精品解析：2025年江西省宜春市樟树第二中学中考一模数学试题

学考总复习·试题猜想·九年级 数学模拟试题（三） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 用数轴上的点表示下列各数，到原点的距离最小的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. “燕山雪花大如席”，1立方米的新雪一般有雪花70亿朵左右，其中70亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两块互相垂直的平面镜，．一束光线与水平地面成照射到平面镜，光线在两块互相垂直的平面镜上进行两次反射，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位：）长度不合理的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若有意义，则x的取值范围是______． 8. 因式分解：______． 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另外一个根的值是______． 10. 有一个数据样本为：1，x，y，z，2，3，3．已知这个样本的众数和平均数都为2，则这组数据的中位数为______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，且，则圆的半径为______． 12. 如图，等边的边长为2，若点绕点O旋转后，恰好与的某边上的点P重合，则点P的坐标是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组： 14. 先化简，再求值：，其中． 15. “踏寻红色印记，亲近绿水青山”，为激发学生投身社会实践的热情，不负习近平总书记的勉励期盼．学校建议同学们利用周末时间自主到以下四个基地开展研学活动． A．上饶集中营革命烈士纪念馆；B．方志敏纪念馆；C．八磜村；D．三清山景区． 小小和安安各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小小选择基地A的概率为 ； （2）用画树状图或列表的方法，求小小和安安选择不同基地的概率． 16. 如图，平行四边形的顶点在射线上，点，在射线上，且．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，作一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求一次函数的解析式和的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元． （1）改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？ （2）已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？ 19. 八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，． （1）求点B到地面的垂直高度； （2）求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 20. 如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点E，在的延长线上取一点F，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，号召全校600名学生进行背诵，并在之后举办安全知识大赛等活动．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全出行警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．  大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全出行警句的背诵情况，并根据调查结果整理成统计表： 数量 3条 4条 5条 6条 7条 8条 人数 请根据调查的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）表格中的值为 ； （3）求活动启动之初学生安全出行警句的背诵情况的平均数； （4）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全出行警句至少6条的人数； （5）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全出行警句背诵系列活动的效果． 22. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 t/秒 0 4 8 12 16 20 24 s/米 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系； ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接； ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象； ⑤求函数解析式 请根据上述数据求出s关于t的函数解析式； （2）应用模型 列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是　　　　　（填序号即可）． ①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学考总复习·试题猜想·九年级 数学模拟试题（三） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 用数轴上的点表示下列各数，到原点的距离最小的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上一点到原点的距离，数轴上一个数到原点的距离为该数的绝对值，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离最小的是0， 故选：B． 2. “燕山雪花大如席”，1立方米的新雪一般有雪花70亿朵左右，其中70亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：70亿， 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图所示的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形是一个长方形，靠近左侧有两条竖直的实线，靠近中间有两条竖直的虚线，即看到的图形如下： 故选：B． 5. 如图，两块互相垂直的平面镜，．一束光线与水平地面成照射到平面镜，光线在两块互相垂直的平面镜上进行两次反射，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，根据由光的反射定律可得，，再证明得到，根据，可推出． 【详解】解：由光的反射定律可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 一张直径为的半圆形卡纸，过直径的两端点剪掉一个三角形，以下四种裁剪图中，所标数据（单位：）长度不合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构成三角形的条件，三线合一定理，如选项A中图实所示，过点C作于D，设直线与半圆交于E，连接，设，则，由勾股定理可得方程，解方程求出，，；再证明，得到，则可证明，则此时满足点C在圆内，据此可判断A；同理可判断B、D；如选项C中图所示，过点C作于D，利用勾股定理求出的长，可证明，则点C在圆外，据此可判断C． 【详解】解：如选项A中图实所示，过点C作于D，设直线与半圆交于E，连接， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴，； ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴此时满足点C在圆内，故A不符合题意； 同理可得B、D两个选项中图形的裁剪合理； 如选项C中图所示，过点C作于D， ∴， ∴， ∴， ∴点C在圆外，故C选项中长度不合理，符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式，然后通过平方差公式进行二次分解即可，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另外一个根的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴由根与系数的关系可得方程的另一个根的值为， 故答案为：． 10. 有一个数据样本为：1，x，y，z，2，3，3．已知这个样本的众数和平均数都为2，则这组数据的中位数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要查了众数，平均数，以及中位数，根据题意得到x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1是解题的关键． 根据这个样本的平均数为2，可得，再由这个样本的众数为2，可得x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1，再根据中位数的定义解答，即可． 【详解】解：∵这个样本的平均数为2， ∴， ∵这个样本的众数为2， ∴x，y，z中有2个数都为2，第三个数为1， ∴这组数据从小到大排列为：1，1，2，2，2，3，3， ∴位于正中间的数为2， 即这组数据的中位数为2． 故答案为：2 11. 如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，且，则圆的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆的基本性质，坐标与图形，连接，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴圆的半径为5， 故答案为：5． 12. 如图，等边的边长为2，若点绕点O旋转后，恰好与的某边上的点P重合，则点P的坐标是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质，分点P与边上的点重合，点P与边上的点重合，点与边上的点重合三种情况讨论求解即可， 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，． 当点P与边上的点重合时，则， 过点作轴于点D， ∴， ， ∴点； 当点P与边上的点重合时，连接，则，过点作轴于点E． 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，， ∴点； 当点与边上的点重合时，则， ∴点． 综上所述，点的坐标是或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求特殊角三角函数值，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂和特殊角三角函数值，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再把小括号内的式子通分，再计算分式乘法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 15. “踏寻红色印记，亲近绿水青山”，为激发学生投身社会实践的热情，不负习近平总书记的勉励期盼．学校建议同学们利用周末时间自主到以下四个基地开展研学活动． A．上饶集中营革命烈士纪念馆；B．方志敏纪念馆；C．八磜村；D．三清山景区． 小小和安安各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小小选择基地A的概率为 ； （2）用画树状图或列表的方法，求小小和安安选择不同基地的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小小和安安选择不同基地的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵共有四个基地开展研学活动，且每个基地被选择的概率相同， ∴P（小小选择基地A）． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，一共有16种等可能的结果，其中小小和安安选择不同基地的结果有12种， ∴P（小小和安安选择不同基地）． 16. 如图，平行四边形的顶点在射线上，点，在射线上，且．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作的平分线； （2）在图2中，作一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形． 【答案】（1） 如图射线即为所求； （2） 如图菱形即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四形的性质和判定，菱形的性质和判定，基本作图等知识点， 由平行四边形的性质可得，点为的中点，由等腰三角形的性质可得，进而即可得解； 由(1)知：，由平行四边形的性质可得，进而可得，由平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，由即可得解； 熟练掌握运用其性质作出图形是解决此题的关键． 【小问1详解】 连交于点P，作射线， ∵四边形为平行四边形， ∴为的中点， ∵， ∴， 【小问2详解】 连交于点P，作射线交于点M， 由(1)知：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求一次函数的解析式和的面积． 【答案】（1） （2）一次函数的解析式为或， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入一次函数解析式可求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：当A、B在同一象限时，如图，连接、， ∵， ∴点A是的中点， ∵点， ∴， 代入得， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴直线与y轴的交点C为， ∴； 当A、B不在同一象限时,如图，作轴，轴，垂足分别为E、D，连接，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入中，得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴点，即， ∴． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某工厂为了提高生产效率，计划对甲、乙两种型号机器进行改造，根据预算，改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元． （1）改造1个甲种型号机器和1个乙种型号机器所需资金分别是多少万元？ （2）已知改造1个甲种型号机器的时间是3天，改造1个乙种型号机器的时间是2天，该工厂计划改造甲、乙两种型号机器共16个，改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天，请问有几种改造方案？哪种方案工厂投入资金最少，最少是多少？ 【答案】（1）改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元 （2） 共有3种改造方案：方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器；方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器；方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器．其中方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程组和不等式组是解题的关键． （1）设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元，根据改造2个甲种型号机器比3个乙种型号机器多需资金1万元，改造3个甲种型号机器和1个乙种型号机器共需资金18万元建立方程组求解即可； （2）设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器，根据改造资金最多能投入68万元，要求改造时间不少于40天建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设改造1个甲种型号机器需要x万元，改造1个乙种型号机器需要y万元， 由题意得 解得， 答：改造1个甲种型号机器需要5万元，改造1个乙种型号机器需要3万元． 【小问2详解】 解：设改造m个甲种型号机器，则改造个乙种型号机器， 由题意得 解得． ∵m为正整数， ∴， ∴共有3种改造方案： 方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器； 方案2：改造9个甲种型号机器和7个乙种型号机器； 方案3：改造10个甲种型号机器和6个乙种型号机器． 方案1所需费用为（万元）； 方案2所需费用为（万元）； 方案3所需费用为（万元）． ∵， ∴方案1：改造8个甲种型号机器和8个乙种型号机器投入资金最少，最少资金是64万元． 19. 八一广场，南昌这座英雄城市的重要地标！为了纪念1927年8月1日发生的南昌起义，广场中央矗立着八一起义纪念塔，如图，纪念塔前有一斜坡，坡度，在点B处看塔尖的仰角为，． （1）求点B到地面的垂直高度； （2）求纪念塔的高度（结果保留整数）．（参考数据：，，） 【答案】（1）点B到地面的垂直高度为3 （2）纪念塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题， （1）如图，过点B作交于点F．由得到，求出即可得到答案； （2）首先求出，然后利用，求出，进而求解即可． 【小问1详解】 如图，过点B作交于点F． ∵，坡度， ∴，， ∴，． 答：点B到地面的垂直高度为． 【小问2详解】 由（1）可知． ∵， ∴． ∵在点B处看塔尖的仰角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 答：纪念塔的高度为． 20. 如图，是的直径．四边形内接于，，对角线与交于点E，在的延长线上取一点F，使，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由，，证明得，然后求出即可证明是的切线； （2）连接，，先证明得，，证明是等边三角形得，再证明是等边三角形得，然后证明，再根据相似三角形的性质即可得出的值． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴，． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，． 由（1）可知，． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，理解圆周角定理，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了提高学生的安全意识，珍爱生命，某学校制作了8条安全出行警句，号召全校600名学生进行背诵，并在之后举办安全知识大赛等活动．为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查他们安全出行警句的背诵情况，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示．  大赛结束一个月后，再次抽查这部分学生安全出行警句的背诵情况，并根据调查结果整理成统计表： 数量 3条 4条 5条 6条 7条 8条 人数 请根据调查的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）表格中的值为 ； （3）求活动启动之初学生安全出行警句的背诵情况的平均数； （4）估计大赛结束一个月后该校学生背诵出安全出行警句至少6条的人数； （5）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校安全出行警句背诵系列活动的效果． 【答案】（1）见解析 （2）13 （3）5条 （4）425人 （5）从中位数上看，活动开展前的中位数是4.5条，活动开展后的中位数是6条； 从背诵“6条及以上”人数的变化情况看，活动前是40人，活动后为85人，人数翻了一倍多，从而得出活动的开展促进学生背诵能力的提高，活动开展的效果较好 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解题的关键． （1）求出“4条”的频数即可； （2）根据样本容量为和各组的频数可得答案； （3）用平均数的计算公式计算即可； （4）算出数量的人数占调查总人数的比值，然后用样本估计总体； （5）从活动开展前后背诵“条数”的变化情况得出结论． 【小问1详解】 解：调查人数为（人），“4条”的人数为（人）． 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）． 【小问3详解】 解：（条）． 答：活动启动之初学生安全出行警句的背诵情况的平均数是5条． 【小问4详解】 解：（人）． 答：大赛结束一个月后该校学生背诵出安全出行警句至少6条的人数为425人． 【小问5详解】 解：从中位数上看，活动开展前的中位数是4.5条，活动开展后的中位数是6条；从背诵“6条及以上”人数的变化情况看，活动前是40人，活动后为85人，人数翻了一倍多，从而得出活动的开展促进学生背诵能力的提高，活动开展的效果较好（答案不唯一，合理即可）． 22. “城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图，这是2024年南昌地铁（）线路图．小华了解到地铁1号线列车从万寿宫站开往秋水广场站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后三秒滑行的距离．为了解决这些问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题． （1）建立模型 ①收集数据 t/秒 0 4 8 12 16 20 24 s/米 256 196 144 100 64 36 16 ②建立平面直角坐标系 为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系； ③描点连线 请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接； ④选择函数模型 观察这条曲线的形状，它可能是 函数的图象； ⑤求函数解析式 请根据上述数据求出s关于t的函数解析式； （2）应用模型 列车从减速开始经过多少秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为多少米． 【答案】（1）③见解析；④二次；⑤ （2）列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了列表、描点、连线，画二次函数图象，待定系数法求解析式，根据二次函数的性质求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）③根据题意连线即可求解； ④根据曲线判断函数图象为二次函数图象； ⑤待定系数法求解析式即可求解； （2）根据二次函数的解析式，当时，解得，进而求得当，时的函数值，即可求解． 【小问1详解】 解：③根据题意连线如下： ④根据曲线的形状，可判断函数图象为二次函数图象， 故答案为：二次； ⑤设抛物线的解析式为，根据题意，得： ， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当，得， 解得． 当时， ； 当时，， 故（米）， 答：列车从减速开始经过32秒，列车停止；最后三秒钟，列车滑行的距离为米． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动，则下列结论正确的是　　　　　（填序号即可）． ①；②：③四边形的面积总等于；④连接，总有． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，求线段的长度． 【答案】（1）①②③④；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）证明，可得结论；（2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可；（3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：（1）如图1中，连接． ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴O故②正确， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④； （2），理由如下： 连接， ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3）设， ①当E在之间时， ， ， 在中，， ， 又由（2）易知， ， ， 解得：， ； ②当E在延长线上时， 同理可论：， 设，则， 即：， 解得：， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $