精品解析：广西壮族自治区梧州市2025年初中学业水平考试第一次模拟测试数学试题

梧州市2024—2025学年度初中学业水平考试第一次模拟测试 数 学（试题卷） 说明： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将条形码贴在答题卡指定位置，并将学校、班级、姓名、座位、证考证号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 甲、乙、丙、丁四地的海拔分别是、、、，海拔最低的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，2024年梧州市文旅大会举办期间，全市热门景区累计接待游客达850000人次．用科学记数法表示这个游客接待量为（ ）人次． A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 科技创新社团开展小型无人机飞行时长测试，7架同款无人机首次满电飞行时长记录如下（单位：分钟）：23，25，18，20，22，24，22．这组数据的中位数是（ ）． A. 23 B. 18 C. 22 D. 24 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 有10张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ） A. （黑桃） B. （红心） C. （梅花） D. （方块） 9. 如图， 是 的直径， 与 相切于点B，，半径的延长线交 于点M，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在和中，，点B在 上．若，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 11. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）． A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 12. 如图，在菱形 中，对角线相交于点O，．线段 与关于过点O的直线l对称，点C的对应点M在线段上，交 于点H，则与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：__________ 14. 分式方程的解是________． 15. 如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为________． 16. 如图，在平行四边形 中，以点B为圆心， 长为半径画弧交 于F点，再分别以点A，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交 于E点，连接 ， ， 相交于O点，若，，则 的长为________． 三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1） （2）解不等式： 18. 解下列方程或方程组： （1） （2） 19. 实践与探究：近年来中国航天发射运输领域取得长足进步，为实现运载火箭跨越式发展，航天工作者对低成本、可重复使用的火箭重点进行深入研究．某中学科研小组在研究“低成本、可重复使用的火箭”课题时，收集了国内外主流重复使用运载火箭的相关数据．通过对这些数据的分析，小组成员发现火箭的动力类型和级间比对火箭的运载能力有显著影响．以下是他们整理的部分数据图表： 注：级间比通常表示为运载火箭一级质量与二级质量的比值，通过调整优化级间比，火箭对某一目标轨道的运载能力可以达到最优． （1）在发射可重复使用运载火箭前，需要调查运载火箭的零件是否符合国家标准，该科研小组争论应选用哪种调查方式更加合适，你认为应采用________（填“全面调查”或“抽样调查”）更合适． （2）帮助该科研小组求液氧甲烷的a值． （3）帮助该科研小组补全图乙条形统计图并求出级间比为8时的装载质量，其中装载能力平均数为． （4）该中学科研小组组织了一场“我是小工程师”的角色扮演活动，给定情境如下：现有两种重复使用运载火箭，其中型火箭采用的液氧煤油技术成熟且成本较低，但其冷却效果不佳，维护复杂，可重复使用性较差；而型火箭则采用了液氧甲烷技术，该技术具有出色的冷却性能和简便的维护流程，可重复使用性良好．然而，其研发成本相对较高．如果你是航天工程师，你会挑选哪种火箭来运载并说服其他小组成员认同你的看法？论述须理由充分，信息完整． 20. 如图，在中，连接 ． （1）用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为点O，交 于点E，交 于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 21. 如图，客车、货车分别从A、B两地同时出发，向C地匀速行驶，客车的速度是，货车的速度是，客车比货车早30分钟到达C地．客车和货车离A地的距离与行驶时间的关系如图． （1）求A、C两地相距的路程． （2）求m，n的值． 22. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的交点，点A在y轴上，点B的横坐标为5．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线 的下方． （1）求点A的坐标； （2）求二次函数的表达式； （3）过P作轴于点M，交直线 于点N，设点M的横坐标为m，当时，求m的值． 23. 综合与探究【问题背景】如图1，H为 外的一个动点，与 交于点M， 与的延长线交于点P，且． 【问题初探】（1）如图1，求证：； 【问题再探】（2）如图1，已知G为 延长线上的一点．，．当时，的最小值为________； 【问题拓展】（3）如图2，已知F为 延长线上的一动点， 与 相交于E点，当点H、F运动到使时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梧州市2024—2025学年度初中学业水平考试第一次模拟测试 数 学（试题卷） 说明： 1．本试卷共6页（试题卷4页，答题卡2页），满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将条形码贴在答题卡指定位置，并将学校、班级、姓名、座位、证考证号写在答题卡指定位置，答案涂、写在答题卡相应的区域内，在试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分．） 1. 甲、乙、丙、丁四地的海拔分别是、、、，海拔最低的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较的应用，根据可得答案. 【详解】解：∵， ∴海拔最低的是丁； 故选：D 2. 如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看到的视图是解题的关键．按照主视图的定义逐项判断即可． 【详解】解：从正面看该几何体，下面是一个大长方形，上面叠着一个小长方形， 故选：B． 3. 据统计，2024年梧州市文旅大会举办期间，全市热门景区累计接待游客达850000人次．用科学记数法表示这个游客接待量为（ ）人次． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选B． 4. 下列计算中，正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 科技创新社团开展小型无人机飞行时长测试，7架同款无人机首次满电飞行时长记录如下（单位：分钟）：23，25，18，20，22，24，22．这组数据的中位数是（ ）． A. 23 B. 18 C. 22 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数．根据中位数的定义，先把这组数据从小到大排列，如果数据是奇数个，则中间的数就是中位数，如果数据是偶数个，则处于中间的两个数的平均数就是中位数，据此即可解答． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为： 18，20，22，22，23，24，25，最中间的数是22， 所以这组数据的中位数是22． 故选C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点E的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点G，D的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，与是位似图形，的对应点为， ∴与的位似比为3， ∴点的对应点E的坐标为，即， 故选D． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法以及解集在数轴上的表示，如果带等号用实心表示，如果不带等号用空心表示，正确求解不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示其解集进行判断即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∴在数轴上表示为： ， 故选：D． 8. 有10张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ） A. （黑桃） B. （红心） C. （梅花） D. （方块） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了可能性的大小，熟练掌握事件发生可能性的求解方法是解题的关键．分别求出抽到各花色的可能性的大小进行判断即可． 【详解】解： 有10张扑克牌，且黑桃为1张、红心为4张、梅花为3张、方块为2张， ∴抽到黑桃的可能性为，抽到红心的可能性为，抽到梅花的可能性为，抽到方块的可能性为， 抽到的花色可能性最大的是红心， 故选：B． 9. 如图， 是 的直径， 与 相切于点B，，半径的延长线交 于点M，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．熟练掌握圆的相关知识并利用数形结合的思想是解题关键．由切线的性质可得出．由圆周角定理可知，即可求出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵ 是 的直径， 与 相切于点B， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，在和中，，点B在 上．若，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，再利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 11. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）． A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 12. 如图，在菱形 中，对角线相交于点O，．线段 与关于过点O的直线l对称，点C的对应点M在线段上，交 于点H，则与四边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接， ，直线l交 于点F，交 于点G，得到点N，A，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形 是菱形， ∴设， ∴，， 如图所示，连接， ，直线l交 于点F，交 于点G， ∵线段 与关于过点O的直线l对称，点C的对应点M在线段上， ∴， ∴ ∴ ∴点N，A，O三点共线 ∴， ∴， ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解： 两边都乘以，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解． 15. 如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，证明，得出 【详解】解：∵D、E分别是边的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：6． 16. 如图，在平行四边形 中，以点B为圆心， 长为半径画弧交 于F点，再分别以点A，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交 于E点，连接 ， ， 相交于O点，若，，则 的长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，判断四边形 是菱形是解题的关键． 根据尺规作图的步骤可知 是 的平分线，，再证明四边形 是菱形，然后根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质即可解答． 【详解】解：根据题意，可知 是 的平分线，， ∴． ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． ∵， ∴四边形 是平行四边形． ∵， ∴是菱形， ∴，． ∴在中，， ∴在菱形 中，． 故答案为：16． 三、解答题（共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1） （2）解不等式： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂的意义，求不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解答本题的关键． （1）先根据绝对值，有理数的乘法，零指数幂的意义化简，并把除法转化为乘法，再算乘法，后算加减； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：（1）原式 （2） 18. 解下列方程或方程组： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和二元一次方程组的解法． （1）先移项，再用因式分解法求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 得：， 则， 把代入①得：，， 方程组的解为． 19. 实践与探究：近年来中国航天发射运输领域取得长足进步，为实现运载火箭跨越式发展，航天工作者对低成本、可重复使用的火箭重点进行深入研究．某中学科研小组在研究“低成本、可重复使用的火箭”课题时，收集了国内外主流重复使用运载火箭的相关数据．通过对这些数据的分析，小组成员发现火箭的动力类型和级间比对火箭的运载能力有显著影响．以下是他们整理的部分数据图表： 注：级间比通常表示为运载火箭一级质量与二级质量的比值，通过调整优化级间比，火箭对某一目标轨道的运载能力可以达到最优． （1）在发射可重复使用运载火箭前，需要调查运载火箭的零件是否符合国家标准，该科研小组争论应选用哪种调查方式更加合适，你认为应采用________（填“全面调查”或“抽样调查”）更合适． （2）帮助该科研小组求液氧甲烷的a值． （3）帮助该科研小组补全图乙条形统计图并求出级间比为8时的装载质量，其中装载能力平均数为． （4）该中学科研小组组织了一场“我是小工程师”的角色扮演活动，给定情境如下：现有两种重复使用运载火箭，其中型火箭采用的液氧煤油技术成熟且成本较低，但其冷却效果不佳，维护复杂，可重复使用性较差；而型火箭则采用了液氧甲烷技术，该技术具有出色的冷却性能和简便的维护流程，可重复使用性良好．然而，其研发成本相对较高．如果你是航天工程师，你会挑选哪种火箭来运载并说服其他小组成员认同你的看法？论述须理由充分，信息完整． 【答案】（1）全面调查 （2） （3）补全图乙条形统计图如下： （4）解：如果预算有限且需要快速投入使用，会选择火箭． 如果重视长期可重复使用性、维护简便性和运载能力更强的火箭，会选择． 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，条形统计图和扇形统计图综合， （1）根据事件的特征选择调查方式即可； （2）先求出调查的总数，再用总数减去已知两部分的数量即可； （3）求出未知部分的数量，再补全统计图即可； （4）根据重复使用性和成本分析即可． 【小问1详解】 ∵对运载火箭的零件检查非常重要， ∴应采用全面调查． 故答案为：全面调查； 【小问2详解】 ∵ ∴液氧甲烷 【小问3详解】 级间比为8时的装载质量为 【小问4详解】 略 20. 如图，在中，连接 ． （1）用尺规作线段 的垂直平分线，垂足为点O，交 于点E，交 于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 四边形是菱形． 证明：∵直线垂直平分线 ， ∴，，． ∵四边形 为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边的等长是解题的关键． （1）分别以为圆心，以大于的等长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点做直线，交 于E，交 于F，交 于点O，以此作图即可； （2）先根据平行四边形的性质证明，然后根据垂直平分线的性质证明，，接下来证，，最后根据四边相等的四边形是菱形来证明即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 21. 如图，客车、货车分别从A、B两地同时出发，向C地匀速行驶，客车的速度是，货车的速度是，客车比货车早30分钟到达C地．客车和货车离A地的距离与行驶时间的关系如图． （1）求A、C两地相距的路程． （2）求m，n的值． 【答案】（1）A、C两地相距的路程是320km （2）， 【解析】 【分析】本题考查了从函数图像获取信息，一元一次方程的应用，一次函数得应用，数形结合是解答本题的关键． （1）设A、C两地相距的路程为，根据客车比货车早30分钟到达C地列方程求解即可； （2）先根据图象得出函数解析式，然后联立求解即可． 【小问1详解】 解：设A、C两地相距的路程为． 依题意得：， 解得：． 答：A、C两地相距的路程是320km． 【小问2详解】 解：依题意，得客车离A地的距离与行驶时间的函数关系式为：． 货车离A地的距离与行驶时间的函数关系式为： 联立， 解得 ，． 22. 如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的交点，点A在y轴上，点B的横坐标为5．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线 的下方． （1）求点A的坐标； （2）求二次函数的表达式； （3）过P作轴于点M，交直线 于点N，设点M的横坐标为m，当时，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）令 求解即可； （2）用待定系数法求解即可； （3）设，，得出，证明是等腰直角三角形得，求出，然后根据列方程求解即可． 【小问1详解】 当 时，， 【小问2详解】 点B的横坐标为5，且点B在x轴上， 把，两点分别代入中， 得， 解得： 所求二次函数的表达式为． 【小问3详解】 设，， ，， ，即是等腰直角三角形 轴，即是等腰直角三角形 ， ． ， ， 解得，．（不符，舍去） 的值为2 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 23. 综合与探究【问题背景】如图1，H为 外的一个动点，与 交于点M， 与的延长线交于点P，且． 【问题初探】（1）如图1，求证：； 【问题再探】（2）如图1，已知G为 延长线上的一点．，．当时，的最小值为________； 【问题拓展】（3）如图2，已知F为 延长线上的一动点， 与 相交于E点，当点H、F运动到使时，求证：． 【答案】 （1）证法一：， ， ， ， ， 证法二：， ， ， ； ， 又， ， ，A，C，D四点共圆（对角互补的四边形四点共圆） ，， ； ， ； （2）； （3）证法一：分别取 与的中点K、N，连接、． 在 中， ， ， ， ， ，K、N分别是 与的中点 ，， ， 、A、C、D四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 证法二：过点H分别作于K，于N，延长交 于L，连接． ，， ， 、K、D、N四点共圆 ， 由H、A、C、D四点共圆得， ， 、A、L、K四点共圆， ， 又 ， ， ，， ，， ， ， 连接 、 相交于点， 在 中，， 与重合 ， 是 的垂直平分线 ， ，， 又， ， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）证法一：证明出，得到，然后证明出，得到，即可得到； 证法二：证明出，然后证明出 ，A，C，D四点共圆，然后得到，即可得到； （2）由，求出，当A，H，G三点共线时，有最小值，然后求出，进而求解即可； （3）证法一：分别取 与的中点K、N，连接、，证明出，得到，然后得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可； 证法二：过点H分别作于K，于N，延长交 于L，连接，由四点共圆得到，，，，然后求出，连接 、 相交于点，证明出，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则的最小值为． 由（1）知H．A．C．D四点共圆， ， 是直径， ， ， ， ， 则， 当A．H．G三点共线时，有最小值 ， ， ， ； （3）略 【点睛】此题考查了全等三角形和相似三角形的性质和判定，解直角三角形，四点共圆等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $