精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知等差数列中，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（ ） A. 中位数是88.5 B. 上四分位数是91 C. 下四分位数是80 D. 极差是30 10. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 2 11. 已知为常数，函数有两个极值点，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为______________． 13. 已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和_______. 14. 已知，则的大小关系为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求的前项和. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 17. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）试在线段上一点，使得与所成的角是． 18. 已知平面内一动圆过点，且轴被该圆截得的弦长为2，设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，分别作在点处的切线，两条切线交于点. （i）若，求的取值范围； （ii）若的面积为，求直线的方程. 19. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度 性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高二下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知随机变量服从二项分布，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，则即可求解. 【详解】， 故选：B． 2. 已知等差数列中，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出基本量，利用等差数列的性质求出公差和首项，再求出通项公式即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 即，解得，因为，所以， 解得，则，得到，故A正确. 故选：A 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导，即可求和，即可求得切线方程. 【详解】由，得， 则， 则， 所以切线方程为. 故选：A. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究极值点即可. 【详解】由，因为是函数的极小值点， 所以，即 则当或时，，所以在上递增， 则当时，，所以在上递减， 即在时有极大值, 故选：D . 6. 在数列中，，，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 7. 某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】先指定购买的种饮料，然后要求位同学只能购买这种饮料，利用间接法结合分步计数原理可得结果. 【详解】先指定购买的种饮料，共种，要求这位同学只能购买这种饮料， 利用间接法，每位同学共有种选择，共种购买方法， 除去位同学所买的饮料都是同一种，共种情况， 由分步乘法计数原理可知，恰好购买了种饮料的购买方法种数为种. 故选：A. 8. 甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，则（ ） A. 中位数是88.5 B. 上四分位数是91 C. 下四分位数是80 D. 极差是30 【答案】BCD 【解析】 【分析】由中位数，下四分位数，上四分位数，极差概念结合题目数据可得答案. 【详解】将数据从小到大排列，有，，，，，，，，. 对于A，因数据个数为9，则中位数为第5个数据，即89，故A错误； 对于B，上四分位数为分位数，因，则上四分位数为第7个数据， 即91，故B正确； 对于C，下四分位数为分位数，因，则下四分位数为第3个数据， 即80，故C正确； 对于D，极差为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线其中一条渐近线方程为，由双曲线的两条渐近线的夹角为，得到直线的倾斜角为或，求得或，利用离心率的公式，分类讨论，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 11. 已知为常数，函数有两个极值点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由有，令，利用导数研究单调性作出函数图像，逐一验证即可. 【详解】由题意有函数的定义域为， 所以，令有，即，令，所以，令有，当时，，当时，，所以函数在单调递增，在单调递减，，当时，，当时，，令有， 所以，即，且，故A正确； 当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以在单调递减，在上单调递增，在上单调递减； ，故B正确； ，故C正确； 当时，，故D错误； 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率直方图如图所示，其中支出在[20，30）内的同学有10人，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用频率直方图的性质计算出频率，即可求出结果. 【详解】 由频率直方图可得，支出在内的频率为， 所以有 故答案为：. 13. 已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和_______. 【答案】 【解析】 【分析】由数列前项和求出数列通项，从而得到新的数列通项，然后利用裂项相消求得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， ∴. ∴， ∴. 故答案为：. 14. 已知，则的大小关系为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，根据数值的特点，构造函数和，再利用函数的单调性，赋值后比较函数值的大小. 【详解】由， 即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 则有，即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 则有，即， 故. 故答案为： 【点睛】利用导数比较大小问题方法点睛：根据已知中式子的外形结构特征与导数结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用递推关系式构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；根据题意可推导出数列为等差数列，按照定义写出其通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意得，，首项为， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，即. 由题意得，，且， 所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由题意，， 所以， 则， 两式相减可得， ， 所以. 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出单调区间. （2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定的值，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，， 因此函数有两个零点，且，即， 则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为 所以曲线在点处的切线方程为. 17. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）试在线段上一点，使得与所成的角是． 【答案】（1） 设的交点为，连接，因为四边形ABCD为正方形，所以为的中点， 又在矩形ACEF中，因为M是线段EF的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为面BDE，面BDE，所以平面BDE. （2） （3）为线段的中点 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定方法，由线线平行判定线面平行. （2）法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角. 法二：构造二面角的平面角，利用三角形的边角关系求角即可. （3）根据空间向量的夹角公式求参数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方形和矩形所在的平面互相垂直， 平面平面，平面，， 则平面， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 所以，，， 因为，平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 因为， ， 所以，所以为平面的一个法向量， 所以，所以与的夹角为． 即所求的二面角的大小为． 法2：在平面中过作于，连接， ，，， 平面， 是在平面上的射影， 由三垂线定理得 是二面角的平面角 在中，，， ，， 二面角的大小为； 【小问3详解】 设，（），则， 因为PF与BC所成的角是60°， 所以， 解得或(舍)． 故为线段的中点． 18. 已知平面内一动圆过点，且轴被该圆截得的弦长为2，设该动圆圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，分别作在点处的切线，两条切线交于点. （i）若，求的取值范围； （ii）若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，根据圆过点及被轴截得的弦长为2，列方程，化简可得曲线的方程. （2）（i）设直线的方程为：，与曲线方程联立，由韦达定理可得，，再结合抛物线的焦点弦长公式，可求的取值范围； （ii）先求曲线在处的切线方程，得到点坐标，求点到直线的距离，利用三角形的面积公式列方程，求出的值，可得直线的方程. 【小问1详解】 设动圆圆心为，半径为， 则，即， 整理得的方程为. 【小问2详解】 如图： 设，. （i）由（1）可知为的焦点. 由题可知的方程为， 联立，可得， 则，. 所以. 由，可得， 解得或，即的取值范围是. （ii）设点处的切线方程为， 联立，可得， 由，可得. 所以点处的切线方程为. 同理点处的切线方程为. 由，并结合（1）解得，即， 所以点到直线的距离为. 所以，解得， 所以直线的方程为或. 19. 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校120名大学生（男女各60人），调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 性别 支持 中立 反对 男 36 18 6 女 24 21 15 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分． （1）为判断性别对无人驾驶的支持态度是否存在关联，对上面数据重新整理形成下表，请补齐数据，并作出检验判断：能否有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联？ 对无人驾驶的态度 性别 支持 不支持 男 女 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 （2）从抽样调查的60名男大学生中，按分层抽样选10名学生进行深度追踪访谈，求选出的3名男大学生对无人驾驶的支持态度各异的概率； （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值． 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，． 【答案】（1） 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 有 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，根据独立性检验的计算以及解题步骤，可得答案； （2）由列联表中的数据，可得各部分的占比，结合古典概型，可得答案； （3）由题意，建立随机变量之间的等量关系，结合二项分布以及正态分布的概率，可得答案. 【小问1详解】 如表，，，， 对无人驾驶的态度 支持 不支持 男 36 24 女 24 36 ， 有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联． 【小问2详解】 按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1， 故从中选出3人态度各异的概率为； 【小问3详解】 由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知， 设，根据结论一，知． 再根据结论二，知． 由条件知， 所以，解得，所以正整数的最小值为11． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $