山东省青岛第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试一高一数学试题 命题人:孙晓红 崔梦娇高雪纯 审核人:程志 满分:150分 时间:120分钟 第1卷(共58分) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 1.已知i是虚数单位,复数2,在复平面内对应的点坐标为(1,3),22=Zi,则z。的虚部为( _ A.i B.-i C.1 D.-1 2.已知向量二与万是两个不平行的向量,若 //且万//,则二等丁 B. A.0 C.7 D.不存在这样的向量 2 # A 2 4.下列说法正确的是( A.若a.b是两条相交直线,且a//平面?,则b与“相交 B.若a.b是两条平行直线,且a//平面g,则b//a C.若a.b是两条异面直线,与a.b都相交的两条直线是异面直线 D.若g,b是两条平行直线,g,是两个不同的平面,aoB-a,beta,bcB,则blla,bll 5.已知点O为AABC的外心,且向量AO=2AB+(1-2)4C(2eR),若向量BA在向量BC上的投 影向量为BC,则cosB的值为( ### B.# .2 2# 6.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得裁面图形是下图中的C AC "O。D 7.若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测法得到如图所示的直观图,其中A'ClIOB A'C'1B'C'.A'C'=1.OB=2.则以原四边形AOBC的边AC为轴旋转一罔得到的几何体的体积 为( ,_ 407 C.142+8 D.142 8.已知函数/(x)-sinx(t>0),其图象相邻对称轴间的距离为,若将其图象向左平移 位得到函数y三g(x)的图象.在钝角AABC中,内角A.B.C的对边分别是a.b.c #22 -的取值范围是( ) 2.(426 B.[4262 D.(426 A.[4/2,+o) 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题 目要求. 一来 是( ) A.函数f(x)的墩小正周期是2 B.21 C.函数f()在[-一]门的值域是[-2^] A.2.7=1 B.2-12 C.2在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为1的圆 D.l2-2-2的最小值为2、2 11.在直平行六面体ABCD-A.B.C.D.中,AB=BC=AC=AA.=2,M为校DD.上的动点,且 A.B.C,B.四点均在球O的球面上,则( _ A.存在点M,使C.M//平面AB.C B.无论M的位置如何,三校锥C一MA.C的体积为定值 C.存在点M,使AA.MC的周长为5、/2 D球o的表面积为28 3 第II卷(共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分, 13.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如 图),如果被裁正方体的校长是50cn,一那么石凳的表面积是 n2. 14.已知AABC中,AB-2,AC=1,(1-2)AB+2AC(2=R)的最小值是、3,若M为边AB上任 意一点,N为边BC的中点,则NM.CM的最小值是. 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知复数乙=(a+i)②(aER),z,=4-3,其中i是虚数单位 (1)若互.-i,求实数a的值: (2)若是纯虚数,a是正实数,求()+()+..()202的值. 2 16.(15分)在 4BC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,2ccosB+bcos(B+C)=acosB. (1)求B; (2)若6-230 17.(15分)如图,在四校锥S-ABCD中,BCIIAD,BC=1.点E在AD上,且AE-1,DE= (1)求证:AB//平面SCE; (2)若点F在线段SE上,且BP/|/平面SCD,求证:F为线段SE的中点 18.(17分)在^ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2bsinAsinB=1-cos2B, 1+3c2-23besinA. ()求a; (2)求 ABC的面积 (3)以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,且A在x轴上方建立平面直角坐标系,在AABC所在 的平面内有一动点D(c,),满足DA.DC-1.求x-、3y的最小值. 19.(17分) 已知S是全体复数集C的一个非空子集,如果Va ,S,总有x+,x-,x S,则 称S是数环.设F是数环,如果①F内含有一个非 零复数;②Vx,EF且y0,有F, 则称F是数域.由定义知有理数集O是数域 (1)求元素个数最小的数环S; (2)记O(v②)=a+2bla,bE,证明:O(v2)是数域 (3)若F,F2是数域,判断F.UF2是否是数域,请说明理由 青岛二中2024-2025学年第二学期期中考试一高一数学试题答案解析 2 9 10 8 3 4 1 6 2 11 D C BCD AB D B A D ABD 14. 12.2 {2 13. 7500+25003 5.已知A0=2AB+(1-)AC,将其变形可得A0-AC=a(AB-AC),即CO=4CB 根据向量共线定理,可知CO与CB共线,所以O,B,C三点共线 因为点O为AABC的外心,外心是三角形三边垂直平分线的交点,且O,B,C三点共线,所以BC头 AABC外接圆的直径,那么之B4C=90{*},即 ABC是直角三角形 BC4 BA 8.由图象相邻对称轴间的距离可知T=n,o=2,g(x)=sin(2x+]),且()=8(-),即 2 2 . AABC是钝角三角形, .~_C~### i(4) cosA 2(2cos2A-1)+4 cosAcosA cosA cosA #cosA 11.由题意知直平行六面体ABCD-A.B.C.D的底面ABCD为菱形,且AABC为等边三角形 连接DC.,四边形AB.C.D为平行四边形,所以ABlIDC.,当点M与点D重合时,C.MV/平面ABC B.同体换底思想,Vc-MuC.=Vl-Mcc,Scc.不随M的位置发生变化,其高即A到平面MCC.的距离不变。 D C C.将平面ADDA.与平面CDD.C.沿DD展平 可得当A,M.C三点共线时,4.M+MC最小,且最小值为42+22}-25, 所以AA.MC周长的最小值为22+25>52,故C错误; D.设O.为A4BC的外心,连接OB.OO,OB,过O.作平面ABC的垂线,球心在此垂线上,要满足到B.B 所以球O的表面积为 2 728 故D正确. M C 14.延长AC,使得AD-2AC,令AG=(1-a)AB+2aAC(2eR 可知B.G.D三点共线,AG1BD时为AG最小值、3 G 在Rt ABG中,AG=3.AB=2得 B=60 ,又因为AB=AD=2 所以AABD是等边三角形,所以BC1AD,在RtAABC中,BC=3,取NC中点为H,由极化恒 等式得MCXVNC-|C#A0 -.即求MH的最小值, 四、解答题: 15.【答案】(1)q三2:(2)i 【详解】(1)因为z=a+)2,2=4-3i,= , &2 [a2-1-3 所以=iz ,即(a+i)②}=^-1+2i=3+4 ,所以 ,解得实数a的值为2 2a=4 2 4-3i 25 25 因为是纯虚数,所以 [4a?-6a-4-0 22 3a2+8a-3+0 2 又因为a是正实数,所以a=2,所以=i,所以 2 红()2+()3+..()2025=1+i”++.+2025 2-2 2 2 =(i+12+13+14)+(i5+16+i+1*)+..+(2021+2022+2023+2024)+2025 =(i-1-i+1)+(i-1-i+1)+..+(i-1-i+1)+i=i (2)a=3,c=4或a=4,c=3 【详解】(1)由题意得2ccosB-bcosA=acosB即acosB+bcosA=2ccosB :. sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB.:. sin(A+B)=2sinCcosB -23gg-<##3.# (2)由(1)可得- 2 {# ## }+-_#(a+o)-13-,- .ac=12,又cosB= 2ac 2ac fa+c=7fa-3(a-4 :.a+c-7,由 得 lc=4“ lac=12 c-3 17. 【答案】(1)见详解(2)F为线段SE的中点 【详解】(1)证明:连接CE 因为BC//AD即BC//AE, 又因为BC三AE=1,所以四边形ABCE为平行四边形,所以AB/CE 又因为ABt平面SCE,CEC平面SCE,所以AB//平面SCE. (2)证明:连接BF,过点F作FG//AD交SD于点G,连接CG, 因为BC//AD,所以FG//BC,所以B.C.G.F四点共面 因为BF//平面SCD,BFC平面BCGF,平面SCDO平面BCGF=CG. 所以BF//CG,所以四边形BCGF是平行四边形 (1) 根据题意,2bsinAsinB=1-cos2B=2sin2B 因为sinB;0,所以bsinA=sinB,由正弦定理得bsinA=asinB,所以a=1; (2)由余弦定理,1=a2}=b2+c2-2bccosA,代入1+3c^2}=23bcsinA,得b^2}+4c2}=23bcsinA+2bccosA b.2c-、3sin A+cos A=2sin 两边同除以2bc, 2# 2 。& _行 以B为坐标原点,BC,BA所在直线为 ,y轴建立平面直角坐标系. 则4#0##}.C(10),Dad-#)C(1-,-), ##.C-#_##)##完}#一 “#-)##}). 可设 (9为变量), # 2+2sinf 所以x-3y的最小值为-4. 19.【答案】(1)元素个数最少的数环为S=(0);(2)O(V2)是数域; (3)FUF不一定是数域. 【详解】(1)因为为数环,可知不是空集,即中至少有一个元素aEC 若a=0,则0+0=0-0=0x0=0eS,可知(0)为数环; 若a;0,则a一a=0,可知S中不止一个元素,不是元素个数最少的数环 综上所述:元素个数最少的数环为s=(0). (2)设x=a+2,y=c+2d,a,b.c.de,可知x,ye(2). 则有: x+y=(a+2)+(c+2a)=(a+c)+2(b+d) x-y=(a+26)-(c+2a)=(a-c)+2(b-d) xy=(a+2b)(c+2d)=(ac+2bd)+2(ad+bc)' 因为a,b,c,dEQ,则a+c,b+d,a-c,b-d,ac+2bd,ad+bcE。, 可知x+y,x-y,xyeQ(V2),所以O(V2)是数环; 若c2+d2z0,可知yz0,满足①; (a+2)(c-2d) 若y*0,则xa+2 22-22' 22} 可知o(V2),满足②;综上所述:O(\2)是数域. (3)不一定是数域,理由如下; ①若F=Q,F.=R,显然E,F均为数域,且FUF=R是数域 ②设x=a+36,y=c+3d,a,b,c,deQ,可知x,yeo(3), 则有: x+y=(a+3)+(c+3a)=(a+c)+(b+d) x-y=(a+36)-(c+3 )=(a-c)+3(6-d), xy=(a+3b)(c+3d)=(ac+3bd)+3(ad+bc)' 因为a,b,c,dEQ,则a+c,b+d,a-c,b-d,ac+3bd,ad+bcE. 可知x+y,x-y,xyeO(3),所以O(3)是数环; 若c2+d2z0,可知yz0,满足①; (a+3)(c-3a) ac-3bd 若y*0,则xa+3 3c2-32 ac-3bd bc-ad 可知O(3),满足②;综上所述:O(3)是数域. 例如:F=(3),F=0(V2),例如1+3E(),1+2(2), 但1+3+1+2=2+3+2FUF,所以FUF不是数域;综上所述:FUF不一定是数域