专题10.1 10.1随机事件与概率(10大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题10-1 10.1随机事件与概率 题型一：判断事件是否为随机事件 典型例题 例题1．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 精练核心考点 1．（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件． ①“抛一石块，下落”； ②“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”； ③“某人射击一次，中靶”； ④“如果，那么”； ⑤“掷一枚硬币，出现正面”； ⑥“导体通电后，发热”； ⑦“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； ⑧“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； ⑨“没有水分，种子能发芽”； ⑩“在常温下，焊锡熔化”． 3．（24-25高二下·全国·课前预习）判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)标准大气压下，水沸腾的温度； (2)王老师在某天内接电话的次数； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为64 cm3的正方体的棱长． 题型二：游戏公平性 典型例题 例题1．（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 例题2．（24-25高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 精练核心考点 1．（24-25高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？ 题型三：确定所给事件包含关系 典型例题 例题1．（24-25高一下·河南平顶山·阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·上海·假期作业）掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论： (1)A与B的关系； (2)A与C的关系； (3)A、B、D之间的关系； (4)C与D的关系 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（    ） A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B． C．A与C是互斥事件 D． 2．（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2024高三下·全国·专题练习）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 题型四：写出样本空间 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 例题2．（2024高一下·全国·专题练习）写出下列试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果； (2)某人射击一次命中的环数(均为整数)； (3)从集合中任取两个元素． 例题3．（23-24高二上·吉林长春·期中）在一次支教活动中，甲、乙两校各派出名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师为、，女教师为），乙校派出名男教师和名女教师（记男教师为，两名女教师为、）． (1)若从两校参加活动的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率； (2)若从报名的名教师中任选名，求选出的名教师来自同一学校的概率． 精练核心考点 1．（23-24高二·上海·课堂例题）从两男两女四人中随机选出两人， (1)写出样本空间； (2)写出两人恰好是一男一女这个事件所对应的子集． 2．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 3．（23-24高二上·山东济宁·期中）盒子中有个形状大小完全相同的球，球的编号分别为，从中有放回地任意抽取两球． (1)用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求抽到的两个球的编号和大于的概率． 题型五：计算古典概型概率 典型例题 例题1．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·上海·期中）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 例题3．（24-25高二下·上海·期中）半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 例题4．（24-25高一下·江西赣州·期中）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478. (1)求这6个数据的75%分位数及平均数； (2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率. 例题5．（2025高二下·陕西西安·学业考试）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求a、b的值； (2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·期中）学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，求选出的2人中至少有1名女同学的概率； 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一某班数学学习小组有3名男生，2名女生，现从中随机抽3名学生去参加学校组织的数学竞赛（被选到的可能性相同）. (1)求参赛学生中至少有2名男生的概率； (2)求参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率. 5．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 题型六：有放回和无放回问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·山西·开学考试）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 例题3．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 例题4．（24-25高二上·吉林白城·期末）有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 例题5．（23-24高一下·四川达州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． (1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； (2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； (3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； (4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． 精练核心考点 1．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二上·云南昆明·期中）从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中2个白球、1个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ． 4．（2024·四川绵阳·二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为 ． 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 题型七：根据古典概型概率求参数 典型例题 例题1．（23-24高三上·河南·期末）在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 例题3．（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 2．（23-24高二上·上海静安·期末）某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 3．（23-24高三上·河南·阶段练习）某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表： 专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发 招生人数 就业率 （Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率； （Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值． 题型八：利用概率加法公式计算古典概型 典型例题 例题1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一下·云南大理·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 精练核心考点 1．（24-25高三下·湖南·阶段练习）废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 2．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，如果，那么 ． 3．（23-24高一·全国·课后作业）投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝ . 题型九：互斥事件与对立事件 典型例题 例题1．（2025高一·全国·单元测试）某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件 例题2．（2025·四川宜宾·三模）一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 例题3．（多选）（24-25高二上·山东淄博·期中）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是(    ). A．“恰有一名女生”和“全是女生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至多有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 练核心考点 1．（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 2．（23-24高一下·广东广州·期末）某人在射击比赛中连续射击2次，事件“2次都不命中”的对立事件是（    ） A．至多有1次命中B．2次都命中 C．只有1次命中 D．至少有1次命中 3．（多选）（23-24高一下·河北承德·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 题型十：利用互斥（对立）事件求概率 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·广东广州·期中）广州市第八十九中学食堂有四层，二、三层供应普通饮食，一、四层供应特色饮食．已知同学甲午餐选择普通饮食概率为0.4，如果午餐选择普通饮食，那么晚餐再选择普通饮食的概率为0.3；如果午餐选择特色饮食，那么晚餐选择普通饮食的概率为0.9．同学甲晚餐选择普通饮食的概率为（   ） A．0.75 B．0.66 C．0.76 D．0.38 例题3．（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 精练核心考点 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（    ） A．密码被成功破译的概率为 B．恰有一人成功破译的概率为 C．密码被成功破译的概率为 D．密码破译失败的概率为 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为 ． 3．（24-25高二下·天津红桥·期中）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 ． 4．（24-25高二上·四川凉山·期末）翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10-1 10.1随机事件与概率 题型一：判断事件是否为随机事件 典型例题 例题1．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下列事件中，哪些是确定的事件，哪些是不确定的事件？ (1)在空地上抛一石块，石块会下落； (2)明天上午八时到九时之间，你会接到一个推销电话； (3)买一张福利彩票，会中奖． 【答案】(1)确定事件 (2)不确定事件 (3)不确定事件 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】（1）由确定事件的定义判断即可； （2）由不确定事件的定义判断即可； （3）由不确定事件的定义判断即可. 【详解】（1）在空地上抛一石块，由于引力作用，石块一定会下落，故该事件是必然事件，即该事件也是确定事件； （2）明天上午八时到九时之间，你可能会接到一个推销电话，也可能不会接到一个推销电话，即该事件是不确定事件； （3）买一张福利彩票，可能会中奖，有可能不会中将，即该事件是不确定事件. 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子． （1）明天太阳升起； （2）明天上海局部地区下雨； （3）明年小明又大一岁； （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯． 【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析. 【知识点】判断事件是否是随机事件、随机现象 【分析】利用随机现象、确定性现象的意义直接判断即可. 【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象； （2）明天上海局部地区下雨是随机现象； （3）明年小明又大一岁是确定性现象. （4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象. 如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象； 掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象. 精练核心考点 1．（2024高一下·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是随机事件、必然事件或不可能事件： (1)从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点； (2)把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5； (3)实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0； (4)汽车排放尾气会污染环境； (5)明天早晨有雾； (6)某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温． 【答案】(1)随机事件 (2)必然事件 (3)不可能事件 (4)必然事件 (5)随机事件 (6)随机事件 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用随机事件、必然事件、不可能事件概念的内涵进行判断. 【详解】（1）3条射线可以交于不同的点，具有随机性.故事件“从1个三角形的3个顶点处各任画1条射线，这3条射线交于一点.”为随机事件. （2）故事件“把9写成两个实数的和，其中一定有1个数小于5”为必然事件. （3）当时，且，则事件“实数a，b不都为0，但a2＋b2＝0”为不可能事件. （4）汽车排放尾气必然会污染环境，则事件“汽车排放尾气会污染环境”为必然事件. （5）明天早晨有雾与否具有不确定性. （6）某地明年7月28日的最高气温是否高于今年8月10日的最高气温具有不确定性．故事件“某地明年7月28日的最高气温高于今年8月10日的最高气温．”为随机事件. 2．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件． ①“抛一石块，下落”； ②“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”； ③“某人射击一次，中靶”； ④“如果，那么”； ⑤“掷一枚硬币，出现正面”； ⑥“导体通电后，发热”； ⑦“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； ⑧“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； ⑨“没有水分，种子能发芽”； ⑩“在常温下，焊锡熔化”． 【答案】事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是随机事件． 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】利用必然事件、不可能事件、随机事件的意义逐一判断各个命题作答. 【详解】依题意，事件①④⑥是必然事件；事件②⑨⑩是不可能事件；事件③⑤⑦⑧是随机事件. 3．（24-25高二下·全国·课前预习）判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)标准大气压下，水沸腾的温度； (2)王老师在某天内接电话的次数； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为64 cm3的正方体的棱长． 【答案】(1)不是随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，理由见解析 (3)是随机变量，理由见解析 (4)不是随机变量，理由见解析 【知识点】判断事件是否是随机事件 【分析】根据随机变量的概念，依次判断即可. 【详解】（1）不是随机变量，理由： 在标准大气压下，水沸腾时的温度是，是定值，不是随机变量； （2）是随机变量，理由： 王老师在某天内接电话的次数是不确定的，是随机变量； （3）是随机变量，理由： 一件作品获得的奖次可能是一等奖、二等奖、三等奖，是随机变量； （4）不是随机变量，理由： 体积为的正方体的棱长为，是定值，不是随机变量. 题型二：游戏公平性 典型例题 例题1．（24-25高一·全国·课后作业）下面有三个游戏，其中不公平的游戏是（    ） 取球方式 结果 游戏1 有3个黑球和1个白球，游戏时，不放回地依次取2个球 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜 游戏2 有1个黑球和1个白球，游戏时，任取1个球. 取出的球是黑球→甲胜；取出的球是白球→乙胜. 游戏3 有2个黑球和2个白球，游戏时，不放回地依次取2个球. 取出的2个球同色→甲胜；取出的2个球不同色→乙胜. A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3 【答案】D 【知识点】游戏的公平性、有放回与无放回问题的概率 【解析】分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平. 【详解】对于游戏1，样本点共有12个，取出的2个球同色包含的样本点有6个，其概率是，取出的2个球不同色的概率也是，故游戏1公平； 对于游戏2，样本点共有2个，分析易知，取出的球是黑球和取出的球是白球的概率都是，故游戏2公平； 对于游戏3，样本点共有12个，取出的2个球同色的概率是，取出的2个球不同色的概率是，故此游戏不公平，乙胜的概率大. 故选D. 【点睛】本题考查概率的意义，游戏的公平性，属于基础题. 例题2．（24-25高一·全国·课后作业）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析. 【知识点】游戏的公平性 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 【点睛】本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题. 精练核心考点 1．（24-25高一·全国·课后作业）一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【知识点】游戏的公平性 【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 【点睛】本题考查概率的应用，属于基础题. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）用掷两枚硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜.这个游戏公平吗？ 【答案】公平，理由见解析 【知识点】用频率估计概率、游戏的公平性、决策中的概率思想 【解析】分别计算出甲胜和以胜的概率即可得解. 【详解】解：这个游发是公平的，理由：抛掷两枚硬币共有4种等可能结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），所以甲、乙获胜的概率都是. 【点睛】此题考查求事件发生的概率，利用概率解决实际问题，通过概率的计算决策游戏的公平性，关键在于准确求出概率. 题型三：确定所给事件包含关系 典型例题 例题1．（24-25高一下·河南平顶山·阶段练习）抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】记{有枚硬币正面向上}，，则，结合事件的关系和运算逐项分析判断. 【详解】记{有枚硬币正面向上}，， 则， 对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：CD. 例题2．（24-25高二上·上海·假期作业）掷两颗骰子，观察掷得的点数.设A：至少有一个是偶数，B：至少有一个是奇数，C：两个点数的乘积是偶数，D：两个点数的和是奇数.讨论： (1)A与B的关系； (2)A与C的关系； (3)A、B、D之间的关系； (4)C与D的关系 【答案】(1)不互斥； (2)； (3)； (4)，但两者不等. 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】（1）利用互斥事件的定义判断即可. （2）（3）（4）利用事件的包含关系及运算判断即得. 【详解】（1）事件A发生，B不一定发生；B发生，A不一定发生，则A、B互不包含，显然A、B有可能同时发生，所以它们不互斥. （2）两个点数的乘积是偶数当且仅当其中至少一个是偶数，即. （3）两个点数的和是奇数当且仅当一个是奇数一个是偶数，即. （4）若两个点数的和是奇数，肯定是一奇一偶，则其乘积一定是偶数； 反之，乘积是偶数说明两个点数中至少一个是偶数，则，由（2），得，但两者不等. 精练核心考点 1．（多选）（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（    ） A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B． C．A与C是互斥事件 D． 【答案】AD 【知识点】确定所给事件的包含关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可. 【详解】根据题意，试验的样本空间，，，，. 对于选项A:因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确； 对于选项B:因为，，所以，故B错误； 对于选项C:因为，所以A与C不是互斥事件，故C错误； 对于选项D:因为，，所以，故D正确. 故选：AD. 2．（多选）（23-24高一下·江西景德镇·期中）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义 【分析】根据样本空间、事件的运算和含义即可判断. 【详解】因为样本空间两次都没击中飞机，第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机； “恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没中或第一次没中、第二次击中； “至少有一次击中飞机”包含三种情况：第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机. 所以，，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 3．（多选）（2024高三下·全国·专题练习）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】确定所给事件的包含关系、事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据事件之间的基本关系和基本运算，依次判断选项即可. 【详解】事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， A：事件A表示表示“两次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，故，故A正确； B：事件B和事件D是对立事件，故，故B正确； C：事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”， 而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故C错误； D：事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，故D正确. 故选：ABD. 