专题9.2 9.2用样本估计总体(7大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学下学期重点题型方法与技巧（人教A版2019必修第二册）

专题9-2 9.2用样本估计总体 题型一：补全频率分布表 典型例题 例题1．（24-25高一·全国·课后作业）下面是某中学某年高考各分数段的考生人数分布表，则分数在的人数为 人． 分数 频数 频率 5 90 0.075 499 0.425 ？ 8 例题2．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 例题3．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表： 分组 频数 3 6 12 频率 0.3    (1)补全表中所剩的空格； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. 精练核心考点 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示： 组号 分组 频数 频率 第1组 0.100 第2组 ①______ 第3组 20 ②______ 第4组 20 0.200 第5组 10 0.100 合计 100 1.00    (1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）. (2)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3，4，5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？ 2．（23-24高一下·广东江门·期末）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下： 83，107，91，94，80，80，100，75，102，89， 74，94，84，101，93，85，97，84，85，104    (1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差； (2)请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图． 分组 频数 频率 合计 3．（2025高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示： 分组 频数 频率 [145.5，149.5） 1 0.02 [149.5，153.5） 4 0.08 [153.5，157.5） 20 0.40 [157.5，161.5） 15 0.30 [161.5，165.5） 8 0.16 [165.5，169.5] m n 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)画出频率分布直方图； (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率． 题型二：频率分布直方图 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）某口腔医师对本月门诊龋齿病患者的年龄（单位：岁）情况进行了统计，得到如下数据： 年龄分组区间 患者人数 7 35 34 46 39 30 12 3 合计 206 绘制频率分布直方图，并分析龋齿病患者的年龄构成． 例题3．（24-25高一·全国·课堂例题）为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长，得到如表所示的数据（单位：cm）. 135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 109 124 87 131 97 102 123 104 104 128 105 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率直方图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，底部周长不小于120cm的树木约占多少. 精练核心考点 1．（2024高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示： 分组 频数 频率 [145.5，149.5） 1 0.02 [149.5，153.5） 4 0.08 [153.5，157.5） 20 0.40 [157.5，161.5） 15 0.30 [161.5，165.5） 8 0.16 [165.5，169.5] m n 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)画出频率分布直方图； (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率． 2．（24-25高一·全国·课后作业）考查某校高三年级男同学的身高，随机地抽取50名男同学，测得他们的身高（单位：cm）如下表所示： 171 170 165 169 167 167 170 161 164 167 171 163 163 169 166 168 168 165 160 168 158 160 163 167 173 168 169 170 160 164 171 169 167 159 151 168 170 174 160 168 176 157 162 166 158 164 180 179 169 169 (1)这组数据的极差为______，数据160的频数为______，数据171的频率为______； (2)填写下面的频率分布表： 身高 频数 频率 (3)画出该校高三年级男同学身高的频率分布直方图． 3．（24-25高一·全国·课后作业）随机抽取的20名学生一周内的跑步累计千米数，在各区间内的频数记录如下表： 区间 频数 1 2 3 5 4 3 2 (1)一周内的跑步累计千米数大于25.5的学生占据了学生总人数的比例大致是______； (2)如果全校有1000名学生，那么有大约______名同学一周内的跑步累计千米数不足20.5； (3)画出学生一周内的跑步累计千米数的频率分布直方图和频率分布折线图． 题型三：总体百分位数的估计 典型例题 例题1．（广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二）数学试题）一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例题2．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）样本数据6，8，11，23，27，29，43，52，69，81的第40百分位数为（   ） A．23 B．25 C．27 D．29 例题3．（24-25高二下·上海·期中）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为 . 例题4．（2025·辽宁·模拟预测）某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为 . 精练核心考点 1．（2025·江西宜春·二模）已知一组数据，，，，的分位数是，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）为了弘扬体育精神，创新学校组织第一届体育节，在一项教师比赛中，方哥进行了8组投篮，得分分别为10，8，6，8，7，9，6，8，那么这组数据的80百分位数为（    ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 3．（2025·重庆·二模）从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（   ） A．88 B．90 C．123 D．126 4．（多选）（2025·江西南昌·二模）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史､关键技术及其在科学研究､社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计准确率的分位数为 C．估计准确率的平均数为 D．估计准确率的中位数为 题型四：平均数，众数，中位数的计算 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖南永州·开学考试）为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖． 成绩\分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数 例题2．（23-24高一下·重庆长寿·期末）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 例题3．（多选）（湖南省多校联考2024-2025学年高三下学期4月大联考数学试题）春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（    ） A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为145 D．第85百分位数为170 例题4．（24-25高二下·上海·开学考试）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是 . 例题5．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若他们的平均数相等，则图中的值是 ．    精练核心考点 1．（24-25高三下·山西·阶段练习）样本数据25，17，26，31，29，18，28，40的中位数为（    ） A．31 B．29 C．30 D．27 2．（2025·辽宁·二模）某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃金昌·阶段练习）某学校有男生850人，女生650人，为调查学生在食堂的平均花费，将男女按比例进行同比例分层抽样.通过同比例分层抽样得到样本中男生一天花费在20元左右，女生在15元左右，则该校学生一个月（按30天）在食堂的平均花费约为（    ） A．600元 B．450元 C．535元 D．480元 4．（23-24高三上·河北秦皇岛·开学考试）五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是 . 5．（2024高一下·全国·专题练习）有一组正数共5个，其平均值为，这5个正数再添加一个数28，其平均值为，则 . 题型五：平均数，众数，中位数的估计 典型例题 例题1．（23-24高三上·内蒙古包头）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（    ） A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数 C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数 例题3．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 精练核心考点 1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法正确的是（    ） A．众数约为2.5 B．中位数约为3.83 C．平均数为3.95 D．第80百分位数约为5.2 2．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 (1)分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 3．（23-24高二下·云南昆明）某公司员工年收入的频率分布直方图如下： （1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明． 题型六：计算方差，标准差 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论错误的是（   ） A．75%分位数为1 B．极差为3 C．平均数为1 D．方差为1 例题2．（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.为了解学生身高情况，采用分层抽样获取样本，计算得男生样本均值为173，方差为17，女生样本均值为163，方差为30.则估计总体的均值和方差分别为（   ） A．170，47.2 B．169，46.2 C．170，46.2 D．169，47.2 例题3．（多选）（24-25高一上·江西赣州·开学考试）某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（    ） A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是 例题4．（2025·上海浦东新·二模）李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 精练核心考点 1．（多选）（2025·广东清远·二模）某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（   ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 2．（多选）（2025·山东·模拟预测）现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（   ） A．这组数据的平均数为49 B．这组数据的标准差为8 C．这组数据的第20百分位数为42 D．这组数据的极差为25 3．（多选）（2025·江苏·一模）某中学举行数学史知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：70，85，89，75，96，89，则这组数据的（    ） A．极差为26 B．中位数大于平均数 C．方差为472 D．下四分位数为75 4．（2026高三·全国·专题练习）已知一组数据，，，，的平均数为，则的值是 ，该组数据的方差是 ． 题型七：平均数，方差的性质 典型例题 例题1．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 例题2．（多选）（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（    ） A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是 C．新数据的60%分位数是 D．新数据的极差是 例题3．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）若一组数据的中位数为9，方差为36，则另一组数据的中位数为 ，方差为 ． 例题4．（2025·广东·一模）若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为 . 精练核心考点 1．（2025·陕西安康·三模）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 4．（24-25高二上·上海·期末）若一组数据的方差为3，则的方差为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9-2 9.2用样本估计总体 题型一：补全频率分布表 典型例题 例题1．（24-25高一·全国·课后作业）下面是某中学某年高考各分数段的考生人数分布表，则分数在的人数为 人． 分数 频数 频率 5 90 0.075 499 0.425 ？ 8 【答案】88 【知识点】补全频率分布表 【分析】先求得总人数，然后求得分数在的人数，进而求得分数在的人数. 【详解】总人数为， 所以分数在的人数为人， 所以分数在的人数为人. 故答案为： 例题2．（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 【答案】(1)①应填，②应填； (2)直方图见解析，人数为175； (3)15 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、补全频率分布表、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）结合抽取的总人数，结合表格中数据，计算出结果； （2）计算出区间的频率/组距，绘制直方图，并利用年龄在岁的频率得到答案； （3）计算出三个区间的比例，从而计算出从、中分别抽取的人数，得到答案. 【详解】（1）①应填，②应填； （2）区间的频率为0.20，故频率/组距为， 故补全频率分布直方图，如下： 这500名志愿者中年龄在岁的人数为； （3）、、的人数比例为， 从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人， 故. 例题3．（23-24高一下·辽宁阜新·阶段练习）有一个容量为60的样本(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表： 分组 频数 3 6 12 频率 0.3    (1)补全表中所剩的空格； (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】补全频率分布表、绘制频率分布折线图、绘制频率分布直方图 【分析】（1）分别计算各分数段的频率与频数，再补表格即可； （2）分别计算各分数段的频率除以组距的值，然后画出频率分布直方图和频率分布折线图即可. 【详解】（1）根据题意，的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为， 频数为；的频数为. 填表如下. 分组 频数 3 6 12 21 18 频率 0.05 0.1 0.2 0.35 0.3 （2）计算的，的， 的，的， 的. 画出的频率分布直方图和频率分布折线图如图所示.    精练核心考点 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）中央电视台播出《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示： 组号 分组 频数 频率 第1组 0.100 第2组 ①______ 第3组 20 ②______ 第4组 20 0.200 第5组 10 0.100 合计 100 1.00    (1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）. (2)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，则第3，4，5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？ 【答案】(1)①填；②填，进而完成频率分布直方图 (2)第组分别抽取人，人，人 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图、补全频率分布表 【分析】（1）先补全频率分布表，然后完成频率分布直方图. （2）根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】（1）第组的频数为，所以①填，对应频率； ②填，由此补全频率分布表如下： 组号 分组 频数 频率 第1组 0.100 第2组 第3组 20 第4组 20 0.200 第5组 10 0.100 合计 100 1.00 由此补全频率分布直方图如下：    （2）第3，4，5组的频率之比为， 所以第组分别抽取人，人，人. 2．（23-24高一下·广东江门·期末）一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下： 83，107，91，94，80，80，100，75，102，89， 74，94，84，101，93，85，97，84，85，104    (1)请计算该水果店过去20天苹果日销售量的中位数和极差； (2)请完成苹果日销售量的频率分布表，并画出频率分布直方图． 分组 频数 频率 合计 【答案】(1)中位数为90；极差为33. (2)答案见解析 【知识点】绘制频率分布直方图、计算几个数的中位数、补全频率分布表、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）由中位数和极差的计算方法计算即可； （2）由绘制频率分布表和频率分布直方图的步骤进行绘制即可. 【详解】（1）将样本数据由小到大排序，结果如下： 74，75，80，80，83，84，84，85，85，89，91，93，94，94，97，100，101，102，104，107. 由样本容量为20可知，数据由小到大排序的中间项应为第10个、第11个数据，分别为89，91，故水果店过去30天苹果日销售量的中位数为. 由上可知，样本数据的最小值为74，最大值为107，故极差为. （2）由（1）中对数据排序可得频率分布表如下： 分组 频数 频率 2 0.1 13 0.65 5 0.25 合计 20 1 由分组可知组距为20，将各组的频率除以组距可得数据如下: 分组 故频率分布直方图如图所示：    3．（2025高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示： 分组 频数 频率 [145.5，149.5） 1 0.02 [149.5，153.5） 4 0.08 [153.5，157.5） 20 0.40 [157.5，161.5） 15 0.30 [161.5，165.5） 8 0.16 [165.5，169.5] m n 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)画出频率分布直方图； (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率． 【答案】(1)M=50，m=2，N=1.00，n=0.04； (2)答案见解析； (3)在范围内的人数最多，0.20. 【知识点】补全频率分布表、频率分布直方图的实际应用、绘制频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）方法一，利用频率总和为1求出，再利用样本容量与各组频率、频数的关系求出作答. 方法二，利用1除以组距求出，进而得，由频率总和为1得，再利用频率的意义求出作答. （2）根据已知数表及（1）画出频率分布直方图作答. （3）利用频率分布直方图求出最大频率的分组区间并求出女生的身高在161.5cm以上的频率作答. 【详解】（1）方法一　N=1.00，，， 解得m=2，. 方法二　，，N=1.00，. （2）作出平面直角坐标系，组距为4，纵轴表示，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．    （3）由频率分布直方图知，样本中身高在范围内的人数最多， 且身高在161.5cm以上的频率为， 由此可估计全体女生中身高在范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率约为0.20. 题型二：频率分布直方图 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课堂例题）某学校为了了解和掌握学生的期末数学成绩的情况，随机地取出了100名考生的数学成绩（单位：分），数据如下： 135    98    102    110    99    121    110    96 100    103   125    97     117   113    110    92 102    109   104    112    105   124    87     131 97     102   123    104    104   128    109    123 111    103   105    92     114   108    104    102 129    126   97     100    115   111    106    117 104    109   111    89     110   121    80     120 121    104   108    118    129   99     90     99 121    123   107    111    91    100    99     101 116    97    102    108    101   95     107    101 102    108   117    99     118   106    119    97 126    108   123    119    98    121    101    113 102    103   104   108 (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】绘制频率分布直方图、绘制频率分布表 【分析】（1）根据题目所给数据列出频率分布表. （2）根据频率分布表画出频率分布直方图. 【详解】（1）在这100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为． 取组距为5，则组数为． 频率分布表如下： 分组 频数 频率 [80，85） 1 0.01 [85，90） 2 0.02 [90，95） 4 0.04 [95，100） 14 0.14 [100，105） 24 0.24 [105，110） 15 0.15 [110，115） 12 0.12 [115，120） 9 0.09 [120，125） 11 0.11 [125，130） 6 0.06 [130，135] 2 0.02 合计 100 1.00 （2）根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图，如图所示． 例题2．（23-24高二·上海·课堂例题）某口腔医师对本月门诊龋齿病患者的年龄（单位：岁）情况进行了统计，得到如下数据： 年龄分组区间 患者人数 7 35 34 46 39 30 12 3 合计 206 绘制频率分布直方图，并分析龋齿病患者的年龄构成． 【答案】频率分布直方图见解析；年龄在的人数患龋齿病居多，而区间的人数患者少. 【知识点】绘制频率分布直方图 【分析】求出各区间的频率与组距的比，进而画出频率分布直方图，并分析数据可得龋齿病患者的年龄构成. 【详解】 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 内的 ; 频率分布直方图如下: 年龄在的人数患龋齿病居多，而区间的人数患者少. 例题3．（24-25高一·全国·课堂例题）为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中100株树木的底部周长，得到如表所示的数据（单位：cm）. 135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 125 97 117 113 110 92 102 109 104 112 109 124 87 131 97 102 123 104 104 128 105 123 111 103 105 92 114 108 104 102 129 126 97 100 115 111 106 117 104 109 111 89 110 121 80 120 121 104 108 118 129 99 90 99 121 123 107 111 91 100 99 101 116 97 102 108 101 95 107 101 102 108 117 99 118 106 119 97 126 108 123 119 98 121 101 113 102 103 104 108 (1)编制频率分布表； (2)绘制频率直方图； (3)估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占多少，底部周长不小于120cm的树木约占多少. 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)频率直方图见解析 (3)， 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据题目所给数据编制频率分布表. （2）由（1）绘制频率直方图. （3）根据频率分布表进行估计. 【详解】（1）从表中可以看出，这组数据的最大值为135，最小值为80，故全距为55， 可将其分为11组，组距为5. 从第1组开始，将各组的频数､频率和填入表中： 分组 频数 频率 1 0.01 0.002 2 0.02 0.004 4 0.04 0.008 14 0.14 0.028 24 0.24 0.048 15 0.15 0.030 12 0.12 0.024 9 0.09 0.018 11 0.11 0.022 6 0.06 0.012 2 0.02 0.004 合计 100 1 0.2 （2）这组数据的频率直方图如图所示.    （3）从频率分布表可以看出，该样本中小于100的频率为， 不小于120的频率为， 故可估计该片经济林中底部周长小于100cm的树木约占， 底部周长不小于120cm的树木约占. 精练核心考点 1．（2024高一·全国·专题练习）为了了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级部分女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出频率分布表如下所示： 分组 频数 频率 [145.5，149.5） 1 0.02 [149.5，153.5） 4 0.08 [153.5，157.5） 20 0.40 [157.5，161.5） 15 0.30 [161.5，165.5） 8 0.16 [165.5，169.5] m n 合计 M N (1)求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？ (2)画出频率分布直方图； (3)全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率． 【答案】(1)M=50，m=2，N=1.00，n=0.04； (2)答案见解析； (3)在范围内的人数最多，0.20. 【知识点】补全频率分布表、频率分布直方图的实际应用、绘制频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）方法一，利用频率总和为1求出，再利用样本容量与各组频率、频数的关系求出作答. 方法二，利用1除以组距求出，进而得，由频率总和为1得，再利用频率的意义求出作答. （2）根据已知数表及（1）画出频率分布直方图作答. （3）利用频率分布直方图求出最大频率的分组区间并求出女生的身高在161.5cm以上的频率作答. 【详解】（1）方法一　N=1.00，，， 解得m=2，. 方法二　，，N=1.00，. （2）作出平面直角坐标系，组距为4，纵轴表示，横轴表示身高，画出频率分布直方图如图所示．    （3）由频率分布直方图知，样本中身高在范围内的人数最多， 且身高在161.5cm以上的频率为， 由此可估计全体女生中身高在范围内的人数最多，九年级学生中女生的身高在161.5cm以上的频率约为0.20. 2．（24-25高一·全国·课后作业）考查某校高三年级男同学的身高，随机地抽取50名男同学，测得他们的身高（单位：cm）如下表所示： 171 170 165 169 167 167 170 161 164 167 171 163 163 169 166 168 168 165 160 168 158 160 163 167 173 168 169 170 160 164 171 169 167 159 151 168 170 174 160 168 176 157 162 166 158 164 180 179 169 169 (1)这组数据的极差为______，数据160的频数为______，数据171的频率为______； (2)填写下面的频率分布表： 身高 频数 频率 (3)画出该校高三年级男同学身高的频率分布直方图． 