专题11 解分式方程及分式方程应用重难点汇编（七大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题11 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型1 解分式方程】 【题型2 分式方程有增根问题】 【题型3 分式方程应用-工程问题】 【题型4 分式方程应用-行程问题】 【题型5 分式方程应用-销售问题】 【题型6 分式方程应用-方案问题】 【题型7 分式方程应用-其他问题】 【题型1 解分式方程】 1.解方程 (1)； (2)． 2.解方程： (1) (2) 3.解方程：． 4.解方程：． 5.解下列方程： (1)： (2)． 6．解方程： (1)； (2)． 7．解方程： (1)； (2) 8．解方程：． 【题型2 分式方程有增根问题】 9．如果关于的分式方程有增根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 10．若分式方程有增根，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D． 11．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 12．若分式方程有增根，则 ． 13．已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 14．已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【题型3 分式方程应用-工程问题】 15．为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． (1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ (2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 16．某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 17．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班控700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同，已知甲班平均每小时比乙班多挖50千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆? 18．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 19．小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 【题型4 分式方程应用-行程问题】 20．本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 21．某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从地行驶至地，全程用油驱动需元油费，全程用电驱动需元电费，已知每行驶千米，用油比用电的费用多元．求、两地的距离． 22．人间最美三月三．某校组织开展三月三踏青实践活动．踏青地点距离学校，甲、乙两名同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的，结果甲比乙晚到，分别求甲、乙两名同学骑自行车的速度． 【题型5 分式方程应用-销售问题】 23．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 24．某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 25．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 26．2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 27．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【题型6 分式方程应用-方案问题】 28．“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． (1)求出鸭头和兔头的单价． (2)某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 29．项目学习方案： 项目情景 某中学开展种植箱种植活动，初二级各班要购买种子、花苗、菜苗等进行种植． 素材一 初二（1）班采购小组在市场上了解到A种花苗比B种花苗每株便宜2元，用80元购买的B种花苗数量是用32元购买的A种花苗数量的2倍． 任务一 小组成员郑同学设用32元购买的A种花苗数量为x，由题意得方程：①；小组成员乙设②，由题意得方程：． 素材二 种植时，小组成员丙发现自己单位时间内可完成m株花苗或完成株菜苗种植任务，并且完成35株花苗所用时间与完成10株菜苗的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填 ，横线②处应填 ． (2)完成任务二（用方程求解作答）． 30．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人． (1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人； (2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问： ①A、B两种游船每艘分别有多少个座位； ②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 31．某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务． (1)求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？ (2)公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？ 【题型7 分式方程应用-其他问题】 32．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 33．某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额． 34．某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 35．为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． (1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价； (2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 36．1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 37．2024年3月27日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车                                 新能源车 油箱容积：50升                      电池电量：200千瓦时 油价：8元升                        电价：0.6元千瓦时 续航里程：千米                     续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.4元，请根据以上信息回答： (1)分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7200元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用） 38．某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型1 解分式方程】 【题型2 分式方程有增根问题】 【题型3 分式方程应用-工程问题】 【题型4 分式方程应用-行程问题】 【题型5 分式方程应用-销售问题】 【题型6 分式方程应用-方案问题】 【题型7 分式方程应用-其他问题】 【题型1 解分式方程】 1.解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得 ， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 2.解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 3.解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，解题的关键是熟练掌握分式方程解题步骤，要注意验根．先去分母，化为整式方程，解出整式方程，然后代入最简公分母检验是否为零，即可． 【详解】解：去分母得：， 化简得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 4.解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 5.解下列方程： (1)： (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤和解法是解题的关键． （1）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可； （2）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （2） 去分母得，， 整理得：， 解得： 检验：当时，， ∴． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解答本题的关键． （1）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，解得的值，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的根； （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 7．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，注意验根，即可作答． （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，系数化1，注意验根，即可作答． 【详解】（1）解： ∴去分母得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，，， ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 8．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解题步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母得：， ∴， 解得：， 检验，当时，， ∴原方程的解为． 【题型2 分式方程有增根问题】 9．如果关于的分式方程有增根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根， 先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，当最简公分母为0时产生增根，可得解． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． ∵原方程有增根， ∴， 即， 解得． 故选：B． 10．若分式方程有增根，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根问题，解分式方程得出，再由分式方程有增根得出，求解即可． 【详解】解：解分式方程得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：D． 11．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行∶①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，解出x，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： 解得： 关于的分式方程有增根， ，即． 把代入中得：． 故答案为：3 12．若分式方程有增根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 首先将分式方程去掉分母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可. 【详解】解： 原分式方程去掉分母可得：， 则 ∵原分式方程有增根， ∴， 即：， 将代入方程可得： ， ∴， 故答案为：4. 13．已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入整式方程中，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 14．已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， 解得， 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴且． 【题型3 分式方程应用-工程问题】 15．为推动传统农业向智慧农业转型，某农场决定配备两款施肥无人机共架．每架款施肥无人机需要人协同操控，每架款施肥无人机需要人协同操控，农场负责施肥的操控人员共有人． (1)求款施肥无人机和款施肥无人机分别有多少架？ (2)该农场共有亩农田需要施肥， 两款施肥无人机负责施肥亩数相同，已知每架款施肥无人机每小时施肥亩数是每架款施肥无人机每小时施肥亩数的倍，所有款施肥无人机同时施肥比所有款施肥无人机同时施肥提前小时完成施肥，求每架款施肥无人机每小时施肥多少亩？ 【答案】(1)款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， (2)每架款施肥无人机每小时施肥亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架，根据题意列出方程，然后解方程即可； （）设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， 根据题意得：，解得：， 答：款施肥无人机有架，款施肥无人机有架， （2）解：设每架款施肥无人机每小时施肥亩，则每架款施肥无人机每小时施肥， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴每架款施肥无人机每小时施肥， 答：每架款施肥无人机每小时施肥亩． 16．某公司生产的新产品需要精加工后才能投放市场，为此王师傅承担了加工300个新产品的任务．在加工了60个新产品后，王师傅接到通知，要求加快新产品加工的进程，王师傅在保证加工零件质量的前提下，平均每天加工新产品的个数比原来多10个，比原计划提前2天完成了任务．问接到通知后，王师傅平均每天加工多少个新产品？ 【答案】接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 【分析】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设接到通知后，王师傅平均每天加工x个新产品． 根据题意，得． 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 经检验：是原方程的解， 答：接到通知后，王师傅平均每天加工40个新产品． 17．为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班控700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同，已知甲班平均每小时比乙班多挖50千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆? 【答案】乙班每小时挖300千克的土豆 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖千克的土豆，根据“甲班控700千克土豆与乙班挖600千克土豆所用的时间相同”列分式方程，求解即可． 【详解】解：设乙班每小时挖x千克的土豆，则甲班每小时挖千克的土豆． 根据题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙班每小时挖300千克的土豆． 18．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料． 19．小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？ (2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？ 【答案】(1)小明步行的速度是80米/分 (2)小明不能在球赛开始前赶到体育馆 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出题目中的等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分，根据题意列出分式方程求解即可； （2）求出小明总共需要的时间进行比较即可． 【详解】（1）解：设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分， 根据题意得：， 解得： 经检验是原方程的解． 答：小明步行的速度是米/分． （2）解：根据题意得，小明总共需要： ． 答：小明不能在球赛开始前赶到体育馆． 【题型4 分式方程应用-行程问题】 20．本着低碳出行与强身健体的理念，赵老师决定改骑共享单车上下班．通过一段时间的体验，赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是骑共享单车速度的2倍，求赵老师骑共享单车每小时行驶多少千米． 【答案】赵老师骑共享单车每小时行驶20千米 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．首先设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，由赵老师发现每天上班所用时间只比自驾车多0.3小时，列出方程，再解即可． 【详解】解：设赵老师骑共享单车每小时行驶千米，则自驾车每小时行驶千米，根据题意得 ， 由， 得， 即， 经检验是所列方程的解，且符合题目要求，此时． 答：赵老师骑共享单车每小时行驶20千米． 21．某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从地行驶至地，全程用油驱动需元油费，全程用电驱动需元电费，已知每行驶千米，用油比用电的费用多元．求、两地的距离． 【答案】千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答本题的关键．设该汽车用电驱动方式行驶千米的电费为元，则该汽车用油驱动方式行驶千米的油费为元，根据“全程用油驱动需元油费，全程用电驱动需元电费”，列出分式方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设该汽车用电驱动方式行驶千米的电费为元，则该汽车用油驱动方式行驶千米的油费为元， 根据题意得：， 解得：， 检验，当时，， 是原分式方程的解， （千米）， 答：、两地的距离为千米． 22．人间最美三月三．某校组织开展三月三踏青实践活动．踏青地点距离学校，甲、乙两名同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的，结果甲比乙晚到，分别求甲、乙两名同学骑自行车的速度． 【答案】甲同学骑自行车的速度为，乙同学骑自行车的速度为 【分析】设乙同学骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为．根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为，则甲骑自行车的速度为． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合題意． 当时，． 答：甲同学骑自行车的速度为，乙同学骑自行车的速度为． 【题型5 分式方程应用-销售问题】 23．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格； (2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得； （2）设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵，先求出，再根据费用与价格、棵数的关系建立与的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴， ∴， 由题意得：， ∵一次函数中的， ∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小， 此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 24．某粮食生产基地积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机兵比1件乙种农机具多万元，用18万元购买甲种农机具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共30件，且购买的总费用不超过100万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)，3 (2)6 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）假设出未知数，根据农机具数量关系列出方程求解即可，注意最后要进行检验； （2）假设出未知数，找出不等关系，列出一元一次不等式，确定取值即可． 【详解】（1）解：设购买1件乙种农机具需要万元，则购买1件甲种农机具需要万元，根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴ 所以，购买1件甲种农机具需要万元，购买1件乙种农机具需要3万元； （2）解：设购买甲种农机具购买件，则乙种农机具为件，根据题意得， 解不等式得，， ∵取正整数， ∴ 所以，甲种农机具最多能购买6件． 25．某学校为表彰“阅读新时代”主题征文活动中取得优异成绩的参赛选手，计划购入《阅读的艺术》和《当青春遇见马克思》两种图书作为奖品发放，已知每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元，且用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同． (1)求《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书的单价； (2)若学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本，且要求购进《阅读的艺术》的本数不超过《当青春遇见马克思》本数的2倍，则学校怎样购买才能使费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元 (2)当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查分式方程，不等式，一次函数求最值的方法，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本，则，设费用为元，则，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：每本《阅读的艺术》的价格比每本《当青春遇见马克思》的价格少5元， ∴设每本《阅读的艺术》的价格为元，则《当青春遇见马克思》每本的价格为元， ∵用600元购进《阅读的艺术》的数量与用800元购进《当青春遇见马克思》的数量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴， ∴每本《阅读的艺术》的价格为元，《当青春遇见马克思》每本的价格为元； （2）解：学校一次性购进《阅读的艺术》、《当青春遇见马克思》两种图书共300本， 设购进《阅读的艺术》的本数为本，则购进《当青春遇见马克思》的本数为本， ∴， 解得，， 设费用为元， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为元， ∴当购进《阅读的艺术》本，购进《当青春遇见马克思》本时，费用最少，最少费用为元． 26．2024年11月12日，第15届中国国际航空航天博览会在珠海盛大开幕．在博览会的热烈氛围中，某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． (2)由两种购买方案 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一元一次不等式解决实际问题． （1）设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，根据“12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答； （2）设购买型无人机台B款无人机模型n架，根据“用20000元购买无人机模型，决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍”列不等式，根据题意求出其正整数解，即可解答． 【详解】（1）解：设型无人机的单价为元，则型无人机的单价为元，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程得解且符合题意，， 答：A型无人机的单价为2400元，B型无人机的单价为1600元． （2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，由条件得： ， 解得：，且为整数． 或5， 所以，由两种购买方案， 第一种购买A型无人机4台，B型无人机6台； 第二种购买A型无人机5台，B型无人机5台． 27．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题： (1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？ (2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，则有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请直接写出捐赠的滨滨和妮妮各是多少个． 【答案】(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； (2)，有4种购买方案； (3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【分析】（1）设每个滨滨的进价为每个元，则每个妮妮的进价是元，根据题意得：，即可解得每个冰墩墩的进价140元，每个雪容融的进价为75元； （2）由题意可得，根据商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，可得，而为整数，即可得答案； （3）由，，由一次函数性质可得最大值为24050，设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个，即得，而、都为非负整数，故知捐赠的冰墩墩10个，雪容融10个． 【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个元，则妮妮每个进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元， 答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元； （2）解：根据题意得：， 商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮， ， 解得：， ， 而为整数， 可取347或348或349或350； 有4种购买方案； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， 时，取最大值，最大值为， 设捐赠的滨滨个，捐赠妮妮个， 根据题意得：， ， 、都为非负整数， ，， 答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个． 【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，方程的正整数解的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式． 【题型6 分式方程应用-方案问题】 28．“三头一掌”是衢州地方特色美食，其中最具代表性的是鸭头和兔头．在某品牌销售店中，已知一个鸭头的价格与一个兔头的价格和为23元，用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同． (1)求出鸭头和兔头的单价． (2)某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），请写出所有购买方案． 【答案】(1)鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元 (2)有2种购买方案：①购买鸭头25个，兔头8个；②购买鸭头10个，兔头16个 【分析】（1）设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为元，根据用40元购进鸭头的个数与用75元购进兔头的个数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买鸭头m个，兔头n个，根据某位游客在该销售店中购买鸭头和兔头恰好用了320元（鸭头和兔头都购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论． 本题考查了分式方程方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【详解】（1）解：设鸭头的单价为x元，则兔头的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：鸭头的单价为8元，兔头的单价为15元； （2）解：设购买鸭头m个，兔头n个， 由题意得：， 整理得： ， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴有2种购买方案： ①购买鸭头25个，兔头8个； ②购买鸭头10个，兔头16个． 29．项目学习方案： 项目情景 某中学开展种植箱种植活动，初二级各班要购买种子、花苗、菜苗等进行种植． 素材一 初二（1）班采购小组在市场上了解到A种花苗比B种花苗每株便宜2元，用80元购买的B种花苗数量是用32元购买的A种花苗数量的2倍． 任务一 小组成员郑同学设用32元购买的A种花苗数量为x，由题意得方程：①；小组成员乙设②，由题意得方程：． 素材二 种植时，小组成员丙发现自己单位时间内可完成m株花苗或完成株菜苗种植任务，并且完成35株花苗所用时间与完成10株菜苗的时间相同． 任务二 求m的值． (1)任务一中横线①处应填 ，横线②处应填 ． (2)完成任务二（用方程求解作答）． 【答案】(1)；每枝A种花卉单价为a元 (2)7 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）①根据分式方程的意义，列方程解答即可，根据方程的意义，确定横线②处应填每枝A种花卉单价为a元． （2）列出分式方程解答即可． 【详解】（1）解：根据分式方程的意义，列方程， 横线①处应填，横线②处应填每枝A种花卉单价为a元． 故答案为：；每枝A种花卉单价为a元． （2）解：单位时间内可完成株花苗或完成株菜苗任务， 完成花苗任务的效率为，完成菜苗任务的效率为， 完成35株花苗所用时间与完成10株菜苗的时间相同， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 30．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人． (1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人； (2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问： ①A、B两种游船每艘分别有多少个座位； ②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)七年级教师有26人，学生有274人 (2)①A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设八年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案． 【详解】（1）解：设八年级教师有x人，学生有y人， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：七年级教师有26人，学生有274人； （2）解：①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位； ②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘， 依题意，得：， ∴． 又∵a，b均为非负整数， ∴，，，，， ∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船． 31．某科技公司为研发一项数据加密技术，需使用服务器处理任务．已知技术升级后的新型服务器每小时处理的任务量是旧型服务器的1.5倍．若共有100项任务需处理，先启用一台旧型服务器处理40项任务后，再加入一台新型服务器同时处理，则共用了小时完成任务． (1)求一台新型服务器每小时能处理的任务量是多少项？ (2)公司为加快研发进度，计划投入不超过68万元另外购入10台新旧服务器．若每台旧型服务器是5万元，每台新型服务器是8万元，且两种服务器每天的工作时长均满8小时，公司需要这批新购入的服务器在3天内完成2880项任务，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)15 (2)3种 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式组的应用，理解题意并解方程和不等式组是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设旧型服务器每小时处理x项任务，则新型服务器每小时处理1.5x项， 小时小时， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， 答：一台新型服务器每小时能处理的任务量是15项． （2）解：设购入y台新服务器，则购入台旧服务器， ， 解不等式组，得， ∵y为正整数， ∴，5，6， 则，5，4， 方案一：购入4台新服务器，6台旧服务器； 方案二：购入5台新服务器，5台旧服务器； 方案三：购入6台新服务器，4台旧服务器； 即共有三种方案． 【题型7 分式方程应用-其他问题】 32．综合与实践：探究奶茶甜度 【阅读材料】溶液：有一种或多种溶质均匀分散在溶剂中形成的均匀、稳定的混合物． 溶质：溶液中，被溶解的物质． 溶剂：溶解溶质的物质． 浓度：把一定量溶液中所含溶质的量称为溶液的浓度．在化学中常用溶质质量分数来表示浓度． 常用公式：溶质质量分数． 溶质质量分数越大，说明溶液中溶质的相对含量越高． 比如，奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度． 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为标准糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题．（注：所加入的糖均能完全溶解．） (1)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克七分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克五分糖奶茶，店员再往这杯奶茶中加入了克糖．判断店员最后做出来的奶茶甜度跟七分糖甜度一样吗？ (2)为了保持奶茶店产品的品质，一杯克五分糖奶茶需要再加入多少克的糖才能跟七分糖奶茶的甜度一样？ 【答案】(1)不一样 (2)克 【分析】此题考查了分式的性质，分式方程的应用，解题的关键是正确列式． （1）根据题意表示出加入了克糖后的浓度，进而求解即可； （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）不一样． 理由：七分糖奶茶甜度为， 在五分糖奶茶加入克糖后的甜度为． ，， （即）， 七分糖奶茶甜度与这杯奶茶甜度不一样． （2）设需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样， 依题意，得， 整理，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 答：需要在五分糖奶茶中加入克糖，才能跟七分糖奶茶甜度一样． 33．某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同． (1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式，并求出最少购买金额． 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨； (2)与的函数关系式为，最少购买金额为46.4万元． 【分析】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用； （1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，然后根据题意可列分式方程进行求解； （2）由题意可得购买型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物为吨，由题意得： ， 解得：； 经检验：是原方程的解； ∴（吨）， 答：每台型机器人每天搬运货物吨，每台型机器人每天搬运货物为吨． （2）解：由题意可得：购买型机器人的台数为台， ∴； 由题意得：， 解得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，即为， 即：与的函数关系式为，最少金额为万元． 34．某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 35．为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同． (1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价； (2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？ 【答案】(1)水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元 (2)最多可购买个水基灭火器． 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，理清题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解答本题的关键． （1）设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元，根据“用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同”列出分式方程，解之即可； （2）设购买个水基灭火器，则购买个干粉灭火器，根据“学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元”列出一元一次不等式，解出的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解：设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 答：水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元； （2）解：设购买个水基灭火器， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 最大取， 答：最多可购买个水基灭火器． 36．1824年，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将两节的干电池，一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)670元 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，一次函数的应用． （1）设滑动变阻器的最大电阻是．根据“滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端 处时的电流表的数值减小了．”列出分式方程，求解即可； （2）设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍”列出不等式，得到．列出y关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程： ， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知： ， 解得：， 总费用 ，即， ∵ ， ∴ y随m的增大而减小． ∵ m是整数，                      ∴ 当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 37．2024年3月27日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车                                 新能源车 油箱容积：50升                      电池电量：200千瓦时 油价：8元升                        电价：0.6元千瓦时 续航里程：千米                     续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.4元，请根据以上信息回答： (1)分别求出这两款车的每千米行驶费用； (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7200元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】(1)燃油车：元，新能源车：元 (2)每年行驶里程超过千米时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）由“燃油车每千米行驶费用比新能源车多元”可得，解方程即可求出的值，进而可求出燃油车和新能源车的每千米行驶费用； （2）设每年行驶里程为千米时买新能源车的年费用更低，由题意得，解不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则 （元），（元）， 燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：设每年行驶里程为千米时买新能源车的年费用更低， 由题意得： ， 解得：， 答：每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 38．某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 【答案】(1)学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人 (2)参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系． （1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人，根据“实际的人均费用只为原来的人均费用的”列方程求解即可； （2）设参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，则“特色数字化体验”分的平均速度为y千米/时，根据参观“经典讲解”、 在“特色数字化体验”部分排队的时间、参观“特色数字化体验”的时间共小时，即可列方程求解． 【详解】（1）解：设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人； （2）解：设参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，则“特色数字化体验”分的平均速度为y千米/时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， （千米/时） 答：参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$