题型四：写出样本空间 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【知识点】写出基本事件 【分析】由题意利用列表，列举出所以有情况，从中选出符合题目的情况，可得答案. 【详解】如表所示，表中点的横坐标表示抽得的第1张卡片上的数字，纵坐标表示抽得的第2张卡片上的数字， 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 则事件． 所以事件Q中含有10个样本点． 故选：B. 例题2．（2024高一下·全国·专题练习）写出下列试验的样本空间． (1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币的结果； (2)某人射击一次命中的环数(均为整数)； (3)从集合中任取两个元素． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】写出基本事件 【分析】根据样本点的概念，结合题意列举试验的样本空间即得． 【详解】（1）由题可知，共有4个样本点，故样本空间为(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)． （2）由题可知，共有11个样本点，故样本空间为． （3）由题可知，共有6个样本点，故样本空间为． 例题3．（23-24高二上·吉林长春·期中）在一次支教活动中，甲、乙两校各派出名教师参与活动，其中甲校派出2名男教师和1名女教师（记两名男教师为、，女教师为），乙校派出名男教师和名女教师（记男教师为，两名女教师为、）． (1)若从两校参加活动的教师中各任选名，写出所有可能的结果，并求选出的名教师性别相同的概率； (2)若从报名的名教师中任选名，求选出的名教师来自同一学校的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的名教师性别相同”所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）列举出所有的基本事件，并确定事件“选出的名教师来自同一学校”所包含的基本事件，即可求出所求事件的概率. 【详解】（1）解：从两校参加活动的教师中各任选名，所有可能的结果有：、、 、、、、、、，共种， 其中，事件“选出的名教师性别相同”所包含的基本事件有：、、 、，共种， 所以，选出的名教师性别相同的概率为. （2）解：从报名的名教师中任选名，所有的基本事件有：、、、 、、、、、、、、、 、、，共种， 其中，事件“选出的名教师来自同一学校”所包含的基本事件有：、、 、、、，共种， 因此，事件“选出的名教师来自同一学校”的概率为. 精练核心考点 1．（23-24高二·上海·课堂例题）从两男两女四人中随机选出两人， (1)写出样本空间； (2)写出两人恰好是一男一女这个事件所对应的子集． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）由样本空间的定义即可求解； （2）由事件对应的子空间即可求解. 【详解】（1）记这两男、两女依次为， 则样本空间为； （2）两人恰好是一男一女这个事件所对应的子集为. 2．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 【答案】(1)答案见解析 (2)掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同 (3) 【知识点】写出基本事件 【分析】（1）用列举法把基本事件一一列举即可. （2）明确基本事件的表示方法即可. （3）列举法列出满足条件的基本事件. 【详解】（1）该试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)} （2）所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”. （3）事件“点数之和不超过5”就是集合. 3．（23-24高二上·山东济宁·期中）盒子中有个形状大小完全相同的球，球的编号分别为，从中有放回地任意抽取两球． (1)用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求抽到的两个球的编号和大于的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）列举出所有基本事件即可得到样本空间； （2）确定所有满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）从编号为的四个球中，有放回的任意抽取两球，将抽取的结果记为， 则样本空间. （2）由（1）知：基本事件总数为个， 其中抽到的两个球的编号大于的基本事件有：，共个， 抽到的两个球的编号大于的概率. 题型五：计算古典概型概率 典型例题 例题1．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样求出甲组和乙组抽取人数，利用列举法得到这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况数和至少有1人是甲组的情况数，得到概率. 【详解】根据题意，按比例采用分层随机抽样的方法从甲组中抽取人，记为A，B； 从乙组中抽取人，记为a，b，c． 在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况有，，，， ，，，，，，共10种， 其中被抽取的这2人中至少有1人是甲组的情况有7种， 分别为，，，，，，， 故所求概率为． 故选：B 例题2．（24-25高二下·上海·期中）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】(1)，平均数为； (2). 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求出值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解. （2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，则； 平均数为. （2）评分在的频率分别为， 则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为， 从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则，共有8个结果， 所以. 例题3．（24-25高二下·上海·期中）半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 【答案】(1)32 (2) (3)平均数为38，方差为． 【知识点】计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）先根据分层抽样的定义求出从第四组和第五组所抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）根据平均数和方差的定义结合已知条件求解即可. 【详解】（1）（岁）． （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为： ， ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以． （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为． 例题4．（24-25高一下·江西赣州·期中）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478. (1)求这6个数据的75%分位数及平均数； (2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率. 【答案】(1)75%分位数是249，平均数是151. (2) 【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据百分位数计算公式和平均数计算公式即可得到答案； （2）写出所有样本空间，并列举出满足题意的样本点，最后利用古典概型的公式即可得到答案. 【详解】（1）因为， 所以这6个数据的75%分位数是249， 这6个数据的平均数是. （2）从6个数据中任取2个数据，样本空间 ，共含有15个样本点， 设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”， 则，共含有6个样本点， 所以. 答：取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率为. 例题5．（2025高二下·陕西西安·学业考试）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求a、b的值； (2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】补全频率分布直方图、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解. （2）根据古典概型列出基本事件计算得解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，则，而， 所以，. （2）月销售额在这一组的人数为， 其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b， 从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个， 事件“至少有一名女职工”含有的基本事件为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个， 所以所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为. 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·期中）学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，求选出的2人中至少有1名女同学的概率； 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得. 【详解】记3名男同学为，2名女同学为， 从5名同学中任选2名的结果有：，共10个， 其中至少有1名女同学的事件含有的结果有，共7个， 所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是. 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 【答案】(1) (2)． 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】（1）写出样本空间，设出事件，列举出满足要求的样本点，得到答案； （2）在（1）基础上，事件“为整数”，得到事件共有3个样本点，得到答案. 【详解】（1）样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． （2）由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出基本事件 【分析】（1）根据题意写出样本空间即可； （2）写出事件A包含的基本事件，利用古典概型求解； （3）写出事件B包含的基本事件，利用古典概型求解. 【详解】（1）样本空间Ω={（蓝球，蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（绿球，蓝球）（绿球，红球）（绿球，绿球）}． （2）设“第一次取出的是红球”为事件A． 事件A包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），共3个， 由（1）知基本事件总数， 所以． （3）设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件B． 事件B包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，绿球），共2个， 由（1）知基本事件总数， 所以. 4．（22-23高一下·云南昭通·期末）高一某班数学学习小组有3名男生，2名女生，现从中随机抽3名学生去参加学校组织的数学竞赛（被选到的可能性相同）. (1)求参赛学生中至少有2名男生的概率； (2)求参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率. 【答案】(1) (2). 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出基本事件 【分析】（1）记3名男生为，，，2名女生为，，由穷举法结合古典概率的计算可得； （2）设“参赛学生中恰有2名男生和1名女生”，由穷举法结合古典概率的计算可得. 【详解】（1）记3名男生为，，，2名女生为，， 则从5名学生中选取3名学生参赛可能的结果有： ， 共10种. 设“参赛学生中至少有2名男生”，则事件A包含的基本事件有： ，共7个， 故参赛学生中至少有2名男生的概率为. （2）设“参赛学生中恰有2名男生和1名女生”，则事件B包含的基本事件有：共6个， 故参赛学生中恰有2名男生和1名女生的概率为. 5．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 【答案】(1) (2)平均数分，方差 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）先计算频率分布直方图求出得分低于60分的样本在不同组的数列， 再利用古典概型的概率公式计算这2个样本的得分在同一组的概率； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算内的样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由图可知，，解得， 则在内的样本容量为，将这2个样本分别记为， 在内的样本容量为，将这4个样本分别记为． 从中随机地选取2个，可知样本空间 ， 共有15个样本点． 用事件表示“这2个样本的得分在同一组”， 则，有7个样本点， 则，即这2个样本得分在同一组的概率为． （2）由图可知，在内的样本数与在内的样本数之比为， 所以在内的样本得分的平均数分， 方差 题型六：有放回和无放回问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·山西·开学考试）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分析出总的基本事件数和中奖的基本事件数，再结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取2次的基本事件共有种， 取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：，共2种， 取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：，共3种， 取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有：，共4种， 所以中奖的概率是. 故选：C. 例题2．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 【答案】AD 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确； 对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法， 其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确； 对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确； 对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确； 故选：AD. 例题3．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 . 【答案】 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个， 两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是， 则不大于6的概率为. 故答案为：. 例题4．（24-25高二上·吉林白城·期末）有4张面值相同的债券，其中有2张是中奖债券． (1)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (2)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是中奖债券的概率； (3)有放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率； (4)无放回地从债券中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先列举出所有基本事件，再根据条件求随机事件的概率； （2）由（1）的表格，分考虑顺序和不考虑顺序求解； （3）由（1）的表格，结合古典概型的概率公式求解； （4）分考虑顺序和不考虑顺序结合古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）将4张面值相同的债券分别记作，规定是中奖债券，则有放回地取出2张债券的所有结果列表如下： 可见所有结果数共16种，取出的2张是中奖的债券和债券的结果数有4种，故所求概率是． （2）我们知道，无放回地抽取可考虑顺序，可不考虑顺序． 如果考虑顺序的话，我们可以在（1）中的表格里去掉对角线上的，得到的就是所有结果数，为12， 而取出的2张是中奖的债券和债券的结果有2种，故所求概率是； 如果不考虑顺序的话，可以在（1）中的表格里要么只取对角线以上的几种情况，要么只取对角线以下的几种情况． 这时可以看出所有结果数有6种，当然结果数还可以用列举法得到，而取出的2张是中奖的债券和债券的结果只有1种，故所求概率是． （3）有放回地抽取，由（1）中的表格可以看出所有结果数是16，至少有1张中奖的结果数是12，所以所求概率是． （4）无放回地抽取，借助（2）的分析解答，考虑顺序的话所有结果数是12，至少有1个中奖的结果数是10，所以此时的概率是； 不考虑顺序的话所有结果数是6，至少有1个中奖的结果数是5，所以所求概率是． 例题5．（23-24高一下·四川达州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个． (1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率； (2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率； (3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率； (4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （2）利用不放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （3）利用有放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可； （4）利用不放回的抽取求出基本事件总数以及所求事件包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）记7个红球编号，3个白球分别为， 则在有放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有10种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成100种等可能的结果. 如表1所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7，7） （7,8） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,8） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （9,8） （9,9） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） （10,10） 表1 由上表可以看出，第二次摸到白球为第8、9、10三列，共有30种可能的结果，记A=“第二次摸到白球”，则. （2）在不放回情况下，第一次摸球时有10种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有9种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成90种等可能的结果，如表2所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （1，7） （1,8） （1,9） （1,10） 2 （2，1） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （2，7） （2,8） （2,9） （2,10） 3 （3，1） （3，2） （3，4） （3，5） （3，6） （3，7） （3,8） （3,9） （3,10） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，5） （4，6） （4，7） （4,8） （4,9） （4,10） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，6） （5，7） （5,8） （5,9） （5,10） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，7） （6,8） （6,9） （6,10） 7 （7，1） （7，2） （7，3） （7，4） （7，5） （7，6） （7,8） （7,9） （7,10） 8 （8，1） （8，2） （8，3） （8，4） （8，5） （8，6） （8，7） （8,9） （8,10） 9 （9，1） （9，2） （9，3） （9，4） （9，5） （9，6） （9，7） （9,8） （9,10） 10 （10，1） （10，2） （10，3） （10，4） （10，5） （10，6） （10，7） （10,8） （10,9） 表2 由上表可知，第二次摸到白球的可能结果有27种，见表中后3列. 记B=“第二次摸到白球”，则. （3）由表（1）可知，有放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有58种. 记C=“摸到球颜色相同”，则. （4）由表（2）可知，不放回的摸球摸到颜色相同的可能结果有48种. 记D=“摸到球颜色相同”，则. 精练核心考点 1．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 2．（23-24高二上·云南昆明·期中）从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】先找出基本事件的总数，然后找出满足条件的结伴事件数，利用概率公式求解即可. 【详解】从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张， 基本事件总数种情况， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： 共6种情况， 故所求概率为：， 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中2个白球、1个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ． 【答案】 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】利用列举法求出基本事件总数，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】记1个黑球为，2个白球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球， 则可能结果有，共6种情况， 其中恰好摸出一个白球一个黑球的有，共4种情况， 所以恰好摸出一个白球一个黑球的概率. 故答案为：. 4．（2024·四川绵阳·二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为 ． 【答案】 【知识点】有放回与无放回问题的概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】利用互斥事件与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽， 所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有： ①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片， 所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同. (1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，用列举法写出摸出的2球的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率； （2）用列表法表示出2次摸的情形，再由古典概型概率公式即可计算概率. 【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点， 其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示： 第2次摸球第1次摸球 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，红3） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1,白1） （白1,白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2,白1） （白2,白2） 所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同， 其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以. 题型七：根据古典概型概率求参数 典型例题 例题1．（23-24高三上·河南·期末）在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【解析】设袋中球的总个数为，根据已知条件可得出关于的等式，由此可求得的值. 【详解】设袋中球的总个数为，由题意可得，解得. 故选：C. 例题2．（23-24高一下·江苏南京·期末）在一次机器人比赛中，有供选择的型机器人和型机器人若干，从中选择一个机器人参加比赛，型机器人被选中的概率为，若型机器人比型机器人多4个，则型机器人的个数为 . 【答案】8 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】首先设型机器人个，型机器人个，由条件列方程组，即可求解. 【详解】设型机器人个，型机器人个， 则 ，解得：，. 故答案为：8 例题3．（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意列方程组求解即可； （2）确定两组里抽取的人数，利用列举法求解古典概型的概率，即可得答案. 【详解】（1）依题意可得，， 解得； （2）若采用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个， 则体重在的个数为，记为， 在的个数为，记为， 从抽出的5个女生中，任取2个共有： 共10种情况. 其中符合体重在和的女生中各有1个的情况共有： 种. 设事件表示“从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个”， 则. 从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个的概率为. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【答案】C 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案. 【详解】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后 该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法. 《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法. 从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为 根据题意可得，解得， 即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本. 故选：C 2．（23-24高二上·上海静安·期末）某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表： 高一 高二 高三 男生（人数） 149 女生（人数） 143 130 已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16 (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名? 【答案】(1)128. (2)10名. 【知识点】根据古典概型的概率求参数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案. （2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案. 【详解】（1）由题意可知. （2）高三年级人数为， 故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生， 应从高三年级抽取人数为（名）. 3．（23-24高三上·河南·阶段练习）某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表： 专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发 招生人数 就业率 （Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率； （Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值． 【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）． 【知识点】根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】（Ⅰ）根据题意求得往年每年的招生人数为，进而求得“餐饮”专业直接就业的学生人数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （Ⅱ）由表格中的数据，求得往年全校整体的就业率，根据招生人数调整后全校整体的就业率，列出方程，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，该校往年每年的招生人数为， “餐饮”专业直接就业的学生人数为， 所以所求的概率为． （Ⅱ）由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为， 招生人数调整后全校整体的就业率为， 解得． 题型八：利用概率加法公式计算古典概型 典型例题 例题1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 例题2．（多选）（23-24高一下·云南大理·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C正确，D错误； 故选：AC 例题3．（24-25高二上·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 【答案】0.9/ 【知识点】概率的基本性质 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质计算得答案. 【详解】记两次考试分别超过130分的事件为，则， 因此， 所以两次考试中至少有一次超过130分的概率为0.9. 故答案为：0.9 精练核心考点 1．（24-25高三下·湖南·阶段练习）废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】D 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据容斥原理的概率公式计算可得答案. 【详解】设甲存活为事件，乙存活为事件，则，， 则甲乙至少有一种存活的概率为 ， 则所以甲、乙都存活的概率为. 故选：D. 2．（23-24高一下·福建福州·期末）已知，如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，，且， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一·全国·课后作业）投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝ . 【答案】 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据和事件的概率计算公式即可求解. 【详解】解：因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝. 故答案为：. 题型九：互斥事件与对立事件 典型例题 例题1．（2025高一·全国·单元测试）某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件：“中靶”；事件：“击中环数大于5”；事件：“击中环数大于1且小于6”；事件：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（    ） A．与为对立事件 B．与为互斥事件 C．与为对立事件 D．与为互斥事件 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】当击中环数大于0且小于6时，与同时发生了，不是互斥事件，更不是对立事件，故选项A B错误； 与显然为互斥事件，当击中环数为时，与都不发生，故与不是对立事件，故选项C错误；选项D正确. 故选：D 例题2．（2025·四川宜宾·三模）一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 【答案】A 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生． 【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果： “两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品” 根据互斥事件可知：A正确； “至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确； “至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确； “恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确； 故选：A． 例题3．（多选）（24-25高二上·山东淄博·期中）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是(    ). A．“恰有一名女生”和“全是女生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至多有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】CD 【知识点】确定所给事件的对立关系 【分析】利用对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A选项，“恰有一名女生”和“全是女生”不能同时发生，但可以同时不发生，所以A不是对立事件； 对于B选项，“至少有一名男生”和“至少有一名女生” 可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，所以B不是对立事件； 对于C，“至多有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但必有一个发生，C是对立事件； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D是对立事件. 故选：CD. 练核心考点 1．（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】C 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】依题意列举出所有基本事件，根据互斥事件与对立事件的定义直接判断得出结论. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. 至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； 至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误； 恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确； 至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·广东广州·期末）某人在射击比赛中连续射击2次，事件“2次都不命中”的对立事件是（    ） A．至多有1次命中B．2次都命中 C．只有1次命中 D．至少有1次命中 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系 【分析】根据题意结合对立事件的概念逐项分析判断. 【详解】记事件A为“2次都不命中”，事件B为“只有1次命中”，事件C“2次都命中”， 则样本空间为， 对于选项A：至多有1次命中为，与事件A不对立，故A错误； 对于选项B：2次都命中为，与事件A不对立，故B错误； 对于选项C：只有1次命中，与事件A不对立，故C错误； 对于选项D：至少有1次命中为，与事件A对立，故D正确； 故选：D. 3．（多选）（23-24高一下·河北承德·期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为4”，事件“点数为奇数”，事件“点数小于4”，事件“点数大于3”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 【答案】ABD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系 【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解. 【详解】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，A正确. 事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，B正确. 事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误. 事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，D正确. 故选：ABD. 题型十：利用互斥（对立）事件求概率 典型例题 例题1．（23-24高一上·北京房山·期末）某产品按质量分为甲、乙、丙三个级别，从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为，则“抽到丙级品”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】根据概率之和为1求解. 【详解】“抽到甲级品”，“抽到乙级品”，“抽到丙级品”是互斥事件， 因为“抽到甲级品”的概率为，“抽到乙级品”的概率为， 则“抽到丙级品”的概率为. 故选：A 例题2．（24-25高二下·广东广州·期中）广州市第八十九中学食堂有四层，二、三层供应普通饮食，一、四层供应特色饮食．已知同学甲午餐选择普通饮食概率为0.4，如果午餐选择普通饮食，那么晚餐再选择普通饮食的概率为0.3；如果午餐选择特色饮食，那么晚餐选择普通饮食的概率为0.9．同学甲晚餐选择普通饮食的概率为（   ） A．0.75 B．0.66 C．0.76 D．0.38 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】应用对立事件概率及全概率公式求同学甲晚餐选择普通饮食的概率即可. 【详解】由题设，同学甲晚餐选择普通饮食的概率. 故选：B 例题3．（24-25高二·上海·课堂例题）盒子里装有大小与质地相同的红球与白球，从中任取两色均有的4个球．设事件A：4个球中有3个红球、1个白球，事件B：4个球中有1个红球、3个白球．已知，，求“4个球中红球与白球个数不同”的概率． 【答案】 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】理解题意，弄清所求事件与已知事件之间的关系，利用相关概率公式计算即得. 【详解】因为试验为“从中任取两色均有的4个球”，则试验结果包括: 3个红球、1个白球；2个红球，2个白球和1个红球、3个白球三种， 故事件“4个球中红球与白球个数不同”包括：3个红球、1个白球和1个红球、3个白球两种结果， 可表示为：，因事件与事件互斥， 故其概率为： 精练核心考点 1．（24-25高二下·福建漳州·期中）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（    ） A．密码被成功破译的概率为 B．恰有一人成功破译的概率为 C．密码被成功破译的概率为 D．密码破译失败的概率为 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式，逐项求解判断. 【详解】对于AC，密码被成功破译的概率为，A错误，C正确； 对于B，恰有一人成功破译的概率为，B错误； 对于D，密码破译失败的概率为，D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）口袋中装有一些白球、黑球和红球，其中它们除颜色外完全相同，从中摸出1个球，摸出白球的概率为0.4，摸出黑球的概率为0.3，则摸出红球的概率为 ． 【答案】0.3 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件，求解概率. 【详解】根据题意，摸出红球为摸出白球或黑球的对立事件， 所以其概率为. 故答案为：0.3 3．（24-25高二下·天津红桥·期中）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可求解． 【详解】两个零件中恰好有一个一等品的概率为， 故答案为：． 4．（24-25高二上·四川凉山·期末）翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率； (2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）分别求甲、乙能进入政审这一关的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）分析可知恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：甲、乙分别能进入政审这一关的概率， 所以甲、乙都能进入政审这一关的概率. （2）甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的有：甲乙或甲丙或乙丙， 所以恰好有两个人通过复检的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$