还有202.5千米，速度是60千米每小时，根据时间=路程÷速度得出时间。 【解答】解：30+30=60（千米） 60÷12=5（小时） 甲的速度：（270+30）÷5 =300÷5 =60（千米） 乙的速度：（270-30）÷5 =240÷5 =48（千米） 30÷48=0.625（小时） 0.625×60=37.5（千米） 270-30-37.5=202.5（千米） 答：相遇后两人的速度保持不变，乙到达B地之后再过3.375小时，甲返回A地。 故答案为：3.375。 【跟踪训练4】（2024秋•淮北期末）一条马路长500米，小丽和她的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小丽走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小丽相向而行，遇到小丽后，跑向终点，到达终点后再与小丽相向而行……直到小丽到达终点才停止。小狗从开始出发到停止一共跑了 ______米。 【答案】1000。 【分析】小丽和小狗以均匀速度移动，当小丽到达马路的一半时，小狗已经跑到了终点。这表明小狗的速度是小丽的两倍。由于小狗的速度是小丽的两倍，当小丽到达终点时，小狗跑了两次全程的距离。据此即可解答。 【解答】解：500×2=1000（米） 答：小狗从开始出发到停止一共跑了1000米。 故答案为：1000。 【跟踪训练5】（2025•黄埔区）甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求甲、乙原来每小时行多少千米？ 【答案】37千米。 【分析】甲、乙两车原来的速度和=400÷5=80（千米/小时），现在两车的速度和=80+10+10=100（千米/小时）；现在的相遇用时=400÷100=4（小时），由于乙车比甲车快，甲车现在4小时比原来多走：10×4=40（千米），这40千米甲以原来的速度走（5-1）=1（小时），还多出3千米。所以甲车原来的速度：（40-3）÷（5-4）=37（千米/小时）。 【解答】解：加速后两车的相遇时间为： 400÷（400÷5+10×2） =400÷（80+200） =400÷100 =4（小时） 甲车原来的速度： （40-3）÷（5-4） =37÷1 = 37（千米/小时） 答：原来甲车每小时行37千米。 【跟踪训练6】（2024秋•武昌区期末）如图，学校操场的400米跑道中套着300米的小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重，甲以每秒6米的速度沿着大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿着小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？ 【答案】660米。 【分析】根据题意，甲乙第一次相遇的时间是400÷（6+4）=40（秒），第一次相遇甲跑的路程是40×6=240（米），第一次相遇乙跑的路程是40×4=160（米），然后再求出乙跑完（300-160）米的路程用的时间，即（300-160）÷4=35（秒），即乙回到出发点A的时间，这时甲跑的路程是6×35=210（米），这时甲所处的地点在A点左50米处，即与乙错开，再相遇还需要的时间是（400-50）÷（6+4）=35（秒），所以从第一次相遇到第二次相遇时间是2个35秒，第一次相遇用40秒，所以在第二次相遇时，他们一共跑了40+70=110（秒），再用甲的速度乘跑的时间，即可求出甲共跑的路程是多少。 【解答】解：假设甲乙同时出发的地点为跑道的上方交点A处。 第一次相遇的时间是：400÷（6+4）=40（秒） 第一次相遇甲行驶的路程是：40×6=240（米） 第一次相遇乙行驶的路程是：40×4=160（米） 乙回到出发点A的时间：（300-160）÷4=35（秒） 甲行驶的路程是：6×35=210（米） 甲处的位置：210-（400-240）=50（米），即甲在A点左50米处。 再相遇还需要的时间是：（400-50）÷（6+4）=35（秒） 甲一共跑的路程是：6×（40+35+35）=660（米） 答：当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了660米。 热点突破2 关键知识 追及问题 1．追击问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间 速度差=快速-慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 典型例题 例1： 例1：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几时几分？ 【分析】由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小明时走了12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟． 那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米． 【解答】爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4=3（倍）， 爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟． 爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1=16（分钟） 16+16=32（分钟） 答：这时是8时32分． 【点评】此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•泉山区期中）小王、小李沿着200米的环行跑道跑步。他们同时从同一地点出发，同向而行。小王每分钟跑260米，小李每分钟跑210米，经过（　　）分钟后小王第二次追上小李。 A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据题意可知，小王第二次追上小李，他比小李应多跑两圈，利用追及问题公式：追及时间=路程差÷速度差，把数代入计算得：200×2÷（260-210）=8（分钟）。 【解答】解：200×2÷（260-210） =400÷50 =8（分钟） 答：经过8分钟后小王第二次追上小李。 故选：C。 【跟踪训练2】（2024•雄县）小明和爷爷一起去操场散步，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟，两人同时同地同方向而行，（　　）分钟后小明超出爷爷一整圈。 A．40 B． C．18 D．20 【答案】A 【分析】把路程看作单位“1”，根据：路程÷时间=速度，分别求出小明的速度和爷爷的速度，然后根据“路程差÷速度之差=追击时间”解答即可。 【解答】解：1÷（1÷8-1÷10） =1÷ =40（分钟） 答：40分钟后小明超出爷爷一整圈。 故选：A。 【跟踪训练】（2024春•武侯区期末）甲乙两人的速度比是9：7，甲乙两人分别从A，B两地同时出发，如果相向而行，0.5个小时后相遇；如果他们同向而行，甲过______小时能追上乙。 【答案】4。 【分析】甲乙两人的速度比是9：7，设甲的速度就是9，乙的速度就是7，根据相遇问题，路程=速度和×相遇的时间。 追及问题中，甲追上乙，甲的路程比乙多行驶了的路程是，甲行驶的路程-乙行驶的路程。 【解答】解：设甲过x小时能追上乙。           9x-7x=（9+7）×0.5             2x=16×0.5              2x=8             2x÷2=8÷2              x=4 答：甲过4小时能追上乙。 故答案为：4。 【跟踪训练4】（2024•沙坪坝区）A、B两地相距22.4千米。有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进。当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 ______千米。 【答案】14.4。 【分析】每次往返甲前进了5.6÷2=2.8千米，全程六次往返和一次追上，六次往返前进了2.8×6=16.8（千米），说明追上一次可以行22.4-16.8=5.6（千米），所以返回就行了5.6-2.8=2.8（千米）。甲和乙的速度比是（5.6×5+2.8×4）：5.6=7：1，然后求出乙行的路程，再用22.4减去乙行的路程即可。 【解答】解：每次往返甲前进了5.6÷2=2.8（千米）， 全程六次往返和一次追上，六次往返前进了2.8×6=16.8（千米）， 说明追上一次可以行22.4-16.8=5.6（千米），所以返回就行了5.6-2.8=2.8（千米）。 甲和乙的速度比是（5.6×5+2.8×4）：5.6=7：1，乙行了（7×5.6+2.8×6）÷7=8（千米），乙还差22.4-8=14.4（千米）。 答：此时乙距离A地还有14.4千米。 故答案为：14.4。 【跟踪训练5】（2025•泗洪县）甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【答案】10分钟。 【分析】当甲第一次追上乙时，甲比乙多行了一圈跑道的长度，再根据“追及时间=路程差÷速度差”，列式计算即可解答。 【解答】解：400÷（290-250） =400÷40 =10（分钟） 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【跟踪训练6】（2025•重庆模拟）李勇、张强两人周末到笔架山锻炼身体，两人同时从山脚开始爬山，到达山顶就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，李勇到达山顶时，张强距山顶还有400米，然后李勇下山，张强爬完400米到山顶也开始下山，李勇回到山脚时，张强刚好返回到半山腰，求从山顶到山脚的距离。 【答案】2000米。 【分析】通过分析两人在不同阶段的路程关系，利用速度变化与路程的联系来求解从山顶到山脚的距离。 【解答】解：设从山顶到山脚的距离是s米，李勇上山速度为v1，张强上山速度为v2。 李勇到达山顶时，张强距山顶还有400米，此时两人爬山时间相同，根据时间=路程÷速度可得：= 即v2= 李勇下山速度是1.5v1，张强下山速度是1.5v2。李勇从山顶回到山脚的路程是s,所用时间是： 张强从距离山顶400米，然后到山顶，再从山顶走到半山腰，所用时间是：+ 因为两人这一阶段时间也相同，所以：=+ 把v2=代入=+可得： =+ 等式两边同时乘1.5v1可得：s=+ 等式两边同时乘2（s-400）可得：2s（s-400）=1200s+s2 因为s＞0 所以2（s-400）=1200+s 即2s-800=1200+s 所以s=2000 即从山顶到山脚的距离是2000米。 答：从山顶到山脚的距离是2000米。 热点突破3 关键知识 流水行船问题 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题． 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速．（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程． 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速． 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速． 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量． 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2． 典型例题 例1： 例1：一艘船在河里航行，顺流而下每小时行16千米．已知这艘船下行3小时恰好与上行4小时所行的路程相等，求静水船速和水速？ 【分析】根据题干，可以求得船逆水速度为：16×3÷4=12千米/时，船速是指的静水速=（顺水速+逆水速）÷2，水速=（顺流速度-逆流速度）÷2，由此代入数据即可解决问题． 解：逆水速度：16×3÷4=12（千米/时）， 则船速：（12+16）÷2=14（千米/时）， 水速：（16-12）÷2=2（千米/时）， 【解答】船速为14千米/时；水速为2千米/时． 【点评】解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关系，找出对应量，列式解答即可． 例2：一位少年短跑选手，顺风跑180米用了20秒，在同样的风速下，逆风跑140米也用了20秒．问：在无风的时候，他跑200米要用多少秒？ 【分析】根据顺风跑180米用了20秒钟，求出顺风时每秒的速度；再根据逆风跑140米，也用了20秒钟，求出逆风时每秒的速度；用二者之和除以2，求出无风时每秒的速度；要求跑200米要用多少秒，用200除以无风时的速度即可． 【解答】顺风时每秒的速度： 180÷20=9（米）， 逆风时每秒的速度： 140÷20=7（米）， 无风时每秒的速度： （9+7）×=8（米/秒） 无风时跑200米需要200÷8=25秒． 答：无风时跑200米需要25秒． 【点评】本题考查了流水行船问题．解答此题的关键是根据（逆风速+顺风速）÷2=无风速，求出无风时每秒的速度． 跟踪训练 【跟踪训练1】一汽船往返于两码头间，逆流需要10小时，顺流需要6小时。已知船在静水中的速度为12公里/小时。问水流的速度是多少公里/小时？（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设水流的速度为x,由顺水速度=静水速度+水流的速度，逆水速度=静水速度-水流的速度，表示出顺水速度和逆水速度，再根据码头之间距离不变列出方程。 【解答】解：设水流的速度为x公里/小时。  6（12+x）=10（12-x）   72+6x=120-10x   16x=48   x=3 答：水流的速度是3公里/小时。 故选：B。 【跟踪训练2】有一艘轮船所带的燃料最多可用12小时，驶出时速度是30千米/每小时，返回时逆水，速度是顺水速度的80%，这艘轮船最多驶出（　　）千米就应返航． A．160 B．200 C．180 D．320 【答案】A 【分析】设这艘轮船最多驶出x千米就应返航，先依据分数乘法意义，求出逆水时的速度，再依据时间=路程÷速度，分别用x表示出顺水和逆水行驶时需要的时间，最后根据需要时间和是12小时，即“距离÷顺水速度+距离÷逆水速度=12小时”列方程，依据等式的性质即可求解． 【解答】解：设这艘轮船最多驶出x千米就应返航， 30×80%=24（千米） x÷30+x÷24=12 x=12    x÷=12÷    x=160 答：这艘轮船最多驶出160千米就应返航． 故选：A。 【跟踪训练3】（2024•峰峰矿区）甲、乙两港相距247.5千米，一艘轮船从甲港顺水驶向乙港用了4.5小时，返回时因为逆水比去时多用1小时，则水流速度为 ______千米/时。 【答案】5 【分析】先求出轮船顺水速度，再求出逆水速度，再根据水流速=（顺流速-逆流速）÷2，即可得出结果。 【解答】解：轮船顺水速度： 247.5÷4.5=55（千米/小时） 逆水速度： 247.5÷（4.5+1） =247.5÷5.5 =45（千米/小时） 水流速度为： （55-45）÷2 =10÷2 =5（千米/小时） 答：水流速度为5千米/小时。 故答案为：5。 【跟踪训练4】（2025•北碚区）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为0.5米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是 ______米/秒。 【答案】6。 【分析】设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒，由两船往返的时间均为10-8=2小时（即120分钟）及两船同向行驶的时间是10分钟，可得出任一船顺流航行时间是55分钟，逆流航行时间为65分钟，利用航程=航速×时间，结合两港之间的距离不变，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论。 【解答】解：设骑士号在静水中的航行速度是x米/秒，则勇士号在静水中的航行速度是x米/秒。 根据题意得： 55×60（x+0.5）=65×60（x-0.5） 3300x+1650=3900x-1950 600x=3600  x=6 答：骑士号在静水中的航行速度是6米/秒。 故答案为：6。 【跟踪训练5】（2024•北碚区）某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到，则水流速度为多少？ 【答案】0.025千米/分钟。 【分析】首先设人在静水中的速度是x千米/分钟，将水流速度设为y千米/分钟，再根据题意画图，结合数量关系式“逆流速度=静水中的速度-水流速度，顺流速度=静水中的速度十水流速度、路程=速度×时间”，进行列式计算即可求出水流速度。 【解答】解：根据题意画图如下： 设人在静水中速度为x千米/分钟，水流速度为y千米/分钟，人在A处丢失水壶，人从A处逆流游到B处用时20分钟，水壶被水流带着从A处到C处用时20分钟， 逆流速度=静水中的速度-水流速度，所以AB=20×（x-y）=20（x-y）千米，AC=20×y=20y（千米） BC=AB+AC=20（x-y）+20y=20x-20y+20y=20x（千米） 发现丢失水壶后，人从B处顺流向下，用D处表示追到水壶的地点，设人从B到D用时为t分钟，则水壶从C到D也用时t分钟，顺流速度=静水中的速度+水流速度，所以BD=t×（x+y）=t（x+y）千米， CD=t×y=ty（千米） BC=BD-CD=t（x+y）-ty=tx+ty-ty=tx（千米） 20x=tx,则t=20（分钟） AD=AC+CD=20y+20y=40y（千米） 依题意知：AD=1千米， 40y=1  y=1÷40  y=0.025 答：水流速度为0.025千米/分钟。 【跟踪训练6】（2024•九龙坡区）一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。 【答案】240千米。 【分析】设A、B两个港口的距离为d,可分别求出甲乙顺水、逆水时的速度，根据两者的速度比可求出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时所在的位置，从而结合等量关系两地点相距40千米可列出方程，解出即可。 【解答】解： 设A、B两个港口的距离为d,甲顺水速度：28+4=32千米/时，甲逆水速度：28-4=24千米/时，乙顺水速度：20+4=24千米/时，乙逆水速度：20-4=16千米/时，第二次相遇地点：从A到B：甲速：乙速=32：24=4：3，甲到B，乙到E；甲从B到A，速度24，甲速：乙速=24：24=1：1，甲、乙在EB的中点F点第一次相遇；乙到B时，甲到E，这时甲速：乙速=24：16=3：2，甲到A点时，乙到C点；甲又从A顺水，这时甲速：乙速=32：16=2：1，所以甲、乙第二次相遇地点是AC处的点H， AH=×AB=AB=d, 第二次追上地点：甲比乙多行1来回时第一次追上，多行2来回时第二次追上，甲行一个来回2AB时间+= 乙行一个来回2AB时间+= 一个来回甲比乙少用时间：-= 甲多行2来回的时间是：×2= 说明乙第二次被追上时行的来回数是：÷=，甲第二次追上乙时，乙在第5个来回中，甲在第7个来回中。 甲行6个来回时间是×6=， 乙行4个来回时间是×4=， -=，从A到B甲少用时间：-=， 说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中， -=，从B到A，甲比乙少用时间：-=，÷=，追上地点是从B到A的中点C处。 根据题中条件，HC=40千米，即=40，d=240千米。 答：A、B两个港口的距离是240千米。 热点突破4 关键知识 多次相遇问题 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲×T甲，S乙=V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲=T乙时，有S甲：S乙=V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 典型例题 例1： 例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长． 【分析】由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况： 对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米，所以半圆周长是100+80=180米，圆的周长是180×2=360米． 对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米，则半圆周长是100+20=120米，圆的周长是120×2=240米． 即这个圆的周长为360米或240米． 【解答】由题可知，C，D的关系有如下两种情况： 对于第一种情况，CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米， 所以半圆周长是100+80=180（米）， 圆的周长是180×2=360（米）． 对于第二种情况，CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米， 则半圆周长是100+20=120（米）， 圆的周长是120×2=240（米）． 即这个圆的周长为360米或240米． 【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2023春•郏县）小红和小华分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小红的速度为70米/分，小华的速度为65米/分，经过5分钟两人第二次相遇。这座桥长（　　）米。 A．675 B．135 C．225 D．450 【答案】C 【分析】小红和小华第二次相遇她们俩共同走了3个桥的长度。用她们走的总路程除以3可得桥长。 【解答】解：（70+65）×5÷3 =135×5÷3 =675÷3 =225（米） 答：这座桥长225米。 故选：C。 【跟踪训练2】（2024•嘉峪关）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（　　） A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 【答案】B 【分析】甲乙两人第三次相遇，他们的路程和就是环形跑道长度的3倍；根据甲乙两人的速度差以及相遇时间，可以求出他们的路程差；根据和差关系，求出两人各自的路程；取路程较短的一方，除以环形跑道的长度，所得余数就是两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离。 【解答】解：甲乙两人的路程和为：400×3=1200（米）， 甲乙两人的路程差为： 0.1×8×60 =0.8×60 =48（米） 根据和差公式，路程较短的乙的路程为： （1200-48）÷2 =1152÷2 =576（米） 576÷400=1（圈）……176（米） 答：两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。 故选：B。 【跟踪训练3】（2025•重庆模拟）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的1.5倍，两人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回，在A、B两地间往返前进，已知两人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距 ______千米。（追上也算相遇） 【答案】25。 【分析】相同的时间内，路程比等于速度比，第一次相遇时，两人合走了一个全程，第二次相遇时，两人合走了三个全程，第n次相遇时，两人合走了（2n-1）个全程，依此解答即可。 【解答】解：甲的速度是乙的1.5=倍，即甲、乙的速度比是3：2，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是3：2； 第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了3份和2份； 第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了2×3=6份； 第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2×5=10份； 第四次相遇时，甲、乙共走了7个AB，乙走了2×7=14份； 乙第三次和第四次相距14-10=4（份）； 所以一份距离为：20÷4=5（千米）； 那么A、B两地距离为：5×5=25（千米）。 