【答案】(1)29，4，0.06 (2)填表见解析 (3)直方图见解析 【知识点】绘制频率分布表、绘制频率分布直方图、确定极差、组数与组距 【分析】(1)最高身高减去最低身高即为极差，统计身高为160的人数即为频数，用身高为171的人数除以50即得频率； (2)统计出50名同学中各段的人数即为频数，再求频率即可； (3)根据(2)中的数据绘制频率分布直方图即可. 【详解】（1）解：因为最高身高为180，最低身高为151，所以极差为：180-151=29； 因为身高为160的人数为4，所以频数为4； 因为身高为171的人数为3,所以频率为； （2）解：填表如下： 身高 频数 频率 1 0.02 0 0 4 0.08 6 0.12 8 0.16 13 0.26 13 0.26 2 0.04 1 0.02 2 0.04 （3）解：由频率分布表，可得频率分布直方图，如下： 3．（24-25高一·全国·课后作业）随机抽取的20名学生一周内的跑步累计千米数，在各区间内的频数记录如下表： 区间 频数 1 2 3 5 4 3 2 (1)一周内的跑步累计千米数大于25.5的学生占据了学生总人数的比例大致是______； (2)如果全校有1000名学生，那么有大约______名同学一周内的跑步累计千米数不足20.5； (3)画出学生一周内的跑步累计千米数的频率分布直方图和频率分布折线图． 【答案】(1) (2)300 (3)画图见解析 【知识点】根据频率分布表解决实际问题、绘制频率分布直方图、绘制频率分布折线图 【分析】（1）根据频率公式计算可得； （2）首先求出样本中一周内的跑步累计千米数不足的频率，即可估计人数； （3）根据频数分布表得到频率，即可得到频率分布直方图与折线图； 【详解】（1）解：由频数分布表可得一周内的跑步累计千米数大于的学生占据了学生总人数的比例大致是； （2）解：样本中一周内的跑步累计千米数不足的有，占样本的， 所以估计全校名学生中大约有人一周内的跑步累计千米数不足； （3）解：依题意可得内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为， 内的频率为； 所以可画图如下： 【点睛】 题型三：总体百分位数的估计 典型例题 例题1．（广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二）数学试题）一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先判断分位数的位置，然后根据题意列方程求解即可. 【详解】因为， 所以该组数据的分位数是第4、第5位数的平均数， 所以，解得， 故选：C. 例题2．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）样本数据6，8，11，23，27，29，43，52，69，81的第40百分位数为（   ） A．23 B．25 C．27 D．29 【答案】B 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数可得答案. 【详解】样本数据从小到大排序，共10个数，因为所以第40百分位数为第4个数据和第个数据的平均数，即第40百分位数为. 故选：B 例题3．（24-25高二下·上海·期中）如图是某小组成员的年龄分布茎叶图（十位数字为茎、个位数字为叶），则该小组成员年龄的第30百分位数为 . 【答案】33 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据茎叶图中数据，利用百分位数的定义计算即可. 【详解】因为，所以该组数据的第30百分位数为33. 故答案为：33 例题4．（2025·辽宁·模拟预测）某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为 . 【答案】49.375 【知识点】总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】根据给定的频率分布直方图，利用上四分位数的定义计算得解. 【详解】上四分位数即为分位数，网箱产量在的频率分别为， 因此分位数，由，解得49.375， 所以所有网箱产量的上四分位数为49.375. 故答案为：49.375 精练核心考点 1．（2025·江西宜春·二模）已知一组数据，，，，的分位数是，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的定义将条件转化为五个数中第二大的数是，再求解. 【详解】因为， 所以数据，，，，的分位数为五个数中第二大的数， 由已知数据，，，，中第二大的数是，所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·湖南邵阳·期中）为了弘扬体育精神，创新学校组织第一届体育节，在一项教师比赛中，方哥进行了8组投篮，得分分别为10，8，6，8，7，9，6，8，那么这组数据的80百分位数为（    ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 【答案】C 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这组数据从小到大的顺序排列为， 因为， 所以这组数的80百分位数为， 故选：C 3．（2025·重庆·二模）从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（   ） A．88 B．90 C．123 D．126 【答案】A 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】由百分位数的概念即可求解. 【详解】由题意， 所以下四分位数为， 故选：A 4．（多选）（2025·江西南昌·二模）人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.很多学校已经推出基于的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史､关键技术及其在科学研究､社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用解答了50份高考模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计准确率的分位数为 C．估计准确率的平均数为 D．估计准确率的中位数为 【答案】ABD 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积和为，可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图可得，解得，A对； 对于B选项，前两个矩形的面积之和为， 所以估计准确率的分位数为，B对； 对于C选项，估计准确率的平均数为，C错； 对于D选项，设中位数为，前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为，D对. 故选：ABD. 题型四：平均数，众数，中位数的计算 典型例题 例题1．（24-25高一上·湖南永州·开学考试）为了迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中两个数据被遮盖． 成绩\分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 ■ ■ 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（    ） A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的众数 【分析】根据题意，结合数据的中位数和众数的概念及求法，求得数据的中位数和众数为定值，即可求解. 【详解】由表格数据可知，成绩为91分、92人的人数为人， 成绩为100分的出现的次数最多，所以成绩的众数为100， 成绩从小到大排列后处在第25/26为的两个数都是98分，所以数据的中位数为98， 所以中位数和众数与被遮盖的数据无关. 故选：C. 例题2．（23-24高一下·重庆长寿·期末）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 【答案】C 【知识点】由茎叶图计算平均数、由茎叶图计算中位数 【分析】直接根据茎叶图知识求出中位数和众数即可． 【详解】根据题意，有30个数据，所以中位数为排序后第15和16个数的平均值：     ，众数为出现最多的数，为45. 故选：C 例题3．（多选）（湖南省多校联考2024-2025学年高三下学期4月大联考数学试题）春节期间，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，已知某影院连续10天的观影人数（单位：百人）依次为90，120，80，160，160，180，200，160，120，130，则这组数据的（    ） A．众数为120 B．平均数为140 C．中位数为145 D．第85百分位数为170 【答案】BC 【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计、计算几个数的众数、计算几个数的中位数 【分析】先将10天的观影人数从小到大排列，再根据数据计算得众数、平均数、中位数、百分位数，逐项判断即可. 【详解】观影人数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200， 则众数为160，故A不正确； 平均数为，故B正确； 中位数为，故C正确； 又，故第85百分位数为180，故不正确. 故选：BC. 例题4．（24-25高二下·上海·开学考试）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是 . 【答案】 【知识点】计算几个数的平均数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人， 用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本， 则高一、高二及高三年级分别抽人，人，人， 抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、， 所以该校学生的平均身高为. 故答案为：. 例题5．（23-24高二上·上海长宁·期末）已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若他们的平均数相等，则图中的值是 ．    【答案】 【知识点】由茎叶图计算平均数、根据平均数求参数 【分析】根据平均数相等得到关于的方程，则结果可求. 【详解】因为, 解得， 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高三下·山西·阶段练习）样本数据25，17，26，31，29，18，28，40的中位数为（    ） A．31 B．29 C．30 D．27 【答案】D 【知识点】计算几个数的中位数 【分析】首先将样本排序，再根据中位数定义，即可求解. 【详解】样本数据按照从小到大的顺序排列为17，18，25，26，28，29，31，40，中间的两个数为26，28，故中位数为． 故选：D 2．（2025·辽宁·二模）某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算几个数的中位数、根据平均数求参数 【分析】求出平均数，对的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】这组数据的平均数为， 除外，将剩余的个数据由小到大排列依次为，，，，，， 若，则这组数据的中位数为， 若，同理可知，这组数据的中位数也为， 因为这组数据的中位数和平均数相等，故，解得. 故选：B. . 3．（24-25高一下·甘肃金昌·阶段练习）某学校有男生850人，女生650人，为调查学生在食堂的平均花费，将男女按比例进行同比例分层抽样.通过同比例分层抽样得到样本中男生一天花费在20元左右，女生在15元左右，则该校学生一个月（按30天）在食堂的平均花费约为（    ） A．600元 B．450元 C．535元 D．480元 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】按分层比确定学生一天的平均花费，进而可求解. 【详解】因为同比例分层抽样是按比例分配， 所以根据公式得该校学生一天在食堂的平均花费为（元）. 所以该校学生一个月在食堂的平均花费约为（元）. 故选：C 4．（23-24高三上·河北秦皇岛·开学考试）五名学生每人投篮15次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据，若这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7，则他们投中次数的总和最大是 . 【答案】29 【知识点】计算几个数的中位数、根据众数计算参数 【分析】假设五个数据按照由小到大排列为，根据中位数和众数的定义可求出的值，再由两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，从而可求出这五个数和的范围，进而可得答案. 【详解】假设五个数据按照由小到大排列为， 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 所以，所以最大的三个数的和为， 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，最大为4和5， 所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 故答案为：29 5．（2024高一下·全国·专题练习）有一组正数共5个，其平均值为，这5个正数再添加一个数28，其平均值为，则 . 【答案】 【知识点】根据平均数求参数 【分析】根据原5个正数的和加上等于六个正数的和来列方程求解. 【详解】设这个正数分别为，所以， 若增加一个数，则平均数为， 因此，即， 化简得：， 解得：或（舍）. 故答案为：. 题型五：平均数，众数，中位数的估计 典型例题 例题1．（23-24高三上·内蒙古包头）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】众数、平均数、中位数的比较、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据众数,平均数,中位数的概念和公式,带入数字,求出后比较大小即可. 【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即, 由表可知,组距为10, 所以平均数为:, 故,记中位数为, 则有:, 解得:,即, 所以. 故选：B. 例题2．（多选）（23-24高三下·河北石家庄·阶段练习）病毒研究所检测甲乙两组实验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（    ） A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数 B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数 C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数 D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数 【答案】BCD 【知识点】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、频率分布直方图的实际应用、众数、平均数、中位数的比较 【分析】根据直方图的形态可得甲组的平均数大于中位数，且都小于7，乙组的平均数小于中位数，且都大于7，进而可得. 【详解】根据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7， 同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7， 故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误； 甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B正确； 甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确； 乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确. 故选：BCD. 例题3．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）从某校随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图： 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计 分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 (1)求频率分布直方图中的、的值； (2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于小时的频率； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数. 【答案】(1)， (2) (3)（小时） 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布表解决实际问题 【分析】（1）利用频数、频率和总容量的关系可求得、的值； （2）利用表格中的数据可求得结果； （3）将每组的中点值乘以对应组的频率，将所得结果相加可得平均数. 【详解】（1）由频率分布直方图和表格中的数据可得，解得，，解得. （2）由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生，这名学生课外阅读时间少于小时的频率为. （3）由题意，样本中的名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为 （小时）. 精练核心考点 1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了统计，得到如下频率分布表： 分组 频率 0.25 0.30 0.20 0.25 则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法正确的是（    ） A．众数约为2.5 B．中位数约为3.83 C．平均数为3.95 D．第80百分位数约为5.2 【答案】BCD 【知识点】根据频率分布表解决实际问题、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】根据众数、中位数、平均数和百分位数定义计算即可判断各选项. 【详解】对于A，根据频率分布表可得，高一年级学生每周体育锻炼时长的众数约为，故A错误； 对于B，设高一年级学生每周体育锻炼时长的中位数为x，则，解得，故B正确； 对于C，高一年级学生每周体育锻炼时长的平均数为，故C正确； 对于D，因为， 所以高一年级学生每周体育锻炼时长的第80百分位数约为，故D正确． 故选：BCD 2．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 (1)分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； (2)估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 【答案】(1)，，，作图见解析 (2)众数为95分；平均数为83分；第75百分位数是93分． 【知识点】补全频率分布直方图、总体百分位数的估计、补全频率分布表、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合频数、频率的关系即可求得，的值，并作图； （2）结合众数、中位数和第p百分位数的含义即可求得它们的值. 【详解】（1）由，解得， ，． 而每组的频率/组距分别为0.005、0.010、0.020、0.030、0.035， 所以频率分布直方图如下所示： （2）由题意，众数为频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点， 即众数为95分； 平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和， 即， 所以估计平均值为83分； 前四组频率和为， 所以第75百分位数在内，设第百分位数为， 则，解得，所以估计第75百分位数是93分． 3．（23-24高二下·云南昆明）某公司员工年收入的频率分布直方图如下： （1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况？请根据（1）中的计算结果说明． 【答案】（1）众数为10万元，中位数约为10.5万元，平均数约为13.15万元；（2）不能. 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、众数、平均数、中位数的比较、由频率分布直方图估计中位数、根据频率分布直方图计算众数 【分析】(1)利用频率分布直方图计算众数、中位数、平均数的方法计算即可作答； (2)比较平均数与众数、中位数的大小，利用比较相近的数据更能客观反映该公司员工年收入的实际情况而作答. 【详解】（1）由频率分布直方图可知该公司员工年收入的众数为10万元 由于，所以员工年收入的中位数在[7.5，12.5)内，设中位数为a，由，解得a=10.5， 所以估计该公司员工年收入的中位数约为10.5万元． 由题意知，员工年收入的平均数为： =13.15， 所以估计该公司员工年收入的平均数约为13.15万元， （2）招聘人员的描述不能客观反映该公司员工年收入的实际情况， 由（1）知，有一半员工年收入不超过10.5万元，多数员工年收入是10万元，少数员工年收入很高，在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大的多， 所以用中位数或众数更能客观反映该公司员工年收入的实际情况. 题型六：计算方差，标准差 典型例题 例题1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0，1，2，3标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论错误的是（   ） A．75%分位数为1 B．极差为3 C．平均数为1 D．方差为1 【答案】A 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解. 【详解】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3， 对于A，因为，所以这组数据的百分位数为，故A错误； 对于B，这组数据的极差为，故B正确； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，方差为，故D正确. 故选：A. 例题2．（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.为了解学生身高情况，采用分层抽样获取样本，计算得男生样本均值为173，方差为17，女生样本均值为163，方差为30.则估计总体的均值和方差分别为（   ） A．170，47.2 B．169，46.2 C．170，46.2 D．169，47.2 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据分层抽样的均值和方差公式计算即可. 【详解】由题意可知总样本的均值为， 总样本的方差为， 故选：B 例题3．（多选）（24-25高一上·江西赣州·开学考试）某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（    ） A．中位数是支 B．平均数是支 C．众数是支 D．方差是 【答案】ACD 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据中位数定义求中位数判断A，根据平均数定义求平均数判断B，根据众数定义确定众数判断C，根据方差定义求方差判断D. 【详解】将20名学生本学期的用笔数量从小到大排列可得 ， 排在第位的数为，排在第位的数为， 所以这名学生本学期的用笔数量的中位数为，A正确； 这名学生本学期的用笔数量的平均数为，B错误， 这名学生本学期的用笔数量的众数为，C正确； 这名学生本学期的用笔数量的方差为 ，D正确； 故选：ACD. 例题4．（2025·上海浦东新·二模）李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：5  6  6  7  7  7  8  9  9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 ． 【答案】 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】现根据百分位数得出该生的成绩，再利用方差公式计算. 【详解】，则该学生的成绩为从小到大排列的第个， 故该生的成绩为， 则这10名学生的成绩的平均数为， 方差为 故答案为： 精练核心考点 1．（多选）（2025·广东清远·二模）某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（   ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 【答案】ABD 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的众数、计算几个数的平均数 【分析】根据题意举例判断即可. 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，故平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故D正确． 故选：ABD 2．（多选）（2025·山东·模拟预测）现有一组样本量为10的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（   ） A．这组数据的平均数为49 B．这组数据的标准差为8 C．这组数据的第20百分位数为42 D．这组数据的极差为25 【答案】BC 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】利用平均数公式判断A选项；利用方差公式计算方差判断B选项；利用百分位数的计算规则计算可判断C选项；最大值减最小值为极差可判断D. 【详解】平均数为，故A错误； 方差为，则标准差，故B正确； ，则第20百分位数为，故C正确； 极差为，故D错误. 故选：BC 3．（多选）（2025·江苏·一模）某中学举行数学史知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：70，85，89，75，96，89，则这组数据的（    ） A．极差为26 B．中位数大于平均数 C．方差为472 D．下四分位数为75 【答案】ABD 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】根据题意，由中位数，平均数以及方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】将成绩从小到大排序为：， 极差为，故A正确； 中位数为， 平均数为，故B正确； 方差为 ，故C错误； 下四分位数位置，即下四分位数是第二个数，即，故D正确； 故选：ABD 4．（2026高三·全国·专题练习）已知一组数据，，，，的平均数为，则的值是 ，该组数据的方差是 ． 【答案】 / 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用平均数公式计算得，再利用方差公式计算即可. 【详解】由已知得，，得， 则这5个数据为， 则方差. 故答案为：；. 题型七：平均数，方差的性质 典型例题 例题1．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数、各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据平均数与方差的基本公式以及性质求解即可. 【详解】由题意，，. 所以，，，的平均数 ， 方差. 故选：B. 例题2．（多选）（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（    ） A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是 C．新数据的60%分位数是 D．新数据的极差是 【答案】AC 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】由平均数、方差、极差、百分位数的概念逐个判断即可； 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 不妨设，所以，又，所以数据，，，，，的60%分位数为， 新数据，，，，，的60%分位数为，故C正确； 不妨设，所以，所以数据，，，，，的极差， 新数据，，，，，的极差为，故D错误. 故选：AC. 例题3．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）若一组数据的中位数为9，方差为36，则另一组数据的中位数为 ，方差为 ． 【答案】 2 4 【知识点】计算几个数的中位数、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据中位数和方差的性质求值. 【详解】因为数据的中位数为9，方差为36， 所以数据的中位数为3，方差为， 所以数据的中位数为，方差为4． 故答案为：2；4. 例题4．（2025·广东·一模）若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为 . 【答案】20 【知识点】各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响、计算几个数的平均数 【分析】根据给定条件，利用平均数的定义、方差的性质列式计算得解. 【详解】由样本数据的平均数为4，得的平均数为4， 由的平均数为22，得， 则的平均数为， 因此的方差为，所以的方差为. 故答案为：20 精练核心考点 1．（2025·陕西安康·三模）有一组样本数据，其平均数为，方差为，若样本数据，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据样本平均数和方差的性质，即可求解. 【详解】根据样本数据平均数公式可知，，方差. 故选：C 2．（多选）（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】计算几个数的平均数、各数据同时乘除同一数对方差的影响、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 3．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 【答案】 13 64 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响、平均数的和差倍分性质 【分析】已知，设的平均数为，方差为，的平均数为，方差为，则即可求解. 【详解】设，设的平均数为，方差为， 的平均数为，方差为，则， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期末）若一组数据的方差为3，则的方差为 . 【答案】 【知识点】各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据方差的性质可得结果. 【详解】∵的方差为3， ∴的方差为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$