第19讲 四边形压轴题（2个考点11个题型）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（浙江专用）

第19讲 四边形压轴题 （思维导图+2考点+11种题型） 考点一、平行四边形性质与判定的应用 题型01、四边形的作图问题 题型02、平行四边形性质与判定的综合应用 题型03、矩形性质与判定的综合应用 题型04、菱形性质与判定的综合应用 题型05、正方形性质与判定的综合应用 考点二、平行四边形性质与判定的应用 题型01、多种四边形的综合问题 题型02、平面直角坐标系背景四边形 题型03、四边形背景下的最值问题 题型04、四边形背景下的旋转变换问题 题型05、四边形背景下的折叠变换问题 题型06、四边形背景下的折动点 、动图问题 考点一、平行四边形性质与判定的应用 题型01、四边形的作图问题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的． 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上． (2)在图2中，仅用无刻度的直尺作边上的中线． 3．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合． (1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分； (2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分． 4．（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H． 5．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）定义：由一个三角形的三条中线围成的三角形称为原三角形的中线三角形． 问题：设中线三角形的面积为，原三角形的面积为．求的值． 特例探索： （1）正三角形的边长为2，则中线长为__________，所以________． （2）如图1，每个小正方形边长均为1，点均在网格点上． ①__________的中线三角形．（填“是”或“不是”） ②__________，__________，所以__________． 一般情形： 如图2，的三条中线分别是，将平移至，连接． （3）求证：是的中线三角形； （4）猜想的值，并说明理由． 题型02、平行四边形性质与判定的综合应用 6．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图（1），在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积． 8．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立． 【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由． 【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由． 9．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，点在射线上，，点从点出发，以每秒个单位沿方向向终点匀速运动，过点作交射线于点，以、为邻边构造平行四边形，设点的运动时间为． ． (1)求的值； (2)求点F落在边上时t的值； (3)连接平行四边形的对角线，设与交于点N，连接，当与的边平行（不重合）或垂直时，求出t的值． 题型03、矩形性质与判定的综合应用 10．（2025·河北唐山·一模）如图，在矩形中，，．点F在边上，点E在射线上，，设． (1)的长为________，最小时d的值为________； (2)当点E在边上时． ①在图中利用尺规作图作出，分别交，于点P和点Q（保留作图痕迹，不写作法），并求的长度（用含d的式子表示）； ②若以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，求出的值； (3)当点F关于直线的对称点落在直线上时，直接写出E，F之间的距离． 11．（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 游戏1  折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示． （1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系． 游戏2  在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示． （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 游戏3  在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接． （3）设，，的面积分别为，若，，求的长． 12．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知矩形，．点是上一点． (1)【操作判断】如图①，若射线平分交于点，根据题意在图①中画出（不写作法，但保留作图痕迹），图中的度数为___________度； (2)【问题探究】如图②，在（1）的条件下连接交于点，若，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，若，，，将所在的直线，围绕点逆时针旋转，所得射线交于，求的长． 13．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 题型04、菱形性质与判定的综合应用 14．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． 概念理解 如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”； A．是    B．不是 问题探究 (1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是 ； (2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由； 拓展探究： (3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．    15．（2023·湖南娄底·三模）已知四边形是矩形，连接． (1)如图1，的平分线交于，交的延长线于点．的平分线交于点，交的延长线于点，连接． ①求证：； ②求证：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，如图2，连接交于点，交于点，若，求的值． 16．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】 (1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 (2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 17．（2023·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．    (1)如果． ①求证：平行四边形为菱形； ②若，求线段的长． (2)分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值． 题型05、正方形性质与判定的综合应用 18．（2021·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 19．（2024·广东惠州·一模）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形，E为对角线上一点． 【感知】（1）如图1，连接，．求证：； 【探究】（2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G． ①求证：； ②若G为的中点，且，求的长． 【应用】（3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，．求证：． 20．（2025·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：点为边上一动点，沿折叠，使点落在矩形内部的点处，把纸片展平，连接，． 如图1，当点落在上时，连接，求证：为等边三角形； (2)迁移探究 小明继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①改变点在上的位置（点不与点，重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点与点重合时，求证：； (3)拓展应用 已知正方形纸片的边长为，在（2）的探究中，再将沿继续折叠，点的对应点为，如图4，当点的位置不同时点的位置也随之改变，若点恰好落在的边上时，求的长． 21．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 考点二、四边形性质的综合问题 题型01、多种四边形的综合问题 22．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 23．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 【初步分析】 （1）线段与具有怎样的数量关系和位置关系，请说明理由． 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，求的长．    24．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在矩形的边，上，与交于点，连接． (1)求的度数． (2)若点是的中点，求证：点是的中点． (3)如图，若正方形的顶点在矩形的边上，顶点在矩形的边的延长线上，点为，的延长线的交点，设，，，求证：． 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 图4 题型02、平面直角坐标系背景四四边形 26．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形． (1)求点A，B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． 如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； 如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标． 27．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式； (3)为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 29．（24-25九年级上·四川达州·期末）在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标； (2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积； (3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型03、四边形背景下的最值问题 30．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）（1）如图1，在三角形中，是中点，连接是上任意一点，过点作别交于点，求证：是中点； （2）如图2，在四边形中，与不平行，，，连接对角线交于点是上的点，过点作交于点于点，求的值； （3）如图3，在菱形中，，，分别取菱形各边的中点，，，并顺次连接得到四边形，连接交于点是上一动点，作交于点，交于点，过点作垂直交于点，连接，求的最小值． 31．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为，点是边上的一点，把沿直线对折后，点落在点处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点，与正方形另一条对角线相交于点，连接并延长，交线段于点． ①证明点是的中点； ②试探究与有怎样的关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点是线段上的一点，且，连接、．在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 32．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接． (1)如图1，若，，，求线段的长度； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值． 33．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）已知四边形是矩形，． (1)如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接、、，判定的形状，并说明理由； (2)如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积； (3)如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 34．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点E从点A开始以每秒1个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒．连接，把沿直线对折后，点A落在点F处． (1)如图1，若点F刚好落在对角线上，求的长； (2)如图2，正方形的对角线与相交于点O，连接并延长，交线段于点与交于点M．当时，求证：． (3)如图3，点H是线段上的一点，且，连接．在点E从点A运动到点B的过程中，当t为何值时，最小？ 题型04、四边形背景下的旋转变换问题 35．（2023·浙江绍兴·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到. (1)求的面积. (2)旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由. (3)旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长. 36．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 37．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，是上一点，绕点顺时针旋转得，绕点顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点， ①求的值； ②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积． 39．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． (1)在点E的运动过程中，求证：． (2)若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． (3)连接，，当是以 为腰时等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 题型05、四边形背景下的折叠变换问题 40．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：． ①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线． ②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类别分析】 （2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明； 【学以致用】 （3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比． 41．（2023·浙江金华·模拟预测）折纸中蕴含着很多数学知识如果想要做一个漂亮的星星收纳盒，必须先折出一个正五边形取一张正方形卡纸，按如下步骤可以近似折出从而制作出五角星． 第步：对折正方形，折痕为，如图； 第步：将和重合对折，折痕为，将与重合对折，折痕为，交于点，如图； 第步：将与重合对折，折痕为，交于点，如图； 第步：过点、向后折叠，再将与重合对折，如图，图．最后沿虚线剪开铺平就可以得到五边形． 请参考图，回答下列问题： (1)______； (2)若，则______． 42．（2024·浙江·一模）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点B的对应点落在点P处，作射线交于点． 【问题提出】在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】（1）经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连结，如图2．经过推理、计算可求出线段的长． 方案二：延长交的延长线于点R，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 【问题反思】（2）在前面的已知条件及解决方法下继续探究，连接并延长，交于点H，求的长． 43．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E、F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 44．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明． 【问题解决】 （2）如图1，当，，时，连接，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？ 题型06、四边形背景下的折动点 、动图问题 45．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，．动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为．过点M作，分别交，于点，，与相交于点．设运动时间为，请解答下列问题： (1)当四边形为菱形时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 46．（2025·山东青岛·模拟预测）已知：如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为． (1)延长交于点，若四边形是平行四边形，求的值； (2)当为何值时，点运动到的垂直平分线上？ (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式． 47．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是的对角线，是边的高，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段． (1)求的长． (2)当点在边上时，求的长． (3)当点在的边上时，求点到边的距离． (4)当被边分成两部分时，直接写出的长． 48．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，过点作交折线于点，以为斜边向其右侧作等腰直角三角形．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)点到的距离为________，________； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 49．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 50．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线向终点运动（点不与点重合），取线段的中点，连接，以为边、点为对称中心作． (1)______； (2)连接，当点在上且时，求的面积； (3)当点在线段上，且是矩形时，求线段的长； (4)作．当时，线段的长为______．（写出一个即可） 51．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）如图，是的对角线，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，沿折线运动到终点，在上分别以的速度运动．过点作，交射线于点，连接，以为边作．设点的运动时间为（单位），与重合部分图形的面积为（单位：）． (1)___________（用含的代数式表示）． (2)当点落在边时，___________． (3)求（单位：）与（单位：）之间的函数关系式． 52．（2023·浙江金华·三模）如图，在中，，，，点从点出发沿向终点运动，过点作边的垂线，交其他边于点，在的右上方作正方形． (1)如图，点为中点时，求正方形的面积． (2)如图，点从点运动到点的过程中，点为该正方形对角线的中点． ①设，的面积为，求上述运动过程中关于的函数表达式． ②当有一个内角为时，求的长． 试卷第2页，共158页 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 四边形压轴题 （思维导图+2考点+11种题型） 考点一、平行四边形性质与判定的应用 题型01、四边形的作图问题 题型02、平行四边形性质与判定的综合应用 题型03、矩形性质与判定的综合应用 题型04、菱形性质与判定的综合应用 题型05、正方形性质与判定的综合应用 考点二、平行四边形性质与判定的应用 题型01、多种四边形的综合问题 题型02、平面直角坐标系背景四边形 题型03、四边形背景下的最值问题 题型04、四边形背景下的旋转变换问题 题型05、四边形背景下的折叠变换问题 题型06、四边形背景下的折动点 、动图问题 考点一、平行四边形性质与判定的应用 题型01、四边形的作图问题 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，请借助网格和一把无刻度直尺按要求作图． (1)图①中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的； (2)图②中，在边上找一点，连接，使得面积为面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积性质，熟练掌握作图是解题的关键． （1）图①中，利用同高的两个三角形的面积之比等于对应底的比，取画图即可； （2）利用平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，使得即可． 本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理 【详解】（1）解：如图，使得，连接. 则面积为面积的； 则点D即为所求． （2）解：如图，构造平行四边形，且， 使得， 设与交于点E． ∵， ∴， 则面积为面积的； 则点E即为所求． 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)在图1中作一个以A，B，C，D为顶点的平行四边形，使点D落在格点上． (2)在图2中，仅用无刻度的直尺作边上的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理，平行四边形的判定：两组对边相等的四边形是平行四边形证明作图即可． （2）根据等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形的中线交于一点，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 则四边形是平行四边形， 则四边形即为所求． （2）解：如图2，连接与交于点G，由四边形是矩形， 得， 连接， 则是的中线， 连接， 则是的中线， 二线交于点M， 作射线，交于点E， 则即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 3．（2024·浙江温州·三模）如图，在的方格纸中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合． (1)在图1中画一条格点线段，使G，H分别落在边上，且与互相平分； (2)在图2上画一条格点线段，使M，N分别落在边上，且要求分为两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握平行四边形和相似三角形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的对角线互相平分作图； （2）根据网格线是平行的得出相似三角形，再利用相似三角形的性质作图． 【详解】（1）解：如下图：线段即为所求； 如图：根据勾股定理可得：， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． （2）解：如下图1，2，3：线段、、即为所求． 如图： ， ， ， ∴点、、为的三等分点， ∴点、为的三点等分点， 过的三等分点画出即可． 如图1，2，3：、、即为所求． 4．（2025·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，先画将线段绕点A逆时针旋转后的线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画将线段绕点C顺时针旋转后的线段，再画交于点H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求； （2）如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点D，连接，取与格线的交点P，连接交于E，则线段和点E即为所求； 可证明，则线段即为所求； 可证明，则，则点E即为所求； （2）解：如图所示，取格点T、L、S，连接，连接并延长交于F，连接，取格点M、N连接交于H，连接，则线段即为所求； 可证明，则， 可证明，则，则线段即为所求； 可证明且直线到直线的距离等于直线到直线的矩形， 则平分，又有平分，则四边形是平行四边形，则． 【点睛】本题主要考查了画旋转图形，解直角三角形，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等等，熟练掌握格点作图的技巧和方法是解题的关键． 5．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）定义：由一个三角形的三条中线围成的三角形称为原三角形的中线三角形． 问题：设中线三角形的面积为，原三角形的面积为．求的值． 特例探索： （1）正三角形的边长为2，则中线长为__________，所以________． （2）如图1，每个小正方形边长均为1，点均在网格点上． ①__________的中线三角形．（填“是”或“不是”） ②__________，__________，所以__________． 一般情形： 如图2，的三条中线分别是，将平移至，连接． （3）求证：是的中线三角形； （4）猜想的值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①是；②；；；（3）证明见解析；（4）的值为：，证明见解析 【分析】（1）分别算出当正三角形边长为2时，此三角形底边上的中线．，当正三角形边长为时，，即可得出的值； （2）①由方格上的线段关系可判定：四边形为平行四边形，四边形是平行四边形，故可得到是由平移得到，是由平移得到，即可判断出是的中线三角形； ②分别计算出，，即可得出的值； （3）连接，利用平行四边形的判定可得出：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，即可得到：是的中线三角形； （4）延长、交于，连接，，可证得：，即可得出，，，故为的中线，为的中线，，，．由，，，可得出，故，即可得出的值． 【详解】解：（1）在等边三角形中，设边长为，则底边上的中线为， ∴等边三角形面积， ∴当正三角形边长为2时，，此三角形底边上的中线为． 当正三角形边长为时，， ∴； 故答案为：；； （2）①∵由勾股定理可知：，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴是由平移得到， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴是由平移得到， ∵，，都是的中线， ∴是的中线三角形； 故答案为：是； ②∵，， ∴； 故答案为：；；； （3）连接， ∵平移至， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵是、中点， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴可由平移得到， 又∵平移至， ∴是的中线三角形． （4），理由如下： 延长、交于，连接，， 由（3）可知：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴，，， ∴为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵，，， ∴ ∴ 又∵与同高， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定和性质，三角形中线的性质，以及新型定义题目，掌握平行四边形的判定和性质，三角形中线的性质是解题的关键． 题型02、平行四边形性质与判定的综合应用 6．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)应该满足 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，解题的关键是理清字母表示的线段． （1）由平行四边形得到，则，，那么得到比例式，继而得到，化简即可求解满足的关系； （2）当，则，而，则，那么，而，由于点是对角线上的等分点，则，即可得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍） ∴当，则应该满足； （2）解：当， 由（1）得： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，为中心对称图形， ∴， ∵点是对角线上的等分点， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图（1），在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20 【分析】（1）根据平行可得，再根据相似三角形的判定和性质即可求解； （2）根据可得的长，再直角中，根据勾股定理即可求解； （3）如图3，延长交于点P，证明，得，设，则，证明和，可得和的值，最后由平行四边形的面积公式可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（2024·浙江杭州·一模）【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立． 【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由． 【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）成立，理由见解析（2）四边形的面积面积，理由见解析 【分析】（1）延长交的延长线于点N，取的中点M，连接，证明，推出为的中位线，得到，证明，即可得证； （2）连接，证明，推出，根据，得到，设，则，求出四边形的面积和的面积即可得出结果． 【详解】解：（1）成立； 理由：延长交的延长线于点N，取的中点M，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）四边形的面积面积． 理由：连接， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等和相似三角形，是解题的关键． 9．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，点在射线上，，点从点出发，以每秒个单位沿方向向终点匀速运动，过点作交射线于点，以、为邻边构造平行四边形，设点的运动时间为． ． (1)求的值； (2)求点F落在边上时t的值； (3)连接平行四边形的对角线，设与交于点N，连接，当与的边平行（不重合）或垂直时，求出t的值． 【答案】(1) (2)或1 (3)或或或4 【分析】（1）如图1中，作于．解直角三角形求出，即可解决问题． （2）如图2中，由，可得，由此构建方程即可解决问题． （3）分四种情形：如图中，当时，设交于．如图中，当时．如图中，当时．当点与点重合时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，作于， ， 在中， ，，， ，， ， ． （2）解：如图2中，当点在上时， ，四边形是菱形， ， ，， ∴ 则 ， ∴， ，， ∵四边形是平行四边形 ， ， ∵点从点出发，以每秒个单位沿方向向终点匀速运动，过点作交射线于点 ∴ ∴ ， 解得：， 当点在上时， 四边形是菱形， ， ，， ∴ 则 ， ∴， ∵四边形是平行四边形 ， ∵点从点出发，以每秒个单位沿方向向终点匀速运动，过点作交射线于点 ∴ ∴ ， 则 ∴ 综上点F落在边上时t的值为或1； （3）解：如图中，当时，设交于． ， 由（2）知， ， ，， ， ， ， ， ∴， ， ， 如图中，当时，易知点落在时， ，， ， ， 解得， 如图中，当时，延长交于一点，即点 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ， 可得， ， 解得：， 当点与点重合时，， 此时， 综上所述，满足条件的的值是或或或4． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 题型03、矩形性质与判定的综合应用 10．（2025·河北唐山·一模）如图，在矩形中，，．点F在边上，点E在射线上，，设． (1)的长为________，最小时d的值为________； (2)当点E在边上时． ①在图中利用尺规作图作出，分别交，于点P和点Q（保留作图痕迹，不写作法），并求的长度（用含d的式子表示）； ②若以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，求出的值； (3)当点F关于直线的对称点落在直线上时，直接写出E，F之间的距离． 【答案】(1)， (2)①图见解析，；②或 (3)或 【分析】本题考查矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例； （1）利用勾股定理求矩形的对角线即可；根据垂线段最短可得，当时，最小，此时四边形是矩形，得到，； （2）①如图，利用尺规作图作，分别交，于点P和点Q，再根据得到，代入计算即可得到； ②由，得到当时，以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形，再根据在左右位置分情况讨论，分别画出图形求解即可； （3）由点F关于直线的对称点落在直线上，得到，推出，再根据在线段上和线段外分别画图，再求出，最后利用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据垂线段最短可得，当时，最小，如图， ∴， ∴四边形、都是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：， （2）解：①如图，，分别交，于点P和点Q， 此时， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴当时，以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形， ∴当在右边时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当在左边时，如图， 此时，，， ∴与重合， ∴，解得； 综上，当以E，Q，D，F为顶点的四边形是平行四边形时，或； （3）解：当在线段上时，如图， ∵点F关于直线的对称点落在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， ∴； 同理，当在线段外时，如图， 此时，，解得， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 11．（24-25九年级下·广东梅州·期中）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 游戏1  折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示． （1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系． 游戏2  在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示． （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 游戏3  在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接． （3）设，，的面积分别为，若，，求的长． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】（1）证明，结合E恰好为的中点可得； （2）在中，，∴，∴ 证明得，，设，则，，由勾股定理得，证明得，在中，利用锐角三角函数求出即可求解． （3）延长交于点H，证明得，证明得，由求出，证明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】解：（1）根据翻折的性质可知，， ∴，∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，即 ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴ （2）根据翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴ 在矩形中，， ∴， ∴， ∴ （3）延长交于点H，根据翻折的性质可知， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又Q是的中点， ∴， ∴ 又， ∴， ∴ ∴ ∵，即， ∴ ∵，，， ∴ ∴，， ∴，， 在和中，， ， 解得或（舍去） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，难度较大，属中考压轴题． 12．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知矩形，．点是上一点． (1)【操作判断】如图①，若射线平分交于点，根据题意在图①中画出（不写作法，但保留作图痕迹），图中的度数为___________度； (2)【问题探究】如图②，在（1）的条件下连接交于点，若，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，若，，，将所在的直线，围绕点逆时针旋转，所得射线交于，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由尺规作图作角平分线的方法作图即可，结合矩形的性质、角平分线的定义即可得解； （2）先根据勾股定理求出，证明，由相似三角形的性质推得即可求得； （3）作交延长线于点，作交延长线于点，反向延长后交延长线于点，结合矩形性质和等腰直角三角形性质证明，结合全等三角形性质求得、，最后证明，由相似三角形的性质即可求得． 【详解】（1）解：画出的平分线如下图： 矩形中，，， ，， ． 故答案为：． （2）解：矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 即， 解得， 经检验是该方程的解， ． （3）解：作交延长线于点，作交延长线于点， 反向延长后交延长线于点， 则四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ，， ，， 矩形和矩形中， ，，， ， ， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理、等角对等边、相似三角形的判定与性质、分式方程的实际应用、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 13．