精品解析：2025年北京市燕山区九年级中考一模数学试题

北京市燕山地区初中毕业年级统一练习 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】由平角的定义和两直线平行同位角相等即可求出． 【详解】解：如图可得： ， ， ， （两直线平行同位角相等）． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线性质以及平角定义，熟练掌握平行线性质是解题关键． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴特征，绝对值的几何意义，有理数的运算等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 利用数轴的特征，绝对值的几何意义，有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，且 A．，该选项错误，故不符合题意； B．，该选项错误，故不符合题意； C．，该选项正确，故符合题意； D．，该选项错误，故不符合题意； 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即可求得． 【详解】解： 解得， 故选：C． 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 6. 2024年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到．其中表示每秒传输（）的数据．若我们的科技“再提速”到的10倍，达到每秒m（），则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 7. 下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（三边分别相等的两个三角形全等） 故选：A． 8. 如图，在中，于点，只需添加下面三个条件中的一个即可证明是直角三角形．①；②；③．所有正确条件的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质，等量代换，互为余角等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用直角三角形的判定方法，相似三角形的判定和性质，等量代换，互为余角等知识逐项判断即可． 【详解】解：∵ ，， ①当时，， 即， ∴是直角三角形，故①正确，符合题意； ②当时，无法证明是直角三角形，故②错误，不符合题意； ③当时，且， ， ,同①可得是直角三角形， 故③正确，符合题意； 综上，所有正确条件的序号是①③， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≠1 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】∵分式在实数范围内有意义， ∴x−1≠0， 解得：x≠1 故答案为x≠1． 【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于分母不等于零使得分式有意义． 10. 分解因式：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式,然后使用平方差公式． 【详解】= 故答案为: ． 【点睛】本题考查了使用提取公式，平方差公式进行因式分解，熟知以上知识点用法是解题关键． 11. 方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式转化为整式方程，求解后检验即可得解．熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算是解题的关键，注意，要进行检验． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得：， 检验，当时，， ∴时原方程的解， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若函数（）的图象经过点和，若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由题得，继而得到，解得． 【详解】解：函数（）的图象经过点和， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 13. 某社区医院六月份有300名女教师做体检，医生从中随机抽取10名女教师计算了它们的体重指数，得到的数据如下： 24.8 23.0 23.5 23.9 25.2 18.9 22.1 19.7 22.4 17.3 当体重指数参考值x 满足时，评定为标准体重．根据以上数据，估计这300名女教师中标准体重的人数是__________． 【答案】210 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，先找出抽取的10名女教师中标准体重的人数，再根据样本估计总体的方法来计算300名女教师中标准体重的人数． 【详解】解：抽取10名女教师标准体重有7人， ∴这300名女教师中标准体重的人数为人， 故答案为：210． 14. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则__________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理． 利用垂径定理得出，求得，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵的直径平分弦， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于2，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，且，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形，证得是本题的关键． 16. 某汽车的变速箱有1-6号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是：如果1号转动，那么2号转，但是5号停；如果2号或者5号转动，则4号停；3号和4号可以同时转，不能同时停；5号和6号必有一个在转动．若1号齿轮转动，则同时转动的另外三个齿轮是__________． 【答案】2号，3号，6号 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，理解题意合理推理是解题的关键． 根据题意逐项分析判断即可． 【详解】解：若1号齿轮转动，那么2号转，但是5号停； 2号转动了，则4号停了； ∵3号和4号可以同时转，不能同时停， ∴3号转动， ∵5号和6号必有一个在转动，5号停了， ∴6号必在转动， 综上，转动的另外三个齿轮为：2号，3号，6号． 故答案为：2号，3号，6号． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，去绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，化简二次根式等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用去绝对值，特殊角的三角函数值，零次幂，化简二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】． 【解析】 【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部分即可. 详解： 由①得，， 由②得，， ∴不等式的解集为． 点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可. 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方差公式，提公因式法因式分解等知识点，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先整理，利用完全平方差公式和提公因式法因式分解化简原分式为，整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 20. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分，，求AC的长． 【答案】（1）证明见解析． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形BCDE是平行四边形，再证明一组邻边相等即可； （2）连接AC，根据平行线的性质及等角对等边证明AB=1，AD=2，可知，再根据菱形的性质即可得出是含的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求AC的长． 【小问1详解】 ，E为AD的中点， ， ， ∴四边形BCDE是平行四边形， ，， ， ∴四边形BCDE是菱形． 【小问2详解】 解：连接AC． ，AC平分， ， ， ， ， ， 四边形BCDE是菱形 ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理等，解题的关键是连接AC构造． 21. 在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元．求： （1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元? （2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？ 【答案】（1）A、B型洗衣机的售价分别为1100元和1600元；（2）小李购买洗衣机除财政补贴外实际付款957元，小王购买洗衣机除财政补贴外实际付款1392元. 【解析】 【分析】（1）可根据：“两人一共得到财政补贴351元；又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元”来列出方程组求解． （2）根据（1）得出的A，B洗衣机的售价根据补贴的规定来求出两人实际的付款额． 【详解】解：（1）设A型洗衣机的售价为x元，B型洗衣机的售价为y元 根据题意，得解得 所以A、B型洗衣机的售价分别为1100元和1600元. （2）1100-1100×13%=957（元），1600-1600×13%=1392（元） 所以小李购买洗衣机除财政补贴外实际付款957元，小王购买洗衣机除财政补贴外实际付款1392元. 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题关键是找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的性质，一次函数图象的性质等，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． （1）利用待定系数法和平移的性质即可求得结果； （2）根据一次函数图象的性质即可得出结果． 小问1详解】 解：将代入得， ， 解得； ∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， ， 将代入得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得的解析式为，的解析式为， 如图所示，当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值， 则． 23. 某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分的众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】（1）①90,3② （2）甲，89 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是解题的关键． （1）①利用众数，中位数的概念计算即可；②利用平均数的公式计算即可； （2）根据题目要求，求出甲和乙的平均数，然后确定丙的平均数为，进而分两种情况分别求出方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：①评委打分出出现次数最多的数据是90， （分）； 学生评分数据共50个，中位数是第25位和26位数据的平均数， 第1组有4个数据，第2组有12个数据，第3组有28个数据， 所以第25位和26位数据在第3组， 即的值位于学生评委打分数据分组的第3组， 故答案为：90,3； ②，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（分） （分） ∴， 所以甲排在乙的前面， 由于丙中间，， 所以， 解得， ， ①当时， ， ， 此时，，， 所以丙排在乙的后面，不符合题意； ②当时，， 此时，，， 所以甲排在丙的前面，丙排在乙的前面，符合题意； 综上，． 故答案为：甲，． 24. 如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的判定和性质，三角函数比，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并准确构造辅助线． （1）利用圆的切线的性质得出，再结合条件得出，根据平行线的性质和等边对等角即可得出； （2）连接，则，利用三角函数比和勾股定依次求出的长即可求得半径． 【小问1详解】 证明:∵是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，则， 由（1）得， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 的半径长为5． 25. 某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱所在抛物线的解析式及的长； （2）和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】（1），37米 （2）6米 （3）该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的解析式，坡度的定义，通过解析式求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质． （1）抛物线的对称轴是轴，因而解析式一定是的形式，根据条件可以求得抛物线上，的坐标分别是和，利用待定系数法即可求解； （2）根据坡度的定义，即垂直高度与水平宽度的比，即可求解； （3）在抛物线解析式中，令，得到的函数值与米，进行比较即可判断． 【小问1详解】 解：设所在的抛物线的解析式， 由题意得，，代入抛物线解析式得， ， 解得 ， 所在的抛物线的解析式为， ，且， （米）， （米）； 【小问2详解】 解：，， ， （米）， 所以，AB的宽是6米； 【小问3详解】 解：该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由如下： 在中，当时， ， ∴该大型货车可以从桥下区域安全通过． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点，在抛物线上．若，求a取值范围 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解； 【小问1详解】 解：∵经过点， ∴， 整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 当时，抛物线开口向上． 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． ∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大， ∴，同时 解不等式组 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． 若，； ∵， ∴ ． 解得 ． 若，． ∴ ． 解得：， ∵， ∴不等式无解 ． ∴当时，的取值范围是； 综上，a的取值范围是或． 27. 在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线对称点为E．连接，． （1）如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）连接，依题意补全图2．若，求的大小． 【答案】（1），证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论． （2）方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解． 【小问1详解】 解：线段与的数量关系：． 证明：连接，如图1． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ． ． ． 是等边三角形． ，． 中，，， ． 依题意，得，点在上． ． ． ． ． ． 在中，． ． ． 【小问2详解】 解：依题意补全图2，如图． 方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2． ， ． ， 是等边三角形． ，． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ， ． ， ． ． ， ． ，， ． ． ． ． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ． ， ． ． ，， ． ． ． 由（1）可得． 为中点， ． ． ，，， ． ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点P，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点P是弦的“关联点” （1）已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是 ； ②如图2，若点，点P是的弦的“关联点”，直接写出线段，线段的长； （2）已知点，线段是以点C为圆心，以1为半径的的直径，对于线段上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①和；②， （2） 【解析】 【分析】（1）①已知线段长，求出的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出，，，再看与是否相等即可作出判断； ②由，的坐标求出，再求出到的距离，进而求出； （2）首先确定线段与长度间的关系，线段长度越长，线段长度越长；然后举例线段，确定线段最大值和最小值取值情况；改变线段的位置，确定线段最大值和最小值的变换情况；当线段是水平线段时，取最大值；当线段是竖直线段时，取最小值，由此可解决问题． 【小问1详解】 解：先探究长度确定时，的长度，如图， ，是的切线，切点分别为，， 由切线长定理，得，，， ， ，即， ， ①，， ， ， ， ， ， 弦的“关联点”是，， 故答案为：和； ②，． 理由：由，， 可知， ， ； 【小问2详解】 ． 理由如下：，， ， ， 越大，越大；越小，越小； 即点是弦的“关联点”时，越大，越大；越小，越小； 以线段为例，如图： 当最大时，， 当最小时，， 改变线段的位置到，如图： 当由变为， ， ， 当由变为， ， ， ，， ， 当为水平线段时，如图： ，， ， ， ， 改变线段的位置到，如图： 过点作于点， 当由变为， ， ， 当由变时， ， ， ，， ， 当为竖直线段时，如图： ，或， ， ， ， 综上，． 【点睛】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段与的等量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市燕山地区初中毕业年级统一练习 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，点B在直线a上，，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 80° D. 140° 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 4. 若关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 2024年技术正式开始商用，它数据下载的最高速率从初期的提升到．其中表示每秒传输（）的数据．若我们的科技“再提速”到的10倍，达到每秒m（），则m的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 8. 如图，在中，于点，只需添加下面三个条件中的一个即可证明是直角三角形．①；②；③．所有正确条件的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 分解因式：=_______． 11. 方程的解为__________． 12. 在平面直角坐标系中，若函数（）的图象经过点和，若，则的值是__________． 13. 某社区医院六月份有300名女教师做体检，医生从中随机抽取10名女教师计算了它们的体重指数，得到的数据如下： 24.8 23.0 23.5 23.9 25.2 18.9 22.1 19.7 22.4 17.3 当体重指数参考值x 满足时，评定为标准体重．根据以上数据，估计这300名女教师中标准体重的人数是__________． 14. 如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则__________． 15. 如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于2，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为________． 16. 某汽车的变速箱有1-6号齿轮受电脑程序控制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序是：如果1号转动，那么2号转，但是5号停；如果2号或者5号转动，则4号停；3号和4号可以同时转，不能同时停；5号和6号必有一个在转动．若1号齿轮转动，则同时转动的另外三个齿轮是__________． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，，，，E为AD的中点，连接BE． （1）求证：四边形BCDE为菱形； （2）连接AC，若AC平分，，求AC的长． 21. 在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元．求： （1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元? （2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？ 22. 在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某校“节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由8名教师评委和50名学生评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 85，86，88，90，90，91，92，94 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分4组：第1组，第2组，第3组，第4组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 学生评委 93 根据以上信息，回答下列问题： ①教师评委打分众数 ，的值位于学生评委打分数据分组的第 组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为，则 （填“＞”“＝”或“＜”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 90 92 90 89 91 乙 90． 91 89 90 91 丙 92 89 91 91 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 24. 如图，在△ABC中，，点D在AB上，以AD为直径作与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径的长． 25. 某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱所在抛物线的解析式及的长； （2）和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点，在抛物线上．若，求a的取值范围 27. 在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． （1）如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； （2）连接，依题意补全图2．若，求的大小． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点P，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点P是弦的“关联点” （1）已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是 ； ②如图2，若点，点P是的弦的“关联点”，直接写出线段，线段的长； （2）已知点，线段是以点C为圆心，以1为半径的的直径，对于线段上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $