专题10.3 第十章 概率（章节验收卷）（19题新题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

第十章 概率（章节验收卷）（19题新题型） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（    ） A． B． C． D． 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，记两枚骰子的点数均是奇数的概率为，两枚骰子的点数均是偶数的概率为，两枚骰子点数奇偶不同的概率为，则（    ） A． B． C． D． 3．抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（    ） A．两次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上 C．两次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上 4．掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D． 5．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 6．已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若对立，则 7．一个正十二面体的各个面分别标有数字1到12，拋掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字，事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件可以为（   ） A． B． C． D． 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 10．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 11．口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设事件A、B是互斥事件，且，则 . 13．现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为 . 14．三个元件正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接人电路，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 16．根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养目标以符合企业岗位需要的中、高级技术工人．2024年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核后取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表： 岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 人数 20 60 60 40 20 (1)现从这200人中采用分层抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，求交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数． (2)为了鼓励企业员工参加培训，该企业在2025年出台了如下培训奖励措施． 取得岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 奖励金额（元/人） 0 500 600 800 1000 以2024年度培训取得各岗位证书的频率来估计2025年的培训考核结果，若该企业在2025年度培训共400人，请估计该企业2025年度共需支付多少奖金？ 17．某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 18．某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值； (2)现按分层抽样的方法从质量为，的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售. 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 19．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （ⅰ）求比赛结束时，三人总积分为2分的概率； （ⅱ）求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望. (2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 概率（章节验收卷）（19题新题型） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据古典概型概率公式即可求解. 【详解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为. 故选：B. 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，记两枚骰子的点数均是奇数的概率为，两枚骰子的点数均是偶数的概率为，两枚骰子点数奇偶不同的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率 【分析】使用列举法求出三个概率，再比较大小． 【详解】随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数均是奇数的基本事件共有9个， 分别是∴ 点数均是偶数的基本事件共有9个，分别是∴． 两枚骰子点数奇偶不同的概率为． ∴． 故选：B． 3．抛掷同一枚硬币两次，若事件“至少有一次正面朝上”，则事件（    ） A．两次均正面朝上 B．至多有一次正面朝上 C．两次均反面朝上 D．至少有一次反面朝上 【答案】C 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】利用对立事件的定义求解即可. 【详解】因为事件“至少有一次正面朝上”， 所以由对立事件的定义得事件“两次均反面朝上”，故C正确. 故选：C 4．掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D． 【答案】C 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A、B，根据独立事件的概率可判断C，由包含的基本事件可判断D. 【详解】因为事件可以同时发生，所以与不是互斥事件，不是对立事件. 因为事件包含的基本事件不一样，所以事件不相等. 因为，，所以. 故选：C 5．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】D 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 6．已知随机事件A和B，下列表述中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若互斥，则 D．若对立，则 【答案】D 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据事件的包含关系与概率之间的关系判断AB，根据互斥事件和对立事件的概率关系判断CD. 【详解】选项A：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项B：若 ，则 ，因此 ，而非 ，错误. 选项C：若 和 互斥，则 ，故 ，而非 ，错误. 选项D：若 和 对立，则 为必然事件，故 ，正确. 故选：D. 7．一个正十二面体的各个面分别标有数字1到12，拋掷一次这个正十二面体，观察它与地面接触的面上的数字，事件，事件，若事件满足，，，则满足条件的事件可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意分别列举每个事件，根据古典概型，结合题意，可得答案. 【详解】对于A，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故A错误； 对于B，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故B错误； 对于C，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故C错误； 对于D，由事件，事件，事件， 则事件，事件，事件， 由题意可得，，，，，， 可得，，，故D正确. 故选：D. 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥、对立、相互独立事件的概率公式进行判断. 【详解】由题意可得：，，，，，，. 因为，所以与互斥，故A错误； 因为，所以与对立，故B错误； 因为与对立，所以,，所以与不互斥，故C错误； 因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．从中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥事件的是（   ） A．恰有1个是奇数和全是奇数 B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数 C．至少有1个是奇数和全是奇数 D．至少有1个是偶数和全是奇数 【答案】AD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由互斥事件的概念逐项判断即可； 【详解】从中有放回地依次取出两个数， 共有三种情况：两个奇数一个奇数一个偶数两个偶数}， 且两两互斥，所以A选项：是互斥事件，但不是对立事件；B选项：不互斥；C选项：不互斥；D选项：是互斥事件，也是对立事件． 故选：AD 10．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与 是互斥事件 B．事件 与 是对立事件 C．事件 与 相互独立 D． 【答案】ABD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 11．口袋中装有编号为①，②，③的3个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同．现从中取出1个小球，记事件A为“取出的小球的编号为③”，事件B为“取出的小球是黑球”，则（   ） A．A与B互斥 B． C．A与B独立 D． 【答案】BD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据互斥事件、独立事件的概念判断A、C，根据和事件、交事件的定义及古典概型的概率公式计算即可判断B、D； 【详解】对于A，当取到的小球为黑球，且编号为③，事件和事件同时发生，所以， 故与不互斥，故A错误； 对于B，表示、同时发生的概率，即取到的小球为黑球且编号为③，所以，故B正确； 对于C，表示取出的小球的编号为③的概率，则， 表示取出的小球是黑球的概率，则， 因为，所以事件A与B不独立，故C错误； 对于D，表示取到的小球标号为③或黑球，所以，故D正确. 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设事件A、B是互斥事件，且，则 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由互斥事件的概率加法公式，可得. 故答案为：. 13．现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），投掷两次此骰子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】依次求出投掷两次此骰子的所有情况和点数之和为3的整数倍的情况即可由古典概型计算得解. 【详解】根据题意，投掷两次此骰子一共有种情况， 其中骰子上面的点数之和为3的整数倍的情况有 ，共12种， 所以骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为. 故答案为： 14．三个元件正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接人电路，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】记“三个元件正常工作”分别为事件，不发生故障为事件，结合对立事件的概率公式，利用相互独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】记“三个元件正常工作”分别为事件， 则， 不发生故障为事件，则不发生故障的概率为 ． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．有个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．计算，，并判断事件和事件是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)，，相互独立，理由见解析 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】（1）依题意逐一列出基本事件即可得到样本空间； （2）根据古典概型的概率公式求出，，，再根据独立事件的定义判断． 【详解】（1）依题意试验的样本空间，，，，，，，，； （2）事件和事件相互独立，理由如下： 因为，，，，，， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以事件和事件相互独立． 16．根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制，加强技能人才培养的通知，我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训，深化产教融合，校企合作，学徒培养目标以符合企业岗位需要的中、高级技术工人．2024年度某企业共需要学徒制培训200人，培训结束后进行考核，现对考核后取得相应岗位证书进行统计，统计情况如下表： 岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 人数 20 60 60 40 20 (1)现从这200人中采用分层抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团，求交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数． (2)为了鼓励企业员工参加培训，该企业在2025年出台了如下培训奖励措施． 取得岗位证书 初级工 中级工 高级工 技师 高级技师 奖励金额（元/人） 0 500 600 800 1000 以2024年度培训取得各岗位证书的频率来估计2025年的培训考核结果，若该企业在2025年度培训共400人，请估计该企业2025年度共需支付多少奖金？ 【答案】(1)3 (2)236000元 【知识点】用频率估计概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）依题意可以求出分层抽样的抽样比例，进而可求得技师类岗位证书的人数. （2）分类讨论，将取得各岗位证书的奖金分别算出来，相加即可求解. 【详解】（1）技师和高级技师占比为， 所以交流团中取得技师类（包含技师和高级技师）岗位证书的人数为（人）. （2）初级工频率，支付：（元）， 中级工频率，支付：（元） 高级工频率，支付：（元）， 技师频率，支付：（元）， 高级技师频率：，支付：（元）， 加起来需支付费用（元）， 所以估计该企业需支付236000元. 17．某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立． (1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率； (2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）先求得甲两次抽到相同奖品的概率，利用对立事件的概率公式可求得甲两次抽到的奖品价值不同的概率； （2）先得甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品的所有情况，求得对应的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件， 记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件， 则， ， 所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为； （2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次. 又获得的奖品价值总和不低于80元， 故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元， 又两次抽到40元，一次抽到30元的概率， 两次抽到40元，一次抽到20元的概率， 两次抽到40元，一次抽到10元的概率， 两次抽到30元，一次抽到40元的概率， 两次抽到30元，一次抽到20元的概率， 两次抽到20元，一次抽到40元的概率， 所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为： . 18．某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示： (1)求图中a的值； (2)现按分层抽样的方法从质量为，的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率； (3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售. 经销商提出如下两种收购方案： 方案A：所有水果以10元/千克收购； 方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？ 【答案】(1) (2) (3)该生态园选择方案获利更多 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图 【分析】（1）由频率分布直方图面积为1，即可求解； （2）先根据分层抽样的性质求出质量在和内的分别有4个和2个，然后列举法结合古典概型概率公式求解即可； （3）算出两种方案的利润，比较大小即可判断. 【详解】（1）由 解得： （2）根据分层抽样，抽取的6个水果中，质量在和内的分别有4个和2个． 设质量在内的4个水果分别为A，B，C，D， 质量在内2个水果分别为， 其样本空间可记为 ， 共包含20个样本点． 记E：其中恰有一个在内，则 ， 则E包含的样本点个数为12，所以； （3）方案： 收益 元； 方案：低于250克获利元， 不低于250克获利元， 总计元． 因为，所以该生态园选择方案获利更多. 19．某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （ⅰ）求比赛结束时，三人总积分为2分的概率； （ⅱ）求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望. (2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，数学期望为 (2)乙和甲打第一局 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知比赛结束时，甲或乙连续获得两场胜利，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；（ⅱ）列举出总积分，根据各个积分计算出概率，再根据期望公式即可求解； （2） 设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，比较大小即可判断. 【详解】（1）（ⅰ）由题意可知，两场比赛后结束，即甲或乙连续获得两场胜利，有两种情况，； （ⅱ）由题意可知，， 所以， ， ， 所以三人总积分的分布列为 2 3 4 0.6 0.16 0.24 所以. （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 为“第一局甲对丙而最终乙获胜”，其中包含三种情况， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ； 显然， 故， ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是让乙和甲打第一局. 学科网（北京）股份有限公司 $$