专题04 分式全章复习（三大考点11种大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题04 分式全章复习 目录 【题型一 分式有、无意义及值为0的条件】 2 【题型二 分式的基本性质】 2 【题型三 分式在规律问题中运用】 2 【题型四 分式的混合运算】 3 【题型五 分式的化简求值】 3 【题型六 整指数幂的运算】 4 【题型七 分式运算的实际应用】 4 【题型八 解分式方程】 5 【题型九 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】 5 【题型十 利用分式方程解决实际问题】 6 【题型十一 与分式方程有关的探究性问题】 6 【题型一 分式有、无意义及值为0的条件】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式中，当 时，分式没有意义；当 时，分式的值为0． 2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D． 【题型二 分式的基本性质】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）下列分式变形中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下列分式约分正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【题型三 分式在规律问题中运用】 例题：（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 2．（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【题型四 分式的混合运算】 例题：（24-25八年级下·重庆·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·陕西商洛·一模）化简：． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 【题型五 分式的化简求值】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值为 ． 2．（2025·山东枣庄·二模）先化简，再求值：，其中 【题型六 整指数幂的运算】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）化简 (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型七 分式运算的实际应用】 例题：（24-25八年级上·河南周口·期末）某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）某商场对两台不同型号的空调进行调价销售．相对于进价而言，其中一台调价后可获利10%，而另一台调价后则要亏本，且这两台空调调价后的售价相同．这两台空调售出后，该商场是获利还是亏损？其百分比是多少？ 【题型八 解分式方程】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1)： (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 【题型九 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）已知方程的根为，那么a的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河南周口·期中）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 2．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型十 利用分式方程解决实际问题】 例题：（2025·四川广安·二模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ． 2．（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． (1)求每套A型储能锂电池系统的进价； (2)该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 【题型十一 与分式方程有关的探究性问题】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并完成下列问题． 通过观察发现：方程的解是的解是． (1)观察上述方程的解，可以猜想关于的方程的解是______； (2)把关于的方程变形为方程的形式（是含的代数式，c是含a的代数式）是______，方程的解是______． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 2．（安徽省C20教育联盟2025年九年级中考“功夫”卷（八）数学）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·河南安阳·一模）化简的结果是（   ）． A． B． C． D．1 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 二、填空题 6．（2025·河南周口·二模）若分式有意义，则满足的条件是 ． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，无意义；当 时，这个分式的值为0． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，则代数式的值为 ． 9．（23-24九年级下·湖北黄石·期中）从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为 ． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若关于的一元一次不等式组有且最多有3个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于的方程：． (1)若方程无解，求的取值； (2)若方程的解为整数，求整数的值． 14．（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 15．（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． (1)求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式全章复习 目录 【题型一 分式有、无意义及值为0的条件】 2 【题型二 分式的基本性质】 3 【题型三 分式在规律问题中运用】 4 【题型四 分式的混合运算】 6 【题型五 分式的化简求值】 8 【题型六 整指数幂的运算】 9 【题型七 分式运算的实际应用】 11 【题型八 解分式方程】 13 【题型九 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】 15 【题型十 利用分式方程解决实际问题】 17 【题型十一 与分式方程有关的探究性问题】 19 【题型一 分式有、无意义及值为0的条件】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）分式中，当 时，分式没有意义；当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查的是分式无意义及值为0的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零． 【详解】解：当分母，即时，分式没有意义； 当分子，即时，分式的值为0． 故答案为：2，． 2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）若分式的值为0，则x的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可． 【详解】解：若分式的值为0， 则且， 解得， 故选：A． 【题型二 分式的基本性质】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）下列分式变形中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，直接由分式性质逐项验证即可得到答案，熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、若同号时，才有，当异号时，分式变形错误，不符合题意； B、由分式基本性质可知变形错误，不符合题意； C、由分式基本性质可知变形错误，不符合题意； D、由分式基本性质可知变形正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）下列分式约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了约分， 对分子、分母进行因式分解，约去公因式，化为最简分式或整式，逐一计算即可；掌握约分的方法是解题的关键． 【详解】解：A．，结论正确，符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论错误，不符合题意； D．不能约分，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题的关键；因此此题可根据最简公分母：系数取最小公倍数，相同字母的取指数最高的作为公分母的一部分，不同部分照抄，然后问题可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母是； 故答案为． 【题型三 分式在规律问题中运用】 例题：（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）观察下列分式：，按此规律第100个分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第100个分式为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东东营·期中）已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 【题型四 分式的混合运算】 例题：（24-25八年级下·重庆·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式训练】 1．（2025·陕西商洛·一模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的分式减法运算，再将除法转化为乘法，然后利用分式的乘法运算法则，结合因式分解化简即可求解． 【详解】解：原式 ． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算括号内的，再算分式的乘法即可； （2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型五 分式的化简求值】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）当、时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把、代入计算． 【详解】解： ， 当、时， 原式． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，掌握分式值的计算方法是正确解答的关键，设待定系数参与运算是常用的方法．设，得到，代入计算即可． 【详解】解：由于，可设，则， 原式． 故答案为：． 2．（2025·山东枣庄·二模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型六 整指数幂的运算】 例题：（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法与乘方运算，负整数指数幂等知识，熟练掌握这些知识是关键；先计算乘方，再计算除法，最后把负整数指数幂化为正整数指数幂即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式运算，根据分式运算法则进行计算即可． （1）先根据乘方运算法则进行计算，然后根据分式乘法运算法则进行计算即可； （2）根据负整数指数幂运算法则和分式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂的意义判断选项A；根据分式的乘方法则判断选项B；根据积的乘方法则、负整数指数幂意义判断选项C；根据同底数幂相除法则、负整数指数幂意义判断选项D． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B． ，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了零指数幂、分式的乘方、积的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除等知识，熟练掌握以上知识，并能正确计算是解题的关键． 【题型七 分式运算的实际应用】 例题：（24-25八年级上·河南周口·期末）某人沿一条河流顺流游泳米，然后逆流回到出发点，设此人在静水中的游速为，水流速度为．则他来回一趟所需的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算的实际应用，灵活运用相关知识是解题的关键． 首先得顺流速度为，逆流速度为，结合游泳距离米，然后根据来回一趟所需时间顺流游一趟所用的时间逆流游一趟所用的时间，列出整理即可得出答案． 【详解】∵此人在静水中的游速为，水流速度为 ∴顺流速度为，逆流速度为， ∴ ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 【答案】(1) (2)走第一条路花费时间少，少 【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系． （1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可； （2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：走第二条路所用时间：； （2）解：走第一条路所用时间： ∴ ∴走第一条路花费时间少，少． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）某商场对两台不同型号的空调进行调价销售．相对于进价而言，其中一台调价后可获利10%，而另一台调价后则要亏本，且这两台空调调价后的售价相同．这两台空调售出后，该商场是获利还是亏损？其百分比是多少？ 【答案】亏损 【分析】题目主要考查分式的应用，理解题意，列出分式即可求解． 设两台空调的进价分别为m元和n元，得出，然后化简求解即可． 【详解】解：设两台空调的进价分别为m元和n元，则． ∴． ∵， ∴， 即调价后两台售价的和相当于两台进价的和的，所以亏损． 【题型八 解分式方程】 例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程： (1)： (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的步骤和解法是解题的关键． （1）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可； （2）先去分母化为整式方程求出解，再检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得，， 移项，合并同类项得，， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （2） 去分母得，， 整理得：， 解得： 检验：当时，， ∴． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 经检验，增根， ∴原方程无解． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； （2）把分式方程转化为方程，然后求解，最后进行检验即可； 【详解】（1）解： ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为：． 【题型九 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）已知方程的根为，那么a的值是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查分式方程的解，理解题意是解题关键． 根据题意，将分式方程的解代入求解即可． 【详解】解：将代入得：， 去分母得： 解得：， 经检验：为原方程的解， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·河南周口·期中）关于的方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】题考查了分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法和利用分式方程的解的情况列式是解题的关键．先根据原方程解得方程的解，再根据分式方程的解是负数，以及分母不为，即可求解． 【详解】解：原方程， 解得． ∵， ∴， ∴， 得， ∵解是负数， ∴， ∴， 得， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 2．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把分式方程化为整式方程，得到：，然后把看作常数解方程，可得：，因为分式方程有增根，所以可得，解关于的一元一次方程可得． 【详解】解： 方程两边同时乘得：， 解得：， 方程有增根， ， ， ， ． 故选： D． 【题型十 利用分式方程解决实际问题】 例题：（2025·四川广安·二模）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为： 由题意得：， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等，即可列出方程． 【详解】解：根据题意，甲每小时加工x个，乙每小时加工个， 可列方程， 故答案为：． 2．（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等． (1)求每套A型储能锂电池系统的进价； (2)该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？ 【答案】(1)每套A型系统进价为1万元 (2)该公司购买A型系统最少5套 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键． （1）设每套A型系统进价为万元，列出分式方程，解方程即可； （2）设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套，根据总费用不超过20万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每套A型系统进价为万元， 则每套B型系统进价为万元． 依题意，得， 解得， 检验：把代入， 所以是原分式方程的解． 答：每套A型系统进价为1万元． （2）解：每套B型系统进价为（万元）， 设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套． ， 解得． 所以的最小整数解为5． 答：该公司购买A型系统最少5套． 【题型十一 与分式方程有关的探究性问题】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并完成下列问题． 通过观察发现：方程的解是的解是． (1)观察上述方程的解，可以猜想关于的方程的解是______； (2)把关于的方程变形为方程的形式（是含的代数式，c是含a的代数式）是______，方程的解是______． 【答案】(1)，； (2)；， 【分析】本题考查分式方程的解及解分式方程，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． （1）观察上述方程，猜想得到所求方程的解即可； （2）已知方程变形后，利用转化的思想找出方程的解即可． 【详解】（1）解：观察上述方程的解，可以猜想关于的方程的解是， 故答案为：； （2）解： ， ； 或， ， 故答案为：；，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 2．（安徽省C20教育联盟2025年九年级中考“功夫”卷（八）数学）观察以下等式： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 根据前个等式的规律可知，第个等式应是，可得等式：； 由中的规律可知，第个等式应是，分别把等式左边、右边的分式化简，可得结果都为，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 根据规律可得，第6个等式：； 故答案为：； （2）解：猜想：第个等式为， 证明：左边， ， 左边右边， 故猜想成立． 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若关于的方程的解与方程的解相同，则等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】解：方程， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 把代入得：， 即 去分母整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）甲工程队在天内挖水渠，乙工程队在天内挖水渠，两队合挖水渠，需要的天数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题还考查了分式的应用，解答此类问题的关键是要明确：工作量工作效率工作时间，工作效率工作量工作时间，工作时间工作量工作效率．首先根据工作效率工作量工作时间，分别用两队挖的水渠的长度除以用的时间，求出甲乙两队每天挖多少米；然后根据工作时间工作量工作效率，用两队合挖水渠的长度除以甲乙两队的工作效率之和，求出需要的天数为多少即可． 【详解】解： （天 两队合挖米水渠，需要的天数为天． 故选：A． 3．（2025·河南安阳·一模）化简的结果是（   ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算法则．先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式． 【详解】解：， 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）将分式中的和都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．缩小到原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可确定答案． 【详解】解：； 分式的值不变； 故选：A 5．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与分式方程的解法，注意原分式方程的最简公分母不能为零，求出参数m的取值范围是解答本题的关键． 解出一元一次不等式的解集和分式方程的解，根据题目要求求出m的取值范围，再求出满足条件的整数m的值之和即可． 【详解】解：解一元一次不等式，得， ∵关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解， ∴， ∴， 关于y的分式方程，得，且，即， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 即且， ∴满足条件的整数m的值有：， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·河南周口·二模）若分式有意义，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，无意义；当 时，这个分式的值为0． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，分式无意义的条件是分母为0，分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴； ∵分式的值为0， ∴，且， ∴； 故答案为：；0． 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．（23-24九年级下·湖北黄石·期中）从2、、0三个数中取一个a的值，求出代数式的值为 ． 【答案】或-2（答出其中一个即可） 【分析】此题考查了同分母分式的加减运算，分式有意义的条件，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据同分母分式的加减运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，然后将或代入求解即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴当时，原式； 当时，原式； 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 10．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若关于的一元一次不等式组有且最多有3个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的解，一元一次不等式的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 首先分别解一元一次不等式组及分式方程，再根据一元一次不等式组有且最多有个偶数解及分式方程有整数解即可解答． 【详解】解： 由可得：； 由可得：； 即； ∵不等式组有且最多有个偶数解， ， ， 解得：， 故整数解为：，， 关于的分式方程有整数解， 将整理为： 解得：； ， 故 为的倍数， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 故所有符合条件的整数的和是； 故答案为： 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 12．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似． 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 13．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于的方程：． (1)若方程无解，求的取值； (2)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 14．（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再从，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ， ； 根据分式有意义的条件，x不能为，0， 当时，原式． 15．（24-25八年级下·重庆·期中）某水果店购进了一批奇异果和芒果，两种水果总重量为千克，奇异果的进价是芒果进价的倍，奇异果的进货费用为元，芒果的进货费用为元． (1)求奇异果和芒果的进价分别是多少元每千克； (2)该水果店将这批奇异果全部按元每千克的价格售出．由于芒果不易保存，水果店将这批芒果的按元每千克的价格售出后，剩余的芒果降价销售，并全部售出．如果这批奇异果和芒果的总利润不低于元，则芒果最多降价多少元？ 【答案】(1)芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克； (2)芒果最多降价元． 【分析】此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． （）设芒果的进价是元每千克，则奇异果进价是元每千克，由题意列出方程，然后解方程并检验即可； （）设芒果降价元，由（）得奇异果数量为，芒果数量为，根据题意可得，然后解出不等式即可． 【详解】（1）解：设芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克， 由题意得，， 解得，， 经检验是分式方程的解， ∴， 答：芒果的进价是元每千克为元，则奇异果进价是元每千克； （2）解：设芒果降价元， 由（）得：奇异果数量为， 芒果数量为， ∴， 解得：， 答：芒果最多降价元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$