江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年高三下学期期中考试数学试卷

高三数学参考答案 第1页（共 8 页） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A B C A C C 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 9 10 11 AB BC ACD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12． 2 3 13． 56 14． π 2 4 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 【解】（1）取 AC 中点 F，连结 BF，EF， 则 1EF CC∥ ， 1 1 2 EF CC ， …… 2 分 因为 1 1BB CC∥ ， 1 1BB CC ， 所以 EF BD∥ ， EF BD ， 所以四边形 BDEF 是平行四边形． 所以 DE BF∥ ． …… 4 分 在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 因为 1AA 平面 ABC， BF 平面 ABC， 所以 1BF AA ，所以 1DE AA ． 因为△ABC 是正三角形， 所以 BF AC ，所以 DE AC ， 因为 1AC AA ， 平面 1 1ACC A ， 1AC AA A ， C A B 1A 1B 1C E D F G 高三数学参考答案 第2页（共 8 页） 所以 DE 平面 1 1ACC A ． …… 6 分 因为 DE 平面 1AC D ， 所以平面 1AC D 平面 1 1ACC A ． …… 7 分 （2）（方法一）延长 1C D 交CB 延长线于点G ，连结 AG ． 因为 D 是 1BB 的中点， 1 1BB CC∥ ，所以 B 是CG 的中点． 因为 ABC△ 是正三角形，所以 BG AB CB  ， 所以 π 6 BAG BGA   ， 所以 π π π 3 6 2 CAG    ，即CA AG ． 因为 1CC 平面 ABC ，所以 1C A在平面 ABC 内的射影为CA ， 所以 1C A AG ， 所以 1C AC 是平面 1AC D 与平面 ABC 夹角的一个平面角． ……10 分 所以 1 1 5cos 5 ACC AC AC    ， 因为 1AC AB  ，所以 1 5AC  ， 所以 1 2CC  ． 所以三棱柱的体积为 3 32 4 2   ． ……13 分 （方法二）分别取 1 1BC B C， 的中点O H， ， 以O为坐标原点， OA OB OH  ， ， 为正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系． 设 1CC a ，则 1 3 1 1 1( 0 0) (0 ) (0 ) 2 2 2 2 A C a D a，， ， ， ， ， ， ， ， 所以 1 1 3 1 1( ) (0 1 ) 2 2 2 AC a DC a       ， ， ， ， ， ． C A B 1A 1B 1C E D x y z O H 高三数学参考答案 第3页（共 8 页） 设平面 1AC D 的法向量 1 ( )x y z ，，n ， 由 1 1 1 1 AC DC       ， ， n n 即 1 1 1 1 3 1 0 2 2 1 0 2 AC x y az DC y az                  ， ， n n 取 1 ( 3 2)a a ，，n ．……10 分 取平面 ABC 的法向量 2 (0 0 1) ，，n ． 设平面 1AC D 与平面 ABC 夹角的大小为 ，则 1 2 2 2 1 2 52cos 53 4 1a a          n n n n ，解得 2a  ． 所以三棱柱的体积为 3 32 4 2   ． ……13 分 16．（15 分） 【解】（1）若两次取出都为黑球的概率 1 1 2 1 1 1 1 6 5 1 15 C C P C C    ； …… 2 分 若两次取出都为红球的概率 1 1 4 4 2 1 1 6 6 4 9 C C P C C    ． …… 4 分 所以两次共取出 1 个黑球的概率为 1 2 1 4 23 15 9 45 P P P     ． …… 6 分 （2） X 的可能取值为 1，2，3，其概率为： …… 8 分 1 1 1 2 2 4 4 2 1 2 1 2 6 5 6 6 1 2 2 1 8( 1) 3 5 3 15 45 C C C C P X C C C C           ； 1 2 1 1 1 2 4 4 4 2 1 2 1 2 6 5 6 6 1 3 2 8 25( 2) 3 5 3 15 45 C C C C C P X C C C C           ； 1 2 4 4 1 2 6 6 2 6 12( 3) 3 15 45 C C P X C C       ． ……12 分 所以 X 的概率分布为 X 1 2 3 P 8 45 25 45 12 45 所以 8 25 12 94( ) 1 2 3 45 45 45 45 E X        ． ……15 分 高三数学参考答案 第4页（共 8 页） 17．（15 分） 【解】（1）设直线 l 的方程为 ( 1) 1x m y   ， 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ． 由 2 ( 1) 1 4 x m y y x      ， ， 消 x ，得 2 4 4 4 0y my m    ． 由 216 16 16 0m m     ，解得 1 5 2 m  或 1 5 2 m  ， …… 3 分 且 1 2 1 24 4 4y y m y y m   ， ． 因为 PF 是 AF BF， 的等比中项，即 2PF AF BF  ， 所以 1 2( )( ) 5my m my m   ，即 2 1 2 1 2( 1) 5m y y y y    ， …… 5 分 所以 2 (4 4 4 1) 5m m m    ，解得 1m   （舍正）． 所以直线 l 的方程为 0x y  ． …… 7 分 （2）设 3 3( )D x y， ． 因为 3 1 3 12 2 3 1 3 13 1 4 2 4 4 AD y y y y k x x y yy y          ，所以 1 32y y  ，① …… 9 分 同理， 1 2 4 ABk y y   ， 2 3 4 BDk y y   ． 因为点 P，A，B 三点共线， 所以 PB ABk k ，即 2 1 2 2 14 1 y y y x     ，② 由①②得， 3 2 2 2(2 )( 1) 4 4y y y x     ， 整理得， 2 3 2 3 6y y y y   ． ③ ……12 分 所以直线 BC 方程为： 2 2 2 3 4 ( )y x x y y y     2 2 2 3 2 3 4 xx y y y y y      即 2 2 3 2 2 2 3 2 3 44 y y y xxy y y y y       2 3 2 3 2 3 4 y yx y y y y     ， 由③得， 2 3 2 3 2 3 64 y yxy y y y y       2 3 4 3( ) 1 2 x y y     ， 所以直线 BC 过定点 3( 1) 2 ， ． ……15 分 高三数学参考答案 第5页（共 8 页） 18．（17 分） 【解】（1）因为 2( ) e 2 x xf x  ，所以 (2) ef   ，即 ek  ， …… 2 分 因为 (2) 0f  ，所以点 (2 0)， 在直线 l 上， 即 0 2e b  ，所以 2eb   ． …… 4 分 （2）由（1）知，切线 l 的方程为 e 2ey x  ， 所以要证 ( )f x kx b≥ ，即证 ( ) e 2ef x x ≥ ． 设  2( ) ( 2)e e 2e x g x x x    ， …… 6 分 则 2( ) e e 2 x xg x   ， 当 (2 )x  ， 时， 2 2e e e 2 x x x   ， ( ) 0g x  ， ( )g x 递增； 当 ( 2)x ， 时， 2 2e e e 2 x x x   ， ( ) 0g x  ， ( )g x 递减， …… 8 分 所以 ( ) (2) 0g x g ≥ ，当且仅当 2x  时，等号成立． 所以 ( ) e 2ef x x ≥ ． …… 9 分 （3）因为 2( ) e 2 xxf x  ，当 0x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 递减； 当 0x 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 递增； 因为 ( )f x a 存在两根 1x ， 2x ， 所以 02  a ，且 20 21  xx ． ……11 分 首先证明： 021  xx ，即证 21 xx  ． 因为 ( )f x 在 ( 0)， 上递减，所以只要证 1 2( ) ( )f x f x  ， 即证 2 2( ) ( )f x f x  ． 设 ( ) ( ) ( )F x f x f x   ， 0x ． 因为 2 2 2 2( ) ( ) ( ) e e e e 0 2 2 2 x x x xx x xF x f x f x                ， 所以 ( )F x 在 (0 ) ， 上递增，所以 ( ) (0) 0F x F  ， 高三数学参考答案 第6页（共 8 页） 所以 021  xx ． ……15 分 其次证明： 2 e2  ax ． 因为 ( )f x 在 2x 处的切线为 )2(e  xy ， 由（2）知， ( ) e( 2)f x x ≥ ，当且仅当 2x 时等号成立， 所以 2 2( ) (e 2e) 0f x x   ， 即 2(e 2e) 0a x   ，所以 2e2  ax ． 综上， 2 e 2 21  axx ． ……17 分 19. （本题 17 分） 【解】（1）（方法一）令 1n  得， 2 2 1 12 2 2 a a   ， 解得 2 3 2 a  ，所以 1 2 1 2b a a   ． …… 1 分 又 12 0n n nb a a  ≥ ， 所以当 2n≥ 时， 2 0na a ≥ ，故 0nb  ， Nn  ． 因为 2 21 2 1 14( ) 4( )n n n n n nb b a a a a        2 1 1 14( ) 4( ) 4 4n n n n n na a a a b b         ， 所以 1 1( 4)( ) 0n n n nb b b b     ． …… 3 分 因为 1 0n nb b   ，所以 1 4n nb b   ， 所以 nb 是以 2 为首项，4 为公差的等差数列． …… 5 分 （方法二）因为 1n n nb a a  ， （*） 令 1n  得， 2 2 1 12 2 2 a a   ， 解得 2 3 2 a  ，所以 1 2 1 2b a a   ， …… 1 分 因为 12n n nb a a  ，所以 2 14 4n n nb a a  ．（**） 高三数学参考答案 第7页（共 8 页） 由（*）和（**）解得 21 ( 4 ) 8n n n a b b  ， 所以 2 21 1 1 1 1( 4 ) ( 4 ) 8 8n n n n n n n b a a b b b b        ， 整理得， 1 1( 4)( ) 0n n n nb b b b     ． …… 3 分 因为 1 0n nb b   ，所以 1 4n nb b   ， 所以 nb 是以 2 为首项，4 为公差的等差数列． …… 5 分 （2）由（1）得， 1 4 2n n nb a a n    ，所以当 2n≥ 时，    1 2 1 1n n na a a a a a         384 2 1 2 1)1(2)1(214 2  nnnn ， …… 7 分 所以 2 1 2 1 1 2 3 2 14 8 3na n nn n       ， 所以       1 1 1 1 11 1 1 3 2 3 2 1 n kk a n n             11 1 2 1n       . …… 9 分 （3）设  mcccA ,,, 21  ， km 3 ， Nm ，且 mccc  21 ， 因为 1 1 2 1 3 12 m m c c c c c c c       项 2 3 1 1 2m m m m m m c c c c c c c          项 ， 都是的 A 元素，所以 A 至少 12 m 个元素. ……11 分 因为 113120 cccccc m   都为 Aө 的元素， 所以 Aө 至少m 个元素， 所以 A Aө 至少 13 m 个元素. ……12 分 因为  24,,6,2  nMA  ， A Aө 的最小元素为 0，最大元素为 mc2 ， 且任意两个元素的差的绝对值不小于 4，元素个数不超过 1 2 m c ， ……13 分 高三数学参考答案 第8页（共 8 页） 所以 k bc m km 61 2 1 2 13 3  ，所以 3 12  km ， 即 km 2 . ……15 分 取    212,,104,64,24,,,, 3321   kkkkbbbbA kkkk  ， 共 k2 个元素， 此时  424,,88,48  kkkA  ，Aө  48,,8,4,0  k ， 满足 A Aө  ， 所以 m 的最大值为 k2 . 综上，集合 A 的元素个数的最大值为 k2 . ……17 分 2025届新高考基地学校第二次大联考 6.已知1++0+++1+x++子++4r,若画≥ 1m0,,2,m.9,则2m 数学 A,4 B.5 C.4战5 D.5减6 7.设而数团=nr+到(0eN,同s受)的周规为7，将飞的图巢有左平移 注意事项： 1.答卷前。考生务必将白己的姓名，准海证号坑写在答是来上。 素个单位后类于原点对格，且)在区间0，引内的零成与极组血怡好共有4个， 2,回答法拜燃时。法出蜂小题答浆后，用阳笔把答透卡上对应园日的客案标号涂思， 则酸= 如减功。师校皮樱干作后，再造涂其饱答案标号。国答重感择题时，将答案号在答周卡 A.2 +B.3 C.4 D.5 上指定位区，在其他位☒作答律无效。 3,表垫演分10分，考试时闻120分钟。考试结束后，将本试卷和培遇卡一养交自。 _已如双由业C:号-子=1>0,6>可钩两个猪点为5，序，4,8是C药右支上 两点.蓉成⊥码。明A成，AR-那，则C的离心南为 一，择显：本重共8小恩，每小避5分，共的分。在每小题给出的四个透项中，只有一项 A. B.2 C.vs D.6 是将合睫目要求的。 1.已知第合d-中心斗，8-{中+2五-8<，则4UB 二、选择爱：本题共3小显，每小题6分，共像分。在每小经地出的通项中，有多项符音 A,{中《 B. 愿日要求，金选时的得6分，郁分选对的调部分分，有选彻的得0分。 C.x D.2<x< 多，成分是根据考生系始分数在全体考生中的排名比例避行转化的。在一次故报考试神， 2在女平面内，着三对煌的点在第二象展。则引：对应的点位于 某班5名同学的境理科日的照给分与服分如下表： A,第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第国象展 季号 2 原始分站 制8 52 3.己知向量e=2,-2),有量春位信上的投影向且■-，)，则a6= 赋分 100 2 0 a A,4 B.-2 c.0 D.2 记这5名网季在这次模拟考试中的电盟科日的累始分为数据甲，赋分为数偶乙，刚 4.将数列4标+月和7A一)(xsN)的公共项从小到大排列海到歌列风】，则下列 人甲的平均数小于乙的平均数 B.甲的中堂数小于乙的中惶数 所给：的值中，佳司{a,的首10顶和最小的为 C。甲的极差小于乙的极差 D.甲的方差小于乙的方差 A.-7 B.-5 C I D.4 1.在正西楂拒M一ABCD中，侧校M队与些面边能相等，P,Q分是A想程C的中点， 5.君)是定义在R上的墙画数，则“f)>x”是“/切>x“的 装 A充分不坠要条件 B.鱼要不充分条件 A.PORMA B.Pe∥平置MD C,充要条年 D,医不充分也不必婴条件 C.Pe⊥MD D,2L平面BD 高考学群是地绝1命题高期序第1页共4印 《新商封学用茶地是)舍题高三数停面共4页) 1.在直角坐标系中，-，，，的，P量自找非++-+=4上一点，期 17.415分) 已知抛物线C了=4r的集点为F,过点-，)的直找/与C交于A,8南点 A.a酬≥I B.PP≥4 (1)若P时是内B时的等比中项，聚直线（的方程： CP+P≤4 D.+10 (2)若D是C上一点，且直线AD的路率为2，证：直线D经过定点， 三，填空驱：本最共3小避，每题3分，共分。 2已通登f功=显.(2'+4')-x(是>0且a1是属m数。期f0=A B,在正三陵台AC-4图G中，(（一2信，经试三条侧棱中点的平面将正三棱台分成 再管分，若再露分的体积之差为8，喝请三棱白的修积为▲一一 18.17分) 14,记△4C的内角A,8,C的对边分别为a,b:c,D为很的中点，E为4C迹上 登/对-一2，线y=动在x=2处的切线方程为y-:+: 一点，CE.24E.设L0E=a,且=mgB-a)=cosa,期LED-A 《1)求A,b的值： 点的最小领为A一 2)正明：f八小行+b: 四、解答愿：本题共5小愿，共7门分。解客时应写出文字烫用，任明过程或演算步爆。 3)若=存在两根属汤：且写<与，证明：写+2西号+2 15.3分) 如图.在正三棱性AC-A具G中：D,E分磷是8和AC的中点， 《1)正明：平面4CD1平面AC℃A； 1线.（本题1了分】 《2)若AB=引，平面ACD与平霍ABC失角的余注值 在数列问，}中，4号：记6“画一属·且k=2瓦+可 为华。求技三检性的体机。 (1)正用：色}是等差数列 16(15分) 2)求数列侣}的：黄和 授中教有4个红球和2个国球，第一次葡机取出！个小球 (3)数列传}的阑装《是≤N)明阻成是合？，集合A二。A的元素个数记为( 若是红球渊收国，者椭不放， 设产-=a+b,eA,be得-中-口-叫，ee,be,若产nP-@,求 (1)第二次随机取出1个小早，求两改取出的球漂色短同的授率： (2)第二波随机取出2个小球，记两次取出红球物个数为X,求X的解带分者列及 网的最大值 数学用厘 (斯高考？科M地根毒)命通高三登学3真《共4风) 《新高考学件端地格香)》命目三数学第4直《我4夏)