6.专题七 综合与实践-【加速度中考·优题库】2025年陕西中考数学真题分类卷

2.[201西安一中校区入模【阅题探究】 喜1S7 专题七 综合与实践 3.[20缺大附云01)如图①,在边长为6的等三角AB (1)请你在图1中作一条直线,使它将相形A所门D分成道积相等 中,点D为AC边上一点,且AD-2若&C边上存在一点E,使提 网1面积问题 的画幅分 线段DE将入ABC分成面积相等的两部分,求CE的长度; 1.[2024安铁一中河校区候](1)【河题发现】 (2如图②,M是正方步A择D内一定点:请在图②中作出两条 (2)如图②,某域市开发区有一块空地ABCD.AD为一条长(40 如图①,在著形ABCD中./AHC-120:点E是对角线D上 直线(要求其中一条直线必短过点MD.使它们将正方形ACD的 403m的道路.AB为一条长40m的道路,且BAD-4” 动点,连接AE,将EA烧点E时针庭转20得到EF,连AF. 面却四等分,并过明理由 现在为了优化居往环境,开发区政府计划进一步开发利用这块 DF.求乙AD的度数 【同题解决】 选,根据关现性,实用性等设计要求,乙扣CD一120”,同时计划过 (2【阅题深究】 (3)如图②,在平面直角标系中,直角梯形0BCD是某市将要等 BC中点M设置一个人口,修建一条笔直的现是大道MN(点N 如图②,在正方形AB7D中,AH-6.点是对角线D上一动 建的高新技术开发区用地示意图,其中DC7/0B,0路一6.C2 在线段AD上),使得观景大道AMN将四边形A战CD的面积分成 点,连接AE,将EA绕点E逆时舱转90得到EF.连接AF,当 BC-4.开发区综合解务管理委员会(其占地面积不计)没在P(4,2 相等的两部分且四边形MNDC的面积最大.请问是否存在符合 BE一2D时,求B的长度: 处.为了方便出行,挂区单位准备过点P格一条笔直的道路(路度 没计要求的线段AN?若存在,请计算AN的长度;若不存在,话 (【阅题决】 不计).并目使这条路所在的直线7将直角形OC7D)分成面程 说明到由. 某科技公词现有一块形如距形A段D的研发基地,如图,已 相等的两部分,你认为直线是否存在?若存在,求出直线!的去 AB-200来,AD一2003来,为了响应国家“科数兴国”战略。现 达式:若不存在,请说明题由. 需要扩大基地面机扩建方案如下;点E是对角线B》上一动点. 以AF为边在AE右删作R△AFF,满足乙AEF一90”,乙FAE ① 60°其中将△EDF修建成新能源研发区,八AEF为试险区,为保 图② 1& 是游 证研发效果,要使研发区(即△ED)的积最大,求此时试验区 叫 即的和 ### 2 ③ 茅1题图 82 2线段问题 5.人数A下P3选]点P在限止形ABCD的对角线AC上,直角 6.中-1)如图①.在RrAC乙AC-90 4.[202:否安长区校 【问题提出】 三危析PEF的直角边PE:PF分别交AB,BC边于点M.. AB-6.tC-8.D是边AC的中点.以点A为罔心,2为享径在 (1如图①.△ABC沿aC所在的直线平移得到△DEF,且C是线 (1)知图个.若0是边长为?的正方形A况D对角线AC,D 八A现C内部语死,若点P是上述亮上的动点,点Q是位上的 段BE的中点,若BC-2.AD的长是 . 交点,当点P在点0处时,无论三角板PEF绕点2怎样转动,我 动点,求PQ-QD的量小: 【问题探完】 归发现,三角板与正方形重叠部分的而积不变,请求出重叠部分 (2)如图②,短ABCD是某在建的公同示意图,其中AB一2003 (2图②.在形A》.AB-13.BD=10.将BCD沿射 的积: 来,BC一100米.根据实际情况,需要在边DC的中点处开一个 线BD方平移到△CD的位置,连接AD.BC.当四形 (2)如图②,在(1)的条件下,改变点P的位置(P在对角线AC 东门,同时根据段计要求,要在以点A为同心.在公因内以10米 ABCD为矩形时,求平移的离73。 上).若A-).顾有PM-tPN.下面是该结论的证明过程。 为径的圆强上选一处点P开一个西门,还要在边BC上选一 【问题解决】 证明:过点P作PG IAB于点G.作PH BC干点H. 处点,在以点Q为圆心,在公园内以10来为卒径的半圈的三等 (3)如图③,这是某站前广场景观的内部支果,已知支某AB 请按以上证明思路完成剩余的证明过程, 分点的Mf.N处开两个南门.线段PM.NE是要修的两条道路 为 CD.且CDA于点D.为保证稳定和美观要求,DBE一 (3某中学现有一块形如短形AiCD的操场,如图③,为了扩大学 了约成本,望PM+NE最小.试求PM+NE最小算及此时 2乙A(D.若AD一6米.(CE-1.现要对支裂内部D段进行加 生课余活动的活动范用和谈书角,现需要扩大择场直积.扩建方 1o的. 固,望上DE的长 ### ### 案如下:在(2)的条件下,将”正方形ACD”改为“矩彩A段D” 且AB-B一.其他条样不变,若一,且 P过点B.出 CN韵长. 1 观因 。4题路 #1# 83 7.[20A交:附中二](1)如图.在R:ABC.乙ABC-90 【探究应用】 9.[20缺大附九【操作初探】 (3如图,在图①中“”的基础上,小听将△PDC绕点P迫时 mCAB-.AB-B.D为AB中点,E为BC上一益, (1)如图①.将正方形纸计ABCD对折,使AD与BC重合,展 针整转,他发现越过畏中/BAP存在最大值,若PE一&.P下一5 接DE,将入DBE沿DE折叠,点B的对应点为F. 纸片,得到析痕F;再对折,使AB与DC重合:展平纸比,提列 当乙DAP最大附,求AD的长. GH.连接AG.与交于点P.连接PC.PD.tan乙PCD的 ①连接BF,线段DE和线段BP的位置关系是 (4)如图,在RiABC中.C一n。点D.E分别在边AC和 值_ 当点F落在AC过上时,求入D的面程 1C上.接DE.AE.BD若AC+CD-5.HC+CE-8.AE 【请证明】 (2如图②.在距形ABCD中.AB-4.C一4③:点F在CD边 D的量小. (2)如图②,将正方形纸片ABCD对析,使AD与BC重合,展平 上.过点F作EF/BD.交BC干点E,将△EFC沿EF折叠得到 AEG,以EG为直径作①O当O与△AD的边切时,求 纸片,提到折痕耳:点M在式C边上,连接AM,与EF交干点P CF的长. 连接PB,将PB绕点P遂时针旋转,使点B的耐应点B落在对 角线AC上.连接MB.点M在边tC上运动时(点M不与B. C重合).试判断入CM的形状,并说明理由 #44### 【拓展探究】 (3)如图③,在(2)的条件下.延长BP交AD于点N.连接PC 图 图 d PD.当PD平分NPB封,请证明MPC-45. 第7题图 ## ① a③ #1# 第题图 33 提作探交问题 8.[20:生注【问题情境】 (1)加图D,具与大正方形的各边都相划,小正方形是同的内接正 方形,那么大正方形面积是小正方形面积的儿信?小听将小正方 形绕刻心旋转45”(如图②),这时候武容易发现大正方形面积是 小正方形面积的 倍,由此可见,图形变化是够决刻题的 有效策略. 【操作实践】 (2)如坚③,③是一个对角线瓦相重直的四边形,四条边长。,. 无试存在种数量关系,小听按所示步强进行提作,并将最终图 形免.请结合整个变化过程,直接写出图①中以形 内一点P为漏点的回条线卧之问的数量关系∴，△EAF是等腰直角三角形， .AF=2AE=2√1o. '∠AEG+∠FEH=∠AEG+∠EAG-9O, ∴.∠FEH=∠EAG 又：EA=EF,AG=EH,∴△AEG≌△EFH(SAS), △EHF为直角三角形，点F在BC边上 在Rt△ABF中，AB=6,AF=2√10， ∴.BF=√AF-AB=2. (3)如答图②，过点A作AM⊥BE于点M,过点F作 FN⊥BD交BD的延长线于点N, ∴.∠AME=∠FNE=90. :四边形ABCD是矩形，AB=200,AD=2003, .∠BAD=90°，.BD=VAB+AD=400, .AM=AR AD-1003. BD .BM=√AB-AM=100. 在R1△AEF中，∠AEF=90°，∠FAE=60°， ZFAE-=0原，∠FEN+∠ABM-90 又∠EAM+∠AEM=90°， .∠EAM=∠FEN. 又，∠AME=∠ENF=90, .△AMEn△ENF, 刷器- 设EM=x米，则FN=√3x米. ,BD=400,BM=100, 专题七综台与实践 ∴.ED=400-100-x=300-x, 1.解：(1)四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， S=ED·PN=受c-150+112505. ,∴.AB=AD,∠BAD=∠ABD=60° ∴.当x=150时，△EDF面积最大， 由旋转的性质可知AE=EF,∠AEF=60° 此时EM=150. .△AEF为等边三角形，.∴∠EAF=60,AE=AF, .AE=√/AM+EF=50√2I, ∴.∠BAD=∠EAF,∴∠BAE=∠DAF. AB=AD. ∴.EF=3AE=1507, 在△ABE和△ADF中，∠BAE=∠DAF, ∴5=之AE·EF=26250,即研发区的面积 AE=AF. ∴.△ABE≌△ADF(SAS),.∠ADF-∠ABD=60 最大时试验区的面积为262503平方米. (2)如答图①，过点E作AB的平行线，交AD于点 G,交BC于点H,则四边形ABHG为矩形 ,四边形ABCD是正方形，AB=6,BD是对角线， ∴.BD=62,∠ADB=45,AD=6. ,'∠DGE=90°，∴.△DGE是等腰直角三角形. BD=62,BE=2ED...DE=22. 图 ∴.DG=EG=2,∴.AG=4,EH=4. 第1题答图 在Rt△AGE中，AE=VAG+E了=25. 2.解：(1)作出直线如答图①. ,EA绕点E逆时针旋转90得到EF, (答案不唯一，过对角线交点的直线均精合要求) .∠AEF=90°， (2)如答图②，连接AC,BD交于点P,过点P,M的直 线分别交AB,CD于点G,H,此时直线PM分正方形 .PH与线段AD的交点F的坐标为(2,2-2k), 为面积相等的两部分.过点P作MP的垂线分别交 ∴.0<2-2k<4,.-1<k<1, AD,BC于点E,F,则直线MP,EF将正方形ABCD 的面积四等分.理由如下： DF·(-)=(4-2+2) ,四边形ABCD是正方形， (2-装)=5=××2X4 ∴.PA=PB=PC=PD,AC⊥BD,∠PAD=∠PBA= ∠PCB=∠PDC=45°，S△，wm=S△e=SaD= 解得，=-3k=二-3（舍去）. 2 S△mI'∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=90 ,EF⊥GH, .b=8-213, ∴.∠EPG=∠GPF=∠FPH=∠HPE-9O°， ∴直线1的表达式为y=-3十8-2B 2 ∴.∠APE=∠BPG=∠CPF=∠DPH, ∴.△APE≌△BPG≌△CPF≌△DPH(ASA). 3.解：(1)如答图①，过点E作EF⊥AC交AC于点F, ∴.S△wE=S△m,=S6w=SawH :△ABC是等边三角形，AD=2, ∴.SW边形=S边非：件=SW的m=S再形W, .∠C=60°，CD=6-2=4,∴.Sax=93. ∴.直线MP,EF将正方形ABCD的面积四等分 SA= Su-9 .CD.EF-93 ， 解得EF=2,∴.CE==9 sim60=2 CE的长度为号 (2)存在 图 如答图②，过点B作BE⊥AD交AD于点E,连接 BD,过点C作CF⊥BD于点F ∠BAD=45,.AE=BE=AB·sim∠BAD=40V3. DE=AD-AE=40,∴.BD=√DE+BE=80. SAm-AD BE=800+2400, p2 第2题答图 Sm=号BD.CF=40CF, (3)直线1存在.如答图③，过点P作直线PH交OD .S边框m=SBD+S=800V3+2400+40CF, 于点H,过点D作DA⊥OB于点A,记线段AD与 ∴当C下取得最大值时，S边um取得最大值. PH的交点为F 如答图③，点C在圆心角为120的BD上运动，当CF BC=CD=4,OB=6,.A(2,0),B(6,0),C(6,4) 垂直平分BD时，CF最大， D(2,4),∴点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心 .BF= 过点P的直线只要平分△DOA的面积即可. BD=40,BC=CD. 易知在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面 积平分，从而使直线PH平分梯形OBCD的面积，直 ·∠BCF=∠DCF=号∠BCD=60,∠CBF= 线PH即为所求直线1. ∠CDF=30°， 设直线PH的表达式为y=kx十b且点P(4,2), CF=BF·tan∠CBF=40E .4k+b=2.