数学（重庆卷，新题型）-学易金卷：2025年中考押题预测卷

2025年中考押题预测卷（重庆卷） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知， ∴，故A选项错误，不符合题意；，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ∵，∴，故D选项错误，不符合题意；故选：B ． 2．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成． 拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此图形主视图的形状发生了变化，则拿走的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：由图形可知，拿走乙此图形主视图的形状发生了变化，故选B． 3．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】D 【详解】解：， ∵，∴，∴， ∴的运算结果在7到8之间，故选：D． 4．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 【答案】A 【详解】解：如图：延长相交于点E，由题意可得：， ∵，∴，∴， ∵，∴．故选A． 5．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点，，∴，， ∵与位似，位似中心为点O，∴，∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 6．若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【详解】解：反比例函数的，反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，随的增大而减小，A、无法确定的正负，故无法确定，故说法不符合题意； B、当时，，，故说法正确，符合题意； C、当时，，，故说法错误，不符合题意； D、当时，，，原说法错误，不符合题意；故选：B． 7．（2024·四川成都·模拟预测）将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有个数，则关于x的多项式的展开式中，项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴的展开式中项的系数为，项的系数为， ∴的展开式中，项的系数为，即，故选：D． 8．半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：取的中点O，连接，， 由题意得，，∴， ∵点D为中点，∴，∴，∴ ∵∴，∵，∴， ∴，故选：A． 9．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在线段上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作于点， 四边形是矩形，，， 点为中点，．，， 又，． 在和中，，， ，，， ，设，则， 设直线的解析式为，把代入得，， 点的横坐标为4，纵坐标为，把代入得：，解得．选：C． 10．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：①对n，，1进行“Q运算”的结果是8， 则，， 当时，，解得：； 当时，，方程无解； 当时，，解得：；故或2，则①错误； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，， 化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确； ③若对4，5，6，7，，2025，进行“Q运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项， 为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为， 则当时，运算结果最小，故③错误；故选：B 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上） 11．计算： ． 【答案】2 【详解】解：，故答案为：2． 12．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ． 【答案】 【详解】解：将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有种结果， 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为；故答案为：． 13．如图，已知，，，若，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长、交于点，延长至点，使得，连接， ，，，，， ，，，， ，，，， 又，是的垂直平分线，， 又，，， 又，，，， ，，，即：的长度为．故答案为：． 14．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 则根据题意可知，不等式组的解集为：， 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解， 则该不等式的整数解至少包含：，，，解得：， 分式方程去分母得：，解得：， ∵，∴，是正整数，且，∴或，或， 满足条件的整数的和为，故答案为：． 15．如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则 ； ． 【答案】 /0.8 【详解】解：是的直径，， ， 是的切线，，在中，， 连接，设交于点，， ，，，在中，， ，，， ，，，，即， ， 在和中，， ，，， ，，， ，，设，则， ，解得，，， ，故答案为：． 16．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：设正奇数为（为非负整数），，令， 将两式相加可得：，即，解得：， 将代入，解得：．为非负整数，、为正整数， 所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”，故①正确； 设能被4整除的正整数为（为正整数且），，令， 将两式相加可得：，即，解得：， 将代入，解得．为正整数且，、为正整数， 除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，故②正确； 假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为整数）． 与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数；若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是； 被4除余2的正整数都不是“智慧数”．故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③．故答案为：①②③． 三、解答题 （本大题共8小题，其中17题16分，其余每题各10分，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．先化简，再求值： (1)，其中是满足条件的合适的非负整数． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： （4分） ∵是满足条件的合适的非负整数，，，∴， 此时原式．（8分） （2）原式 ，（12分） 当，时， 原式．（16分） 18．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为平行四边形，且．①______． ，，同理可得，．②______ ．③______． 又，，同理可得，． ．④______．四边形是平行四边形． 进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 【答案】(1)见解析(2)①；②；③；④；⑤平行四边形 【详解】（1）如图，点E即为所作； （2分） （2）证明：四边形为平行四边形，且 ，，同理可得， ，，， 又，，同理可得，， ，，四边形是平行四边形．（6分） 已知：如图，在矩形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为矩形，且 ，，同理可得， ，，， 又，，同理可得，， ，，四边形是平行四边形． ∴在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．（10分） 19．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．；B．；C．；D．）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)表格中的 ， ； (3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）．(4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)；(3)款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析； (4)选择甲款车更合适，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为，补全条形统计图如下： （2分） （2）330  375  435  410  410  470  380  365  365  410中，410出现的次数最多，∴众数； 在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， ∴中位数 ；故答案为：；（5分） （3）解：款的实际续航里程更长，理由如下： ∵款的平均数较大，∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）；（7分） （4）解：选择甲款车更合适，理由如下： 甲款车综合得分为：（分）， 乙款车综合得分为： （分）， ，∴选择甲款车更合适．（10分） 20．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】(1)该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元 (2)购进哪吒挂件个，敖丙挂件个 【详解】（1）解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元， 由题意得：，解得：，（4分） 经检验，是原方程的解，且符合题意，， 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元；（6分） （2）设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个， 由题意得：，解得：，， 答：购进哪吒挂件个，敖丙挂件个．（10分） 21．景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解；如图所示，过点B作于E，设， 在中，，∴，∴； 在中，，∴，∴， ∵，∴，解得，∴， 答：景点B到公路的最短距离为；（5分） （2）解：如图所示，过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形， ∴，在中，， ∴，∴，∴， 答：景点D到公路的最短距离为．（10分） 22．如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． (1)直接写出的解析式及自变量的取值范围；(2)在图2中画出的图象，并写出一条的性质；(3)反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 【答案】(1)(2)作图见解析，性质见解析（答案不唯一） (3)或 （答案不唯一） 【详解】（1）解：当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，， 在矩形中，，则， ； 当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，， 过点作，如图所示：， 在矩形中，，，，则，， ，即，点为中点，， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得，； 当点与点重合时，不存在，没有面积； 综上所述，；（4分） （2）解：如图所示： 性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（答案不唯一）；（7分） （3）解：由（2）可知， 、的图象如下： 当时，函数图象在函数图象的上方， 过图象交点作轴的垂线，如图所示： 联立，则，即，解得， 或； 联立，则，即，解得， 或（负值舍去）；当时，或．（10分） 23．如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式；(2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 【答案】(1)(2)(3)见详解 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 可得，解得，∴抛物线的解析式为；（2分） （2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有，∴，即， ∵，，∴，∴， ∵轴，∴，∴， ∵，∴， ∴，即为等腰直角三角形，∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得，∴直线解析式为， 设，则，∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为；（6分） （3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得，则有，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∴，整理可得，由图像可知， ∴，∴，∴直线的解析式为， 当时，可有，∴直线经过一定点．（10分） 24．在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)；(2)，见解析；(3)8． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴，， ∴，∴，， 在中，，∴，∴，∴；（3分） （2）证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，，∴，， ∵平分，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴，∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形，∴， ∴，整理得；（7分） （3）如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到，∴，， ∵，，∴，， ∴，∴，，设， ∵，，∴，， ∴，∴，∴四边形是矩形， ∴点B在上，，,∴四边形是正方形，∴， ∵，，， ∴，∴，，∴O为的中点， ∵M为的中点，∴M与O重合，，∴， ∴，∴，， ∴，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴，∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴,∴，∴，， ∴，∴．（10分） 28 / 29 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（重庆卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成． 拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此图形主视图的形状发生了变化，则拿走的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 4．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 5．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 7．（2024·四川成都·模拟预测）将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有个数，则关于x的多项式的展开式中，项的系数为（   ） A． B． C． D． 8．半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在线段上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上） 11．计算： ． 12．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ． 13．如图，已知，，，若，则的长度为 ． 14．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 15．如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则 ； ． 16．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 （本大题共8小题，其中17题16分，其余每题各10分，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．先化简，再求值： (1)，其中是满足条件的合适的非负整数． (2)，其中，． 18．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为平行四边形，且．①______． ，，同理可得，．②______ ．③______． 又，，同理可得，． ．④______．四边形是平行四边形． 进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 19．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．；B．；C．；D．）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)表格中的 ， ； (3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）．(4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 20．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 21．景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 22．如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． (1)直接写出的解析式及自变量的取值范围；(2)在图2中画出的图象，并写出一条的性质；(3)反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 23．如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式；(2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 24．在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 10 / 11 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考押题预测卷（重庆卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D A C B D A C B 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上） 11．2 12． 13． 14． 15． 16．①②③ 三、解答题 （本大题共8小题，其中17题16分，其余每题各10分，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： （4分） ∵是满足条件的合适的非负整数，，，∴， 此时原式．（8分） （2）原式 ，（12分） 当，时， 原式．（16分） 18．【答案】(1)见解析(2)①；②；③；④；⑤平行四边形 【详解】（1）如图，点E即为所作； （2分） （2）证明：四边形为平行四边形，且 ，，同理可得， ，，， 又，，同理可得，， ，，四边形是平行四边形．（6分） 已知：如图，在矩形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为矩形，且 ，，同理可得， ，，， 又，，同理可得，， ，，四边形是平行四边形． ∴在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．（10分） 19．【答案】(1)见解析(2)；(3)款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析； (4)选择甲款车更合适，理由见解析． 【详解】（1）解：由题意可得款抽取的纯电动车中类的数量为，补全条形统计图如下： （2分） （2）330  375  435  410  410  470  380  365  365  410中，410出现的次数最多，∴众数； 在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， ∴中位数 ；故答案为：；（5分） （3）解：款的实际续航里程更长，理由如下： ∵款的平均数较大，∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）；（7分） （4）解：选择甲款车更合适，理由如下： 甲款车综合得分为：（分）， 乙款车综合得分为： （分）， ，∴选择甲款车更合适．（10分） 20．【答案】(1)该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元 (2)购进哪吒挂件个，敖丙挂件个 【详解】（1）解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是元，则购进敖丙挂件的单价是元， 由题意得：，解得：，（4分） 经检验，是原方程的解，且符合题意，， 答：该批发商购进哪吒挂件的单价是元，敖丙挂件的单价是元；（6分） （2）设购进哪吒挂件个，则购进敖丙挂件个， 由题意得：，解得：，， 答：购进哪吒挂件个，敖丙挂件个．（10分） 21．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解；如图所示，过点B作于E，设， 在中，，∴，∴； 在中，，∴，∴， ∵，∴，解得，∴， 答：景点B到公路的最短距离为；（5分） （2）解：如图所示，过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形， ∴，在中，， ∴，∴，∴， 答：景点D到公路的最短距离为．（10分） 22．