精品解析：2025年天津市滨海新区大港第二中学中考一模数学试题

2024-2025 学年度第二学期结课考试卷 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请用黑色字迹的签字笔，将正确答案的代号填在“答题卡”相应的表格中． 2．本卷共12题， 共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. 3 B. 13 C. D. 2. 下图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 估算的值是在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 截至2025年3月10日，中国动画《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币14900000000元，成功跻身全球影史第六名；将14900000000这个数用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 6. 值等于（ ）． A. B. C. D. 7. 化简结果正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 10. 如图，点A、B分别在的边上，连接，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积不能． 其中正确的是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若一个不透明袋子中装有10个球，4个白色和6个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），从袋子中任意取出一个球，那么摸出黄色乒乓球的概率是___． 14. 计算：___． 15. 计算的结果是________． 16. 若一次函数的图像向上平移2个单位长度后经过点，则__________． 17. 如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接． （1）______； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式，请结合题意填空，完成本题的解答： Ⅰ解不等式，得______． Ⅱ解不等式，得______． Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来： Ⅳ原不等式组的解集为 ． 20. 某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的部分学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． （1）本次接受调查的学生人数为__________，图①中m的值为__________； （2）求统计的这组参加活动的次数数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组参加活动的次数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 21. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． （1）如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； （2）如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 22. 如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走40米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．（参考数据：，，，） （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到1米）． 23. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小张从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小张离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表: 小张离开宿舍的时间 1 10 20 60 小张离宿舍距离 ②填空：小张从体育场到文具店的速度为　　　； ③当时，请直接写出小张离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小张离开体育场时，同宿舍的小李也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小李的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 24. 在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． （1）如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值　　． 25. 已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （1）当时，求该抛物线的顶点坐标； （2）当时，点，，求该抛物线的解析式； （3）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年度第二学期结课考试卷 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请用黑色字迹的签字笔，将正确答案的代号填在“答题卡”相应的表格中． 2．本卷共12题， 共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果等于（ ） A. 3 B. 13 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，根据有理数的减法法则计算求值即可． 【详解】解：， 故选： A． 2. 下图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】俯视图是从上往下看到图形，注意能看到的棱都要体现出来，根据定义可得答案． 【详解】解：从上往下看上层看到两个正方形，下层一个正方形， 所以看到的是 故选B． 【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握三视图的含义是解题的关键． 3. 估算的值是在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先找出19介于哪两个整数的平方之间，依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可． 详解：∵16＜19＜25， ∴4＜＜5． 故选B． 点睛：本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键． 4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 5. 截至2025年3月10日，中国动画《哪吒之魔童闹海》票房达到人民币14900000000元，成功跻身全球影史第六名；将14900000000这个数用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 6. 的值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值，二次根式的加法等知识点，牢记常见的特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 7. 化简结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式加减，根据同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 8. 已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质得到函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大，结合三点的横坐标即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴ ∴， 故选：C． 9. 设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键． 10. 如图，点A、B分别在的边上，连接，以点A为圆心任意长为半径作弧分别交、于点E、D，再分别以点D、E为圆心大于为半径作弧，两弧交于点F，作射线与的平分线交于点C，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的外角的定理，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．根据条件可知平分求出，根据平分 求出，进而利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：由作法得平分 ， ∵平分， ， ． 故选：C． 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN， ∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠ACN=∠B， 而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB， ∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN， ∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B， ∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC， ∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN， ∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN， 而AC不一定平分∠MAN， ∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键． 12. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积不能为． 其中正确的是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 若一个不透明的袋子中装有10个球，4个白色和6个黄色的乒乓球（除颜色外其余都相同），从袋子中任意取出一个球，那么摸出黄色乒乓球的概率是___． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了概率求解的知识，掌握白球的概率白球的个数总数，是解答本题的关键．根据白球的概率白球的个数总数，结合题意代入数据运算即可． 【详解】解：由题意得，黄球有6个，总共10个球，故从中任意摸出一个，则摸出黄色乒乓球的概率． 故答案为：． 14. 计算：___． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，进行运算，即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的有关计算，解题的关键是掌握同底数幂的除法和同底数幂的乘法运算法则． 15. 计算的结果是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：5． 16. 若一次函数的图像向上平移2个单位长度后经过点，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数图像的点，先根据“上加下减”的平移法则写出平移后的一次函数解析式，再将点代入求解即可． 【详解】由题意得，一次函数的图像向上平移2个单位长度后解析式为， 即， ∵平移后的图像过点， ∴， 故答案为：3． 17. 如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长和，相交于点G，根据，得，根据平分得，根据得，利用ASA 可证明，则，，即可得，根据F是中点得是的中位线，即可得，，根据得，利用ASA可证明，即可得，根据得，可得，进行计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，延长和，相交于点G， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴，， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积： = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接． （1）______； （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出线段，使平分，且点P在圆上，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____________________． 【答案】 ①. ②. 作图见解析；连接交于点，连接交圆于点，连接即可． 【解析】 【分析】（1）先作出圆心，再根据勾股定理求解； （2）根据网格线的特点和垂径定理求解． 【详解】解：（1）找出圆的圆心，连接， 根据勾股定理得：； （2）即为所求； 连接交于点，连接交圆于点，连接即可． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和垂径定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式，请结合题意填空，完成本题的解答： Ⅰ解不等式，得______． Ⅱ解不等式，得______． Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来： Ⅳ原不等式组的解集为 ． 【答案】（Ⅰ）x≥-3；（Ⅱ）x≤0；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ）-3≤x≤0 【解析】 【分析】（Ⅰ）移项合并即可求解； （Ⅱ）移项合并，系数化为1即可求解； （Ⅲ）根据两个不等式的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）根据数轴确定不等式组的解集. 【详解】解：（Ⅰ）解不等式（1）， 移项合并得：x≥-3； （Ⅱ）解不等式（2）， 移项合并得：3x≤0， 系数化为1得：x≤0； （Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为：-3≤x≤0. 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点． 20. 某校为了解学生参加“学雷锋社会实践”活动的情况，随机调查了该校的部分学生，对参加活动的次数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． （1）本次接受调查的学生人数为__________，图①中m的值为__________； （2）求统计的这组参加活动的次数数据的平均数、众数和中位数； （3）根据统计的这组参加活动的次数的样本数据，若该校共有1200名学生，估计其中参加活动的次数大于3的学生人数． 【答案】（1）50，34； （2）平均数是3.3，众数是4，中位数是3； （3）全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数=5÷10%=50人，m=即可得到答案； （2）根据平均数、众数和中位数的概念代入数据进行求解即可； （3）先求出参加活动的次数大于3的学生的占比，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 根据扇形统计图和条形统计图的数据可知，总人数=5÷10%=50人，m=； 故答案为：50，34． 【小问2详解】 观察条形统计图，， ∴这组数据的平均数是3.3． ∵在这组数据中，4出现了18次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是4． ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间位置的两个数都是3， ∴， ∴这组数据的中位数是3． 【小问3详解】 ∵在统计的这组样本数据中，参加活动的次数大于3的学生人数占36%+10%=46%， ∴估计全校学生中参加活动的次数大于3的人数约占46%， ∴； ∴全校1200名学生中，参加活动的次数大于3的学生人数约为552． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图数据的分析，用样本估计总体，平均数、中位数和众数的概念，利用数形结合的思想解答是解决本题的关键． 21. 如图，是的直径，点是上一点，连接，，是的切线，点是上一点，过点作于点，交于点，交于点． （1）如图1，当点与点重合时，已知，求的度数； （2）如图2，连接，，当时，与交于点，已知，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、矩形的性质和判定等知识；掌握切线的判定与性质、圆周角定理、矩形的性质和判定是解决本题的关键． （1）连接，由题意可得，即，因为，所以，所以，因为，，所以，即． （2）过点作于点，故，因为，，所以，即，可得四边形是矩形，所以，即． 【小问1详解】 如图，连接， ， 是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图，过点作于点， ， ∴． ∵，， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 22. 如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走40米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．（参考数据：，，，） （1）求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； （2）求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到1米）． 【答案】（1）大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）大桥立柱在水面以上的高度为51米． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）在中，根据正弦的定义求出； （2）在中，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， （米）， 在中，（米）， 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； 【小问2详解】 解：在中，米， （米）， 在中，（米）， （米， 答：大桥立柱在水面以上的高度为51米． 23. 已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，小张从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中小张离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表: 小张离开宿舍的时间 1 10 20 60 小张离宿舍的距离 ②填空：小张从体育场到文具店的速度为　　　； ③当时，请直接写出小张离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； （2）当小张离开体育场时，同宿舍的小李也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果小李的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 【答案】（1）①填表见解析；②；③ （2）他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是. 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系及待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）①先求解小张从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场的速度，再结合图象填表即可；②直接利用路程除以时间即可得到答案；③当时，y关于x的函数解析式为；当时，设y关于x的函数解析式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入，再进一步求解即可； （2）写出小李离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式并据此作出其图象，求出两图象交点的纵坐标即可． 【小问1详解】 解：①， ， 小张离开宿舍的时间为时，小张离宿舍的距离为； 由图象可知，小张离开宿舍时间为时，小张离宿舍的距离为；小张离开宿舍的时间为时，小张离宿舍的距离为； 填表如下： 小张离开宿舍的时间 1 10 20 60 小张离宿舍的距离 ②小张从体育场到文具店的速度为； ③当时，y关于x的函数解析式为； 当时，设y关于x的函数解析式为、b为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ； 综上，当时，小张离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：小李离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为， 当时， 解得， 小李离宿舍的距离y关于时间x的函数图象如图所示： 当二人相遇时，得， 解得； 答：他在回宿舍的途中遇到小张时离宿舍的距离是. 24. 在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为． （1）如图1，当经过点时，求直线的函数表达式； （2）设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示　　；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值　　． 【答案】（1） （2）①，；②的值为或5 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得；②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形）；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图①，当经过点时， ， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ，解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形（梯形），如图④， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：（舍去），； 当时，重叠部分为矩形，如图⑤， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或5． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积，代定系数法求一次函数的解析式等知识，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 25. 已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D． （1）当时，求该抛物线顶点坐标； （2）当时，点，，求该抛物线的解析式； （3）当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的点，是直线l上的动点．当a为何值时，的最小值为？ 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线经过点，可得：，由，可得抛物线的表达式为，故抛物线的顶点坐标为； （2）先求出，进而把抛物线解析式化为顶点式求出，利用勾股定理分别求出，再根据建立方程求出a的值即可得到答案； （3）将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，作点F关于x轴的对称点，则，连接，，证明四边形是平行四边形，得到，由轴对称的性质可得，由此推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，再由的最小值为，得到，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ， ∴当时，抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线 经过点， ， 抛物线解析式为， 抛物线顶点的坐标为， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（不符合题意的值舍去）， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：将点向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，作点F关于x轴的对称点，则，连接，， ∵，， ∴点N到点M的平移方式和点D到点的平移方式相同， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为， ∵的最小值为， ∴， ∴， ∴， 解得（不符合题意的值舍去） 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，求二次函数解析式等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 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