福建省福州市福建师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

福建师大附中20242025学年下学期期中考试 高一数学试卷 时间： 120分钟 满分： 150分 命题： 刘文清 审核： 周裕燕 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.若z(1+i)=3+i,则z=（) A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 2.设向量a=(L,1),6=(←-1,3)，c=2,1),且(a-)1c,则实数1=() A.1 c.5 D.3 3.己知a,五为单位向量，且满足-=5，则2a-=（) A.5 B.5 c.万 D.3 4.已知复数z满足z+=1,则z+1的最大值为() A. B.∠ C.√2+1 D.3 5.设复数3,32对应的向量分别为0Z,0Z,0为坐标原点，且乙=√2+√2i,若把 0乙绕原点顺时针旋转3弧，把O乙，绕原点逆时针旋转4红 ,所得两向量的终点重合，则 22=（) A1-5i B.-1+V5i C.3-i D.5+i 6.已知△4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,C,B= ，c=6,若△ABC有两解，则 6 b的取值范围是() A.(3,6) B.35,65) c.(35,6) D.(3,65 1 扫描全能王创建 7、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何 研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该 点处的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面 上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和，例如：正四 面体在每个顶点处有3个面角，每个面角都是二，所以正四面体在各顶点的曲率为 2元-3×”=元，故其总曲率为4元，则四棱锥的总曲率为() A.2π B.4元 C.5π D.6π 8.已知0是△ABC所在平面内一点，且A团=2，OAAC=-1,OCAC=1,则 ∠ABC的最大值为() B. 4 罗 C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分。 9.已知，3都是复数，下列选项中正确的是() A.若名+=名-，则名=0 B.若马专0，则 C.若z+z=0,则马==0 D.若=，则= 扫描全能王创建 10中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、 下应面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池， 丛垂直于底面，从=5，底面扇环所对的圆心角为受，弧AD的长度是弧BC长度的 3倍，CD=2,则下列说法正确的是() A A页AD长度为 3 10π B.曲池的体积为 D C.曲池的表面积为20+14元 D.三棱锥A-CCD的体积为5 11.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且满足 6-2a+4asin24牛B=0,则下列结论正确的是() 2 A.角C一定为锐角 B.a2+2b2-c2=0 C. 3tan 4+tan C=0 D.tanB的最小值为5 三、填空题：第12、13题每小题各5分，第14题第一空2分，第二空3分， 共15分. 12.已知某圆台的上、下底面直径分别为4,10，高为4，则该圆台的侧面积为 13.点0在△ABC所在的平面内，若OA=1 ,(几≠0)，则直线0A一定经过 △ABC的 ,(填：重心、内心、外心或垂心) 3 扫描全能王创建 14.,点M,N分别为三棱柱ABC-ARG的棱BC,BB的中点，设△4MN的面积为，平 面AMN截三棱柱ABC-A,B,C所得截面面积为S,五棱锥4-CCB,M的体积为Y,三 被柱ABC-48G的体积为，则兰=一号=一 1 四、解答题：5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 如图，在△ABC中，已知CA=1,CB=2,∠ACB=60°，点D是AB上-点，满足 AD=1A店，点E是边CB上一点，满足B距=BC 1)当=时，求匠C⑦： (2)是否存在非零实数入，使得A正⊥CD？若存在，求出1的值：若不存在，请说明 理由 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c.已知m=(1+cosA,sinB), n=(N5a,b)且mm. (1).求角A的大小： (2)若D是BC的中点，AD=2,求△ABC面积的最大值 4 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中AD∥BC,且AD=2BC, 点E为棱PD的中点， (1)求证：CE∥平面PAB: (2)若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N,使得NII平面PAB?若 存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由： (3)若PA=PB=PC=AD=10,CD=12,请在图中作出 四棱锥P-ABCD过点B,E及棱AD中点的截面，并求出截 面周长。 18.(本小题满分17分) 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行 到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C现有甲.乙两位游客 从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B, 在B处停留lmin后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山 路4C长为1260m,经测量，cos4=12 。。=2 (1)求索道AB的长： (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围 内？ 扫描全能王创建 19.(本小题满分17分) 我们把a6+a,x+a2x2+…+anx”=0(其中a,≠0，neN)称为一元n次多项式 方程.代数基本定理：任何一元nn∈N)次复系数多项式方程在复数集内至少有一个复 数根：由此推得，任何一元n(”∈N)次复系数多项式方程在复数集内有且仅有n个复 数根（重根按重数计算），那么我们由代数基本定理可知：任何一元nn∈N)次复系数 多项式在复数集内可以分解为n个一次因式的乘积即 a+ax+ax2+…+a,x”=a,(x-a)卢(x-a2)…(x-an)，其中k,meN, k1+k2+…+km-n,么，乌，，an为方程a。+ax+a2x2+…+ax”=0的根.进一步可 以推出：在实系数范围内（即a0,a1,a2,…,a。为实数），若方程 a+a1x+42x2+…+anx”=0有实数根，则多项式a+ax+ax2+…+anx”必可分解 因式例如：观察可知，x=1是方程x-1=0的一个根，则(x一1)一定是多项式x-1的 一个因式，即x-1=(x-l)(ar2+bx+c,由待定系数法可知，a=b=c=1, (1)在复数集内解方程：x+x一2=0： (2)设f(x)=a+ax+ax2+4x,其中a,4,42,4都是正实数，且 ag+4+a2+a=1. (i)试写出多项式x-(a+ax+a2x2+a,x)）的-个因式： (i)记点P(x,y)是y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点 求证：当a,+2a2+3a3≤1时，x。=1. 6 扫描全能王创建