精品解析：浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. [1，2] B. [1，3] C. [0，2] D. [0，3] 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得集合，结合函数的解析式有意义，求得集合，利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，即； 又由函数有意义，则满足，解得，即， 所以. 故选：B. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切型三角函数的最小正周期求解即可得答案. 【详解】函数的最小正周期. 故选：A. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式求即可. 【详解】法一：已知复数， ； 法二：； 故选：C. 4. 已知向量，若，则（ ） A 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标运算得到，再根据向量平行坐标要求列方程求出的值. 【详解】根据题意，， 因为，所以， 解得. 故选：D 5. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，则由题意可得，求出，从而可求出高，进而可求出圆锥的体积 【详解】设圆锥底面半径为，母线为，则，解得， 则该圆锥的高， 故该圆锥的体积为， 故选：A. 6. 已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定直线经过定点已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线被圆截得的最短弦长，即可得得答案． 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 7. 在中，的平分线交AB于点，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用证得，在中利用余弦定理可得，最后再在中利用余弦定理可得. 【详解】因为的角平分线，，则， 因，则，即， 设，则， 则在中利用余弦定理可得，， 得， 在中利用余弦定理可得，. 故选：B 8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，得到，，，根据绝对值不等式的性质，求得，即，进而求得实数的取值范围. 【详解】设，， 则，，， 则 ， 同理可得：， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 即，所以，即实数的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据奇偶性定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， 因为，所以是偶函数，故A正确； 对于B，的定义域为，关于原点对称， 因为，所以是奇函数，故B正确； 对于C，的定义域为，关于原点对称， ，所以是奇函数，故C错误； 对于D，的定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，故D错误. 故选：AB. 10. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在异于两点的点使得，则离心率的值可以为（ ） A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，则，求的值得到关于的式子，再求解离心率取值范围，从而得结论. 【详解】由题可设，则， 则，， 两式相减得：，则， 所以， 所以， 则椭圆的离心率，故离心率的值可以为0.85，0.9，0.95， 故选：BCD. 11. 甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.下列选项中正确的是（ ） A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为 B. “在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为 C. “首次连续次出现点时需掷骰子的次数”的期望为 D. “甲先掷出点”的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式可判断AB选项；设首次连续两次出现点的期望次数为，结合题意分析得出关于的方程，解出的值，可判断C选项；求出“甲第次首次掷出点，且在甲第次掷骰子前两人都没有掷出点”的概率，结合等比数列的求和公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，“甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为，A对； 对于B选项，在甲掷出点后，乙下一次掷出点不受前面的影响，其概率为，B对； 对于C选项，设首次连续两次出现点的期望次数为，分两种情况分析： 若第一次没有掷出点，则需重新开始，期望次数为， 若第一次掷出点，第二次没有掷出点，则需重新开始，期望次数为， 若第一次、第二次都掷出点，则期望次数为， 所以，，解得，C错； 对于D选项，设甲第次首次掷出点，且在甲第次掷骰子前两人都没有掷出点， 设其概率为，则，所以，， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 数列的前项和为， 当时，，即“甲先掷出点”的概率为，D对. 故选：ABD. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知且，若，则___________． 【答案】e 【解析】 【分析】利用对数运算性质计算可得答案. 【详解】若， 则，所以. 故答案为：. 13. 的展开式中项的系数为___________． 【答案】56 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，得出结论． 【详解】的展开式中的通项公式为， 的展开式中项的系数为， 故答案为：． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率，抛物线的准线经过双曲线的右焦点，点为双曲线与抛物线位于轴上方的交点，若，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得双曲线，，抛物线为，两方程联立可求出点，然后表示出，再由可求出，从而可求出的值. 【详解】由双曲线的离心率，得， 所以，得， 所以双曲线， 因为抛物线的准线经过双曲线的右焦点， 所以，所以抛物线为， 由，得，解得或（不合题意舍去）， 所以，得， 因为点位于轴上方，所以， 所以， ， 因为，所以，得， 所以. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间，，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立． （1）求的值； （2）估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第百分位数； （3）从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加体育锻炼时间在区间内的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为，即可求解； （2）利用百分位数的求法，即可求解； （3）根据条件可得，再利用二项分布的概率公式求出可能取值的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 因为，， 所以第百分位数为. 【小问3详解】 从全校学生中随机选取人，则此人一周参加课后活动的时间在区间的概率为， 又的可能取值为，由题意可得， 则， ， 则的分布列为： 的数学期望. 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1）可得，即可得解； （3）利用分组求和法求出，即可得到对任意恒成立，，，结合函数的单调性计算可得. 【小问1详解】 ， ， 又， 是以为首项，为公比等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知，. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为对任意恒成立， 则对任意恒成立， ，， 易知在单调递增， 时，取得最小值，最小值为， ，即实数的取值范围为. 17. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）或 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求函数在点处的切线方程，讨论，时所求切线与已知切线建立的方程的根只有一个，即可得的值； （2）分别确定函数的单调性与最值，通过最值之间的关系证得结论. 【小问1详解】 又， 则切线方程为， 当时，显然满足条件， 当时，的方程有两个相等的根， ， 综上：或． 【小问2详解】 由于， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， . 令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， . 当时，. 18. 如图，矩形ABCD中，．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面，并连接． （1）若，证明：平面BEF； （2）若为的中点，，直线GE与平面所成角正弦值为． （i）试讨论在线段AD上是否存在点，使得平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由； （ii）求平面与平面所成锐二面角的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）存在，；（ii） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可证得，在由，根据线面垂直判定定理证得结论； （2）（i）利用线面垂直证明面面垂直得平面平面，从而得直线GE在平面GEF射影为直线BE，由直线GE与平面所成角为，得易知为BF中点，再由面面平行得线面平行，即可得得结论；（ii）法一：建立空间直角坐标系求解平面与平面的法向量，利用空间向量坐标运算得平面与平面夹角余弦值，结合正弦函数的性质即可得结论；法二：根据平面与平面夹角的定义确定面面夹角，从而可得取最值的情况. 【小问1详解】 因为， 所以，则，. 所以， 又，所以平面BEF. 【小问2详解】 （i）因为， 所以平面， 又平面GEF，所以平面平面， 故直线GE在平面GEF射影为直线BE， 所以直线GE与平面所成角为，易知为BF中点，. 取ED中点，连接， 则且则平面平面GMN， 所以平面GMN，故点存在， 故； （ii）因为， 所以，则，且， 所以平面． 法一：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面一个法向量为， 则，令， 故平面一个法向量． 又平面一个法向量， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为 法二：由（1）可知，平面平面GMN，要求平面与平面所成的平面角，即求平面GMN与平面所成的平面角， 记直线GN与EF交点为，取中点为T，则，故，则平面平面， 因为平面，所以平面GMN， 过点作，垂足为，连接QF，则即所求二面角 其中， 当平面ABCD时，QO取最大值， 所以平面与平面所成锐二面角的平面角的取值范围为 19. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4． （1）求拋物线的方程； （2）已知抛物线的准线为为坐标原点，若过焦点的动直线与抛物线交于两点，直线AO与交于点， （i）证明：直线轴； （ii）过两点分别作抛物线的切线相交于点且分别与直线相交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义，利用焦半径公式可求； （2）（i）设，联立直线与抛物线组成方程，可求得，可得结论；（ii）设，与抛物线方程联立，利用根与系数关系.分别求出，，，进而计算可求面积的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知抛物线准线为，则到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即 所以抛物线方程为：； 【小问2详解】 （i）证明：由（1）可知抛物线的焦点，准线方程为， 设， 所以直线AO的方程为， 由题意可得点， 设直线AB的方程为， 联立，整理可得， 所以，可得， 所以， 所以直线轴． （ii）设， 联立方程组 消去，整理得， 所以， 所以，则，即， 令，得， 同理， 联立， 得交点的横坐标为， 面积的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省衢州市五校联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. [1，2] B. [1，3] C. [0，2] D. [0，3] 2. 函数最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，的平分线交AB于点，且，则为（ ） A. B. C. D. 8. 对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 双曲三角函数是一类与常见圆三角函数相似但具有独特性质的函数，主要包括双曲余弦函数、双曲正弦函数、双曲正切函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 10. 已知椭圆，直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在异于两点的点使得，则离心率的值可以为（ ） A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95 11. 甲、乙两人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.下列选项中正确的是（ ） A. “甲第一次掷骰子掷出偶数点”的概率为 B. “在甲掷出点后，乙下一次掷骰子掷出点”的概率为 C. “首次连续次出现点时需掷骰子次数”的期望为 D. “甲先掷出点”的概率为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知且，若，则___________． 13. 的展开式中项的系数为___________． 14. 已知双曲线左、右焦点分别为，离心率，抛物线的准线经过双曲线的右焦点，点为双曲线与抛物线位于轴上方的交点，若，则的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了更好地了解中学生的体育锻炼时间，某校展开了一次调查，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参加体育锻炼时间（单位：小时），分别位于区间，，用频率分布直方图表示如下图．假设用频率估计概率，且每个学生参加体育锻炼时间相互独立． （1）求的值； （2）估计全校学生一周参加体育锻炼时间的第百分位数； （3）从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参加体育锻炼时间在区间内的人数，求的分布列和数学期望． 16. 已知数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）记数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点． （1）求的值； （2）求证：． 18. 如图，矩形ABCD中，．现以EF为折痕把四边形ABFE折起得到平面，并连接． （1）若，证明：平面BEF； （2）若为的中点，，直线GE与平面所成角正弦值为． （i）试讨论在线段AD上是否存在点，使得平面GMN．若存在，请求出DN的长度；若不存在，请说明理由； （ii）求平面与平面所成锐二面角的取值范围． 19. 已知抛物线上一点到其焦点距离为4． （1）求拋物线方程； （2）已知抛物线的准线为为坐标原点，若过焦点的动直线与抛物线交于两点，直线AO与交于点， （i）证明：直线轴； （ii）过两点分别作抛物线的切线相交于点且分别与直线相交于点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$