即b=2-4k..y=kx+2-4k. 3 ,D(2,4),∴直线OD的表达式为y=2x, 一四边形ABCD面积的最大值为2400+40005， 2一4k 3 联立y=kx+2-4k, 解得 x=2-k1 y=2r. 4-8k Snwe=2snw=1200+205 3 y=2-k 点H的壁球为（装专装）】 在R△BDE中，m∠BDE=-尽， ∴.∠BDE=60°，∴.∠CDE=∠CDF+∠BDE=90 OB=6,AB号CD=4,∴.OA=2 如答图③，过点M作MG⊥AD于点G,过点C作 把x二2代大直线PH的表达式y=kx+2-4k,得 CH⊥BE于点H,CH与MG交于点P, y=2-2k, .四边形CDEH,四边形PGEH均是矩形， ∴.CH=DE=40,MG∥BE,PG=CD. ∴.∠AD'O=∠BAO,∴.tan∠AD'O=tan∠BAO,即 在R△BFC中，CF=BC AOBO OD'AO' .CD-BC=2CF-803EH-PG-CD- 03 3 0D-品-4DD=00-0D=g BH-BE-EH-403 3 六平移的距离DD为9 ,M是BC的中点，.BC=2CM. (3)如答图②，将△DEB沿BA方向平移，得到 ,MP∥BH,∴.△CMP∽△CBH. △HGA,过点C作CF⊥HG交HG的延长线于点F, 漂器瓷… 过点C作CM⊥AG于点M,连接CG 1PC 403 240 设DB=x米，由平移可得△HGA2△DEB, ∴.HA=DB=x,∠H=∠EDB, 解得MP=-20.PC=20, ..HD=AH+AD=DB+AD=AB=6+x. 又，AB=CD,∴.HD=CD. DG=PC=20.MG-MP+PG-1003 ,'CD⊥AB,∴.∠ADE=∠EDB=90° 3 :∠F=∠H=∠HDC=90°， 梯形CDGM的面积为(CD+MG)·PC ,四边形FHDC是矩形. .HD=CD, 6003, “,四边形FHDC是正方形， SMS=12002003 .HD=CD=CE+ED=6十x 'CE-4...GH-ED=x+2,FG=4. ∴2GN…MG=120+200 ∠DBE-2∠ACD, 3 ∴.∠HAG=∠DBE=2∠ACD, GN×1051202四5，解得GN=21,5+ 设∠ACD=a,.∠CAD=90°-a,∠GAH=2a, 3 3 .∠CAM=180°-(90°-a)-2a=90°-a=∠CAD ∴.DN=GN+DG=24W3+24. ∠CMA=∠CDA, ∠CAM=∠CAD, .AN=AD-DV=163+16. 在△CAM与△CAD中， CA=CA. ∴.△CAM≌△CAD(AAS), ..CM-CD.AM=AD-6...CF=CM. 在R△CpG与R△CMG中.CF=CM, CG=CG. .R△CFG≌R1△CMG(HL),∴.FG=GM=4. 图1 图2 在R△AHG中，AH=DB=x,HG=DE=x十2， AG-GM+AM-10. ,AG=GP+AP,∴.102=(x+2)2+x, 解得x1=6,x=-8(舍去)，.DE=x+2=8, ∴支架上DE的长为8米 图3 第3题答图 4.解：(1)4 (2)如答图①，连接AC交BD于点O. ,在菱形ABCD中，AB=13,BD=10, 图② ∴B0-OD-2BD-5,ACLBD. 第4题答图 .AO=√AB-BO=12. 5.(1)解：四边形ABCD是正方形，∠EOF 又，四边形ABCD'为矩形. ∴.OA=OB,∠OAM=∠OBN,∠EOF .∠BAD=90°，∴.∠ADO+∠ABO=∠BAO+ 90°，.∠AOM=∠BON. ∠AB0=90°. ∠OAM=∠OBN, 四边形BEDK是矩形， 在△OAM和△OBN中，AO=BO, .D'E=BK=4.BE=D'K=3. ∠AOM=∠BON, ∴.AE=AB+BE=9, ∴.△OAM≌△OBN(ASA), ∴.AD=√AE+DE=97. ∴Sm=Sa=5m=l. :AP=2,∴.PQ+QD的最小值为√⑨7-2. (2)证明：，四边形ABCD是正方形， (2)如答图②，连接MN,直线MN分别交AB,CD于 ∴.∠BAC=∠BCA=45 点G,H,连接MQ,NQ,过点Q作QK⊥MN于点K, ,PG⊥AB,PH⊥BC,.△AGP,△CHP是等腰直 作点A关于直线MN的对称点A',将点E向左平移 角三角形， 10米得到点E,过点E作EL∥AB,过点A'作AL.⊥ EL于点L,连接AM,A'E',EM,AP,AM G-号pA,PH=号c隋-隐-6 2 ,M,N是半圆Q的三等分点，且半径为10， '∠EPF=∠GPH=90°，∴.∠MPG=∠NPH. ∴.△QMN为等边三角形，且MN∥BC,MN=1o. :∠PGM=∠PHN=90°，∴.△PGM△PHN, 兴滑-6P=PN (3)解：如答图，过点P作PG⊥AB于点(G,作PH BC于点H, 则四边形PGBH是矩形 ∴.GP∥BC,∴.△PAG∽△CAB. 8器盼号aG号G号 ☒ ∴PH=GB=AB-AG=号，CH=BC-BH=BC PG-号 又，∠GPH=∠BPN=g0,.∠GPB=∠HPV. 又，∠PGB=∠PHN=90,∴△PGB∽△PHV, 席偎解得-品C-GH- 图2 图③ 第6题答图 B .QK LMN.QM=10...QK=5/3. .随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到 第5题答图 BC距离为53的直线上运动. 6.解：(1)如答图①，作点D关于BC的对称点D',连接 :EE∥MN且EE'=MN=1O. DQ,AP,过点D作D'E⊥AB交AB的延长线于点 .四边形EEMN是平行四边形，.NE=ME, E,则QD=QD,DK=DK,∴.PQ+QD=PQ+ ∴.PM+NE=PM+ME≥AM-AP+ME=AM+ QD'=AQ-AP+QD'=AD'-AP. ME-10. 当点A,P,Q,D在同一条直线上时，PQ十QD取得最 小值，最小值为AD一AP. :E是CD的中点DE-=2CD=1003, :∠ABC=90°，AB=6,BC=8, ..E'L=AA'-DE=2(AB-QK)-DE=290 3. ∴.AC=√AB+BC=10. A1=BC-E'E=390. D是边AC的中点CD=AC=5。 在R△A'EL中，A'E'=√A1+EL=20√10IT. ∴.PM+NE最小值为A'E-AP=20√10I-10. DR∥AB.△CDK△CAB. 如答图③，此时△MNQ在△MN'Q的位置. 器畿8警品 设EL与GH的交点为点T,过点Q作QK'⊥MN 于点K ∴.DK=3,CK=4,.DK=3,BK=4. .∠CBG=∠BGK=∠GK'Q=90°， :∠E=∠EBK=∠BKD=90°， ∴四边形BGK'Q是矩形，∴.BQ=GK' E/A.△EATAMG.%器 2.CF- ②如答图③，当⊙O与AD相切于点P时，设⊙O与 ,MT=390-MG,ET=EH=95√5，A'G=AG BC的另一个交点为Q,连接GQ,CG,OQ,连接PO并 1953,GT=390, 延长交BC于点N,则四边形PNCD为矩形. 3907MG-5E.MG-76s 由(I)①知EF⊥CG, M'G 19531 29 :EF∥BD,.CM⊥BD, .∠MCB=90°-∠DBC=60° GK'=GM+MK'=7750.BQ=GK'=7750, 29 29 :EC=EG,∴△EGC为等边三角形， ∴当PM+NE取最小值时，BQ的长为7米。 ∴ZGbC=∠BoC=60∠FEC-=号∠GC=30. 7.解：(1)①DE⊥BF CG-EC=/x.0G-OP ②如答图①，当点F落在AC边上时： 2 :⊙O与AD相切于点P,.OP⊥AD, ∠ABC=90,tan∠CAB=3.:.BC=3 4…AB41 ∴ONLEQ.∴EN=NQ=EQ AB=8,.BC=6. :OE=OQ,∠OEQ=60°，∴.△OEQ为等边三角形， D为AB的中点，BD=AD=AB=4. 0N-是.PN=0P+0N=(5+)k DB=DF.:.DF=AD-BD-AB. 四边形PNCD为矩形，∴.PN=CD=4, ∠AFB=90°，.BF⊥AC :DE⊥BF,.DE∥AC.∴.DE为△ABC的中位线. 4(慢) ∴BE=2BC=3,Sm=2BD·BE=6 32-48,.CF328-48 3 (2),四边形ABCD为矩形， ∴.CD=AB=4,∠BCD=90 c-4原.a☑DC畏-号 .