精品解析：广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

2024-2025学年第二学期四校联盟期中联考试题 高一数学 一、单选题（40分） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】由，，且，得，解得. 故选：D. 2. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 3. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求得的模长，再由投影向量的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为． 4. 在 △ABC中，已知角，，则角C= A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理： 可得： ， 则角C=或. 本题选择D选项. 5. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到原图，进而求出原图的面积. 【详解】还原直观图为原图形，如图所示， 因为，所以， 还原回原图形后，， 所以原图形面积为. 故选：B 6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 4.5cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据体积公式，结合相似即可求解. 【详解】由已知可得：液体的体积为， 如图，易知，、两个相似的直角三角形， 因为圆锥的底面半径是，高是， 所以圆锥的体积为， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为， 设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为， 则， ，解得， 所以计时结束后.“沙漏”中液体高度为. 故选：D. 7. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ） A. 30米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设，用表示，再利用余弦定理列式计算即得. 【详解】设，依题意，，， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得， 所以雁鸣塔的高度为30米. 故选：A 8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. 13 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y） 则，可得，， 所以，即，故，， 所以，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 二、多选题（18分） 9. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量坐标运算即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, ，A正确， 对于B，，故B错误， 对于C, ，故，C正确， 对于D，，故与的夹角为，故D正确， 故选：ACD 10. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小值 C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴 D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例令代入可得A错误；由正余弦函数的值域可得B正确；由余弦函数的对称轴方程代入正弦函数可得C错误；由函数平行的性质可得D正确. 【详解】对于A，令中，可得， 但，故A错误； 对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确； 对于C，函数的对称轴方程为，即， 所以，故C错误； 对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确； 故选：BD 11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为的垂心 C. 若且（，），则 D. 若，，，且，则的值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的几何意义可判断；易知点是的中点，从而得，再根据垂心的含义即可判断；由平面向量基本定理知，，三点共线，再利用三角形的面积公式；将两边分别同时乘以和，可得关于和的方程组，解之即可判断． 【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心， A．，即选项错误，不符合题意； B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即， 所以点是的垂心，即选项正确，符合题意； C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意； D．由知，， 所以， 即， 整理得， 由知，， 同理可得， 联立解得，， 所以，即选项正确，符合题意． 故选：BCD． 三、填空题（15分） 12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角即可得解. 【详解】在中，，由正弦定理得， 而，则或, 所以或. 故答案为：或 13. 如图，在△ABC中，，，，，则＝_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图形，利用向量线性运算求解. 【详解】△ABC中，，，，， ． 故答案为：. 14. 如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为，计算得到答案. 【详解】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为. 在中，，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了立体几何中的最短距离，余弦定理，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 四、解答题（77分） 15. 已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围． （2）若，求的共轭复数及的模． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意求出，结合复数几何意义和各象限的点的坐标特征即可． （2）利用复数的除法运算法则求出z，进而求出z的共轭复数和模． 【小问1详解】 因为，， 所以． 因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以 解得，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 因为， 所以． ． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若． （1）求的值； （2）若，，求b的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积为0得，结合余弦定理即可得解. （2）由平方关系以及两角和差公式、诱导公式依次求出，结合正弦定理即可得解. 【小问1详解】 由题意，整理得， 所以由余弦定理有. 【小问2详解】 因为，，，所以， 所以 ， 所以由正弦定理有. 17. 已知长方体中，，求： （1）长方体表面积； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1）10； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用长方体的表面积公式计算即得. （2）利用锥体体积公式计算即得. 【小问1详解】 长方体中，，， 因此长方体的侧面积， 所以长方体的表面积. 【小问2详解】 的面积， 显然三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积. 18. 已知向量，，其中，且. （1）求和值； （2）若，且，求角. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由可得，再由求出的值，然后利用二倍角公式化简计算即可， （2）由，求出，从而由可求得的值，而，再利用两角差的正弦公式化简计算，从而可求出角 【详解】知 又 （1） （2） 又 又 19. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）若，求； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）由可得，从而可得的值，由，从而可得结果. （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得： 可得函数的最小正周期. 【小问2详解】 因为，，. 所以，又因为， 所以，所以， 所以 【小问3详解】 由（1）知，函数， 可得， 因为对于任意，恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 可得，则， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期四校联盟期中联考试题 高一数学 一、单选题（40分） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2. 若为实数，是纯虚数，则复数为（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，，则向量在向量上投影向量为（ ） A B. C. D. 4. 在 △ABC中，已知角，，则角C= A. B. C. D. 或 5. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A 4 B. C. D. 6. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 4.5cm 7. 如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（ ） A. 30米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（ ） A. 13 B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小值 C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴 D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 11. 已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为的垂心 C. 若且（，），则 D. 若，，，且，则的值为 三、填空题（15分） 12. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则_______． 13. 如图，在△ABC中，，，，，则＝_____ 14. 如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为______. 四、解答题（77分） 15. 已知复数，． （1）若复数在复平面上对应点在第三象限，求实数的取值范围． （2）若，求的共轭复数及的模． 16. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若． （1）求的值； （2）若，，求b的值． 17. 已知长方体中，，求： （1）长方体表面积； （2）三棱锥的体积． 18. 已知向量，，其中，且. （1）求和的值； （2）若，且，求角. 19. 已知. （1）求函数的最小正周期； （2）若，求； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$