【答案】(1)(2)作图见解析，性质见解析（答案不唯一） (3)或 （答案不唯一） 【详解】（1）解：当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，， 在矩形中，，则， ； 当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，， 过点作，如图所示：， 在矩形中，，，，则，， ，即，点为中点，， 在中，，则由勾股定理可得， ，解得，； 当点与点重合时，不存在，没有面积； 综上所述，；（4分） （2）解：如图所示： 性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（答案不唯一）；（7分） （3）解：由（2）可知， 、的图象如下： 当时，函数图象在函数图象的上方， 过图象交点作轴的垂线，如图所示： 联立，则，即，解得， 或； 联立，则，即，解得， 或（负值舍去）；当时，或．（10分） 23．【答案】(1)(2)(3)见详解 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 可得，解得，∴抛物线的解析式为；（2分） （2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有，∴，即， ∵，，∴，∴， ∵轴，∴，∴， ∵，∴， ∴，即为等腰直角三角形，∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得，∴直线解析式为， 设，则，∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为；（6分） （3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得，则有，， ∵，，∴， ∴，即，∴， ∴，整理可得，由图像可知， ∴，∴，∴直线的解析式为， 当时，可有，∴直线经过一定点．（10分） 24．【答案】(1)；(2)，见解析；(3)8． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴，， ∴，∴，， 在中，，∴，∴，∴；（3分） （2）证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，，∴，， ∵平分，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴，∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形，∴， ∴，整理得；（7分） （3）如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到，∴，， ∵，，∴，， ∴，∴，，设， ∵，，∴，， ∴，∴，∴四边形是矩形， ∴点B在上，，,∴四边形是正方形，∴， ∵，，， ∴，∴，，∴O为的中点， ∵M为的中点，∴M与O重合，，∴， ∴，∴，， ∴，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴，∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴,∴，∴，， ∴，∴．（10分） 10 / 10 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2025年中考押题预测卷（重庆卷） ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) ( 一、选择题（每小题 4 分，共 4 0 分） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11． _________________ 12 ． ___________________ 12． __________________ 14 ． __________________ 15. ___________________ 1 6 ． __________________ )第Ⅱ卷 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、（本大题共8个小题，共 86 分 ，其中 17题16分，其余每题为10分 ．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 7 ．（ 16 分） 18 ．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（10分） 20 ．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ．（10分） 2 2 ．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 23．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 24．（10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考押题预测卷（重庆卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 4分，共 24分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 4分，共 40分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 86分，其中 17题 16分，其余每题为 10分．解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤） 17．（16分） 18．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考押题预测卷（重庆卷） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）. 1．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成． 拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此图形主视图的形状发生了变化，则拿走的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 4．如图，一条光线经平面镜的反射光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过凹透镜的一个焦点．已知光线的入射角为，反射光线与折射光线的夹角，则光线与光线所夹的锐角为（   ） A．65° B． C． D．25° 5．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 6．若点，是反比例函数图象上的两点，下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 7．（2024·四川成都·模拟预测）将三项式展开，得到下列等式： … 观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有个数，则关于x的多项式的展开式中，项的系数为（   ） A． B． C． D． 8．半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在线段上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则； ②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式； ③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上） 11．计算： ． 12．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ． 13．如图，已知，，，若，则的长度为 ． 14．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 15．如图，是的直径，点在上，过点作于点，点为上一点，连接交于点，，延长与过点的切线交于点，若，，则 ； ． 16．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论： ①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号） 三、解答题 （本大题共8小题，其中17题16分，其余每题各10分，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．先化简，再求值： (1)，其中是满足条件的合适的非负整数． (2)，其中，． 18．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点作对角线的垂线，垂足为点，连接、．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点，于点．求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形为平行四边形，且．①______． ，，同理可得，．②______ ．③______． 又，，同理可得，． ．④______．四边形是平行四边形． 进一步思考：如果四边形是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______． 19．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．；B．；C．；D．）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425． d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 方差 M 395 395 a 1455 N 397 b 425 2070 根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)表格中的 ， ； (3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可）．(4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 82 90 85 100 乙车 80 100 90 90 续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 20．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵元，用元购买哪吒挂件的个数恰好与用元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共个，且决定将哪吒挂件以每个元，敖丙挂件以每个元的价格对外出售，若要获得总利润为元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 21．景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 22．如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为． (1)直接写出的解析式及自变量的取值范围；(2)在图2中画出的图象，并写出一条的性质；(3)反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）． 23．如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式；(2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；(3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 24．在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． (1)如图1，若，连接交于点E，若，求的长； (2)如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$