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 (2)不赞同思思同学的结论，计算见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案； （3）过点作于，交于点，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，根据勾股定理求出此时的长度即可． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； （2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意正确列式是解题的关键． 题型04、菱形性质与判定的综合应用 14．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． 概念理解 如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”； A．是    B．不是 问题探究 (1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是 ； (2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由； 拓展探究： (3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．    【答案】(1)； (2)四边形为菱形，理由见解析； (3)或． 【分析】（）根据定义及三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解； （）先证四边形为平行四边形，再证为菱形即可； （）分情况讨论，在由面积和差计算即可； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据定义可得：四边形是“等对邻直角四边形”， ∵“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）四边形为菱形，理由如下： 由（）得， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等对邻直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （3）∵，是的中点， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 如图，    ∴以为顶点的四边形的面积为； 如图，   以为顶点的四边形的面积为． 15．（2023·湖南娄底·三模）已知四边形是矩形，连接． (1)如图1，的平分线交于，交的延长线于点．的平分线交于点，交的延长线于点，连接． ①求证：； ②求证：四边形为菱形； (2)在（1）的条件下，如图2，连接交于点，交于点，若，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①先判断出，得出，再判断出，得出，即可得出结论； ②先判断出，再判断出，，得出，进而得出，即可得出，再判断出，得出，即可得出结论； （2）先判断出是的中位线，得出，进而得出四边形是平行四边形，得出，进而得出，即可得出，最后用勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：①四边形是矩形， ∴， ， 平分， ， ， ； ②由①知，， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 由①知，， ， 平分， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （2）解：点是矩形对角线与的交点， ， ， 是的中位线， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 由（1）②知，四边形是菱形， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的判断方法是解本题的关键． 16．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】 (1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：． 【尝试应用】 (2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长． 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析； (2)18； (3)． 【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论； （2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果； （3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果； 【详解】（1）证明：∵， （2）解：∵四边形 是平行四边形， 设，则 （舍）， 设 ， 则 ， （舍去）， （3）解：如图， 延长 ，交于点 ， 设则 ∵四边形 是菱形， 即 在 中， ∵ 为 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴ (舍去)， ∴， 即菱形 的边长为 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形 17．（2023·浙江杭州·二模）如图，在平行四边形中，P是线段中点，连接交于点E，连接．    (1)如果． ①求证：平行四边形为菱形； ②若，求线段的长． (2)分别以为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线上，如果，求的值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）①如图所示，连接交于O，证明，得，从而得，则，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E是的重心，由重心性质得，然后设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，从而得，解得，即可得，再由平行四边形性质即可得出长； （2）先证明，由点E是的重心，在直线上，则是的中线，则，根据重心性质得 ， ，在中，由勾股定理，得，则，在中，由勾股定理，得，，则． 【详解】（1）证明：①如图所示，连接交于O，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②∵， ∴是的中线， ∵为中点， ∴是的中线， ∴点E是的重心， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵与相交于E、F， ∴， ∴， 由（1）②知点E是的重心， 又∵在直线上， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴．      【点睛】本题考查圆，平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知重心的性质是解题的关键． 题型05、正方形性质与判定的综合应用 18．（2021·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 19．（2024·广东惠州·一模）数学活动课上，老师提出如下问题：已知正方形，E为对角线上一点． 【感知】（1）如图1，连接，．求证：； 【探究】（2）如图2，F是延长线上一点，，交于点G． ①求证：； ②若G为的中点，且，求的长． 【应用】（3）如图3，F是延长线上一点，，交于点G，．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解；②；（3）证明见解析 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）①先判断出，进而判断出即可得出结论； ②过点F作于H，先求出，进而求出，进而求出，最后用勾股定理即可求出答案； （3）在中，由勾股定理得，由（1）知，，由（2）知，，可证明，则． 【详解】解：（1）∵是正方形的对角线， ∴， ∵ ∴， ∴ （2）①∵四边形是正方形， ∴ ∴ 由（1）知， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ②如图，过点F作于H， ∵四边形为正方形，点G为的中点， ∴ 由（2）①知， ∴ ∴ 在与中，∵ ∴， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得； （3）∵， ∴， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线构造出直角三角形是解（2）的关键． 20．（2025·辽宁葫芦岛·一模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：点为边上一动点，沿折叠，使点落在矩形内部的点处，把纸片展平，连接，． 如图1，当点落在上时，连接，求证：为等边三角形； (2)迁移探究 小明继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接． ①改变点在上的位置（点不与点，重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点与点重合时，求证：； (3)拓展应用 已知正方形纸片的边长为，在（2）的探究中，再将沿继续折叠，点的对应点为，如图4，当点的位置不同时点的位置也随之改变，若点恰好落在的边上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②见解析 (3)或 【分析】（1）根据折叠可得是的垂直平分线且，则，据此可证明结论； （2）①根据折叠和正方形的性质证明得到，再导角证明，据此可得结论；②由全等三角形的性质得到，，设，，则，，，由勾股定理可得，则，据此可证明结论； （3）分点在上和点在上两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：所在直线为正方形的对称轴， 即是的垂直平分线， ， 由折叠的性质可得， ， 为等边三角形， （2）解：①，   理由如下：四边形是正方形， ，， 由折叠可得：，， ，， 又， ， ， ；          在四边形中，， ， 又， ， ；        ②证明：由（1）知，， ，， 点与点重合， ， 设，， 则，，， 在中，， ， ， ， ； （3）解：①如图，当点在上时， 由两次折叠可知：， 在中，， ； ②如图，当点在上时， ， ， 由折叠可知：， ， 在中，， ， 在中，， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 21．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，将绕点顺时针旋转至，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线交的延长线于点，连接，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，将沿折叠，在变化的过程中，当点恰好与点重合时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是菱形，根据，证明四边形是正方形，即可证明结论； （3）①证明，得出，根据，得出，证明，得出，即可证明结论； ②根据勾股定理求出，根据等积法求出，证明，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ，， ， 又，， ； （2）解：猜想：． 理由：平分，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形， ； （3）证明：①由（2）知四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠知， ， ， ，， ， ， ，即点是的中点； ②在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 考点二、四边形性质的综合问题 题型01、多种四边形的综合问题 22．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在矩形中，，，E为中点，连接，F，G分别为线段，上的点，，连接，．    【探索发现】通过观察和测量，猜想与的数量关系：________； 【特例计算】当F为线段的中点时，求与的长； 【推理证明】请通过推理验证【探索发现】中的猜想； 【拓展运用】点G关于的对称点为点，以，为邻边构造平行四边形．若点H到的距离是的2倍，求的长． 【答案】探索发现：．特例计算：与的长均为；推理证明：．证明见解析；拓展运用：的长是． 【分析】探索发现：观察图形并且测量线段、的长度，再猜想与的数量关系即可； 特例计算：如图1，连接，求解，，，结合，可得，可得是的中位线，再进一步求解即可； 推理证明：如图2，作交于点L，则，证明，，证明即可； 拓展运用：如图3，连结交于点P，证明垂直平分，连接、，，证明A、E、三点在同一条直线上，四边形是菱形，再进一步解答即可； 【详解】探索发现： 解：观察图形并且测量线段、的长度，得， ∴猜想与的数量关系是， 故答案为：． 特例计算： 解：如图1，连接，    ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴与的长均为． 推理证明： 证明：如图2，作交于点L，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 拓展运用： 解：如图3，连结交于点P，    ∵点与点G关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接、，， ∵，， ∴， ∴， ∴A、E、三点在同一条直线上， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点H到的距离是的2倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 【点睛】本题考查的是四边形的综合题，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，三角形中位线的性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 如图，在正方形中，点E在线段上，点F在线段上，且始终满足连接，将线段绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段（点G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段上，与交于点H． 【初步分析】 （1）线段与具有怎样的数量关系和位置关系，请说明理由． 【深入分析】 （2）如图②，再将线段绕点E逆时针旋转，得到线段（点M是点G旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图③，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为的中点时，设与交于点N，，求的长．    【答案】（1），理由见解析；（2）菱形，理由见解析；（3） 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形性质及判定，平行四边形性质及判定，菱形判定，解直角三角形，旋转性质等． （1）先证明，再由旋转性质得，继而得到，即可得到本题答案； （2）先证明出四边形是平行四边形，再结合，即可得到本题答案； （3）先得到，再得到，继而得到，再得到本题答案． 【详解】解：（1），理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由旋转性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， （2）四边形为菱形，理由如下： 由旋转性质得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）∵点H恰好为的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 24．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，正方形的顶点，分别在矩形的边，上，与交于点，连接． (1)求的度数． (2)若点是的中点，求证：点是的中点． (3)如图，若正方形的顶点在矩形的边上，顶点在矩形的边的延长线上，点为，的延长线的交点，设，，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据证明可得，再证明即可解答； （2）证明，利用相似三角形的判定和性质以及相似比的之间关系式解答即可； （3）过点D作于点M，证明，得出，，根据，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据三角形函数定义得出，求出， 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ， 又，， ∴， ， ， ， ∵ ； （2）证明：，， ， 又， ， ， ，为中点， ， ， ， ， ，即点是的中点． （3）证明：过点D作于点M，如图所示： 设，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，则， 在中，，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查相似三角形的综合题，三角函数的定义，正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质解答． 25．（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值． 经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路： 小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示… 小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P… （1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ． 【类比分析】 （2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3）的长为或 【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得，由全等的性质可得出，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出． （2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出． （3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．画出图形结合正方形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）． 理由∶如下图，延长交的延长线于点P，    图4 ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴ （2）不变． 理由如下：设的中点为，连接，如下图所示．   是的中点， 是的中位线． ． ． ． ， ． （3）或． 理由如下： 连接， 如下图 分别是，的中点， 是的中位线， ∴． 由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆． 当三点共线时，分以下两种情况进行讨论． ①当点在线段上时，连接， 过点作于点，如下图所示，    ∵为正方形，B为中心， ∴ ， ， 在中，， ． ． ． ②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示， 同理 ∴ 在中， ． ， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质等知识，熟虑掌握以上知识是解题的关键， 题型02、平面直角坐标系背景四四边形 26．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形． (1)求点A，B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． 如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； 如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1)， (2)是，；点坐标为或 【分析】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）分别将代入（）求解，再根据，即可求解； （2）①过点E作轴，通过证明，得到，即可求解；②连接，可得点H与点E重合，作点M关于直线的对称点N，可得N点坐标，求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：分别将，代入， 得，，即，， ∴，． 由， 得，， 即，． （2）解：①过点作轴，如下图： 由题意可得：， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴． 设，则，， ∴． 由题意可得：，即， ∴点E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∴，此时点与点重合． ∵D是线段的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为，将、代入， 得， 解得． ∴． 当时，， 即点． 作点关于直线的对称点， 得， 此时， ∴点为直线与的交点， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴． 联立， 解得． 此时． 综上，点坐标为或． 27．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式； (3)为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当点在上时，；当点在上时，； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）先解出方程，，，则有，所以，再由菱形的性质得，，从而求出点的坐标； （）分两种情况：当点在上时，即，过作轴于点，则，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点； （）先求出解析式，解析式，设，，再分当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形三种情况分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的坐标； （2）解：如图，当点在上时，即，过作轴于点，则， 由（）得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形绕原点逆时针旋转得到菱形， ∴， ∴的纵坐标与的横坐标值相同， ∴， ∴； 如图，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点， 则， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴； 综上，； （3）解：由上得：，，， ∴，，， 设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴解析式为，解析式为， 设，， 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 如图，当以为对角线的平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 28．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，，，点，矩形的顶点，点，点在第二象限． (1)如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将矩形沿轴平移，得到矩形，点的对应点分别为．设，矩形与重叠部分面积为． ①如图②，当交于点，分别交于点，且重叠部分是五边形，试用含的式子表示，并直接写出的范围； ②当时，求的范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（）过点作轴于，由三角函数可得，，即得点的坐标，再根据矩形的性质可得点的坐标； （）①过点作，垂足为，可得，进而由四边形为矩形得，又由点，点得，，即得，即可得，即可由可得，再根据得，可求出的范围； ②当时，同理可得，即得当时，，再根据二次函数的性质解答即可求出的范围； 本题考查了二次函数的几何应用，矩形的性质，解直角三角形等腰，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵，点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①过点作，垂足为， ∵，， ∴， 由平移可知四边形是矩形， 又∵四边形 是平行四边形， 则四边形为矩形，， ∵点，点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴当时，的值最大，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最小，， ∴的范围为． 29．（24-25九年级上·四川达州·期末）在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标； (2)如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积； (3)如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为； (3)点或或． 【分析】（1）先推出是等腰三角形，进而设，在中列方程可得； （2）因为，所以根据，求得即可； （3）先根据相似三角形的判定与性质，求得，进而得出点坐标，从而求出的函数关系式，设出点坐标，当是等腰三角形时，以为顶点的四边形可以是菱形，因为在轴上方，所以分为和，三种情形，当时，可根据它列出方程，当时，可先判断得和点纵坐标，进而求得结果，当时，求得结果． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设与交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式是，把，代入得： ， 解得：， ， 设， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴， 当时，此时垂直平分， ， ， ， ， 当时， ， ， ，， （舍去），， 综上所述：点或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识和基本方法． 题型03、四边形背景下的最值问题 30．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）（1）如图1，在三角形中，是中点，连接是上任意一点，过点作别交于点，求证：是中点； （2）如图2，在四边形中，与不平行，，，连接对角线交于点是上的点，过点作交于点于点，求的值； （3）如图3，在菱形中，，，分别取菱形各边的中点，，，并顺次连接得到四边形，连接交于点是上一动点，作交于点，交于点，过点作垂直交于点，连接，求的最小值． 【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）2 【分析】（1）由得，，推出即可求解； （2）由得，，推出，进而得；由题意可得四边形是等腰梯形，求出；根据证，得出，即可求解； （3）由题意可推出且，均为等边三角形，且，均为等腰三角形；得到四边形是矩形，；连接，结合（1）可推出；根据，可得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴是中点； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵与不平行，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，，，是菱形各边的中点， ∴， ∴且，均为等边三角形，且，均为等腰三角形； ∴，；，， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴； 连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴当时，取到最小值2，故的最小值为2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一等知识点，熟记相关几何结论，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 31．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为，点是边上的一点，把沿直线对折后，点落在点处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点，与正方形另一条对角线相交于点，连接并延长，交线段于点． ①证明点是的中点； ②试探究与有怎样的关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点是线段上的一点，且，连接、．在点从点运动到点的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①证明见解析，②；，理由见解析；（2） 【分析】本题是相似性综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线定理、平行线的判定、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①先证，得出，再根据是的中点，即可得到点是的中点； ②连接交于点，根据折叠的性质得垂直平分，点是的中点，则是的中位线，即可得答案； （2）在上截取，连接、，再证，得出，然后证当、、三点共线时，最小，则此时，最小，最后由勾股定理求出即可得出结果． 【详解】（1）证明：①∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的中点； ②解：与的位置关系为：，理由如下： 如图2，连接交于点N， 由折叠的性质得：垂直平分，即点N是的中点， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴，即； （2）解：如图3，在上截取，连接、， 则， ∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当B、F、P三点共线时，最小，则此时，最小， 此时，． 32．（24-25九年级下·重庆开州·阶段练习）在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接． (1)如图1，若，，，求线段的长度； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，可知四边形是菱形，得，设，则，在中，，列出方程进而可求解得，，再由勾股定理即可求解； （2）由题意得，由平行四边形的性质可知，，，由，可知，可证得，进而可证，得，，则，过点作垂直，交延长线于，则，可知，利用勾股定理得，再证，进而可证得，即可得． （3）设，，由平行四边形的性质可知，将绕点顺时针旋转得，过点作，交于，可知为等边三角形，，则，进而可知，当，，，在上时取等号，即的最小值为，过点作，则四边形为矩形，求得，由，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，，即， 解得：，（舍去），即， ∴， 在中，； （2）证明：∵， ∴，则， 又∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 又∵，则， ∴， 则， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 则， 过点作垂直，交延长线于，则， ∴，则， 在中，，即， ∵，则， ∴， 在与中，， ∴， ∴，则． （3）设，， ∵四边形是平行四边形，且周长为36，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得，过点作，交于， 则，，，，， ∴为等边三角形，，则， ∴，当，，，在上时取等号， 即的最小值为， 过点作，则四边形为矩形， ∴， ∴， 即：的最小值为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 33．（24-25九年级下·广西桂林·阶段练习）已知四边形是矩形，． (1)如图①，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接、、，判定的形状，并说明理由； (2)如图②，将矩形绕点顺时针旋转度（）得到矩形，点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积； (3)如图③，在（2）条件下，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】(1)等腰直角三角形，见解析 (2) (3)的最大值为，最小值为 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； （3）连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，由点圆位置关系，即可得出的最大值与最小值． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转性质可知：, ， ， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接， ∵是的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 设的中点为，连接， ∴， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 34．（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知正方形的边长为4，点E是边上的一动点，点E从点A开始以每秒1个单位长度的速度向点B运动，设运动时间为t秒．连接，把沿直线对折后，点A落在点F处． (1)如图1，若点F刚好落在对角线上，求的长； (2)如图2，正方形的对角线与相交于点O，连接并延长，交线段于点与交于点M．当时，求证：． (3)如图3，点H是线段上的一点，且，连接．在点E从点A运动到点B的过程中，当t为何值时，最小？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，最小 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质可得出，，在中，根据正弦的定义得出，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质可求出，结合正方形的性质可得出M为的中点，根据折叠的性质可得出点N为的中点，然后根据三角形的中位线定理即可得证； （3）取得中点G，连接，根据证明，得出，则要使最小，只要使最小，故当B、F、G三点共线时，有最小值，过点F作交于点P，交于点Q，则，设，根据正切可求出，在中，根据勾股定理得出，解方程，可求出，，，证明，根据相似三角形的性质求出，然后根据折叠的性质即可求解． 【详解】（1）解：在正方形中， ，， 由折叠可知， 在中，， 即， （经检验，符合题意）； （2）解：如图，连接交于点N， ，， 又 为的中点 由折叠可知，点N为的中点， 是的中位线， 即． （3）解：取的中点G，连接 ， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 要使最小，只要使最小， ∴当B、F、G三点共线时，有最小值， 过点F作交于点P，交于点Q， 则， 设， ， ， 在中，， 即， 解得或（舍）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：当时，最小． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型04、四边形背景下的旋转变换问题 35．（2023·浙江绍兴·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到. (1)求的面积. (2)旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由. (3)旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长. 【答案】(1)4 (2)存在，或 (3)或 【分析】（1）由题意易得，，，然后问题可求解； （2）由题意可分当在上方时和当在下方时，然后分类求解即可； （3）由题意可分当射线经过点B时和如图3，当射线经过点B时，然后根据相似三角形的性质与判定及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵E为的中点， ∴，，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 当时，则有， ①如图1，当在上方时，                 ∵，， ∴即； ②如图2，当在下方时， 此时，点与点C重合， ∴； 综上所述，α的值为或； （3）解：①如图2，当射线经过点B时， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； ②如图3，当射线经过点B时， 记与的交点为F，作于点G. ∵， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则，可列方程，解得， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理旋转的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、勾股定理旋转的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 36．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】【数学思考】见解析；【解决问题】；【拓展研究】或 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 37．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）阅读以下材料： 【问题情境】如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且． （1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想； 【拓展提升】 （3）如图3，在菱形中，是上一点，绕点顺时针旋转得，绕点顺时针旋转得，当时，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【分析】（1）延长交于点，证明，得出，在利用三角形内角和定理证明出，即可解答； （2）延长交于，由折叠得，点与点关于对称，得出，再证明，得出； （3）连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于，证明出，得到，再证明，利用相似比求出，再求出，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问． 【详解】解：（1），理由如下，如图1， 延长交于点， 四边形为正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ，即； （2），理由如图下，如图2，延长交于， 由折叠得，点与点关于对称， ，即 ， 在和中， ，即； （3）如图3，连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于， 由旋转得，， ， 在和中， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的综合，矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是本题的解题关键． 38．（2025·福建龙岩·一模）如图（1），四边形为矩形，，，点在对角线上，点，分别在边和上，，． (1)求的值； (2)将四边形绕着点逆时针旋转到图（）的位置，为和的交点， ①求的值； ②当，其中旋转角为，且，连接，求的最大面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据解析的性质以及,得出，，，根据得出，根据即可求解． （2）①由（1）得出，进而证明，，根据相似三角形的性质即可求解； ②令和的交点为，和的交点为，由（）①，可得：，得出四边形存在共圆，令共圆为，由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积，在中，在中，分别求得，，进而求得，即可得出的最大面积． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴ 又，则， ∴，，， ∴，即有 ∵， ∴ ∵，，， ∴ （2）①由（1）得， ∴ 依题意可得：， ，， ，即有 ， ， ②如图，令和的交点为， 如图由（）①， ∴ 在四边形中， 四边形存在共圆，令共圆为 由，则为圆弧上一动点，令弦的中点为，当，，三点共线时，存在最大面积， 在中，，， 在中，，， ， 的最大面积为： 39．（2023·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H． (1)在点E的运动过程中，求证：． (2)若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值． (3)连接，，当是以 为腰时等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)证明见详解； (2)或； (3)或； 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质： （1）根据矩形得到，即可得到，从而得到，即可得到； （2）根据得到，结合中点及，即可得到答案； （3）根据矩形相似可得，然后分两种情况：当时，先证，得到，结合得到即可得到答案，当时，根据勾股定理得到结合得到可得到答案； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，H是线段中点， ∴，解得：或， ∴或； （3）解：∵矩形矩形，， ∴， 当时， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：； ∴， 当时， ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：或． 题型05、四边形背景下的折叠变换问题 40．（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：． ①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线． ②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类别分析】 （2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明； 【学以致用】 （3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析（3） 【分析】（1）选小芳同学：延长，交于点，结合平行四边形的性质可证，得，即为的中点，由，，结合直角三角形斜边上中线等于斜边一半可证明结论； 选小琳同学：分别取、中点、，连接，，根据三角形中位线的性质及平行四边形的性质可证、、三点在同一直线上，进而可证明垂直平分，即可证明结论； （2）由折叠可知，，，先证，得，再证，得，进而证明四边形为平行四边形，得，可知为的中点，即可证得； （3）在中，，由折叠可知，，，求得，在中，，，则，以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系，则，，，过点作轴于，则为等腰直角三角形，设，则，求得直线的解析式为：，直线的解析式为：，进而可得，同理可得，直线的解析式为：，求得，得，则，即可求得，，进而可得的面积与的面积的比为． 【详解】解：（1）若选小芳同学的解题思路， 证明：延长，交于点， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为的中点， ∵，， ∴， ∴； 若选小琳同学的解题思路， 证明：分别取、中点、，连接，， ∴为的中位线， ∴， 在中，，， ∵为的中点，为的中点，则，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∵，， ∴，即：， ∴垂直平分， ∴； （2），理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，即为的中点， ∴． （3）在中，， 由折叠可知，，， ∵，的面积为20， ∴，则， 在中，， ∴，则， ， 以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示直角坐标系， 则，，， 过点作轴于，则为等腰直角三角形，设，则， 设直线的解析式为：，代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：，则， 同理可得，直线的解析式为：， 当时，，即：， ∴，则， ∴，， ∴的面积与的面积的比为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，三角形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数与几何综合等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 41．（2023·浙江金华·模拟预测）折纸中蕴含着很多数学知识如果想要做一个漂亮的星星收纳盒，必须先折出一个正五边形取一张正方形卡纸，按如下步骤可以近似折出从而制作出五角星． 第步：对折正方形，折痕为，如图； 第步：将和重合对折，折痕为，将与重合对折，折痕为，交于点，如图； 第步：将与重合对折，折痕为，交于点，如图； 第步：过点、向后折叠，再将与重合对折，如图，图．最后沿虚线剪开铺平就可以得到五边形． 请参考图，回答下列问题： (1)______； (2)若，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设正方形的边长为，则，可证明四边形是矩形，则，，再证明，则，可推导出，则，，作于点，则，所以，连接交于点，则垂直平分，所以，而，则，于是得到问题的答案； （2）因为，，且，所以，，则，由勾股定理得，求得，作于点，由四边形是矩形，得，由，得，可求得，再证明，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：（1）设正方形的边长为， 如图2，由折叠得， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， 将和重合对折，折痕为， ， ， ， 将与重合对折，折痕为，交于点， ， ， ，， 如图3，作于点，则， ， ， 连接交于点， 由折叠得点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：3． （2）如图3，由（1）得，， ， ，， ， ，， ， 解得， 作于点，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、矩形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 42．（2024·浙江·一模）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点B的对应点落在点P处，作射线交于点． 【问题提出】在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】（1）经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连结，如图2．经过推理、计算可求出线段的长． 方案二：延长交的延长线于点R，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 【问题反思】（2）在前面的已知条件及解决方法下继续探究，连接并延长，交于点H，求的长． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可； 方案二：延长交的延长线于点R，证明，推出，设，同方案一即可求解； （2）连接并延长，交于点H，连接交于点T，过点P作，垂足为，由（1）知，，易证，得到，即可得到，由，得到四边形是平行四边形，进而得到，根据，，，求出，，进而得到，由勾股定理即可求出． 【详解】解：方案一：连接，如图2．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由翻折的不变性，知，，， ∴，， 又， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为； 方案二：延长交的延长线于点R，如图3．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， ， ， 由翻折的不变性，知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为9； （2）连接并延长，交于点H，连接交于点T，过点P作，垂足为， 由（1）知，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 43．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E、F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边、于点E、F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）利用矩形和垂直平分线的性质，证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，即可证平行四边形为菱形； （2）过点F作于H，利用折叠的性质和勾股定理，求出，，再由平行线的性质和等角对等边的性质，得到，证明四边形是矩形，得到，再利用勾股定理，求出，即可得出四边形的周长； （3）过点A作，交的延长线于N，过点F作于M，先求得，得出，由折叠的性质可知：，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理，得出，证明四边形是矩形，通过勾股定理，，再在中，求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：如图，过点F作于H， 由折叠可知：，， ，， ， 在中，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长+； （3）解：过点A作，交的延长线于N，过点F作于M， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，熟练掌握特殊的四边形的判定和性质是解题关键． 44．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明． 【问题解决】 （2）如图1，当，，时，连接，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？ 【答案】（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明见解析；（2）4；（3）当时，始终有与对角线平行 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得； （3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下： 设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）四边形是矩形，，，， ，，， ，， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，，   ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点，   四边形是矩形， ，， ， 设，则， 由折叠得：，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ； ∴当时，始终有与对角线平行． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型06、四边形背景下的折动点 、动图问题 45．（2025·山东青岛·一模）如图，在中，，，．动点N从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为．过点M作，分别交，于点，，与相交于点．设运动时间为，请解答下列问题： (1)当四边形为菱形时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数关系式，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）当四边形为菱形时，即时，进而由解三角形求出，即可得出结论； （2）过点作，垂足为，五边形的面积为，利用解三角形把相关线段用表示即可求出； （3）延长、交于点，根据，，利用相似三角形性质得线段成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴，即， ∵在中， ∴，， ∴， 当四边形为菱形时，即时， ， ∴ （2）过点作，垂足为， 依题意得：，， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∵五边形的面积为， ∴， 即 （3）延长、交于点， ∵四边形为平行四边形，∴，， 由（2）得，， ∴，， ， ∴， ∴ ∵ ∴，， ∴，， ∴， 解并检验得：，， 在运动过程中，时，使得． 46．（2025·山东青岛·模拟预测）已知：如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为． (1)延长交于点，若四边形是平行四边形，求的值； (2)当为何值时，点运动到的垂直平分线上？ (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由题意得，当四边形是平行四边形，则，则，那么，代入数据，即可求解； （2）当点运动到的垂直平分线上，则，然后证明，则，那么，即可求解； （3）连接交于点N，过点P作于点M，由于四边形是菱形，那么，，，四边形是轴对称图形，可求，则，则菱形面积为，那么面积为，由，求得，则，再由面积减去的面积即可建立起关于t的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得， ∵四边形是菱形， ∴， 当四边形是平行四边形， 则， ∴ ∴， ∴， 解得：； （2）解：连接， 当点运动到的垂直平分线上， 则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交于点N，过点P作于点M， ∵四边形是菱形， ∴，，，四边形是轴对称图形， ∵， ∴由勾股定理得： ∴， ∴菱形面积为， ∴面积为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 47．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，是的对角线，是边的高，，，．点为边上任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段． (1)求的长． (2)当点在边上时，求的长． (3)当点在的边上时，求点到边的距离． (4)当被边分成两部分时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)点到边的距离为或 (4)当被边分成两部分时，的长为或 【分析】（1）根据即可求解； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到线段，点在边上，由勾股定理得到，，如图所示，过点作于点，设，，，，，得，由此即可求解； （3）第一种情况，点重合，点在上，过点作于点，则，，设，，，解得；第二种情况，如图所示，点在上，过点作于点，过点作于点，点重合，，，四边形是矩形，，；由此即可求解； （4）第一种情况，如图所示，与交于点，，过点作于点，过点作于点，，，，，中，，；第二种情况，如图所示，与交于点，，过点作于点，过点作于点，设，，，，在中，，；由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，在中，，， ∴； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到线段，点在边上， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， 设， ∴，则， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴第一种情况，点重合，点在上，过点作于点，则， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得，， ∴； 第二种情况，如图所示，点在上，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点重合， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，点到边的距离为或； （4）解：根据题意，，， 第一种情况，如图所示，与交于点，，过点作于点，过点作于点， 根据旋转可得，， ∴，且， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，与交于点，，过点作于点，过点作于点， ∴， 同理，，， ∴， 设， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，当被边分成两部分时，的长为或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，正弦值的计算，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握锐角三角函数的计算，相似三角形的判定和性质，数形结合分析思想是关键． 48．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，过点作交折线于点，以为斜边向其右侧作等腰直角三角形．设与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)点到的距离为________，________； (2)当点落在线段上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)4， (2) (3)与之间的函数关系式为 【分析】（1）如图所示，过点作于点，即为点到的距离，由锐角三角函数的计算得到，，可求出，由平行四边形的性质得到，由此即可求解； （2）如图所示，点在线段上，过点作于点，可证四边形是矩形，，根据是以为斜边向其右侧作等腰直角三角形，得到，，则，所以是等腰直角三角形，则，由，得到，所以，由此即可求解； （3）根据点的运动，分类讨论：①当时，如图所示；当，如图所示，设与交于点，过点作于点，则；当时，如图所示，设与交于点，过点作于点，则；数形结合，锐角三角函数的计算得到对应线段的长度，根据面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，即为点到的距离， ∵， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图所示，点在线段上，过点作于点，作于点，设与交于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是以为斜边向其右侧作等腰直角三角形， ∴，， ∴，且，， ∴是等腰直角三角形，则四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 已知动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，点的运动时间为秒 ∴（秒）； （3）解：由上述计算可得，当点与点重合时，，当点在线段上时，，当点与点重合时，， ∴①当时，如图所示， 已知，， ∴设， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵是以为斜边向其右侧作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵设与重叠部分图形的面积为， ∴； ②当，如图所示，设与交于点，过点作于点，则， 由上述计算可得，四边形是矩形， ∴，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，设，则， ∵， ∴， ∴, ∴， 解得，， ∴ ∴， ∴ ， ∴； ③当时，如图所示，设与交于点，过点作于点，则， ∴， ∴，， ∴， 解得，， ∵， ∴是等腰直角三角形，设，则， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，动点与函数关系，锐角三角函数的计算，等腰三角形的判定和性质，数形结合，分类讨论思想等知识的综合，理解动点的运动，函数关系的计算，锐角三角函数的计算是关键． 49．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 50．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，于点，点为的中点．点从点出发沿折线向终点运动（点不与点重合），取线段的中点，连接，以为边、点为对称中心作． (1)______； (2)连接，当点在上且时，求的面积； (3)当点在线段上，且是矩形时，求线段的长； (4)作．当时，线段的长为______．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（）设，，由勾股定理得，即得，据此即可求解； （）过点作于，可得，进而可得，，再利用三角函数和勾股定理可得，进而求出的面积即可求解； （）过点作于，可得，即得，得到，，设，则，，，即得，进而由得，解方程求出即可求解； （）分点在上，在下方和点在上，在上方两种情况，分别画出图形，可以相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵点是的中点， ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，线段的长为或； （4）解：当点在上，在下方时，如图，过点作交的延长线于点，过点作于，的延长线与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解， ∴， ∵点是的中点， ∴； 当点在上，在上方时，如图，过点作交的延长线于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴； 综上，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，正确作出辅助线并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 51．（24-25九年级下·吉林·阶段练习）如图，是的对角线，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，沿折线运动到终点，在上分别以的速度运动．过点作，交射线于点，连接，以为边作．设点的运动时间为（单位），与重合部分图形的面积为（单位：）． (1)___________（用含的代数式表示）． (2)当点落在边时，___________． (3)求（单位：）与（单位：）之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先表示，可得； （2）如图1，点落在边上，则，，证明，列比例式得方程，可得的值； （3）分三种情况，①当时，如图2，过点作于点，与重叠部分图形是，②当时，如图，与重叠部分图形是四边形，③当时，如图，与重叠部分图形是五边形，根据三角形和四边形面积和与差可得结论； 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， 故答案为； （2）如图，点落在边上，则，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）分三种情况： ①当时，如图，过点作于点，与重叠部分图形是， 根据, 则． ； ②当时，如图3，与重叠部分图形是四边形，则t， ， ， ∴； ③当时，如图4，与重叠部分图形是五边形， 则，，， ， ∴， ∴， ， ； 综上， 【点睛】本题考查了相似或全等三角形的判定与性质、解一元一次方程、三角形的面积、三角函数及二次函数等知识，有难度，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． 52．（2023·浙江金华·三模）如图，在中，，，，点从点出发沿向终点运动，过点作边的垂线，交其他边于点，在的右上方作正方形． (1)如图，点为中点时，求正方形的面积． (2)如图，点从点运动到点的过程中，点为该正方形对角线的中点． ①设，的面积为，求上述运动过程中关于的函数表达式． ②当有一个内角为时，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】（1）解直角三角形求出，进而求得结果； （2）①分两种情况：当点在、之间时，即时，作于点，连接；当时，、在直线上，、在直线边上，作于，作于；分别求出表达式即可；②分四种情况：当点在上，当时；当点在上，当；当点在上，当时；当点在上，当时；分别得出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点为中点，， ， ，， ，， ； （2）解：①如图，当点在、之间时，即时，作于点，连接， ，，，， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为的中线， ， 如图，当时，、在直线上，、在直线边上，作于，作于， ，，， ，， ， ； ②如图，当点在上，当时，设交于， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 如图，当点在上，当，作于， ，，， ， ， ， ， 由得， ， ， 如图，当点在上，当时，作于，作于， ， 由②知：，， ， ， ， ， 如图，当点在上，当时，作，交的延长线于， ，， 由得，， ， 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、正方形的性质、解直角三角形等知识点，解决问题的关键是采用分类讨论的思想解决问题． 试卷第2页，共158页 1 / 160 学科网（北京）股份有限公司 $$