精品解析：安徽省淮南市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024--2025学年八年级第二学期数学期中学情监测 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 8，15，17 4. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 6. 已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 3米 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 12. 计算的结果等于_______． 13. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为____． 14. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长为_____． 15. 如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为_____． 三．计算与解答题（共6小题，第17、18、19、20题各8分，第21、22题各12分，共56分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19. 如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 20. 八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米． （1）求风筝的高度； （2）若小亮让风筝沿方向下降了8米到点M（即米），则他往回收线多少米？ 21. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①；②； （2）比较和的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 22. 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． （1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，； （3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年八年级第二学期数学期中学情监测 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： A. 不是同类二次根式，无法计算， 本选项错误； B. ， 本选项错误； C. ， 本选项正确； D. ， 本选项错误； 故选：C． 3. 下列各组数据中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. 6，7，8 C. 2，3，4 D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【详解】A. ，故不为直角三角形； B. 62+72≠82，故不为直角三角形； C. 22+32≠42，故不为直角三角形； D. 82+152=172，故为直角三角形． 故选D． 4. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简． 【详解】解：由图知：1＜a＜2， ∴a−1＞0，a−2＜0， 原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 5. 如图，长方形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，由勾股定理计算出，由此即可得到答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 以原点O为圆心，对角线的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是， 故选：C． 6. 已知在四边形中，，，添加下列条件，不能保证四边形是矩形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，证明四边形是平行四边形，，而，则，求得，则四边形是矩形，可判断A不符合题意；由，，证明四边形是平行四边形，则，所以，求得，则四边形是矩形，可判断B不符合题意；由，，，证明，得，可知四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，可判断C符合题意；由，，得，由，得，则，所以，则四边形是矩形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，，， 四边形是平行四边形，， ， ， ， 四边形是矩形， 故A不符合题意； 如图，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故B不符合题意； 如图， 在和中， ， ， ， ， 四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形， 不能保证四边形是矩形， 故C符合题意； 如图，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 故D不符合题意， 故选：C． 7. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，并且证明是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，进而推出，则有，再利用勾股定理逆定理推出，计算得到，最后利用图形面积的等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 3米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 作，根据勾股定理求得的长，即可解答； 【详解】解：作， 根据题意得米， 由勾股定理可得， ∴米， ∴米， ∴此时木马上升的高度为1米， 故选：A． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48， ∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8， ∴OH=BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题． 10. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握二次根式的被开负数为非负数是解题的关键．由被开负数为非负数可得不等式，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 计算的结果等于_______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用平方差公式解答． 【详解】解： 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行计算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 13. 在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，勾股定理，解题的关键是熟知坐标系中的点的含义．根据直角坐标系内的点的坐标特点，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由， 得，， 则， 故答案为：． 14. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用直角三角形30度角的性质，可得AC=2AD=4． 【详解】解：在矩形ABCD中，OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠AOD=60°， ∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°， 又∵∠ADC=90°， ∴AC=2AD=2×2=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键 15. 如图，一根筷子长，斜放在半径为的圆形水杯中，露出水杯外面的部分的长为，则水杯的高________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，，利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，圆形水杯半径为2.5， ∴，， ∴水杯的高． 故答案为：12． 16. 如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】先由点F是Rt△BDE的斜边上的中点得DF=BF=EF=4，再利用矩形的性质及勾股定理即可得解． 【详解】解：∵点F是Rt△BDE的斜边上的中点， ∴DF=BF=EF=4， 根据矩形的性质可知AB=DC=x，BC=AD=y， ∴在Rt△CDF中，，即， ∴ ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半和矩形的性质是解题的关键． 三．计算与解答题（共6小题，第17、18、19、20题各8分，第21、22题各12分，共56分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式． 18. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理，并能灵活运用是解题的关键； 在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理说明是直角三角形，最后求四边形的面积． 【详解】，，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ， 四边形的面积． 19. 如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作：①测得的长度为米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明身高为米． （1）求风筝的高度； （2）若小亮让风筝沿方向下降了8米到点M（即米），则他往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）4米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得CD的长即可求解； （2）根据勾股定理求得MB的长即可求解． 【小问1详解】 解：（1）由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． 【小问2详解】 解：如图示，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴往回收线的长度是（米）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 21. 阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：．类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，例如：比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以． 请根据上述材料，解决下列问题： （1）把下列各式分子有理化： ①；②； （2）比较和的大小，并说明理由； （3）将式子分子有理化为__________，该式子的最大值为__________． 【答案】（1）①； ② （2），理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； （）根据阅读材料中的分母有理化即可； 本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由， ， 又∵， ∴． ∴， 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故答案为：，． 22. 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． （1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，； （3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）取，中点G，F，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证； （3）在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定． 【小问1详解】 证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 证明：在射线上截取，连接，， ∵D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴即， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $