3.专题四 圆的综合题-【加速度中考·优题库】2025年陕西中考数学真题分类卷

专题四 圆的综合题 1.(1)证明：，∠P=∠BCD,∠1=∠BCD, ∠1=∠P,.CBPD (2)解：如答图，连接O℃ :∠BCD=30°，∴∠P=30° CD⊥AB,AB是⊙O的直径， .BC-BD,∴.∠BC=2∠P=60°. ∴.△BC为等边三角形，OB=BC=3, ∴.⊙O的直径为6. D 第1题答图 2.(1)证明：：BD是⊙O的直径，∴∠BFD=90 '∠C-90,.∠C=∠BFD. BF=BF.∴.∠BEC=∠BDF, △E/ABFD..s需 49 ∴.BC·DF=BF·CE (2)解：如答图，连接DE,过点E作EH⊥BD于点H. '∠C=90°，tan∠BFC=√/5， (2)解：如答图，过点D作DH⊥AC于点H,DG⊥CB -CF. 交CB的延长线于点G,连接BD. ,AB是⊙O的直径， :∠A=∠CBF, ∴.∠ACB=90. ∴.∠A+∠ABC=∠CBF+∠BFC=90°， CD平分∠ACB, ·∠ABC=∠BFC, tam∠ABC=tan∠BFC=5,8C=5, ∴∠ACD=∠BCD=2∠ACB=45,DH=DG. :∠DHC=∠HCG=∠G=90, '.AC=√5BC=√5×(W5CF)=5CF. ∴.四边形HDGC是正方形， AC-CF=AF=4/5, CH=-DH=GG-号CD-5号 ∴.5CF-CF=45,∴.CF=5 2 :∠ACD=∠BCD=45, :.AD=BD. 3AD-BD-号AB=3w2 H O DA=DB. 在R△DHA和R△DGB中，DH=DG, ,Rt△DHA≌Rt△DGB(HL), 第2题答图 3.解：(1)，∠BAC=∠BCD,∠B=∠B AH=BG=AD-D开=厘 2 ÷△BACn△D品0 ∴AC-AH+CH=y22+5② 2 ,AB=4√2，D为AB中点，∴.BD=AD=22 ∴BC=BA·BD=16,.BC=4. BC-CG-BG-5/-22 2 (2)如答图，过点A作AE⊥CD于点E,过点C的直 如答图，过点C作CM⊥AB于点M,连接OD, 径交⊙O于点F,连接AF 则CM=AC:BC-Z 在R△MED中.a∠EDA-=器-是.AD=,区 AB=6,OD⊥AB ,∠CME=∠DOE,∠CEM=∠DEO, ∴.DE=1,AE=√AD-DE=7 ∴△MECn△oED-0 由I知△BACn△BCD.S带E 5一DE6 设CD=x,则AC=2.x,CE-CD-DE=x-L. DE ,DE=18 5 在R△ACE中，AC=CE+AE .(W2.x)2=(x-1)”+(W70, 解得x1=2,x=-4(舍去)，∴.CD=2,AC=2√2. ·'∠AFC=∠AIDC, m∠APc-S-sm∠AC-S-平， ∴C下-8平.即⊙0的半径为识 0 第4题答图 5.(1)证明：，PA,PB是⊙O的两条切线， .PA=PB,∴.∠DAF=∠EBD. 在△DAF和△EBD中， (AD=BE, ∠DAF=∠EBD. 第3题答图 AF=BD. 4.)证明：AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90 .△DAF≌△EBD(SAS), BC=CF,.AB=AF,.∠ABF=∠F. ∴.∠AFD=∠BDE :∠ADC=∠ABF,∴.∠ADC=∠F. (2)解：如答图.连接OA,OB,OP. ,PA是⊙O的切线，.OA⊥PA ∴.∠ABC=∠AEB, ∠C=75,.∠A0B=150°， .∠AOP=75. tan∠AEB=tan∠ABC- ,r=6,∴.PA=r·tan75≈22.4 D 第7题答图 第5题答图 8.(1)证明：如答图，连接OA. 6.(1)证明：如答图，连接OC ,BE是⊙O的直径，∴.∠BAE=90°， ,1是⊙O的切线，∴.C⊥1 .∠BAO+∠OAE=90. AD⊥1，∴.OC∥AD, :OA=OB,∠ABO=∠BAO .∠CAD=∠ACO. ∠EAC=∠ABC.∴∠EAC=∠BAO, OA=OC, .∠EAC+∠OAE=90,∴.∠OAC=90°. .∠BAC=∠ACO, :OA是⊙O的半径，.CA是⊙O的切线 ∠BAC=∠CAD. (2)解：：∠EAC=∠ABC,∠C=∠C, ∠ACB=∠D=90°. .△EACP△ABC ∴.△ABCn△ACD. 0黑…是青 (2)解：，AC=5,CD=4,∠ADC=90 .BC=16,.BE=BC-CE=12. ∴.AD=√AC-CD=3. 如答图，连接BD △AC△ACD,是-SB 3 AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD. ..BD=DE...BD=DE. AB空00的半径为等 :BE是⊙O的直径， .∠BDE=90,∴DE=BD-号BE=6E 第6题答图 7.(1)证明：如答图，连接BD,(OC,OD ,BC=BD,∴.BC=BD 第8题答图 ,OC=OD,.点O,B在CD的垂直平分线上， 9.(1)证明：：CD⊥AC,∴.∠A+∠D=90° ∴.AB垂直平分CD,∴∠AFD=90°. BE与⊙O切于点B, :∠ADC=∠AEB. ..CB BE. ∴.CD∥BE, ∴·∠CBA+∠EBD=90° ∴∠ABE=∠AFD=90°.∴.AB⊥BE. :AC=BC,∴∠A=∠CBA, :AB是⊙O的直径， .∠EBD=∠D,∴.BE=DE ∴BE是⊙O的切线. (2)解：如答图，连接MB. (2)解：⊙O的半径为2，AB=4. ,BC是⊙O的直径，⊙O的半径为5， :AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. .BM⊥AC,AC=BC=10. BC=3. ,AM=4, ∴AC=√AB-BC=7. ∴.MC=AC-AM=6, dm∠AC- .MB=√BC-MC=8. 51 ,AC⊥CD,.MB∥CD, ,∠ADC=∠ABC,∠ADC=∠AEB, .∠MBC=∠BCE. :BE是⊙O的切线，∴.∠CBE=90°， ∠BMC=∠CBE ÷器-m∠BAF=am∠ABE=支 ∴.△BMC∽△CBE, ..AF=2BF 瓷慢…品品 ,AB=√AF+BF=√(2BF)+BF=√5BF=10. ∴.BF-25,AF=45. BE-号DE=BE-s 2 .BF+FO=OB,OB=OA=AF-FO=45- F). CE-CBBE-25, 2 ∴.(25)+F0=(45-FO)2, ∴.CD=CE+ED=20. 解得F0=3,5.0D=0B=OA=5 2 2 .OB=OD,BF=CF...CD=2FO=35. .0A ”OE cos∠A0E=cs∠FOB-品 ∴0E-0A·0B_255 FO 6 B 第9题答图 .DE-OE-0D-5/5 10.(1)证明：，AELCE, ,.∠DAE+∠ADE=90. ,AE是⊙O的切线，∴∠OAE=90°， CD的长是3,5.，DE的长是5 .∠DAE+∠OAD=90°， ·∠ADE=∠OAD. 又OA=OD,∴.∠OAD=∠ADO, .∠ADE=∠ADO,即∠BDA=∠ADE (2)解：如答图，取CD的中点F,连接OF, 则OF⊥CD. 第11题答图 由(1)知AE⊥CE,∠OAE=90°， 12.(1)证明：如答图，连接OD. .四边形AEFO是矩形， ∴.OF=AE=8,OA=EF AD平分∠BAC,∴∠1=∠2 OA=0D.∴.∠2=∠3， .CD=12,.DF=FC=6. ∴.∠1=∠3，∴OD∥AC 在Rt△OFD中，OD=√VOr+DF=10. :DELAC..DE⊥OD. .ED=EF-DF=OA-DF-OD-DF-4. ,OD是⊙(O的半径，∴EF是⊙O的切线. .在R△AED中，AD=VAE+ED=45. (2)解：如答图，连接MD,AN. ∴.△AED的周长为AE+DE+AD=12+45. 在Rt△ODF中，OB=OD=2,∠F=30°， OD-TOF./BOD-60OF-4. ∴.DF=OF-OD=2√3 在Rt△AEF中，∠F=30°，：AF=AO+OF=6, AE=号AF=3. :∠F-30°，OD⊥EF,∴.∠DOF=60=∠2+∠3. 第10题答图 :0A=OD,.∠2=∠3，∴∠2=30°. 11.(1)证明：如答图，连接AO并延长交BC于点F,连 ∴∠2=∠F,∴.AD=DF=25 接OC,则OB=(O℃ ,AB=AC.∴∠AOB=∠AOC, OD∥AE,∴.∠3=∠1. 又，∠DGO=∠AGE,∴.△DGO∽△AGE, .FOB=∠FOC,∴.OF⊥BC AE∥BC.∠OAE=∠OFB=90. %器-号G-号AD.AG-号AD OA是⊙O的半径，且AE⊥OA. :∠MDG=∠ANG,∠MGD=∠AGV, .AE是⊙O的切线. (2)解：，OB=OA,∠BAF=∠ABE, △MGD△AGNe-黑 GMGN=GD.GA=号AD·AD-器 3 2 第12题答图 加速度碧5[2C4发门如图，△AC巾，AB=4v2,D为AB中点，∠BC= 类足2与切线有美的证明与计算 专题四圆的综合题 Q羽露餐4码 ∠BD,a∠AC-三.OO是△ACD的外接圆. 5,[无w九下P所覆鹰]如图，PA和PB是⊙)的两条切线，A,B为 切点点D在AB上，点E和点F分别在PB和PA上，且AD 类里1利用圆的基本性质进行证明与计算 (1)求BC的长 BE,AP=BD点C是⊙0上除点A,目外的一点，连接AC.C 1.[24香麦海新一中一横]如周.A日是⊙0的直径，碧CD⊥A日于 (2)求⊙0的半径， ∠C-75. 点E,点P在⊙O上·∠1一∠CD (11求证，∠AFD-∠DE 41》求证：CB∥P (2若⊙0的半径r=6.求P4的长（结果精喻到01.参考数暴： 《2》若C-3,∠D=0,求⊙0的直2， 山7石0.900，os750,259,mn753,7a21. 第器趋图 第5题国 2.[224城m车选如周，在Rt△AC中，∠C-0,D为斜边AB上 4[224交大附中四模在图，△AC内极于⊙O,AB是⊙O的直径， 6.[2如4盘域]如图，点C在以AB为直径的⊙0上，过点C作⊙心的 一点，以BD为直径作⊙0交AC干E,F再点，连楼BE, CD平分∠AB交⊙O于点D,交AB于点E,廷长BC至点F,使 胡线1过点A作AD⊥，垂足为D,连接AC,C, BF.DF. 得下议道接A下，A以 (1)求i证：△4风△ACD 1》求证，C·DF-F·CE (I求证，ADCF■量 (2)若AC-5,CD-4,求⊙0的半径. 《2》若∠A=∠(CF,an∠BFC=后，AF=4、5,求CF的长 (2)若⊙0的1径为，D,求长一 第6超图 第2期国 第4随墨 76 7,[2024#清]如图，A目是⊙O的直径，一D,点E在AD的延长 生[21香安三中水模]如图，△A度中，AC一C,以C为直径作 113C4置其如图.△AC内接于⊙0，AB=AC-10,过点A作 线上，且∠ADC-∠AEB ⊙.交AC干点M,作CDLAC交AB猛长线于点D,过点B图 AE∥C',交⊙O的直径D的廷长线于点E,连接CD (1)求证：BE是⊙O的切线： ⊙O的切线E,交CD于点E, (1)求证：AE是⊙0的切规： (2)当⊙O的半径为2.C-3时，求mn∠AEB的值 (1》求t:非=D: 2若⊙0的半径为5，AM-4,求CD的长. 2)岩m∠AE-号求CD和DE的长 第11总善 8.224丽出]如周，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的 I眼[如21言安铁一中格港校区二城]如图，⊙)是四边形A玫D的外 12[2魂山州3细图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上.A)平分 延长线上，∠EAC-∠ABC,AD平分∠L4E交⊙)于点D,座 接圆，BD是O的直径，A正是⊙O的切线AED交D的 ∠BC交⊙O下点D,注点D的直线DE⊥AC,交AC的廷长线 接北 延长线十点，量■ 于点E,交AB的延长线于点下 )求证CM是⊙0的切线： I》求证☑DA上AD形 (1)求证：F是⊙0的切院： (2背AC=8,CE=4到，求DF的长 (若AE州，CD-12,求△AED的周长， (2)连接)并猛长.分别交⊙0于M.N两，点，交AD于点G,若 ⊙O的半径为2，∠F=30°，求GM·N的值， 第19观国 77