精品解析：2025年广东省广州市花都区中考一模数学试卷

2024学年第二学期九年级调研测试 数学（问卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键． 结合图形，根据主视图的定义即可求得答案． 【详解】解：这个几何体主视图为： ． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法，幂的乘方，二次根式加法，二次根式性质．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂除法法则计算并判断A；根据幂的乘方法则计算并判断B；根据二次根式加法计算并判断C；根据二次根式的性质化简即可判断D． 详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于x轴，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系． 根据正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴，可以得到点的坐标． 【详解】解：正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于轴， 点的横坐标为：3，纵坐标为：． 点的坐标为． 故选：D． 5. 不透明袋子中只装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求简单事件的概率，熟知随机事件A的概率事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个白球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到红球的概率为； 故选：B ． 6. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马x天可追上慢马， 由题意得：． 故选：A． 7. 将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，直角三角形两锐角互余． 先根据平行线的性质得出，再求出，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据题意将方程组相减得，然后代入不等式求解即可即可得到m的最小整数解． 【详解】解：， 得：， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为4， 故选：B． 9. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样的运动规律，点的横坐标是（ ） A. 2698 B. 2699 C. 2700 D. 2702 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从点O到点共进行了675个循环，根据变化规律即可解答． 【详解】解：根据从原点出发，点，，，，，的运动规律， 可知横坐标的变化规律是依次、、、，每三个是一次循环运动， ， ∴从点O到点共进行了675个循环运动， 的横坐标为． 故选：C． 第二部分（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 12. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，由函数与方程的关系，通过待定系数法求出关系式，将代入函数解析式求解即可． 【详解】解：设与体积的函数解析式为，将代入， 得， 解得， ， 将代入，得， 故答案为：6． 13. 如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：15． 14. 已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长， 当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意； 当时， ∴， ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为__________．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了正方形的性质和扇形的面积公式． 先根据正方形的性质和扇形面积公式求出扇形的面积，再设围成圆锥的底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于底面圆的周长即可求出r，再用正方形的面积减去扇形的面积和圆的面积即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴扇形的面积为， 设围成圆锥的底面圆的半径为r，则 ， 解得：， ∴纸片剩下部分（阴影部分）的面积为． 故答案为：． 16. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③若在函数图象上，则也在函数图象上； ④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是． 其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出函数与坐标轴的交点坐标判断①，根据图象可知，函数没有最大值，判断②；图象法，判断③和④，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， 解得：， ∴图象与坐标轴的交点为，，；故①正确； 由图象可知：当或时，函数值y随x值的增大而增大，且无最大值，故②错误； 根据图象得：图象的对称轴为， ∴若在函数图象上，则也在函数图象上，故③正确； 当直线过点B时，直线与函数图象恰好有3个交点， 即，解得：， 当与之间的图象相切时，恰好有三个交点， 当时，， 令，整理得：， ∴， 解得：， ∴当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是．故④正确； 综上，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（空集）”确定出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以，不等式组的解集为：． 18. 如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据SAS可知△AOB≌△COD，从而得出∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论． 【详解】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查了1．全等三角形的判定和性质；2．平行线的判定． 19. 已知． （1）化简T； （2）若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】题目主要考查分式的化简求值，抛物线的顶点坐标，理解题意，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． （1）根据分式的加减运算法则计算即可； （2）将抛物线化为顶点式确定顶点坐标，然后代入（1）中结果求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， 代入（1）中结果得：原式． 20. 为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： （1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； （2）这一天课后体育锻炼时间的众数是__________； （3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 【答案】（1）7，条形图见解析 （2）55 （3）180人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，众数，样本估计总体． （1）将抽出学生的人数减去其他各时间的人数，即可解答； （2）根据众数的定义求解即可； （3）将全校学生人数乘以样本中体育锻炼时间不少于60分钟学生的比例，即可求解． 【小问1详解】 解：体育锻炼时间为60分钟的人数为（人）； 补全条形统计图为 故答案为：7 【小问2详解】 解：由条形图可知，体育锻炼时间55分钟的人数最多，故众数为55． 故答案为：55 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生由180人． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，射线与腰交于点E． （1）尺规作图：作出射线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作的平分线即可； （2）过点C作，根据等腰三角形的性质及轴对称图形的性质得出，再由三角形外角的性质得出，利用等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数求解即可． 【小问1详解】 解：作的平分线，交于点E，射线即为所求； 【小问2详解】 过点C作，如图所示： ∵等腰中，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）__________米/秒，__________秒； （2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）4；15 （2） （3）6秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得气球乙匀速从55米到100米所用时间为9秒，得到，利用待定系数法即可求解； （3）利用待定系数法分别求得线段、线段、线段所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，列式计算即可求解详解． 【小问1详解】 解：由题意得气球甲的速度为（米/秒）， （秒． 故答案为：4，15； 小问2详解】 解：由图象知，， 气球乙的速度为（米秒）， ∴气球乙匀速从55米到100米所用时间为（秒）， ∵（秒）， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：如图所示： 由题意，， 设直线所在直线的解析式为， ∴，解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 把，代入，得 ，解得， 线段所在直线的函数解析式为； 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）； 当时，由题意得， 解得（舍去）或， 当时，由题意得， 解得（舍去）或（舍去）， 综上，甲，乙两个智能探空气球飞行到6秒或秒时，它们之间的竖直高度的差为16米． 24. 如图，在中，，，，点D在边的延长线上，过点D作且，连接，点P为的中点． （1）求的长； （2）连接，，，请判断是否为等边三角形？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由； （3）以点C为圆心，3为半径作，交边于点M，点Q是上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】（1）24 （2）是，理由见解析 （3）18 【解析】 【分析】（1）中，解直角三角形即可解答； （2）根据直角三角形斜边上中线的性质得到，根据得到，因此，从而点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心，根据圆周角定理有，得到是等边三角形． （3）取的中点H，连接，延长交于点N，根据中位线定理得到，因此点P在直线上运动．作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，，则，连接，交于点，则，由点H是的中点，，得到，证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理在中，求得，即可得出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴． 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵点P是的中点， ∴在中，， 在中，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，B，E，D四点共圆，且点P为该圆的圆心， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【小问3详解】 解：取的中点H，连接，延长交于点N， ∵点P是的中点，点H是的中点， ∴， ∴点P在直线上运动． 作点M关于的对称点，连接，交于点G，连接，， 则， ∴， 连接，交于点，则， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点M与点关于对称， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， 即的最小值为18． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定，四点共圆，圆周角定理，直角三角形斜边上中线的性质，轴对称的性质，最短路径问题等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 已知抛物线与抛物线相交于点． （1）求出p的值； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上． ①当时，求n的取值范围； ②当M，A，N三点共线时，求m的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，待定系数法确定函数解析式，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据待定系数法代入即可得出结果； （2）由（1）得，将点M代入得，且；①根据题意得出，然后代入函数解析式确定，再由二次函数的性质即可得出n的取值范围；②根据题意得出，再利用一次函数的待定系数法及三点共线得出方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入， 得， 解得：； 【小问2详解】 由（1）得， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ①∵，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得：， 当时，或， 当时，， 当时，， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴设直线的函数解析式为：， 代入得：，解得， ∵， ∴； 设直线的函数解析式为：， 代入得：，解得， 即， ∵M，A，N三点共线， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期九年级调研测试 数学（问卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、姓名、考号；并用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 2025相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形的边长为4，点B的坐标是，平行于x轴，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 不透明袋子中只装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ） A B. C. D. 6. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 将一副直角三角板（，）按如图所示摆放，点在上且点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点O出发，依次运动到点，，，，，……按照这样运动规律，点的横坐标是（ ） A. 2698 B. 2699 C. 2700 D. 2702 第二部分（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 12. 密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化，已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，点在图象上，当时，气体的密度__________． 13. 如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是__________． 14. 已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为__________． 15. 如图，在正方形纸片中，，在正方形中剪下一个扇形和一个圆形，点E在上，若以剪下扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥，则纸片剩下部分（阴影部分）的面积为__________．（结果保留π） 16. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： ①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值； ③若在函数图象上，则也在函数图象上； ④当直线与函数G的图象有4个交点时，则m的取值范围是． 其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共9题，满分72分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17. 解不等式组：． 18. 如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 19. 已知． （1）化简T； （2）若是抛物线的顶点坐标，请求出T的值． 20. 为进一步加强学生体质，某中学推行“阳光体育活动”计划，要求学生在课后自主完成体育锻炼并记录，经过一段时间后，学校随机抽查了该校30名学生某一天课后体育锻炼时间（单位：分钟），如图是根据抽查结果绘制的统计图的一部分： 根据以上信息解决以下问题： （1）这一天课后体育锻炼时间为60分钟的人数为__________人，请补全条形统计图； （2）这一天课后体育锻炼时间众数是__________； （3）若该校共有600名学生，请估计该校这一天体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数． 21. 如图，在中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点A恰好落在的延长线上的点D处，射线与腰交于点E． （1）尺规作图：作出射线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 23. 在气象观测实践课中，同学们利用AI控制器精准地将甲和乙两个智能探空气球按照设定的速度匀速竖直升降．气球甲从地面以m米/秒的速度上升，气球乙从距离地面高10米的观测台同时上升，9秒时气球乙到达预定高度并暂停上升，开始采集大气数据（持续一定时间），完成后按原速继续上升．最终两气球同时到达距离地面100米的空中进行了n秒的联合观测，观测完毕后两气球释放部分气体，以相同速度降落至地面．甲，乙两探空气球所在的位置距离地面的高度y（米）与气球飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）__________米/秒，__________秒； （2）求线段所在直线的函数解析式（不要求写出x的取值范围）； （3）甲，乙两个智能探空气球飞行到多少秒时，它们之间的竖直高度的差为16米？（直接写出答案即可） 24. 如图，在中，，，，点D在边的延长线上，过点D作且，连接，点P为的中点． （1）求的长； （2）连接，，，请判断是否为等边三角形？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由； （3）以点C为圆心，3为半径作，交边于点M，点Q是上的动点，连接，，求的最小值． 25. 已知抛物线与抛物线相交于点． （1）求出p的值； （2）设点在抛物线上，点在抛物线上． ①当时，求n的取值范围； ②当M，A，N三点共线时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $