精品解析：广东广州大学附属中学2026届高中毕业班综合测试(三) 数学试卷

2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试（三） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据指数函数的单调性，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得，则， 由，得， 因为在R上单调递增，所以，则， 所以. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对已知等式变形求解复数z的代数形式，再根据复数虚部的定义确定答案. 【详解】由 ，可得，即 ， 故的虚部为. 3. 某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 【答案】D 【解析】 【分析】上四分位数即第75百分位数，将已知数据按从小到大的顺序排列后，根据百分位数的计算步骤先计算，再计算上四分位数即可. 【详解】将按从小到大的顺序排列为， 因为，6为整数，所以上四分位数即从小到大排列中的第6与第7个数据的平均数，即. 4. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知圆台上底半径，下底半径，半径之差， 已知母线与底面夹角的余弦值为， 设母线长为，则，解得， 设圆台的高为，由勾股定理可得， 圆台的体积为． 5. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60． 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解. 【详解】根据题意，可分为两类： ①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有种方法； ②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有种方法， 由分类计数原理得，共有种不同的差法. 故选：C. 6. 已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据已知条件推导出数列的通项公式，进而可知的表达式，然后求出的通项公式，利用裂项相消法求得结果. 【详解】将代入得，即，解得， 当时，将代入得， 去分母得，所以， 所以，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，所以， 所以， 所以. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和. 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆. 由得， 的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C 8. 已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据条件，可得圆C的圆心坐标和半径r，进而可得面积S的表达式，分析可得只需求的最大值即可，求出的表达式，利用导数求出其单调性与最大值，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意得，所以， 设，则圆心，半径， 又点P在椭圆E上，所以，即， 则， 又面积， 要使面积最大，只需最大， 因为点M在圆C上，且圆心C的纵坐标为， 所以的最大值为， 令， 则，令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以最大值为，即的最大值为2， 所以面积的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论. 【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，A正确； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，B错误； 把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，C错误； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，D正确； 故选：AD. 10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题结合摸球场景考查古典概型、条件概率、全概率公式及贝叶斯公式的应用，需分别计算各选项对应概率判断正误 【详解】对于A项，甲箱共有个球，其中3个为红球，因此从甲箱取到红球的概率，故A正确， 对于B项，若发生，乙箱新增1个红球，变为3红2白共5个球，此时取2个红球的概率； 若发生，乙箱新增1个白球，变为2红3白共5个球，此时取2个红球的概率， 由全概率公式得，故B正确； 对于C项，由上述计算可知，故C错误； 对于D项，由贝叶斯公式得，故D错误. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的斜率，可得判定A正确；根据双曲线的定义，求得由经过点到达点所经过的路程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算，得到，得到，设，列出方程，求得，进而可判定C错误；在直角中，结合，可判定D正确． 【详解】如图所示，过点分别作的两条渐近线的平行线，则的斜率分别为和， 对于A中，由图可知，当点均在的右支时，或，所以A正确； 对于B中，光线由经过点到达点所经过的路程为 ，所以B正确； 对于C中，由，得，即，所以， 设，则， 因为，所以，整理得， 解得或（舍去），所以，， 所以的面积，所以C错误； 对于D项，在直角中，， 所以，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可. 【详解】由，则展开式通项为且， 当，则，故. 故答案为： 13. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 14. 实数，满足 ，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简得到，由，由，求得，得到，转化为 图象上的点到直线上一点的距离，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 因为，可得， 所以， 又由，可得，所以在上单调递增， 又因为，则， 则， 表示函数 图象上的点到直线上一点的距离， 则其最小值为图象与直线平行的切线到直线的距离， 设切点为，其中，由，可得， 令，解得，可得，即切点为， 可得切点为到直线距离为， 即的最小值是. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，，为上的点，且． （1）证明：平面； （2）若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线证明，再通过线面平行的判定定理即可证明； （2）先证平面，再建立空间直角坐标系求出平面的法向量和平面的法向量，最后求解二面角的正弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接交于点，连接， 因为是平行四边形，故为的中点， 又，故为的中位线，所以.     因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为侧面是菱形，，则是等边三角形， 设的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 连接，，因为是等边三角形，则， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系.    设，则由几何关系可知，，，， 故，，.     设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，取，则，则，   平面的法向量为， 则，取，则，则.     故.     故平面与平面夹角的余弦值为. 16. 某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 （1）从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． （2）定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】（1），的数学期望为； （2）； 【解析】 【小问1详解】 解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； 【小问2详解】 解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 17. 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 （1）证明： （2）求的内切圆半径r的取值范围； （3）若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出和的值，再用表示，进而得到的表达式，整理证明即可； （2）先利用和得到关于的表达式，通过函数关系确定的取值范围； （3）先求出的值，再建立坐标系，将内切圆方程表示出来，设出点的坐标，利用两点间距离公式表示出，结合圆的方程求其最大值 【小问1详解】 由​，得​，​，结合已知， 由余弦定理得，化简得​， 所以 要证，即证， 因为，等价于，即， 又，即，解得， 所以，故成立，得证； 【小问2详解】 三角形面积​，内切圆半径​， 代入化简得​，， 是开口向下的二次函数，对称轴​，最大值为​，且， 故的取值范围是； 【小问3详解】 当​时，得​，​，三边长满足， 则为直角三角形，为直角，内切圆半径， 建立坐标系，如图所示 则，，，内心， 内切圆方程：， 设，则，即， 平方和， 展开化简得​， 由内切圆的范围​，当时最大，最大值为. 18. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：. 【答案】（1）在单调递增 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数导数判断函数的单调性； （2）设，结合导数判断函数的单调性证得不等式； （3）根据对称性结合函数的导数证得函数的不等关系； 【小问1详解】 根据题意有. 当时，； 当时，，，故， 所以在单调递增. 【小问2详解】 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 故， 故单调递增， 故当时，，即. 【小问3详解】 因为点关于直线的对称点为，且在上，故. 由（1）可知在单调递增，且由（2）可知， 故. 由可知，等价于. 设， 则. 设， 则当时，， 故当时，单调递增，， 所以当时，，单调递增. 又由（1）及（2）可知，，所以，即. 综上，. 19. 在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. （1）试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. （2）设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 【答案】（1）是， （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先假设3是抛物线的和谐数，进而结合题意求解即可； （2）（ⅰ）不妨设，由为抛物线的和谐数，可得的和谐圆为，进而结合（1）得到，，进而结合题意可得，进而得到数列是等差数列，进而求解； （ⅱ）由题意可得，，，可得为等腰三角形，可得的面积，进而放缩得到当时，，结合裂项相消法求证即可. 【小问1详解】 假设3是抛物线的和谐数，则3的和谐圆为， 由对称性，不妨设圆与抛物线有公共点， 显然抛物线在点处的切线，即曲线在点处的切线， 易知该切线的斜率为， ∵圆与抛物线在点处有相同的切线， ∴，解得， ∴圆与抛物线有公共点， ∴和谐圆的半径为 ∴3是抛物线的和谐数，且3的和谐圆为. 【小问2详解】 由对称性，只需考虑，，…，均在轴上方的情形，不妨设， （ⅰ）∵为抛物线的和谐数， ∴的和谐圆为， ∴由（1）可知，，解得， ∴， ∵在圆上，∴， ∵，圆与外切，且， ∴，即， ∴， ∴数列是等差数列，其公差为2，首项为， ∴，即， ∴数列的通项公式为. （ⅱ）证明：显然点为抛物线的焦点，∴， 易知，且，∴为等腰三角形， 易知的面积， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴不等式得证. 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试（三） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为，则这组数据的上四分位数为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 4. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 60． 6. 已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 8. 已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. B. C. D. 11. 双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，从发出的两条光线经过的右支上的两点反射后，分别经过点和，其中共线，则（ ） A. 若直线的斜率存在，则的取值范围为 B. 当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为6 C. 当时，的面积为12 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，则______. 13. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________． 14. 实数，满足 ，则的最小值是______． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，，为上的点，且． （1）证明：平面； （2）若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 （1）从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． （2）定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 17. 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 （1）证明： （2）求的内切圆半径r的取值范围； （3）若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 18. 已知函数. （1）讨论在的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明：. 19. 在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆. （1）试判断3是否为抛物线的和谐数.若是，求出3的和谐圆；否则，请说明理由. （2）设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $