山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期中学业水平检测数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测 高一数学试题 2025.04 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数对应的点的坐标是 A． B． C． D． 2．已知，且与共线，则的值为 A． B． C． D． 3．的内角的对边分别为，若，则 A． B． C． D． 4．某观赏渔场有三个观赏亭，观赏亭位于观赏亭的东北方向且它们之间的距离为，观赏亭位于观赏亭的北偏西方向且它们之间的距离为，则观赏亭与观赏亭之间的距离为 A． B． C． D． 5．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 6．要得到函数的图象，只需将的图象 A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 7．分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为上一点，则的最小值为 A． B． C． D． 8．记的外心为点，，若，则 A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分． 9．函数在一个周期内的图象如图所示，则 A． B． C． D．在区间上单调递减 10．已知，复数满足，则 A． B． C． D．的最大值为 11．记单位向量的夹角为，若向量，则把有序数对称为向量在“仿射”坐标系(为坐标原点）下的仿射坐标，记，则 A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在等腰三角形中，，则向量与的夹角为________． 13．已知是关于的方程的一个根，则实数________． 14．已知满足，若，的最小值为，则的面积为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，． （1）求； （2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值． 16．（15分） 的内角的对边分别是，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17．（15分） 如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车轴心距水面的 高度为米．设筒车上某个盛水桶到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数），若以盛水桶刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：分钟）之间的关系式为． （1）求与时间（单位：分钟）之间的关系式； （2）某时刻（单位：分钟）时，盛水桶在过点竖直直线的左侧，到水面的距离 为米，再经过分钟后，求盛水桶到水面的距离．水面 18．（17分） 如图，在等边三角形中，，线段与交于点． （1）求； （2）求； （3）若为所在平面内一动点，求的最小值． 19．（17分） 年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论． 记表示实数中的最大者．已知，． （1）若．求； （2）证明：； （3）求的最小值． 高一数学试题 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期中学业水平检测高一数学答案 一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分． 1-8：BDCC ABBD 二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分． 9．AC； 10．ABD； 11．BD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．； 13．； 14．． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：（1）因为，所以 3分 因为，所以 6分 （2）由题可知，则， 8分 ，因为，所以 12分 解得 13分 16．（15分） 解：（1）因为，由正弦定理得： 又，所以，所以 5分 又因为，所以或 7分 （2）因为，所以； 9分 若，由余弦定理可得， 又，； 11分 若，由余弦定理可得， 又，无解； 13分 所以，所以的周长为 15分 17．（15分） 解：（1）由题意知，，因为，所以；因为半径为2米，筒车的轴心距水面的高度为1米，可得， 3分 当时，，代入得， 因为，所以，所以 7分 （2）由题意得，，得 9分 由题意知，所以 12分 所以 14分 所以 答：再经过分钟后，盛水桶到水面的距离为米 15分 18．（17分） 解：（1）以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系， 由 可得， 由可得： 3分 所以 ，则 5分 （2）由图可得 7分 10分 （3）设，则 所以 13分 15分 当时取“=”号， 所以得最小值为 17分 19．（17分） 解：（1）由题解得：， 2分 所以 4分 所以 5分 （2）设， 所以， 7分 因为， 又因为， 所以 9分 当仅当时等号成立，（用柯西不等式也可证明） 所以 10分 用换，同理可得：， 所以 11分 （3）因为 14分 16分 当且仅当时等号成立， 此时或 17分 高一数学参考答案 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$