2024年北京中考数学一模分类——新定义

2024北京中考数学一模分类——新定义解析 1．（2024•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M′，将所有M′组成的图形记作M″，称M″是图形M关于图形N的“关联图形”． （1）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（2，t），其中t≠0． ①若t＝1，请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”； ②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围； （2）对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含a和r的式子表示）． 【分析】（1）①依据题意，根据所给信息，结合旋转的性质进行作图可以得解； ②依据题意，结合图形，进而可以判断得解； （2）依据题意，画出分析图，线段AB的长度为a，圆N的半径为r，由点A、B分别绕点N顺时针旋转 90° 得到 N1，N2，从而分析可知△BNP∽△BNQ且相似比为 ，则可得圆 N1 N2 的半径均为 ，进而可以判断得解． 【解答】（1）解：①如图所示：线段B'C'即为所求； ②如图： 当t＝2时，点A关于线段BC的“关联图形”与y轴恰有公共点， ∴t≥2时，点A关于线段BC的“关联图形”与y轴有公共点； 当t＝﹣4时，点A关于线段BC的“关联图形”与x轴恰有公共点， ∴t≤﹣4时，点A关于线段BC的“关联图形”与x轴有公共点． 综上所述：t≤﹣4或t≥2； （2）如图， 画出分析图，如图所示，线段AB的长度为a，圆N的半径为r， 点A、B分别绕点N顺时针旋转 90° 得到 N1 N2， 分析可知△BNP∽△BNQ且相似比为 ， 可得圆 N1 N2 的半径均为 ， ∴随意转动图，可得2r≤d≤2r+a． 【点评】本题是几何变化综合题，属于新定义题，解题时要能读懂题意，结合旋转的性质画图是关键． 2．（2024•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”． （1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（，），P2（，），在点Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（，）中，点P1关于直线l的“衍生点”是 　Q2　，点P2关于直线l的“衍生点”是 　Q3　； （2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围； （3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值． 【分析】（1）a＝0，则直线l为x轴，据此求出P1，P2的对称点P1′，P2′，然后可以求出P1P1′和P2P2′的长度，用勾股定理求出Q1，Q2，Q3，Q4到原点的距离，判断是否符合新定义即可； （2）因为直线y＝ax过圆心O，所以P′也在圆上，所以PP′不大于圆的直径，因为存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，所以线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，据此解答； （3）根据P所在位置分类讨论，得出PP′的取值范围，从而根据新定理求出MN的长度的最大值，从而得解． 【解答】解：（1）当a＝0时，直线l为y＝0，即x轴， ∵P1（，），P2（，）， ∴P1′（，），P2′（，）， ∴P1P1′，P2P2′， ∵Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（，）， ∴OQ1，OQ2，OQ3，OQ4＝2， ∴点P1关于直线l的“衍生点”是Q2，点P2关于直线l的“衍生点”是Q3； 故答案为：Q2，Q3； （2）∵直线l：y＝ax过圆心O， ∴P′也在⊙O上， ∴PP′≤2， ∵存在点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”， ∴线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点， 令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m， ∴A（﹣m，0），B（0，m）， 当OA＝OB＝2时，线段AB上所有点到O的距离都不大于2， 此时，m＝±2， 又∵y＝ax不能是y轴， ∴（1，0）和（﹣1，0）不能同时是P和P′， ∴m＝±2符合题意； 当O到线段AB的距离是2时， ∵OA＝OB，OA⊥OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OA＝2， ∴m＝±2， ∴要满足线段AB上存在到O的距离不小于2的点，也存在不大于2的点，需要满足：﹣2m≤﹣2或2≤m≤2， ∴﹣2m≤﹣2或2≤m≤2； （3）∵﹣1≤a≤1， ∴在图中作直线y＝x和直线y＝﹣x，将⊙O分成四份，如图： ①当P在或上时， 当P，P′重合时，PP′＝0， 当PP′为直径时，PP′＝2， ∴0≤PP′≤2， ∴D（s）＝2， ②当P在或上时， 当PP′为直径时，PP′＝2， 当P在y轴上时，直线l为y＝x或y＝﹣x时，PP′取最小值， 此时，PP′， ∴PP′≤2， ∴D（s）＝2， 综上所述，D（s）的最小值为2． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，结合一次函数的图象、轴对称的性质、勾股定理等知识点，充分理解新定义，是本题解题的关键． 3．（2024•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥l1于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d． （1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为 　2　； （2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为 　2　； （3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【分析】（1）可得出M（2，0），N（0，2），从而得出MN＝2； （2）延长NQ，MP交于点A，得出四边形ANOM是矩形，AQ＝AP＝1，设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3），从而得出OA，进而得出结果； （3）设直线yx+b与x轴交于D，交直线y于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB，可得出△PBQ是等边三角形，可得出点B在过O点且与CD垂直的直线上运动，从而得出当点B越往上，MN越大，从而推出当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小；当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E，可求得AE，AF＝OF＝EF＝2，从而得出BF和BE的值，进而得出BM和BN的值，进一步得出结果； 当直线y与⊙A相切时，MN最小，同样的方法得出结果，进一步得出结果． 【解答】解：（1）∵点P（2，1），Q（1，2）， ∵M（2，0），N（0，2）， ∴MN＝2， 故答案为：2； （2）如图1， 延长NQ，MP交于点A， ∵QN⊥y轴，PM⊥x轴， ∴∠ANO＝∠AMO＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴四边形ANOM是矩形， ∴∠NAM＝90°，MN＝AO， ∵线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动， ∴∠AQP＝∠APQ＝45°， ∴AQ＝AP＝1， 设Q（m，﹣m+3），则A（m+1，﹣m+3）， ∴OA， ∴当m＝1时，OA最小＝2， ∴MN的最小值为：2， 故答案为：2； （3）如图2， 1 设直线yx+b与x轴交于D，交直线y于C，延长NQ，MP，交于点B，作直线AB， ∴∠CDO＝∠OCD＝30°， ∵QN⊥l2，PM⊥x轴， ∴∠CNQ＝∠PMD＝90°， ∴∠BQP＝∠CQN＝60°，∠BPQ＝∠MPD＝60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴∠QBP＝60°，AB⊥PQ，∠PBA＝30°， ∴点B在过O点且与CD垂直的直线上运动， ∴当点B越往上，MN越大， ∴当MP和BN与⊙A相切时，MN最大，当直线l1且⊙A于下方时，MN最小， 如图3， 当PM和NQ与⊙A相切时，连接AP，设AB交ON于F交x轴于E， ∴AP⊥BM， ∴AB＝2AP＝2， ∵∠AOE＝90°，∠OAE＝∠PBA＝30°，OA＝2， ∴AE， ∵∠FOE＝∠FEO＝60°， ∴∠OFE＝60°， ∴∠OAF＝∠AOF＝30°， ∴AF＝OF＝EF＝2， ∴BF＝AF+AB＝4，BE＝AE+AB＝6， ∴BN＝BF•sin∠BFN＝4•sin60°＝2， BM＝BE•sin∠FEO＝6•sin60°＝3， ∴MN2＝BN2+BM2﹣BN•BM＝（2）221， ∴MN， 如图4， 当直线y与⊙A相切时，MN最小， ∵PF＝AF﹣AP＝2﹣1＝1，EQ＝AE﹣AQ＝4﹣1＝3， ∴PNPF，QMEQ， ∴MN2＝PN2+QM2﹣PN•QM， ∴MN， ∴． 【点评】本题考查了新定义的阅读理解，圆的切线的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，转化题意． 4．（2024•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段PQ，给出如下定义：若线段PQ关于直线l的对称图形是⊙O的弦P′Q′（P′，Q′分别为P，Q的对应点），则称线段PQ是⊙O关于直线l的“对称弦”． （1）如图，点A1，A2，A3，B1，B2，B3的横、纵坐标都是整数．线段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O关于直线y＝x+1的“对称弦”的是 　A1B1　； （2）CD是⊙O关于直线y＝kx（k≠0）的“对称弦”，若点C的坐标为（﹣1，0），且CD＝1，求点D的坐标； （3）已知直线yx+b和点M（3，2），若线段MN是⊙O关于直线yx+b的“对称弦”，且MN＝1，直接写出b的值． 【分析】（1）画出三条线段关于y＝x+1的对称线段即可判断； （2）因为对称直线过圆心O，C在圆上，它们的对称点也在圆上，所以D也在圆上，因为CD是定值，所以D在以C为圆心，半径为1的圆上，所以两个圆的交点就是D点； （3）因为M关于直线的对称点在⊙O上，所以M在⊙O关于直线的对称圆上，据此写出点O关于直线的对称点坐标，然后根据两点距离公式求解即可． 【解答】解：（1）如图所示： ∴⊙O关于直线y＝x+1的“对称弦”的是A1B1， 故答案为：A1B1； （2）设点C，D关于直线y＝kx（k≠0）的对称点为C′，D′， ∴直线y＝kx垂直平分CC′和DD′， ∵C′D′是⊙O关于直线y＝kx（k≠0）的“对称弦”， ∴C′，D′在⊙O上， ∵点C的坐标为（﹣1，0）， ∴点C在⊙O上， ∵直线y＝kx经过圆心O， ∴D′也在⊙O上， ∵CD＝1， ∴D在以C为圆心，半径为1的圆上， ∴⊙O与⊙C的交点即为D点，如图： ∵OC＝CD＝OD＝1， ∴△COD为等边三角形， ∴D（，±）； （3）设点M关于直线yx+b的对称点为M1， 由“对称弦”的定义可知，M1在⊙O上， ∴OM1＝1， 设点O关于直线yx+b的对称点为O1， 由对称的性质可知，O1M＝1， 设直线yx+b与x，y轴交于P，Q两点， 连接OO1交PQ于点F，过O1作O1E⊥x轴于E，如图： 令x＝0，则y＝b，令y＝0，则xb， ∴P（b，0），Q（0，b）， ∴OQ＝b，OPb， ∴PQ2b， 由对称的性质可知，OF＝FO1，OO1⊥PQ， 根据等积变换可得：OFb， ∴OO1＝2OFb， ∵∠O1OE+∠QPO＝90°，∠OO1E+∠O1OE＝90°， ∴∠OO1E＝∠QPO， ∵sin∠QPO， ∴∠QPO＝30°， ∴∠OO1E＝30°， ∴OEOO1b，O1EOEb， ∴O1（b，b）， ∴O1M1， 解得：b或． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，根据新给的定义，结合轴对称的性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识来解答是本题解题的关键． 5．（2024•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C，给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）已知点A（﹣1，0）． ①如图1，若⊙O的弦，在点，C2（﹣1，1），中，弦AB的“关联点”是 　C1和C3　； ②如图2，若点，点C是⊙O的弦AB的“关联点”，直接写出OC的长； （2）已知点D（3，0），线段EF是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的直径，对于线段EF上任意一点S，存在⊙O的弦AB，使得点S是弦AB的“关联点”．当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦AB长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①已知AB线段长，求出OC的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出OC1，OC2，OC3，再看与OC是否相等即可作出判断； ②由A，B的坐标求出AB，再求出O到AB的距离OD，进而求出OC； （2）首先确定线段OS与AB长度间的关系，线段OS长度越长，线段AB长度越长；然后举例线段EF，确定线段OS最大值和最小值取值情况；改变线段EF的位置，确定线段OS最大值和最小值的变换情况；当线段EF是水平线段时，t取最大值；当线段EF是竖直线段时，t取最小值，由此可解决问题． 【解答】解：先探究AB长度确定时，OC的长度，如图， ∵CA，CB是⊙O的切线，切点分别为A，B， ∴由切线长定理，得OA⊥AC，OB⊥BC，AB⊥OC， ∴△OAC∽△ODA， ∴，即， ∴OC， （1）①∵AB，r＝1， ∴OD， ∴OC2， ∵OC12， OC12， OC32， ∴弦AB的“关联点”是C1，C3， 故答案为：C1和C3； ②OC． 理由：由A（﹣1，0），B（，）， 可知AB1， ∴OD， ∴OC； （2）t． 理由如下：∵OD，OC， ∴， ∴AB， ∴OC越大，AB越大；OC越小，AB越小； 以线段EF为例，如图： 当AB最大时，OSmax＝OE， 当AB最小时，OSmin＝OF， 改变线段EF的位置到E1F1，如图： 当OSmax由OE变为OE1， ∵OE＜OE1， ∴ABmax＜A1B1max， 当OSmin由OF变为OF1， ∵OF＞OF1， ∴ABmin＞A1B1min， ∵t＝ABmax﹣ABmin，t1＝A1B1max﹣A1B1min， ∴t1＞t， 当EF为水平线段时，如图： OSmin＝OF＝2，OSmax＝OE＝4， ABmin， ABmax， ∴tmax， 改变线段EF的位置到E2F2，如图： 过点O作OG⊥E2F2于点G， 当OSmax由OE变为OE2， ∵OE＞OE2， ∴ABmax＞A2B2max， 当OSmin由OF变为OG时， ∵OF＜OG， ∴ABmin＜A2B2min， ∵t＝ABmax﹣ABmin，t2＝A2B2max﹣A2B2min， ∴t＞t2， 当EF为竖直线段时，如图： OSmin＝OD＝3，OSmax＝OE或OF， ABmin， ABmax， ∴tmin， 综上，t． 【点评】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段AB与OC的等量关系是解题的关键． 6．（2024•石景山区一模）对于线段MN和点P给出如下定义：点P在线段MN的垂直平分线上，若以点P为圆心，PM为半径的优弧上存在三个点A，B，C，使得△ABC是等边三角形，则称点P是线段MN的“关联点”．例如，图1中的点P是线段MN的一个“关联点”．特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点P是线段MN的“强关联点”． 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0）． （1）如图2，在点C1（1，﹣3），C2（1，0），，C4（2，1）中，是线段OA的“关联点”的是 　C1，C3　； （2）点B在直线上．存在点P，是线段OA的“关联点”，也是线段OB的“强关联点”． ①直接写出点B的坐标； ②动点D在第四象限且AD＝2，记∠OAD＝α．若存在点Q，使得点Q是线段AD的“关联点”，也是OB的“关联点”，直接写出α及线段AQ的取值范围． 【分析】根据等边三角形的性质以及圆的性质可知，当MN和BC重合时，则P是线段MN的“强关联点”，所以当MN小于⊙P内接正三角形边长的时候，点P是线段MN的一个“关联点”，据此得出，P到M（N）的距离要不小于MN，∠PMN≥30°，取等时为“强关联点”； （1）先找出OA的垂直平分线，然后计算每个C点到O的距离进行判断即可； （2）①根据“强关联点”的性质以及一次函数的性质，确定P点坐标，在根据P在OB垂直平分线上求出B坐标即可； ②以A为圆心，以2为半径作⊙A，交x轴于N，连接AB，连接PA并延长交⊙A于M，取AD中点E，作EF⊥AD交AP于点Q，过A作GH∥OB，交⊙A于G，H，根据D点位置位置分类讨论，根据夹角的条件求出α的取值，然后据此求出AQ的取值范围． 【解答】解：（1）∵A（2，0）， ∴OA的垂直平分线为x＝1，OA＝2， ∴C4不是“关联点”， ∵C1（1，﹣3），C2（1，0），， ∴OC1，OC2＝1，OC3， ∵OA， ∴C1，C3是线段OA的“关联点”， 故答案为：C1，C3； （2）①由（1）知，P在直线x＝1上， ∵P是线段OB的“强关联点”， ∴∠POB＝30°， ∵B在直线yx上， ∴tan∠BOA， ∴∠BOA＝30°， ∴∠POA＝60°或0°（舍去，由（1）知，不符合题意）， ∴P在直线yx上， ∴P（1，）， ∴OP＝2， 设B（x，x）， ∴BP2， 解得：x＝3或0（舍去，与O重合）， ∴B（3，）； ②∵动点D在第四象限且AD＝2， ∴D在以A为圆心，半径为2的圆上，如图： 以A为圆心，以2为半径作⊙A，交x轴于N，连接AB，连接PA并延长交⊙A于M，取AD中点E，作EF⊥AD交AP于点Q，过A作GH∥OB，交⊙A于G，H， 由①知，∠POA＝60°，PA＝PO， ∴△OPA为等边三角形， ∴∠PAO＝60°， ∴∠OAM＝120°， ∵AB2， ∴AO＝AB， ∴A也在OB的垂直平分线上， ∴PA为OB的垂直平分线， ∴PA⊥OB， ∴∠BOA＝30°， ∵GH∥OB， ∴∠OAG＝∠BOA＝30°， 当点D在上时，即0°＜α＜30°， ∴∠QAD＝∠QAO+∠OAD＝60°+α＞30°， ∴点Q是线段AD的“关联点”， ∵AQ，60°＜∠QAD＜90°，AEAD＝1， ∴AQ＞2， 当点D和点G重合时，即α＝30°， ∴∠QAD＝90°， 此时QE∥PA， ∴Q点不存在； 当点D在上时，即30°＜α≤120°， ∴∠QAE＝∠OAM﹣∠AOD＝120°﹣α， ∴120°﹣α≥30°， ∴30°＜α≤90°， ∴cos∠QAE， ∴AQ， 当D在上时，即120°＜α＜180°， ∴∠QAE＝∠QAO﹣∠OAM＝α﹣120°， ∴α﹣120°≥30°， ∴150°≤α＜180°， ∴30°≤∠QAE＜60°， ∴cos∠QAE， ∴AQ＜2， 综上所述，0°＜α＜30°或30°＜α≤90°或150°≤α＜180°，AQ． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握一次函数的性质、垂直平分线的性质、三角函数的定义以及坐标与图形性质是本题解题的关键． 7．（2024•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，n），A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动： P运动：将点A向右平移|m|个单位长度，再向上平移|n|个单位长度，得到点A′再将点A′绕点O逆时针旋转90°得到点A1； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转90°，得到点A″，再将点A″向右平移|m|个单位长度，再向上平移|n|个单位长度，得到点A2． （1）如图，已知点A（1，1），M（m，0），点A分别经过P运动与Q运动后，得到点A1，A2． ①若m＝1，请你在图中画出点A1，A2的位置； ②若A1A2＝2，求m的值． （2）已知AB＝t，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点A1，A2与点B1，B2，连接A1B1，A2B2．若线段A1B1与A2B2存在公共点，请直接写出此时线段MO长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 【分析】（1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可； ②首先表示出点A1的坐标为（﹣1，1+|m|），A2的坐标为（﹣1+|m|，1），然后根据A1A2＝2得到，进而求解即可； （2）由题意得A1B1∥A2B2，A1B1＝A2B2＝t，设A（x，y），经过P运动，则A′（x+|m|，y+|n1|），则A′（﹣y﹣|n|，x+|m|）；Q运动后，A″（﹣y，x），A2（﹣y+|m|，x+|n|），则即可求解． 【解答】解：（1）①如图所示： 由P运动知A′（2，1），由旋转得OA'＝OA1，∠A1OA'＝90°， ∵∠M＝∠N＝90°， ∴∠A'OM+∠A1ON＝180°﹣90°＝90°，∠A'OM+∠OA'M＝90°， ∴∠A1ON＝∠OA'M， ∴△A1NO≌△A'OM（AAS）， ∴A1N＝OM＝2．ON＝A'N＝1， ∴A（﹣1，2）； 由Q运动同理可求A″（﹣1，1），再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到A2（0，1）； ②∵A（1，1）， ∴点A经过P运动后得到的点A1的坐标为（﹣1，1+|m|），点A经过Q运动后得到的点A1的坐标为（﹣1+|m|，1）， ∵A1A2＝2， ∴， ∴； （2）根据题意，由旋转的不变性和平移的性质得：A1B1∥A2B2，A1B1＝A2B2＝t， 设A（x，y），经过P运动，则A'（x+|m|，y+|n|），则A1（﹣y﹣|n|，x+|m|）； Q运动后，A″（﹣y，x），A2（﹣y+|m|，x+|n|），则， ∴当A1A2≤t时，线段A1B1与A2B2存在公共点， ∴， ∴． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定定理等知识点是解答本题的关键． 8．（2024•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点T（t，0），⊙T的半径为1，过⊙T外一点P作两条射线，一条是⊙T的切线，另一条经过点T，若这两条射线的夹角大于或等于45°，则称点P为⊙T的“伴随点”． （1）当t＝0时， ①在P1（1，0），，P3（﹣1，1），P4（1，﹣2）中，⊙T的“伴随点”是 　P2，P3　． ②若直线上有且只有一个⊙T的“伴随点”，求b的值； （2）已知正方形EFGH的对角线的交点M（0，t），点，若正方形上存在⊙T的“伴随点”，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，设射线PM与⊙T相切于点M，连接TM，根据题目所给定义，1＜PT，分别求出四个点与T（0，0）间的距离，然后进行判断即可； ②根据直线yx+b上且只有一个⊙T的“伴随点”，得出直线与以T（0，0）为圆心，为半径的圆相切，设直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与以T为圆心，为半径的圆相切于点C，连接TC，，得出，进而可以判断得解． （2）依据题意，分两种情况进行讨论：当t＞0时，当t＜0时，分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可得解． 【解答】解：（1）①如图1：设射线PM与⊙T相切于点M，连接TM． 由题意，TM⊥PM， 当∠P＝45°时，在Rt△PMT中， ． ∴当点P在⊙T外，∠P≥45°，1＜PT． 当t＝0时，点T（0，0）， ∵P1T＝1，P2T，P3T，P4T， ∴在P1（1，0），，P3（﹣1，1），P4（1，﹣2）中，⊙T的“伴随点”是P2，P3． 故答案为：P2，P3． ②当点P在⊙T外且∠P≥45°时，． ∴点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外． 如图2： ∵直线上有且只有一个⊙T的“伴随点”， ∴直线与以T为圆心，为半径的圆相切． ∴b≠0． 设直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与以T为圆心，为半径的圆相切于点C，连接TC， ∴TC⊥AB． 令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝﹣2b， ∴A（﹣2b，0），B（0，b）． ∴AT＝|﹣2b|，BT＝|b|． 在Rt△ATB中，，∠1+∠2＝90°． ∵TC⊥AB， ∴∠2+∠3＝90°． ∴∠1＝∠3． ∴． 在Rt△TCB中， ． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）∵正方形EFGH的对角线的交点M（0，t），E（，t）， ∴点G（，t），F（，t），H（，t）． 当t＞0时，如图所示． 此时正方形EFGH上的点到圆心T的最大距离为ET，最小距离为GT， ∵正方形上存在⊙T的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径 圆上或圆内，且在以1为半径的圆外， ∴ET＞1，GT． ∵ET（t）， GT|t|， ∴． ∴t． 当t＜0时，如图所示， 此时正方形EFGH上的点到圆心T的最大距离为GT，最小距离为ET， ∵正方形上存在⊙T的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径 圆上或圆内，且在以1为半径的圆外， ∴ET，GT＞1． ∵ET|t|， GT（t）， ∴． ∴t． 综上，t．或． 【点评】本题主要考查了切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质等，解题时要能熟练掌握并灵活运用数形结合是关键． 9．（2024•延庆区一模）我们规定：将图形M先向右平移a（a＞0）个单位，得到图形M′，再作出图形M′关于直线x＝b的对称图形M″，则称图形M″是图形M的a，b平对图形． （1）已知点B（1，2），若a＝3，b＝1，则点B′的坐标是 　（4，2）　；点B″的坐标是 　（﹣2，2）　； （2）已知点C（0，3），它的平对图形C″（4，3），求出a与b的数量关系； （3）已知⊙O的半径为1，其中a≥1，若存在实数b，使⊙O的平对图形与直线y＝ax+b有公共点，直接写出b的最小值及相应的a的值． 【分析】（1）根据坐标的平移和轴对称规律，结合新定义解答即可； （2）根据新定义和坐标平移，轴对称坐标的变化规律列式变形即可求出a与b的数量关系； （3）先求出圆心O的平对点O''的坐标，求出O''到直线y＝ax+b的距离，再根据⊙O的平对图形与直线y＝ax+b有公共点，则O''到直线y＝ax+b的距离不大于半径1，列式求解即可． 【解答】解：（1）点B（1，2）向右平移3个单位，得到B'（1+3，2），即B'（4，2）， B'（4，2）关于直线x＝1的对称点B''（1﹣4+1，2），即B''（﹣2，2）， 故答案为：（4，2），（﹣2，2）； （2）∵点C（0，3），它的平对图形 C''（4，3）， ∴C（0，3）向右平移a个单位长度，得到 C'（a，3），C'关于直线 x＝b 的对称图形 C''， ∴4﹣b＝b﹣a， ∴2b﹣a＝4； （3）b的最小值为 ，相应的a的值为1． 理由：圆心O（0，0）向右右平移a（a＞0）个单位，得到O'（a，0），O'（a，0）关于直线x＝b的对称点O''（2b﹣a，0）， 画出示意图如下，连接O''B，图中A（，0），B（0，b），O''（2b﹣a，0），OH⊥AB于点H， ∴O''A＝|2b+a|，OB＝|b|，AB， ∵S△O''ABO''A•OBAB•O''H， ∴O''H， 使⊙O的平对图形与直线y＝ax+b有公共点，只要O''到直线y＝ax+b的距离不大于半径1即可， ∴1，即|﹣b﹣2ab+a2|， 当﹣b﹣2ab+a2≥0时，解得b，此时有最小值， ∵a≥1， ∴2a+1≥3＞0，随着a的增大而增大， ∴当a＝1时，最小，最小值为； 当﹣b﹣2ab+a2＜0时，解得b，此时有最大值，不合题意， 故b的最小值为 ，相应的a的值为1． 【点评】本题以新定义为背景，考查几何变换，解答中涉及平移，轴对称，坐标与变换，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，面积法，一次函数图象，不等式变形等，理解新定义是解题的关键． 10．（2024•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，将中心为M的等边三角形记作等边三角形M，对于等边三角形M和点P（不与O重合）给出如下定义：若等边三角形M的边上存在点N，使得直线OP与以MN为半径的⊙M相切于点P，则称点P为等边三角形M的“相关切点”． （1）如图，等边三角形M的顶点分别为点O（0，0），，． ①在点，，P3（2，2）中，等边三角形M的“相关切点”是 　P1和P2　； ②若直线y＝x+b上存在等边三角形M的“相关切点”，求b的取值范围； （2）已知点M（m，m﹣2），等边三角形M的边长为．若存在等边三角形M的两个“相关切点”E，F，使得△OEF为等边三角形，直接写出m的取值范围． 【分析】根据“相关切点”的定义，可知PM⊥OP，所以P在以OM为直径的圆上，同时，因为N点要存在，所以内切圆半径≤PM≤外接圆半径， （1）根据等边三角形的性质以及三角形中心的性质求出点M的坐标；取OM的中点Q， ①在图上作出以OM为直径的圆，即可判断； ②根据“相关切点”的定义可知，直线y＝x+b与⊙Q有交点，画出△OAB的内切圆和外接圆，根据N存在的条件，求出b的取值范围； （2）作出⊙M，根据勾股定理、切线的性质、等边三角形的性质，用m表示出ME的长，然后根据E和F存在的条件求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）①作出以OM为直径的圆，如图： ∴P1和P2是等边三角形M的“相关切点”； 故答案为：P1和P2； ②设AB与x轴交于点C， ∴C（3，0）， ∵△OAB是等边三角形，AC＝BC， ∴OC是△OAB的中线， ∵M是△OAB的中心， ∴OMOC＝3， ∴M（2，0）， 取OM的中点Q， ∴Q（1，0），⊙Q的半径为1， ∵直线y＝x+b上存在等边三角形M的“相关切点”， ∴直线y＝x+b与⊙Q有交点，如图： 连接QP，设直线y＝x+b与x轴交于点S， 令y＝0，则x＝﹣b， ∴S（﹣b，0）， ∵tan∠QSP＝1， ∴∠QSP＝45°， 当直线y＝x+b与⊙Q相切， ∴QP⊥PS， ∴∠SQP＝45°， ∵PQ＝1， ∴P（1，）或（1，） 将P点坐标代入直线得： b＝﹣1或1， ∵OM刚好是△OAB的外接圆半径， ∴PM一定小于△OAB的外接圆半径， 设⊙Q与△OAB的内切圆在x轴下方交于点G， ∴有QM＝MG＝QG＝1， ∴G（，）， 当直线y＝x+b过点G时，b， ∵1， ∴b1． （2）由（1）②可知，△AOB的边长也为2， ∴等边三角形M的外接圆半径为2，内切圆半径为1， 连接OE，OF，OM，EM，EF，设OM与EF交于点T，如图： ∵OE＝OF，EM＝FM， ∴OM垂直平分EF， ∵△OEF是等边三角形， ∴∠EOF＝60°， ∴∠EOM＝30°， ∵OE是⊙M的切线， ∴OE⊥EM， ∴EMOM， 由两点间距离公式得：OM， ∵1≤EM≤2， ∴2≤OM≤4， ∴24， 解得：1m≤0或2≤m≤1． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的性质、三角形的内心与外心、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，正确理解新定义的意义是本题解题的关键． 11．（2024•平谷区一模）平面直角坐标系xOy中，已知⊙M和平面上一点P，若PA切⊙M于点A，PB切⊙M于点B，且90°≤∠APB＜180°，则称点P为⊙M的伴随双切点． （1）如果⊙O的半径为2， ①下列各点P1（﹣1，0），P2（﹣2，2），P3（3，3），P4（﹣1，﹣2）是⊙O的伴随双切点的是 　P2，P4　； ②直线y＝x+b上存在点P为⊙O的伴随双切点，则b的取值范围 　﹣4≤b≤4　； （2）已知点E（1，2）、F（0，﹣2），过点F作y轴的垂线l，点C（m，0）是x轴上一点，若直线l上存在以CE为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）求出P为圆O伴随双切点的条件， ①根据求出的条件进行判断即可； ②根据得出P的条件，判断原点到直线y＝x+b的距离的关系，从而得解； （2）因为l⊥y轴，所以直线l的表达式为y＝﹣2，根据（1）得出的P存在的条件判断以CE为直径的圆的圆心和半径的数量关系，从而求出m的取值； 【解答】解：（1）根据伴随双切点的定义，如图： ∵PA，PB与⊙O相切， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP（HL）， ∴∠APO＝∠BPO， ∵90°≤∠APB＜180°， ∴45°≤∠APO＜90°， ∴sin∠APO＜1， ∵OP，OA＝2， ∴2＜OP≤2， ①∵P1（﹣1，0），P2（﹣2，2），P3（3，3），P4（﹣1，﹣2）， ∴OP1＝1，OP2＝2，OP3＝3，OP4， ∵2＜OP≤2， ∴P2，P4是⊙O的伴随双切点； 故答案为：P2，P4； ②∵直线y＝x+b上存在点P为⊙O的伴随双切点， ∴圆心O到直线y＝x+b的距离不大于2， 设直线y＝x+b与x轴，y轴的交点为C，D，过O作OE⊥CD于E，如图： 令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x＝﹣b， ∴C（﹣b，0），D（0，b）， ∴OC＝OD＝|b|， ∴△COD为等腰直角三角形， ∴OEOC|b|， ∴|b|≤2， ∴﹣4≤b≤4； 故答案为：﹣4≤b≤4； （2）设CE的中点为F， ∴F（，1）， ∵l⊥y轴，F过直线l， ∴直线l的表达式：y＝﹣2， ∴圆心F到直线l的距离为1﹣（﹣2）＝3， 由（1）②可知，3EF， ∴EF， ∴CE≥3， 即3， ∴m1或m≤1． 【点评】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的性质、锐角三角函数的定义和意义以及勾股定理等知识点，正确理解新定义是本题解题的关键． 12．（2024•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在⊙O上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． （1）已知如图1点P（4，0）， ①如图1，在点Q1（3，0）、Q2（2，﹣1）、Q3（1，1）中，⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”的是 　Q1，Q2　； ②如图2，点Q（m，n），⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是 　1≤m≤3　； （2）如图3，已知点Q（1，1），点P在y＝﹣x+b的图象上，若⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 【分析】（1）①求出点P关于 Q1（3，0），Q2（2，﹣1），Q3（1，1）的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”； ②在⊙O上取点P关于点Q的“等距点”M，连接MP，取MP的中点即为点Q，连接OP，取其中点O'，连接QO'，根据中位线定理则判断出点Q的在以O′（2，0）为圆心，半径为1的⊙O'上，即可求解； （2）过点O作点Q的对称点O'，则点O'为（2，2），则⊙O上所有的点关于点Q的对称点都在以 O'（2，2）为圆心，半径为2的⊙O'上，那么直线y＝﹣x+b与⊙O'有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b即可． 【解答】解：①∵点P关于Q1（3，0），Q2（2，﹣1），Q3（1，1）的对称点分别为（2，0），（0，﹣2），（﹣2，2），如图， 则d1＝2＝R，d2＝2＝R，， ∴（2，0），（0，﹣2）在⊙O上，（﹣2，2）在⊙O外， ∴点P关于点Q的“等距点”的是Q1，Q2． 故答案为：Q1，Q2； ②在⊙O上取点P关于点Q的“等距点”M，连接MP，取MP的中点即为点Q，连接OP，取其中点O′，连接QO'，如图， 则O′Q为△PMO的中位线， ∴， ∴点Q的在以O'（2，0）为圆心，半径为1的⊙O′上， ∵⊙O′与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）， ∴1≤m≤3， 故答案为：1≤m≤3； （2）作出点O关于点Q的对称点O′，如图， ′ 则点O′为（2，2）， ∴⊙O上所有的点关于点Q的对称点都在以O′（2，2）为圆心，半径为2的⊙O'上， 对于y＝﹣x+b，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x＝b， ∴直线y＝﹣x+b与y轴交于点G（0，b），与x轴交于点H（b，0）， ∴OG＝OH， ∴△OGH为等腰直角三角形， ∵点P在y＝﹣x+b的图象上， ∴当直线y＝﹣x+b与⊙O'有公共点即可， 当直线y＝﹣x+b与⊙O'相切于点Q的左侧时，设切点为点E，直线与y轴交点G，与x轴交于点H，当直线 y＝﹣x+b与⊙O′相切于点Q的右侧时，设切点为点F， ∵O′（2，2）， ∴OO′2， ∴． ∵点Q（1，1）， ∴点Q在第一象限的夹角的平分线上， ∴∠EOG＝45°， 由题意：GE⊥OO'， ∴△OGE为等腰直角三角形， ∴OGOE＝4﹣2， 当直线 y＝﹣x+b与⊙O′相切于点Q的右侧时， 由于OF＝22， ∴同理可求：． 综上，点P在y＝﹣x+b的图象上，若⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，b的取值范围为：． 【点评】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，三角形的中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 13．（2024•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的“关联图形”． （1）如图，点A（﹣3，2），B（0，﹣1），C（3，2），D（﹣1，6）． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是 　B，C　； ②若⊙O不是点A的“关联图形”，求⊙O的半径r的取值范围； （2）已知点O′（m，0），E（m﹣3，0），G（m﹣2，1），⊙O′的半径为1，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若⊙O′是正方形EFGH的“关联图形”，直接写出m的最小值和最大值． 【分析】（1）①依据题意，根据“关联图形”的定义判断即可； ②依据题意，根据关联图形的定义，判断出A点旋转后的轨迹，从而得到⊙O的半径范围； （2）依据题意，根据关联图形的定义，求出点G旋转后的轨迹，当⊙O′与该轨迹有唯一交点时，m取最小值；根据关联图形的定义，求出点E旋转后的轨迹，当⊙O′与该轨迹有唯一交点时，m取最大值． 【解答】解：（1）①A点绕（0，2）逆时针旋转 90° 得到点B，点A绕（0，5）逆时针旋转90°得到点C， 故答案为：B，C； ②设点T（0，a），那么点A绕点T逆时针旋转90°得到点A′，作AJ⊥y轴交y轴于点J，作A′K⊥y轴交y轴于点K，如图1所示． 由旋转可知，AT＝A′T，∠ATA′＝90°， ∵∠AJT＝90°， ∴∠TAJ+∠ATJ＝90°， ∵∠ATJ+∠A′TK＝90°， ∴∠TAJ＝∠A′TK， ∴△ATJ≌△A′KJ（AAS）， ∵A（﹣3，2）， ∴TJ＝a﹣2＝KA′，AJ＝3＝TK， ∴OK＝TO﹣TK＝a﹣3， ∴A坐标为（a﹣2，a﹣3）， ∴A在y＝x﹣1上运动， 设y＝x﹣1与x轴的交点为M，与y轴交点为N， 当x＝0，y＝﹣1，当y＝0时，x＝1， ∴M（1，0），N（0，﹣1）， ∴， 以点O为圆心作圆，当⊙O与y＝x﹣1有为唯一交点时，半径为△OMN斜边上的高， ∴， ∴当⊙O不是点A的关联图形时，； （2）设点E（m﹣3，0）绕点T（0，a）逆时针旋转 90° 对应点为点E'，过点E′作E′S⊥y轴交y轴于点S，连接TE，TE′，如图2所示， 由旋转可知，AE＝TE＝TE'，∠ETE'＝90°， ∴∠ETO+∠E'TO＝90°， ∵∠ETO+∠TEO＝90°， ∴∠E'TO＝∠TEO， ∵∠EOT＝∠E'ST＝90°， ∴△ETO≌△TE'S（AAS）， ∴EO＝TS＝m﹣3，TO＝E'S＝a， ∴TS＝TO﹣SO＝a﹣（m﹣3）＝a+3﹣m， ∴E'点坐标为（a，a+m﹣3）， ∴E'在y＝x+m﹣3上运动， ∵k＝1， ∴y＝x+m﹣3与x轴的夹角为45°， 设y＝x+m﹣3在x轴的交点为Q，那么Q点坐标为（3﹣m，0）， 当y＝x+m﹣3与⊙O'有唯一交点R时，m最大， ∵y＝x+m﹣3与⊙O'相切， ∴∠O'RQ＝90°， ∴△O'RQ为等腰直角三角形且O'R＝1， ∴O'Q＝m﹣（3﹣m）＝2m﹣3， ∴， 故m最大为； 设点G（m﹣2，1）绕点T（0，a）逆时针旋转90°对应点为点G'，过点G'作G'P⊥y轴交y轴于点P，过点G作GQ⊥y轴交y轴于点Q，连接TG，TG'，如图3所示． 同理可证△GTQ≌△G'TP， ∴TQ＝PG'＝a﹣1，GQ＝TP＝2﹣m， ∴PO＝TO﹣TP＝a﹣（2﹣m）＝a+m﹣2． ∴G'的坐标是（a﹣1，a+m﹣2）， ∴G'在y＝x+m﹣1上运动， 设y＝x+m﹣1与x轴的交点为L（1﹣m，0），当⊙O'与该直线有唯一交点K时，m取最小值， 同理可证△O'KL为等腰直角三角形，且O'LO'K， ∴O'L＝1﹣m﹣m＝1﹣2m， ∴， 故m最小值为． 【点评】本题主要考查了线段的旋转、三角形全等的判定与性质、圆与直线的关系判断、圆的切线的性质等，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．（2024•北京一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”． （1）如图，⊙O的半径为2，点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0）． ①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 　BC　； ②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）已知三条直线y＝3，y＝﹣x，y＝﹣2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①先根据点A和点B的坐标得到⊙O与AB相切，则线段AB上没有点在⊙O外；再证明线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内，即可得到结论； ②设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T（t、t），利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在BT之间（不包括端点），即时，线段MN是⊙O的“交割线段”；由对称性可得当时，线段MN是⊙O 的“交割线段”； （3）分图2﹣1，图2﹣2，图2﹣3，图2﹣4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案． 【解答】解：（1）①如图1.1， ∵A（0，2），B（2，2）， ∴OA＝2，OA⊥AB， ∴点A在⊙O上， ∴⊙O与AB相切， ∴线段AB上没有点在⊙O外， ∴线段AB不是⊙O的“交割线段”， ∵OC＝1＜2，， ∴点C在⊙O内，点B在⊙O外， ∴线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内， ∴线段AC不是⊙O的“交割线段”，线段BC是⊙O的“交割线段”， 故答案为：BC； ②如图1.2所示，设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T（t、t）， ∴OH＝BH＝2，OG＝TG＝t， 此时点H网好在⊙O上，且此时BH与⊙O相切； ∵⊙O的半径为2， ∴OT＝2， ∴t2+t2＝22， 解得或 （舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在BT之间（不包括端点），即时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 由对称性可得：当时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段MN是⊙O的“交割线段”； （2）或；理由如下： 联立， 解得：， ∴E（﹣3，3）， 同理可得D（0，3），F（3，﹣3）； 如图2.1所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝2+3＝5； 如图2.2所示，当⊙T恰好与EF相切于H时，连接TH， ∵E（﹣3，3），D（0，3）， ∴DE＝OD＝3，DE⊥OD， ∴∠DOE＝45°， 由切线的性质可得∠THO＝90°， ∴△TOH是等腰直角三角形， ∵， ∴当时，DE，DF是⊙T的“交割线段”，EF不是⊙T的“交割线段”； 如图2.3所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝3﹣2＝1； 如图2.4所示， 当⊙T恰好与DF相切于P时，连接TP，设直线DF与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得∠TPD＝90°，TP＝2， ∴， ∴， ∴， ∴t＝3﹣2， ∴当3﹣2t≤1时，EF，DF是⊙T的“交割线段”，DE不是⊙T的“交割线段”； 综上所述，当3t≤1或2t＜5时，△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割 线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/27 23:43:08；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京中考数学一模分类——新定义 1．（2024•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义：P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M′，将所有M′组成的图形记作M″，称M″是图形M关于图形N的“关联图形”． （1）已知A（﹣2，0），B（2，0），C（2，t），其中t≠0． ①若t＝1，请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”； ②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围； （2）对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围（用含a和r的式子表示）． 2．（2024•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为1，对于⊙O上的点P和平面内的直线l：y＝ax给出如下定义：点P关于直线l的对称点记为P′，若射线OP上的点Q满足OQ＝PP′，则称点Q为点P关于直线l的“衍生点”． （1）当a＝0时，已知⊙O上两点P1（，），P2（，），在点Q1（1，2），Q2（，），Q3（﹣1，﹣1），Q4（，）中，点P1关于直线l的“衍生点”是 　 　，点P2关于直线l的“衍生点”是 　 　； （2）P为⊙O上任意一点，直线y＝x+m（m≠0）与x轴，y轴的交点分别为点A，B．若线段AB上存在点S，T，使得点S是点P关于直线l的“衍生点”，点T不是点P关于直线l的“衍生点”，直接写出m的取值范围； （3）当﹣1≤a≤1时，若过原点的直线s上存在线段MN，对于线段MN上任意一点R，都存在⊙O上的点P和直线l，使得点R是点P关于直线l的“衍生点”．将线段MN长度的最大值记为D（s），对于所有的直线s，直接写出D（s）的最小值． 3．（2024•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知线段PQ和直线l1，l2，线段PQ关于直线l1，l2的“垂点距离”定义如下：过点P作PM⊥l1于点M，过点Q作QN⊥l2于点N，连接MN，称MN的长为线段PQ关于直线l1和l2的“垂点距离”，记作d． （1）已知点P（2，1），Q（1，2），则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d为 　 　； （2）如图1，线段PQ在直线y＝﹣x+3上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段PQ关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为 　 　； （3）如图2，已知点，⊙A的半径为1，直线与⊙A交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段PQ关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 4．（2024•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段PQ，给出如下定义：若线段PQ关于直线l的对称图形是⊙O的弦P′Q′（P′，Q′分别为P，Q的对应点），则称线段PQ是⊙O关于直线l的“对称弦”． （1）如图，点A1，A2，A3，B1，B2，B3的横、纵坐标都是整数．线段A1B1，A2B2，A3B3中，是⊙O关于直线y＝x+1的“对称弦”的是 　 　； （2）CD是⊙O关于直线y＝kx（k≠0）的“对称弦”，若点C的坐标为（﹣1，0），且CD＝1，求点D的坐标； （3）已知直线yx+b和点M（3，2），若线段MN是⊙O关于直线yx+b的“对称弦”，且MN＝1，直接写出b的值． 5．（2024•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C，给出如下定义：若直线CA，CB都是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）已知点A（﹣1，0）． ①如图1，若⊙O的弦，在点，C2（﹣1，1），中，弦AB的“关联点”是 　 　； ②如图2，若点，点C是⊙O的弦AB的“关联点”，直接写出OC的长； （2）已知点D（3，0），线段EF是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的直径，对于线段EF上任意一点S，存在⊙O的弦AB，使得点S是弦AB的“关联点”．当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦AB长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 6．（2024•石景山区一模）对于线段MN和点P给出如下定义：点P在线段MN的垂直平分线上，若以点P为圆心，PM为半径的优弧上存在三个点A，B，C，使得△ABC是等边三角形，则称点P是线段MN的“关联点”．例如，图1中的点P是线段MN的一个“关联点”．特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点P是线段MN的“强关联点”． 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0）． （1）如图2，在点C1（1，﹣3），C2（1，0），，C4（2，1）中，是线段OA的“关联点”的是 　 　； （2）点B在直线上．存在点P，是线段OA的“关联点”，也是线段OB的“强关联点”． ①直接写出点B的坐标； ②动点D在第四象限且AD＝2，记∠OAD＝α．若存在点Q，使得点Q是线段AD的“关联点”，也是OB的“关联点”，直接写出α及线段AQ的取值范围． 7．（2024•通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，n），A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动： P运动：将点A向右平移|m|个单位长度，再向上平移|n|个单位长度，得到点A′再将点A′绕点O逆时针旋转90°得到点A1； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转90°，得到点A″，再将点A″向右平移|m|个单位长度，再向上平移|n|个单位长度，得到点A2． （1）如图，已知点A（1，1），M（m，0），点A分别经过P运动与Q运动后，得到点A1，A2． ①若m＝1，请你在图中画出点A1，A2的位置； ②若A1A2＝2，求m的值． （2）已知AB＝t，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点A1，A2与点B1，B2，连接A1B1，A2B2．若线段A1B1与A2B2存在公共点，请直接写出此时线段MO长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 8．（2024•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点T（t，0），⊙T的半径为1，过⊙T外一点P作两条射线，一条是⊙T的切线，另一条经过点T，若这两条射线的夹角大于或等于45°，则称点P为⊙T的“伴随点”． （1）当t＝0时， ①在P1（1，0），，P3（﹣1，1），P4（1，﹣2）中，⊙T的“伴随点”是 　 　． ②若直线上有且只有一个⊙T的“伴随点”，求b的值； （2）已知正方形EFGH的对角线的交点M（0，t），点，若正方形上存在⊙T的“伴随点”，直接写出t的取值范围． 9．（2024•延庆区一模）我们规定：将图形M先向右平移a（a＞0）个单位，得到图形M′，再作出图形M′关于直线x＝b的对称图形M″，则称图形M″是图形M的a，b平对图形． （1）已知点B（1，2），若a＝3，b＝1，则点B′的坐标是 　 　；点B″的坐标是 　 　； （2）已知点C（0，3），它的平对图形C″（4，3），求出a与b的数量关系； （3）已知⊙O的半径为1，其中a≥1，若存在实数b，使⊙O的平对图形与直线y＝ax+b有公共点，直接写出b的最小值及相应的a的值． 10．（2024•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，将中心为M的等边三角形记作等边三角形M，对于等边三角形M和点P（不与O重合）给出如下定义：若等边三角形M的边上存在点N，使得直线OP与以MN为半径的⊙M相切于点P，则称点P为等边三角形M的“相关切点”． （1）如图，等边三角形M的顶点分别为点O（0，0），，． ①在点，，P3（2，2）中，等边三角形M的“相关切点”是 　 　； ②若直线y＝x+b上存在等边三角形M的“相关切点”，求b的取值范围； （2）已知点M（m，m﹣2），等边三角形M的边长为．若存在等边三角形M的两个“相关切点”E，F，使得△OEF为等边三角形，直接写出m的取值范围． 11．（2024•平谷区一模）平面直角坐标系xOy中，已知⊙M和平面上一点P，若PA切⊙M于点A，PB切⊙M于点B，且90°≤∠APB＜180°，则称点P为⊙M的伴随双切点． （1）如果⊙O的半径为2， ①下列各点P1（﹣1，0），P2（﹣2，2），P3（3，3），P4（﹣1，﹣2）是⊙O的伴随双切点的是 　 　； ②直线y＝x+b上存在点P为⊙O的伴随双切点，则b的取值范围 　 　； （2）已知点E（1，2）、F（0，﹣2），过点F作y轴的垂线l，点C（m，0）是x轴上一点，若直线l上存在以CE为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围． 12．（2024•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在⊙O上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． （1）已知如图1点P（4，0）， ①如图1，在点Q1（3，0）、Q2（2，﹣1）、Q3（1，1）中，⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”的是 　 　； ②如图2，点Q（m，n），⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是 　 　； （2）如图3，已知点Q（1，1），点P在y＝﹣x+b的图象上，若⊙O上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 13．（2024•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、y轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转90°得到的点Q在图形N上，那么称图形N是图形M的“关联图形”． （1）如图，点A（﹣3，2），B（0，﹣1），C（3，2），D（﹣1，6）． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是 　 　； ②若⊙O不是点A的“关联图形”，求⊙O的半径r的取值范围； （2）已知点O′（m，0），E（m﹣3，0），G（m﹣2，1），⊙O′的半径为1，以线段EG为对角线的正方形为EFGH，若⊙O′是正方形EFGH的“关联图形”，直接写出m的最小值和最大值． 14．（2024•燕山一模）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”． （1）如图，⊙O的半径为2，点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0）． ①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 　 　； ②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）已知三条直线y＝3，y＝﹣x，y＝﹣2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$