答：A、B两地相距25千米。 故答案为：25。 【跟踪训练4】（2024•渝中区）甲、乙两人同时从A、B两地同时出发，相向而行。甲速度是乙的，相遇后二人继续前进。甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是300米。A、B两地相距 ______米。 【答案】1350。 【分析】根据相同时间内的速度比等于路程比，结合甲速度是乙的，把甲的速度看作4份，则乙的速度为5份，即相同时间内甲乙所走路程比为4：5，即第一次相遇时，乙距离A点的路程为4份，当甲乙第二次相遇时，两人合走了3个全程的路程，其中乙一共走了3个全程的（3×5）份，此时乙距离A点的份数为[3×5-（4+5）]份，两次相遇的路程差为300米，即份数[3×5-（4+5）-4]对应300米，据此求出1份的路程，然后用1份的路程乘全程的份数（4+5）即可解答本题。 【解答】解：300÷[3×5-（4+5）-4]×（4+5） =300÷[15-9-4]×9 =300÷2×9 =150×9 =1350（米） 答：A、B两地相距1350米。 故答案为：1350。 【跟踪训练5】（2024秋•青山区期末）一辆客车与一辆货车的速度比是5：4，客、货两车同时从A、B两地出发相向而行，客车到达B地后立即返回，货车到达A地后也立即返回，在离A、B中点9千米处第二次相遇。A、B两地之间的距离是多少千米？ 【答案】54千米。 【分析】在离A、B中点9千米处第二次相遇，即客车比货车多行了9×2=18（千米），共同行驶的总路程是A、B两地之间距离的3倍，则客车比货车多行了总路程的（-），则总路程是18÷（-）千米，然后再除以3即可。 【解答】解：9×2=18（千米） 18÷（-）÷3 =18÷÷3 =54（千米） 答：A、B两地之间的距离是54千米。 【跟踪训练6】（2024•渝中区）甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定地点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。当甲第一次遇到乙后分钟遇到丙，再过分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周长为400米，求丙的速度。 【答案】20米/分。 【分析】根据题意，甲乙第一次相遇后到甲乙第二次相遇，共用时1+2=4（分），因为每相遇一次，两人就共同走了湖的一周，根据“速度和=路程÷时间”即可求出甲、乙的速度和；再根据乙的速度是甲的，即可求出甲的速度；又甲和乙从出发到第一次相遇也共同走了湖的一周，所以也应用时4分，所以甲丙相遇共用时4+1=5（分），再次根据“速度和=路程÷时间”即可求出甲、丙的速度和；用甲、丙的速度和减去甲的速度即为丙的速度。 【解答】解：甲、乙速度和：400÷（1+2）=100（米/分） 甲的速度：100÷（9+11）×11=55（米/分） 甲、丙速度和：400÷（1+2+1）=75（米/分） 丙的速度：75-55=20（米/分） 答：丙的速度是20米/分。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 14 页 第 1 讲 行程问题（一） 相遇问题 .......................................................................2 追及问题 .......................................................................4 流水行船问题 ...................................................................7 多次相遇问题 ..................................................................10 热点考点 考查频率 考点难度 相遇问题 ★★★★ ★★★ 追及问题 ★★★ ★★★ 流水行船问题 ★★★ ★★★ 多次相遇问题 ★★★ ★★★★ 【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，期中应用题出现的比例又较高。主要 命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、钟面上的追及问题、列车 过桥问题等问题 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 14 页 相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇， 这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的 行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度． 例 1： 例 1:根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行 15千米，乙步行 每小时行 6千米，经过 4小时两人相遇． （1）甲、乙两人每小时共行多少千米？ （2）两地之间的路程是多少千米？ （3）相遇时，甲行了多少千米？ 【分析】（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可； （2）根据速度×时间=路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多 少千米即可； （3）根据速度×时间=路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可． 【解答】（1）15+6=21（千米） 答：甲、乙两人每小时共行 21千米． （2）21×4=84（千米） 答：两地之间的路程是 84千米． 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 14 页 （3）15×4=60（千米） 答：相遇时，甲行了 60千米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时 间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握． 【跟踪训练 1】（2024•龙亭区校级模拟）A、B两地相距 16km,甲、乙两人都从 A地到 B地。 甲步行，每小时 4km,乙骑车，每小时行驶 12km,甲出发 2小时后乙再出发，先到达 B地的人 立即返回去迎接另一个人，在其返回的路上两人相遇，则此时乙所用时间为（　　） A．3.5小时 B．3小时 C．1.5小时 D．1小时 【跟踪训练 2】（2024•兴隆县）两列高铁分别从 A城和 B城相对开出，2小时相遇，A城开出 的高铁平均速度是 240千米/时，B城开出的高铁平均速度是 264千米/时。求 A、B两城相距 多少千米，下列算式错误的是（　　） A．2×240+2×264 B．2×240+264 C．2×（240+264） D．（240+264）×2 【跟踪训练 3】（2025•北碚区）甲、乙两人同时从 A地出发前往相距 270千米的 B地，甲每 小时比乙多走 12千米。甲到达 B地后立即返回 A地，在距 B地 30千米处与乙相遇。相遇后 两人的速度保持不变，乙到达 B地之后再过 ______小时，甲返回 A地。 【跟踪训练 4】（2024秋•淮北期末）一条马路长 500米，小丽和她的小狗分别以均匀的速度 同时从马路的起点出发。当小丽走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后 小狗返回与小丽相向而行，遇到小丽后，跑向终点，到达终点后再与小丽相向而行……直到 小丽到达终点才停止。小狗从开始出发到停止一共跑了 ______米。 【跟踪训练 5】（2025•黄埔区）甲、乙两车绕周长为 400千米的环形跑道行驶，它们从同一 地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快 10千米，那么相遇点距离前 一次相遇地点 3千米，已知乙车比甲车快，求甲、乙原来每小时行多少千米？ 跟踪训练 第 4 页 共 14 页 【跟踪训练 6】（2024秋•武昌区期末）如图，学校操场的 400米跑道中套着 300米的小跑 道，大跑道与小跑道有 200米路程相重，甲以每秒 6米的速度沿着大跑道逆时针方向跑，乙 以每秒 4米的速度沿着小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发，当他们第二 次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？ 追及问题 1．追击问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由 于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 热点突破 2 关键知识 第 5 页 共 14 页 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间 速度差=快速-慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者， 然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 例 1： 例 1：上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千 米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家 恰好是 8千米，问这时是几时几分？ 【分析】由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小 明时走了 12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的 1 3 ．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了 4 千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出 12 千米，但是由于爸爸晚出发 8 分钟，所以 只走了 4千米，所以爸爸 8分钟应走 8千米，则爸爸的速度为 1千米/分钟． 那么，小明先走 8分钟后，爸爸只花了 4分钟即可追上，这段时间爸爸走了 4千米． 【解答】爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4=3（倍）， 爸爸从家到第一次追上小明，小明走了 4 千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出 12 千 米，但是由于爸爸晚出发 8分钟，所以只走了 4千米，所以爸爸 8分钟应走 8千米，则爸爸的 速度为 1千米/分钟． 爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1=16（分钟） 16+16=32（分钟） 答：这时是 8时 32分． 【点评】此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意． 【跟踪训练 1】（2024春•泉山区期中）小王、小李沿着 200米的环行跑道跑步。他们同时从 同一地点出发，同向而行。小王每分钟跑 260米，小李每分钟跑 210米，经过（　　）分钟 跟踪训练 典型例题 第 6 页 共 14 页 后小王第二次追上小李。 A．4 B．5 C．8 D．10 【跟踪训练 2】（2024•雄县）小明和爷爷一起去操场散步，小明走一圈需要 8分钟，爷爷走 一圈需要 10分钟，两人同时同地同方向而行，（　　）分钟后小明超出爷爷一整圈。 A．40 B． 40 9 C．18 D．20 【跟踪训练】（2024春•武侯区期末）甲乙两人的速度比是 9：7，甲乙两人分别从 A，B两地 同时出发，如果相向而行，0.5个小时后相遇；如果他们同向而行，甲过______小时能追上 乙。 【跟踪训练 4】（2024•沙坪坝区）A、B两地相距 22.4千米。有一支游行队伍从 A地出发， 向 B匀速前进。当游行队伍队尾离开 A时，甲、乙两人分别从 A、B两地同时相向而行，乙向 A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此 反复，当甲第 5次追上队头时恰与乙相遇在距 B地 5.6千米处；当甲第 7次追上队头时，甲 恰好第一次到达 B地，那么此时乙距离 A地还有 ______千米。 【跟踪训练 5】（2025•泗洪县）甲、乙两人沿着 400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地 点出发，同向而行。甲的速度是每分钟 290米，乙的速度是每分钟 250米，经过多少分钟甲 第一次追上乙？ 【跟踪训练 6】（2025•重庆模拟）李勇、张强两人周末到笔架山锻炼身体，两人同时从山脚 开始爬山，到达山顶就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的 1.5倍，李勇到 达山顶时，张强距山顶还有 400米，然后李勇下山，张强爬完 400米到山顶也开始下山，李 勇回到山脚时，张强刚好返回到半山腰，求从山顶到山脚的距离。 第 7 页 共 14 页 流水行船问题 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船 只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题． 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在 这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速．（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单 位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所 行的路程． 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速． 热点突破 3 关键知识 第 8 页 共 14 页 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速． 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可 以求出第三个量． 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2． 例 1： 例 1：一艘船在河里航行，顺流而下每小时行 16 千米．已知这艘船下行 3 小时恰好与上行 4 小时所行的路程相等，求静水船速和水速？ 【分析】根据题干，可以求得船逆水速度为：16×3÷4=12千米/时，船速是指的静水速=（顺 水速+逆水速）÷2，水速=（顺流速度-逆流速度）÷2，由此代入数据即可解决问题． 解：逆水速度：16×3÷4=12（千米/时）， 则船速：（12+16）÷2=14（千米/时）， 水速：（16-12）÷2=2（千米/时）， 【解答】船速为 14千米/时；水速为 2千米/时． 【点评】解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关 系，找出对应量，列式解答即可． 例 2：一位少年短跑选手，顺风跑 180米用了 20秒，在同样的风速下，逆风跑 140米也用了 20 秒．问：在无风的时候，他跑 200米要用多少秒？ 【分析】根据顺风跑 180 米用了 20 秒钟，求出顺风时每秒的速度；再根据逆风跑 140 米，也 用了 20秒钟，求出逆风时每秒的速度；用二者之和除以 2，求出无风时每秒的速度；要求跑 200 米要用多少秒，用 200除以无风时的速度即可． 【解答】顺风时每秒的速度： 180÷20=9（米）， 逆风时每秒的速度： 典型例题 第 9 页 共 14 页 140÷20=7（米）， 无风时每秒的速度： （9+7）× 1 2 =8（米/秒） 无风时跑 200米需要 200÷8=25秒． 答：无风时跑 200米需要 25秒． 【点评】本题考查了流水行船问题．解答此题的关键是根据（逆风速+顺风速）÷2=无风速， 求出无风时每秒的速度． 【跟踪训练 1】一汽船往返于两码头间，逆流需要 10小时，顺流需要 6小时。已知船在静水 中的速度为 12公里/小时。问水流的速度是多少公里/小时？（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练 2】有一艘轮船所带的燃料最多可用 12小时，驶出时速度是 30千米/每小时，返 回时逆水，速度是顺水速度的 80%，这艘轮船最多驶出（　　）千米就应返航． A．160 B．200 C．180 D．320 【跟踪训练 3】（2024•峰峰矿区）甲、乙两港相距 247.5千米，一艘轮船从甲港顺水驶向乙 港用了 4.5小时，返回时因为逆水比去时多用 1小时，则水流速度为 ______千米/时。 【跟踪训练 4】（2025•北碚区）早上 8时，骑士号和勇士号两船分别从 A、B两港出发，相向 而行，骑士号抵达下游 B港、勇士号抵达上游 A港后都立即掉头返回，上午 10时两船首次回 到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是 10分钟，水流速度为 0.5米/秒，那么骑士号 在静水中的航行速度是 ______米/秒。 【跟踪训练 5】（2024•北碚区）某人畅游长江，逆流而上，在 A处丢失一只水壶，他向前又 游了 20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离 A处 1千米的地方追到，则水流速 度为多少？ 跟踪训练 第 10 页 共 14 页 【跟踪训练 6】（2024•九龙坡区）一条大河有 A、B两个港口，水由 A流向 B，水流速度为 4 千米/时.甲、乙两船同时由 A向 B行驶，各自不停地在 A、B之间往返航行，甲在静水中的速 度是 28千米/时，乙在静水中的速度是 20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第 二次追上乙船（不算开始时甲、乙在 A处的那一次）的地点相距 40千米，求 A、B两个港口 的距离。 多次相遇问题 热点突破 4 关键知识 第 11 页 共 14 页 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显 然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路 程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为 S 甲、S 乙； 速度分别为 V 甲、V 乙；所用时间分别为 T 甲、T 乙时，由于 S 甲=V 甲×T 甲，S 乙=V 乙×T 乙，有 如下关系： （1）当时间相同即 T 甲=T 乙时，有 S 甲：S 乙=V 甲：V 乙； （2）当速度相同即 V 甲=V 乙时，有 S 甲：S 乙=T 甲：T 乙； （3）当路程相同即 S 甲=S 乙时，有 V 甲：V 乙=T 乙：T 甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 例 1： 例 1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在 A点，小王在 B点，同时出发反向而行，他们在 C点第一次相遇，C点离 A点 100米，在 D点第二次相遇，D点离 A点有 60米，求这个图的 周长． 【分析】由题意可知，第一次相遇于 C点，两人合走了半个周长．从 C点开始到第二次相遇 于 D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一 半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则 C，D的关系有如下两种情况： 典型例题 第 12 页 共 14 页 对于第一种情况，小王第一段所走的行程为 BC，第二段所走的为 CD，则 CD=2BC，所以 CD=AC+AD=160米，则 BC=160÷2=80米，所以半圆周长是 100+80=180米，圆的周长是 180× 2=360米． 对于第二种情况，小王所走的行程为 BC，第二段所走的为 CD，同样有 CD=2BC，CD=AC-AD=40 米，则 BC=40÷2=20米，则半圆周长是 100+20=120米，圆的周长是 120×2=240米． 即这个圆的周长为 360米或 240米． 【解答】由题可知，C，D的关系有如下两种情况： 对于第一种情况，CD=2BC，所以 CD=AC+AD=160米，则 BC=160÷2=80米， 所以半圆周长是 100+80=180（米）， 圆的周长是 180×2=360（米）． 对于第二种情况，CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则 BC=40÷2=20米， 则半圆周长是 100+20=120（米）， 圆的周长是 120×2=240（米）． 即这个圆的周长为 360米或 240米． 【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答． 【跟踪训练 1】（2023春•郏县）小红和小华分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端 跟踪训练 第 13 页 共 14 页 之间。小红的速度为 70米/分，小华的速度为 65米/分，经过 5分钟两人第二次相遇。这座 桥长（　　）米。 A．675 B．135 C．225 D．450 【跟踪训练 2】（2024•嘉峪关）甲、乙两人从 400米的环形跑道的一点 A背向同时出发，8 分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行 0.1米，那么，两人第三次相遇的地 点与 A点沿跑道上的最短距离是（　　） A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 【跟踪训练 3】（2025•重庆模拟）甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行，甲的速度 是乙的 1.5倍，两人相遇后继续行进，甲到 B地，乙到 A地后立即返回，在 A、B两地间往返 前进，已知两人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点 20千米，那么 A、B两地相距 ______千米。（追上也算相遇） 【跟踪训练 4】（2024•渝中区）甲、乙两人同时从 A、B两地同时出发，相向而行。甲速度是 乙的 4 5 ，相遇后二人继续前进。甲到 B地、乙到 A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点 距离第一次相遇的地点是 300米。A、B两地相距 ______米。 【跟踪训练 5】（2024秋•青山区期末）一辆客车与一辆货车的速度比是 5：4，客、货两车同 时从 A、B两地出发相向而行，客车到达 B地后立即返回，货车到达 A地后也立即返回，在离 A、B中点 9千米处第二次相遇。A、B两地之间的距离是多少千米？ 【跟踪训练 6】（2024•渝中区）甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定地点出 第 14 页 共 14 页 发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。当甲第一次遇到乙后1 1 3 分钟遇到丙， 再过2 2 3 分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的 9 11 ，湖的周长为 400米，求丙的速度。 第1讲 行程问题（一） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．甲、乙两地相距112千米，小强骑自行车，每小时行25千米。小明步行每小时行10千米。二人分别从甲、乙两地同时出发，经过几小时后二人相遇？正确列式是（　　） A．112÷（25-10） B．112÷（25+10） C．112÷25-112÷10 D．112÷10-112÷25 2．甲、乙两人步行的速度比是13：11，如果甲、乙分别由A、B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇，如果他们同向而行，那么甲追上乙需要（　　）小时． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 3．甲乙二人速度比是3：5，他们从一条“健身步道”的AB两点同时出发，如果同向而行，12分钟后乙追上甲；如果相向而行，（　　）分钟后相遇． A．1 B．3 C．5 D．8 4．甲、乙两地相距280千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行，船在静水中的速度是每小时行17千米，水速是每小时3千米，这艘轮船在甲、乙两地往返一次。共需（　　）小时。 A．33 B．36 C．34 D．以上都错 5．—艘客轮在静水中航行，每小时航行13千米，如果这艘客轮在水速为7千米/时的水中顺水航行140千米，那么需要（　　）小时。 A．5 B．6 C．7 D．8 6．妈妈和小明去操场散步。小明走一圈要用8分钟，妈妈走一圈要用10分钟。如果两人从同一个地方出发，相背而行，相遇时他们都走了（　　）分钟。 A．4 B．4.5 C．5 D． 7．甲乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行。甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米。与甲同时同地同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，这只狗就这样往返于甲乙之间，直到两人相遇为止，则相遇时这只狗跑了（　　）千米。 A．20 B．18 C．24 D．25 8．如图，甲、乙两人在一个周长400米的圆形大道上跑步，甲的平均速度为300米/分，乙的平均速度为280米/分，现在两人分别在直径两端，向同一方向出发，几分钟后甲能追上乙？ 解：设x分钟后甲能追上乙。下列方程正确的是（　　） A．300x-280x=400 B．300x-280x=400÷2 C．300x+280x=400 D．300x+280x=400÷2 9．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（　　） A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 10．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相向开出，相遇后辆车继续行驶，当摩托车到达甲城，汽车到达乙城后，立即返回，第二次相遇时汽车距甲城120千米，汽车与摩托车的速度比是2：3．则甲乙两城相距多少千米．（　　） A．100（km） B．150（km） C．155（km） D．135（km） 二．填空题（共4小题） 11．小蕾和爷爷沿着湖边散步，他们从湖边某地同时出发，同向而行．如果他们两人都慢走，小蕾走3圈可以追上爷爷；如果他们两人都快走，小蕾走7圈可以追上爷爷．已知他们两人的快走的速度都比慢走每分钟多16米，那么小蕾快走的速度是每分钟______米． 12．甲、乙两地相距180km,一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度也从甲地匀速驶往乙地，两车相继到达终点乙地，在此过程中，两车恰好相距10km的次数是 ______。 13．一条马路长300米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发，当小亮走到这条马路的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行.……直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了 ______米。 14．A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处。甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 ______米/秒。 三．应用题（共8小题） 15．甲、乙两港相距100千米，一艘轮船从甲港到乙港是顺水航行，船在静水中的速度是每小时23.5千米，水流速度是每小时3.5千米。这艘轮船从乙到甲港逆流而上要用多少小时？ 16． 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇，乙车再行驶3小时就能到达A地，已知甲车每小时比乙车少行驶25km,A、B两地距离是多少千米？ 17． 田田和敏敏在同一条长300米的环形路上散步，两人从同一地点同时出发，同向而行。田田的速度是75米/分，敏敏的速度是60米/分，多少分钟后，两人第一次相遇？ 18． 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 19． 小甬骑车每分钟行200米，小真步行每分钟行80米。小真从A地出发3600米后，小甬才从A地出发，骑车去追小真，但小甬每行5分钟就要停1分钟。小甬追上小真要用多长时间？ 20． 甲、乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶。与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶。当丙行了30千米时与甲相遇。相遇后甲立即调头，并且将速度提高到原来的2倍；当甲、乙两车相遇时，丙行驶了40千米；当乙、丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么A、B两地的距离是多少千米？ 21． 甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲、乙两人的速度各是多少。 22． 童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负贡配送药物，只要护士下单。它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地向时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问： （1）第三次相遇距离B点多远？ （2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？ 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 讲 行程问题（一） 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．甲、乙两地相距 112千米，小强骑自行车，每小时行 25千米。小明步行每小时 行 10千米。二人分别从甲、乙两地同时出发，经过几小时后二人相遇？正确列式 是（　　） A．112÷（25-10） B．112÷（25+10） C．112÷25-112÷10 D．112÷10-112÷25 2．甲、乙两人步行的速度比是 13：11，如果甲、乙分别由 A、B两地同时出发相 向而行，0.5小时后相遇，如果他们同向而行，那么甲追上乙需要（　　）小时． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 3．甲乙二人速度比是 3：5，他们从一条“健身步道”的 AB两点同时出发，如果 同向而行，12分钟后乙追上甲；如果相向而行，（　　）分钟后相遇． A．1 B．3 C．5 D．8 4．甲、乙两地相距 280千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行，船在静水中的 速度是每小时行 17千米，水速是每小时 3千米，这艘轮船在甲、乙两地往返一 次。共需（　　）小时。 A．33 B．36 C．34 D．以上都错 5．—艘客轮在静水中航行，每小时航行 13千米，如果这艘客轮在水速为 7千米/ 时的水中顺水航行 140千米，那么需要（　　）小时。 A．5 B．6 C．7 D．8 6．妈妈和小明去操场散步。小明走一圈要用 8分钟，妈妈走一圈要用 10分钟。如 果两人从同一个地方出发，相背而行，相遇时他们都走了（　　）分钟。 A．4 B．4.5 C．5 D． 40 9 7．甲乙两人同时从相距 30千米的两地出发，相向而行。甲每小时走 3.5千米，乙 每小时走 2.5千米。与甲同时同地同向出发的还有一只狗，每小时跑 5千米，狗碰 到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，这只狗就这样往返于甲乙之 间，直到两人相遇为止，则相遇时这只狗跑了（　　）千米。 A．20 B．18 C．24 D．25 8．如图，甲、乙两人在一个周长 400米的圆形大道上跑步，甲的平均速度为 300 米/分，乙的平均速度为 280米/分，现在两人分别在直径两端，向同一方向出发， 几分钟后甲能追上乙？ 解：设 x分钟后甲能追上乙。下列方程正确的是（　　） A．300x-280x=400 B．300x-280x=400÷2 C．300x+280x=400 D．300x+280x=400÷2 9．甲、乙两人从 400米的环形跑道的一点 A背向同时出发，8分钟后两人第三次 相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行 0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与 A点 沿跑道上的最短距离是（　　） A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 10．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相向开出，相遇后辆车继续行驶，当 摩托车到达甲城，汽车到达乙城后，立即返回，第二次相遇时汽车距甲城 120千 米，汽车与摩托车的速度比是 2：3．则甲乙两城相距多少千米．（　　） A．100（km） B．150（km） C．155（km） D．135（km） 二．填空题（共 4 小题） 11．小蕾和爷爷沿着湖边散步，他们从湖边某地同时出发，同向而行．如果他们两 人都慢走，小蕾走 3圈可以追上爷爷；如果他们两人都快走，小蕾走 7圈可以追上 爷爷．已知他们两人的快走的速度都比慢走每分钟多 16米，那么小蕾快走的速度 是每分钟______米． 12．甲、乙两地相距 180km,一列慢车以 40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车 出发 30分钟后，一列快车以 60km/h的速度也从甲地匀速驶往乙地，两车相继到达 终点乙地，在此过程中，两车恰好相距 10km的次数是 ______。 13．一条马路长 300米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出 发，当小亮走到这条马路 1 4 的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小 亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行.……直 到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了 ______米。 14．A、B两地位于同一条河上，B地在 A地下游 100千米处。甲船从 A地、乙船从 B地同时出发，相向而行，甲船到达 B地、乙船到达 A地后，都立即按原来路线返 航。水速为 2米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船两次相遇的地点相距 20千米，那么两船在静水中的速度是 ______米/秒。 三．应用题（共 8 小题） 15．甲、乙两港相距 100千米，一艘轮船从甲港到乙港是顺水航行，船在静水中的 速度是每小时 23.5千米，水流速度是每小时 3.5千米。这艘轮船从乙到甲港逆流 而上要用多少小时？ 16．甲、乙两车分别从 A、B两地同时出发，相向而行，经过 4小时相遇，乙车再 行驶 3小时就能到达 A地，已知甲车每小时比乙车少行驶 25km,A、B两地距离是多 少千米？ 17．田田和敏敏在同一条长 300米的环形路上散步，两人从同一地点同时出发，同 向而行。田田的速度是 75米/分，敏敏的速度是 60米/分，多少分钟后，两人第一 次相遇？ 18．甲、乙两人分别从 A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟 60米，乙 的速度是每分钟 100米，不久以后两人在途中 C地相遇，但是两人都没有停步，分 别走到 B地和 A地后又扭头往回走，结果在距离 C地 1千米处两人第二次相遇，那 么 A、B两地相距多少千米？ 19．小甬骑车每分钟行 200米，小真步行每分钟行 80米。小真从 A地出发 3600米 后，小甬才从 A地出发，骑车去追小真，但小甬每行 5分钟就要停 1分钟。小甬追 上小真要用多长时间？ 20．甲、乙两车同时从 A地出发，向 B地匀速行驶。与此同时，丙车从 B地出发向 A地匀速行驶。当丙行了 30千米时与甲相遇。相遇后甲立即调头，并且将速度提 高到原来的 2倍；当甲、乙两车相遇时，丙行驶了 40千米；当乙、丙两车相遇 时，甲恰好回到 A地，那么 A、B两地的距离是多少千米？ 21．甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着 4千米的环形公路同方向进行晨 练。出发 10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行 700 米，求甲、乙两人的速度各是多少。 22．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐 “唱着歌”穿梭在 104米长的病区走廊上，童童负贡配送药物，只要护士下单。它 就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐 分别从东、西两地向时相向出发。规定：童童从东边 A点出发，跑到西边 B点马上 返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边 B点打扫到东边 A点 时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑 10.2米，乐乐每秒跑 0.2米。问： （1）第三次相遇距离 B点多远？ （2）若乐乐打扫到 60米处时，它们共相遇了多少次？ 第1讲 行程问题（一） 考点目录 相遇问题 2 追及问题 4 流水行船问题 7 多次相遇问题 10 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 相遇问题 ★★★★ ★★★ 追及问题 ★★★ ★★★ 流水行船问题 ★★★ ★★★ 多次相遇问题 ★★★ ★★★★ 【考情分析】考查行程问题常以选择填空题和应用题的形式出现，期中应用题出现的比例又较高。主要命题点有：相遇问题、追及问题、流水问题、多次相遇问题、环形跑道问题、钟面上的追及问题、列车过桥问题等问题 热点突破1 关键知识 相遇问题 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间=总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度． 典型例题 例1： 例1:根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇． （1）甲、乙两人每小时共行多少千米？ （2）两地之间的路程是多少千米？ （3）相遇时，甲行了多少千米？ 【分析】（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可； （2）根据速度×时间=路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可； （3）根据速度×时间=路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可． 【解答】（1）15+6=21（千米） 答：甲、乙两人每小时共行21千米． （2）21×4=84（千米） 答：两地之间的路程是84千米． （3）15×4=60（千米） 答：相遇时，甲行了60千米． 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024•龙亭区校级模拟）A、B两地相距16km,甲、乙两人都从A地到B地。甲步行，每小时4km,乙骑车，每小时行驶12km,甲出发2小时后乙再出发，先到达B地的人立即返回去迎接另一个人，在其返回的路上两人相遇，则此时乙所用时间为（　　） A．3.5小时 B．3小时 C．1.5小时 D．1小时 【跟踪训练2】（2024•兴隆县）两列高铁分别从A城和B城相对开出，2小时相遇，A城开出的高铁平均速度是240千米/时，B城开出的高铁平均速度是264千米/时。求A、B两城相距多少千米，下列算式错误的是（　　） A．2×240+2×264 B．2×240+264 C．2×（240+264） D．（240+264）×2 【跟踪训练3】（2025•北碚区）甲、乙两人同时从A地出发前往相距270千米的B地，甲每小时比乙多走12千米。甲到达B地后立即返回A地，在距B地30千米处与乙相遇。相遇后两人的速度保持不变，乙到达B地之后再过 ______小时，甲返回A地。 【跟踪训练4】（2024秋•淮北期末）一条马路长500米，小丽和她的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小丽走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小丽相向而行，遇到小丽后，跑向终点，到达终点后再与小丽相向而行……直到小丽到达终点才停止。小狗从开始出发到停止一共跑了 ______米。 【跟踪训练5】（2025•黄埔区）甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求甲、乙原来每小时行多少千米？ 【跟踪训练6】（2024秋•武昌区期末）如图，学校操场的400米跑道中套着300米的小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重，甲以每秒6米的速度沿着大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿着小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？ 热点突破2 关键知识 追及问题 1．追击问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差=速度差×追及时间 追及时间=距离差÷速度差 速度差=距离差÷追及时间 速度差=快速-慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 典型例题 例1： 例1：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几时几分？ 【分析】由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小明时走了12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟． 那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米． 【解答】爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4=3（倍）， 爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟． 爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1=16（分钟） 16+16=32（分钟） 答：这时是8时32分． 【点评】此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2024春•泉山区期中）小王、小李沿着200米的环行跑道跑步。他们同时从同一地点出发，同向而行。小王每分钟跑260米，小李每分钟跑210米，经过（　　）分钟后小王第二次追上小李。 A．4 B．5 C．8 D．10 【跟踪训练2】（2024•雄县）小明和爷爷一起去操场散步，小明走一圈需要8分钟，爷爷走一圈需要10分钟，两人同时同地同方向而行，（　　）分钟后小明超出爷爷一整圈。 A．40 B． C．18 D．20 【跟踪训练】（2024春•武侯区期末）甲乙两人的速度比是9：7，甲乙两人分别从A，B两地同时出发，如果相向而行，0.5个小时后相遇；如果他们同向而行，甲过______小时能追上乙。 【跟踪训练4】（2024•沙坪坝区）A、B两地相距22.4千米。有一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进。当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有 ______千米。 【跟踪训练5】（2025•泗洪县）甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过多少分钟甲第一次追上乙？ 【跟踪训练6】（2025•重庆模拟）李勇、张强两人周末到笔架山锻炼身体，两人同时从山脚开始爬山，到达山顶就立即下山，他们两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，李勇到达山顶时，张强距山顶还有400米，然后李勇下山，张强爬完400米到山顶也开始下山，李勇回到山脚时，张强刚好返回到半山腰，求从山顶到山脚的距离。 热点突破3 关键知识 流水行船问题 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题． 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度=船速+水速，（1） 逆水速度=船速-水速．（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程． 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速=顺水速度-船速， 船速=顺水速度-水速． 由公式（2）可以得到： 水速=船速-逆水速度， 船速=逆水速度+水速． 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量． 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2． 典型例题 例1： 例1：一艘船在河里航行，顺流而下每小时行16千米．已知这艘船下行3小时恰好与上行4小时所行的路程相等，求静水船速和水速？ 【分析】根据题干，可以求得船逆水速度为：16×3÷4=12千米/时，船速是指的静水速=（顺水速+逆水速）÷2，水速=（顺流速度-逆流速度）÷2，由此代入数据即可解决问题． 解：逆水速度：16×3÷4=12（千米/时）， 则船速：（12+16）÷2=14（千米/时）， 水速：（16-12）÷2=2（千米/时）， 【解答】船速为14千米/时；水速为2千米/时． 【点评】解答此题的关键是，根据船速，水速，船逆水的速度，船顺水的速度，几者之间的关系，找出对应量，列式解答即可． 例2：一位少年短跑选手，顺风跑180米用了20秒，在同样的风速下，逆风跑140米也用了20秒．问：在无风的时候，他跑200米要用多少秒？ 【分析】根据顺风跑180米用了20秒钟，求出顺风时每秒的速度；再根据逆风跑140米，也用了20秒钟，求出逆风时每秒的速度；用二者之和除以2，求出无风时每秒的速度；要求跑200米要用多少秒，用200除以无风时的速度即可． 【解答】顺风时每秒的速度： 180÷20=9（米）， 逆风时每秒的速度： 140÷20=7（米）， 无风时每秒的速度： （9+7）×=8（米/秒） 无风时跑200米需要200÷8=25秒． 答：无风时跑200米需要25秒． 【点评】本题考查了流水行船问题．解答此题的关键是根据（逆风速+顺风速）÷2=无风速，求出无风时每秒的速度． 跟踪训练 【跟踪训练1】一汽船往返于两码头间，逆流需要10小时，顺流需要6小时。已知船在静水中的速度为12公里/小时。问水流的速度是多少公里/小时？（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练2】有一艘轮船所带的燃料最多可用12小时，驶出时速度是30千米/每小时，返回时逆水，速度是顺水速度的80%，这艘轮船最多驶出（　　）千米就应返航． A．160 B．200 C．180 D．320 【跟踪训练3】（2024•峰峰矿区）甲、乙两港相距247.5千米，一艘轮船从甲港顺水驶向乙港用了4.5小时，返回时因为逆水比去时多用1小时，则水流速度为 ______千米/时。 【跟踪训练4】（2025•北碚区）早上8时，骑士号和勇士号两船分别从A、B两港出发，相向而行，骑士号抵达下游B港、勇士号抵达上游A港后都立即掉头返回，上午10时两船首次回到各自的出发点。已知两船同向行驶的时间是10分钟，水流速度为0.5米/秒，那么骑士号在静水中的航行速度是 ______米/秒。 【跟踪训练5】（2024•北碚区）某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到，则水流速度为多少？ 【跟踪训练6】（2024•九龙坡区）一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。 热点突破4 关键知识 多次相遇问题 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲×T甲，S乙=V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲=T乙时，有S甲：S乙=V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 典型例题 例1： 例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长． 【分析】由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况： 对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米，所以半圆周长是100+80=180米，圆的周长是180×2=360米． 对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米，则半圆周长是100+20=120米，圆的周长是120×2=240米． 即这个圆的周长为360米或240米． 【解答】由题可知，C，D的关系有如下两种情况： 对于第一种情况，CD=2BC，所以CD=AC+AD=160米，则BC=160÷2=80米， 所以半圆周长是100+80=180（米）， 圆的周长是180×2=360（米）． 对于第二种情况，CD=2BC，CD=AC-AD=40米，则BC=40÷2=20米， 则半圆周长是100+20=120（米）， 圆的周长是120×2=240（米）． 即这个圆的周长为360米或240米． 【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2023春•郏县）小红和小华分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小红的速度为70米/分，小华的速度为65米/分，经过5分钟两人第二次相遇。这座桥长（　　）米。 A．675 B．135 C．225 D．450 【跟踪训练2】（2024•嘉峪关）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（　　） A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 【跟踪训练3】（2025•重庆模拟）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的1.5倍，两人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回，在A、B两地间往返前进，已知两人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A、B两地相距 ______千米。（追上也算相遇） 【跟踪训练4】（2024•渝中区）甲、乙两人同时从A、B两地同时出发，相向而行。甲速度是乙的，相遇后二人继续前进。甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是300米。A、B两地相距 ______米。 【跟踪训练5】（2024秋•青山区期末）一辆客车与一辆货车的速度比是5：4，客、货两车同时从A、B两地出发相向而行，客车到达B地后立即返回，货车到达A地后也立即返回，在离A、B中点9千米处第二次相遇。A、B两地之间的距离是多少千米？ 【跟踪训练6】（2024•渝中区）甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定地点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。当甲第一次遇到乙后分钟遇到丙，再过分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周长为400米，求丙的速度。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 行程问题（一） 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．甲、乙两地相距112千米，小强骑自行车，每小时行25千米。小明步行每小时行10千米。二人分别从甲、乙两地同时出发，经过几小时后二人相遇？正确列式是（　　） A．112÷（25-10） B．112÷（25+10） C．112÷25-112÷10 D．112÷10-112÷25 【答案】B 【分析】根据“相遇时间=路程÷速度和”，代入数据解答即可。 【解答】解：二人分别从甲、乙两地同时出发，经过几小时后二人相遇？正确列式是： 112÷（25+10） 故选：B。 2．甲、乙两人步行的速度比是13：11，如果甲、乙分别由A、B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇，如果他们同向而行，那么甲追上乙需要（　　）小时． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】D 【分析】设甲的速度为每小时行13千米，乙的速度为每小时行11千米，求出A、B两地之间的距离，甲要追上乙，就要比乙多行A、B之间的距离这段路程，用这个路程除以两人的速度差就是它们行走的时间． 【解答】解：设甲的速度为每小时行13千米，乙的速度为每小时行11千米，由题意得： 两地相距：（13+11）×0.5 =24×0.5 =12（千米） 甲追上乙需： 12÷（13-11） =12÷2 =6（小时） 故选：D． 3．甲乙二人速度比是3：5，他们从一条“健身步道”的AB两点同时出发，如果同向而行，12分钟后乙追上甲；如果相向而行，（　　）分钟后相遇． A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】甲、乙两人速度比3：5，可以看做甲的速度为3份，乙的速度为5份，则甲、乙两人的速度差为5-3=2（份），如果同向而行，12分钟后乙追上甲，那么AB两地的距离就是2×12=24份，如果他们相向而行，根据“路程÷速度和=时间”解答即可． 【解答】解：（5-3）×12÷（5+3） =2×12÷8 =24÷8 =3（分钟） 答：如果相向而行，3分钟后相遇． 故选：B． 4．甲、乙两地相距280千米，一艘轮船从甲地到乙地是顺水航行，船在静水中的速度是每小时行17千米，水速是每小时3千米，这艘轮船在甲、乙两地往返一次。共需（　　）小时。 A．33 B．36 C．34 D．以上都错 【答案】C 【分析】顺水航行需要的时间=距离÷（船速+水速），逆水速度=静水速度-水流的速度。据此分别求出顺水和逆水行驶的时间，再相加即可。 【解答】解：从甲地到乙地顺水一趟的时间： 280÷（17+3） =280÷20 =14（时） 从乙地到甲地逆水一趟的时间： 280÷（17-3） =280÷14 =20（时） 往返一次共用时间：14+20=34（小时） 故选：C。 5．—艘客轮在静水中航行，每小时航行13千米，如果这艘客轮在水速为7千米/时的水中顺水航行140千米，那么需要（　　）小时。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由于客轮是顺水航行，所以客轮的实际速度=静水速度+水流速度，即为（13+7）千米/时，根据“时间=路程÷速度”代入数值，解答即可。 【解答】解：140÷（13+7） =140÷20 =7（小时） 答：需要7小时。 故选：C。 6．妈妈和小明去操场散步。小明走一圈要用8分钟，妈妈走一圈要用10分钟。如果两人从同一个地方出发，相背而行，相遇时他们都走了（　　）分钟。 A．4 B．4.5 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据小明走一圈要用8分钟，妈妈走一圈要用10分钟，可知小明何妈妈的速度分为和，根据路程÷速度=时间，用“1”除以两人的速度和，即可解答。 【解答】解：1÷（+） =1÷ =（分） 答：相遇时他们都走了分钟。 故选：D。 7．甲乙两人同时从相距30千米的两地出发，相向而行。甲每小时走3.5千米，乙每小时走2.5千米。与甲同时同地同向出发的还有一只狗，每小时跑5千米，狗碰到乙后就回头向甲跑去，碰到甲后又回头向乙跑去，这只狗就这样往返于甲乙之间，直到两人相遇为止，则相遇时这只狗跑了（　　）千米。 A．20 B．18 C．24 D．25 【答案】D 【分析】根据题意，在甲乙从出发到相遇的过程中，小狗一直在以每小时5千米的速度跑，所以，小狗和二人所用时间一样．求甲乙相遇时这只狗共跑了多远，只需求出二人相遇所用时间，再用时间乘小狗的速度即可。 【解答】解：甲乙相遇时所用的时间： 30÷（3.5+2.5） =30÷6 =5（小时） 狗共跑的路程为：5×5=25（千米） 答：甲乙相遇时这只狗跑了25千米。 故选：D。 8．如图，甲、乙两人在一个周长400米的圆形大道上跑步，甲的平均速度为300米/分，乙的平均速度为280米/分，现在两人分别在直径两端，向同一方向出发，几分钟后甲能追上乙？ 解：设x分钟后甲能追上乙。下列方程正确的是（　　） A．300x-280x=400 B．300x-280x=400÷2 C．300x+280x=400 D．300x+280x=400÷2 【答案】B 【分析】因为两人分别在直径两端，所以二人的路程差是圆形大道长度的一半，再根据等量关系：甲行的路程-乙行的路程=路程差，列方程解答。 【解答】解：300x-280x=400÷2              20x=200            20x÷20=200÷20              x=20 所以列方程正确的是300x-280x=400÷2。 故选：B。 9．甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（　　） A．166米 B．176米 C．224米 D．234米 【答案】B 【分析】甲乙两人第三次相遇，他们的路程和就是环形跑道长度的3倍；根据甲乙两人的速度差以及相遇时间，可以求出他们的路程差；根据和差关系，求出两人各自的路程；取路程较短的一方，除以环形跑道的长度，所得余数就是两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离。 【解答】解：甲乙两人的路程和为：400×3=1200（米）， 甲乙两人的路程差为： 0.1×8×60 =0.8×60 =48（米） 根据和差公式，路程较短的乙的路程为： （1200-48）÷2 =1152÷2 =576（米） 576÷400=1（圈）……176（米） 答：两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。 故选：B。 10．一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相向开出，相遇后辆车继续行驶，当摩托车到达甲城，汽车到达乙城后，立即返回，第二次相遇时汽车距甲城120千米，汽车与摩托车的速度比是2：3．则甲乙两城相距多少千米．（　　） A．100（km） B．150（km） C．155（km） D．135（km） 【答案】B 【分析】汽车与摩托车的速度比是2：3，把两地间距离看作单位“1”，那么第一次两车相遇时，汽车行驶全程的，第二次相遇时，汽车行驶全程的3=，也就是汽车从乙城回来，又走了1=，此时汽车距甲城的距离是1-，也就是120千米占全长的分率，据此即可解答． 【解答】解：2+3=5， 120÷[1-（3-1）]， =120÷[1-（-1）]， =120÷[1-]， =120， =150（千米）， 答：甲乙两城相距150千米． 故选：B． 二．填空题（共4小题） 11．小蕾和爷爷沿着湖边散步，他们从湖边某地同时出发，同向而行．如果他们两人都慢走，小蕾走3圈可以追上爷爷；如果他们两人都快走，小蕾走7圈可以追上爷爷．已知他们两人的快走的速度都比慢走每分钟多16米，那么小蕾快走的速度是每分钟______米． 【分析】小蕾慢走3圈追上爷爷说明小蕾慢走3圈，爷爷才走2圈，慢走的速度比是3：2，同样小蕾快走7圈，爷爷走6圈，快走的速度比7：6，设小蕾快走速度是x米，爷爷快走速度就是x米，根据慢走时，二人行驶的时间相同可得方程：（x-16）×=x-16，也可列成（x-16）÷3=（x-16）÷2，由此即可解决问题． 【解答】解：根据题干分析可得：小蕾与爷爷慢走的速度比是3：2，快走的速度比7：6， 设小蕾快走速度是x米，爷爷快走速度就是x米，根据题意可得方程： （x-16）×=x-16，   x-=x-16，    x=，   x=28， 答：小蕾快走的速度是每分钟28米． 故答案为：28． 12．甲、乙两地相距180km,一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地，慢车出发30分钟后，一列快车以60km/h的速度也从甲地匀速驶往乙地，两车相继到达终点乙地，在此过程中，两车恰好相距10km的次数是 ______。 【答案】4。 【分析】分析题目，利用“时间=路程÷速度”，可求出快车未出发且两车相距10km的时间；设快车出发x小时时，两车相距10km,分快车未超过慢车时、快车超过慢车10km时及快车到达乙地后三种情况分析，根据“路程=速度×时间”，结合两车之间相距10km,即可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，进而可得出结论。 【解答】解：①10÷40=（h） 即快车未出发时，慢车出发小时时，两车相距10km； ②设快车出发x小时时，两车相距10km。 快车未超过慢车时，40×（x+）-10=60x 解得：x= 即快车出发时，快车在慢车后面10km； ③快车超过慢车10km时，40×（x+）+10=60x 解得：x= 即快车出发时，快车在慢车前面10km； ④快车到达乙地后，40×（x+）=180-10 解得：x= 即快车出发时，快车在慢车前面10km。 答：两车恰好相距10km的次数是4次。 故答案为：4。 13．一条马路长300米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发，当小亮走到这条马路的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行.……直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了 ______米。 【答案】1200。 【分析】当小亮走到这条马路的时候，小狗已经到达马路的终点，说明小狗的速度是小亮的4倍，由于小亮和小狗最后都到达终点，那么它们行驶的时间是相同，根据时间一定，速度和路程的正比例关系可知，小狗的路程也是小亮路程的4倍，即300×4米。 【解答】解：当小亮走到这条马路的时候，小狗已经到达马路的终点，说明小狗的速度是小亮的4倍，根据时间一定，速度和路程的正比例关系可知，小狗的路程也是小亮路程的4倍， 300×4=1200（米） 故答案为：1200。 14．A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处。甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航。水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同。如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 ______米/秒。 【答案】10。 【分析】因为两次相遇行了3个总路程，如果让甲乙继续前行，两者可同时到达原出发点．很容易看出，两次相遇地点关于AB中点对称．所以两船第一次相遇点离A点距离为：（100+20）÷2=60千米，这也是甲第一次相遇走的路程； 乙走的是100-60=40千米，即顺水与逆水的速度比为60：40=3：2，然后设静水速度为x米/秒，再根据顺水速度和逆水速度比为3：2，列比例式：（x+2）：（x-2）=3：2，即可求出静水速度，依此解答即可。 【解答】解：两次相遇地点关于AB中点对称，所以甲船第一次相遇点离A点距离为： （100+20）÷2 =120÷2 =60（千米） 第一次相遇乙走：100-60=40（千米） 顺水与逆水的速度比为：60：40=3：2 设静水速度为x米/秒， （x+2）：（x-2）=3：2   2x+4=3x-6   x=10 故答案为：10。 三．应用题（共8小题） 15．甲、乙两港相距100千米，一艘轮船从甲港到乙港是顺水航行，船在静水中的速度是每小时23.5千米，水流速度是每小时3.5千米。这艘轮船从乙到甲港逆流而上要用多少小时？ 【答案】5小时。 【分析】先根据逆水速度=静水速度-水流速度，再根据逆水需要的时间=总路程÷逆水速度，解答即可。 【解答】解：100÷（23.5-3.5） =100÷20 =5（小时） 答：这艘轮船从乙到甲港逆流而上要用5小时。 16．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇，乙车再行驶3小时就能到达A地，已知甲车每小时比乙车少行驶25km,A、B两地距离是多少千米？ 【答案】700千米。 【分析】设甲车每小时行驶x千米，则乙车每小时行驶（x+25）千米，根据题意，甲、乙两车相遇用了4小时，所以相遇时两车行驶的总路程就是（甲车速度+乙车速度）×时间=4（x+x+25）。另一方面，乙车从B地到A地用了4+3=7（小时），所以乙车行驶的总路程就是乙车的速度×时间=7（x+25），因为这两个路程实际上是同一段路程，即A、B两地的距离，所以我们可以列出方程4（x+x+25）=7（x+25），解这个方程，我们可以得到甲车的速度，进一步得到乙车的速度，然后根据乙车的速度和时间，计算出A、B两地的距离。 【解答】解：4+3=7（小时） 设甲车每小时行驶x千米，则乙车每小时行驶（x+25）千米。 4（x+x+25）=7（x+25） 4（2x+25）=7x+175  8x+100=7x+175  8x-7x=175-100 x=75 75+25=100（千米/时） 100×7=700（千米） 答：A、B两地距离是700千米。 17．田田和敏敏在同一条长300米的环形路上散步，两人从同一地点同时出发，同向而行。田田的速度是75米/分，敏敏的速度是60米/分，多少分钟后，两人第一次相遇？ 【答案】20分钟后，两人第一次相遇。 【分析】两人从同一地点出发，同向而行，那么他们相遇时，田田比敏敏多跑了一圈的长度，根据路程÷速度=时间，用环形路的长度除以两人的速度之差，求出多少分钟后，两人相遇即可。 【解答】解：300÷（75-60） =300÷15 =20（分） 答：20分钟后，两人第一次相遇。 18．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】2千米。 【分析】我们知道“甲、乙第一次相遇他们的总路程为一个全过程（A、B之间的距离），以后每次相遇他们的总路程均为2个全程”；再结合第一次相遇乙走了BC的距离，第二次相遇乙走了2个AC的距离+1千米，这两次的路程关系为2倍关系，据此即可求出第一次相遇时乙比甲多走了多少米，进而求得第一次相遇的用时，再应用速度和×相遇时间=相遇路程。 【解答】解：1千米=1000米 2个AC的距离+1000=2个BC的距离 BC的距离-AC的距离=500，即第一次相遇乙比甲多走了500米。 第一次相遇用时： 500÷（100-60） =500÷40 =12.5（分钟） （100+60）×12.5 =160×12.5 =2000（米） 2000米=2千米 答：AB两地相距2千米。 19．小甬骑车每分钟行200米，小真步行每分钟行80米。小真从A地出发3600米后，小甬才从A地出发，骑车去追小真，但小甬每行5分钟就要停1分钟。小甬追上小真要用多长时间？ 【答案】40。 【分析】根据题意知：小甬每行6分钟的路程为200×5=1000（米），小真每行6分钟的路程为80×6=480（米），则每过6分钟小甬追上小真的路程为1000-480=520（米），然后用3600÷520…480（米），即经过6个6分钟小甬追上小真520×6=3120（米）或3600-480=3120（米），此时小甬追上小真还差480米，则追这480米需要用时480÷（200-80）=4（分钟），至此即可求得。 【解答】解：3600÷（200×5-80×6） =3600÷520 =6……480（米） 480÷（200-80） =480÷120 =4（分钟） 6×6+4 =36+4 =40（分钟） 答：小甬追上小真要40分钟。 20．甲、乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶。与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶。当丙行了30千米时与甲相遇。相遇后甲立即调头，并且将速度提高到原来的2倍；当甲、乙两车相遇时，丙行驶了40千米；当乙、丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】54。 【分析】由题意可知，甲到达某地又立即2倍速度返回，假设走了3份时间，所以由第3次相遇，乙一份时间路程是a,那么全程就是2a+a+15+30，即3a+45，所以甲第一次走的路程是：15+3a.在第二次相遇时，丙又走了40-30=10千米，走了丙走的是30的，甲的速度提高到2倍，走到是甲走的，即（15+3a）×=10+2a,乙走到第一次走的路程的，即2a×=a,所以有：+10+2a,所以a=3，所以全程为：15+3×3+30=54（千米）。 【解答】解：假设甲走了3份时间，乙一份时间路程是a,所以由第3次相遇，全程就是2a+a+15+30=3a+45，所以甲第一次走的路程是：15+3a,在第二次相遇时丙又走了40-30=10千米，丙走的是30的，甲的速度提高到2倍，走到是甲走即（15+3a）×=10+2a, 乙走到第一次走的，即2a×=a 所以有：15+3a=2a+a+10+2a, 所以a=3， 所以全程为：15+3×3+30=15+9+30=54（千米） 答：A、B两地的距离是54千米。 故答案为：54。 21．甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲、乙两人的速度各是多少。 【答案】550，150。 【分析】根据甲骑车，乙跑步，两人同时从一点出发沿着4千米的环形公路同方向进行晨练。出发10分钟后，甲便从乙身后追上了乙，可以知道甲比乙10分钟多跑了4千米，即路程差，根据路程差÷时间=速度差，求出甲、乙的速度差是：4000÷10=400（米/分），然后根据和差问题公式：（和+差）÷2=大数，可以求出甲的速度，根据（和-差）÷2=小数，可以求出乙的速度。 【解答】解：4千米=4000米 4000÷10=400（米/分钟） （700+400）÷2 =1100÷2 =550（米/分钟） 700-550=150（米/分钟） 答：甲的速度是550米/分钟，乙的速度是150米/分钟。 22．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负贡配送药物，只要护士下单。它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地向时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问： （1）第三次相遇距离B点多远？ （2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？ 【答案】（1）6米远；（2）29次。 【分析】（1）第一次相遇时它们共同走了104米，第三次相遇时它们走了208米，也可以看作从第二次开始走208米相遇2次。（2）已知乐乐打扫到离B点60米处，它用了300秒，它们共相遇的次数可求。 【解答】解：（1）104÷（10.2+0.2）=104÷10.4=10（秒） 104×2÷（10.2+0.2）=208÷10.4=20（秒） 0.2×（10+20）=0.2×30=6（米） 答：第三次相遇距离B点6米远。 （2）60÷0.2=300（秒） 300-10=290（秒） 290÷20=14......10（秒） 0.2×290=58（米） 58×2=116（米） 10.2×10=102（米） 102＜116 14×2+1=28+1=29（次） 答：若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了29次。 学科网（北京）股份有限公司 $$