∠DBC=30°，.∠BDC=60° 设FC=FG=x. 图2 ①如答图②，当⊙O与BD相切于点P时，连接CG 并延长交BD于点M,设CG与EF交于点N,连接 OP,PG. 由(1)①知EF⊥CG ,EF∥BD, E N O ∴.CMBD,.∠MCB=90°-∠DBC=60. 浅 图 EC=EG. 第7题答图 ∴△EGC为等边三角形，∴.∠GEC=∠EGC=60, ③如答图④，当⊙O与AB相切于点P时，设⊙O与 ∠FBC-∠GBC=30,∴CG=EC=5, BC的另一个交点为Q,连接GQ,CG,OQ,PO,过点O 作NH⊥AD于点N,交BC边于点H, 0G-OP-3 则四边形NHCD为矩形，.NH=CD=4. :⊙O与AB相切于点P, ,⊙O与BD相切于点P,.OP⊥BD,∴.OP∥CM ∴.OP⊥AB,.四边形OPBH为矩形，∴.BH=OP. ∴∠PG=∠EGC=60°，∴.△OPG为等边三角形， 由(1)①知EF⊥CG .PG-0G-MG-PG- :EF∥BD, .CMLBD,∴.∠MCB=90°-∠DBC60 CM=MG+CG-53 EC=EG,.△EC为等边三角形 4 .∠GEC=∠EGC=60°， CM-=cD=25. ☑FEC-2∠GBC-30. ∴.CG=EC=3.x. 为D,将△AEC沿AC对折，点E的对应点为E,连 00-9BMH= 接DE,.CD=CD,CE=CE 2 如答图④，再将△ABE,沿AC方向平移，使点A与 ,OE=OQ,∠OEQ=60, D,重合，得到△DBE,连接EE. 六△OEQ为等边三角形，∴Q-OE= 由答图③④可得AE+BD=DE,十BD, 2 当E,D,B三点共线时，AE+BD=DE+BD EH-HQ-EQ- 最短 AC+CD=5,BC+CE=8...EE=5.BE=8. .BC=EC+BH-EH-53 , ∴.BE=√VBE干EE-√89， ∴.AE十BD的最小值为√89. 4--90p-9 4 9.号 综上所述，CF的长为或2或号 (2)解：△CMB是等腰直角三角形.理由如下： 3 ,四边形ABCD是正方形， 8.解：(1)2 ∴·∠ABC=∠BCD=9O°，AB=BC=CD,AB∥CD, (2)PA*+PC=PB+PD ∠ACB=45 【解法提示】如答图①，记EG与FH的交点为O. EG⊥FH,∴.a2=OF+OE,c2=OG+OHP,d= 由折叠的性质得EA=EB=7AB,FPC=FD=之CD, OE+OH,b=OF+0°，∴.a2+c2=6+d.结合 .BE=CF,.四边形BCFE是矩形，∴.EF∥BC, 图形变换可得PA十PC心=PB十PD, (3)将△PDC绕点P逆时针旋转. △AFPAAMN.0-指- ∴点D在以点P为圆心，PD为半径的圆上运动，如 .P是AM的中点，∴.PB=PA=PM 答图②. 由旋转的性质得PB=PB, :点A为圆外一个定点， .A,B,M,B四点共圆，且AM是该圆的直径， .当AD与⊙P相切时，∠DAP最大， ∠ABM=90,.∠CB'M=90° .PD⊥AD,∴AD=AP-PD. 又，∠B'CM=45°，.△CMB是等腰直角三角形. 由(2)可得AE=DF. (3)证明：如答图，以点P为圆心，PA为半径作⊙P, ,PE=8,PF=5, 连接NB,BB,MN. ..AD=AP:-PD=PE+AE-PF-DF=39. ,PE⊥AB,EA=EB,.PA=PB,∴∠PAB=∠PBA .AD=39 ∠MBA=∠NAB,AB=BA, .△ABM≌△BAN(ASA), AM=BN,∴.四边形ABN是矩形，∴点N在⊙P上 由(2)知A,B,M,B四点共圆，且AM是⊙P的直径， .∠BBN=90° 又，∠BNB=∠BAB=∠BAC=45°， ·△BBN是等腰直角三角形. 图1 ,PB=PN,∠BPN=90 图 PD平分∠NPB,∴.∠NPD=45 B .AN=BM.AD=BC,.'ND=MC. ,PF⊥CD,FD=FC,PD=PC ,PM=PN,∴.△PMC≌△PND(SSS), ∴.∠MPC=∠NPD=45. ) 剧④ 第8题答图 (4)如答图③，将△BDC沿BC对折，点D的对应点 第9题答图