福建省莆田市城厢区砺成中学2024-2025学年 七年级下学期期中考试数学卷

2024-2025学年砺成中学七年级下学期期中考试卷 数学试题 一、单选题 1．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A．B．C．D． 2．在平面直角坐标系中，点（2025，-2024）属于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（    ） A．58° B．45° C．32° D．29° 4. 如图，给出下列条件，其中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 5．已知二元一次方程组，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P的坐标为（ ） A．（5，0） B．（–5，0） C．（0，5）或（0，–5） D．（5，0）或（–5，0） 7．小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 8．下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．若a=b，则 |a|=|b| D．和为180°的两个角是邻补角 9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，下列是甲、乙、丙、丁四名同学列的方程或方程组， 甲同学：；乙同学：；丙同学：；丁同学：． 正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是方程x+ay=1的解。则a= ． 12.平方根是的数是 ． 13.平面直角坐标系中，若点P（2025m，2025-m)在x轴上，则m的值为 ． 14．在实数、、、、、中，无理数的个数是 个． 15．如图，点O为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当的度数是 时，直线与直线互相平行． 16．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系，则 ． 三、解答题 17．计算： 18. 你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个棋子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)现轮到黑棋下，要使黑棋在这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 19．如图，已知DE//CB，∠B=∠D (1)求证：AB//CD 请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据； 证明：∵DE//CB， ∴∠BCF= （ ）． ∵∠B=∠D， ∴∠BCF= （ ）． ∴AB//CD．（ ）． (2)若∠B+∠F=102°，求∠DEF的度数． 20.如图，从点A向引三条线段，且，．    (1)、、中最短的是__________________；判定理由是__________________． (2)若，，，依据等积法，求点A到线段的距离． 21．规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以③ ③得：④ ①-④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组的解． 22．解答题，在学习第八章《估算》后，某 数学爱好小组探索的近似值的过程如下： ∵＜＜ ∴10＜＜11 ∵面积为110的正方形的边长是， 设=10+x，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积=+2×10x+ 又110，∴+2×10x+=110 当时，可忽略，得+2×10x≈110，解得x≈0.5 ∴≈10.5 (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 23．根据如下素材，探索完成任务． 背景 数学兴趣小组对某奶茶店中A、B两种款式的奶茶进行研究． 素材1 买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；买15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．                  素材2 为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 解决问题 任务1 求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花180元，请问有几种购买方案？ 任务3 根据素材2，小华恰好用了380元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的，B款加料的奶茶3杯．则一共买了多少杯奶茶？ 24．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过点C作轴于B． (1)请写出A、B点的坐标；A（ ， ），B（ ， ） (2)如图2，过点B作交y轴于D，且，分别平分与，求的度数； (3)如图1，在y轴上是否存在点P，使得和△ABC的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H，∠BAH＝3∠PDG． ①若过点D作DE⊥CG于点E，且∠ADE与∠BAH互余，求∠BCD的度数； ②若在射线上取一点M，使得∠GDM＝2∠GDP，直线交直线于点Q，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 2024-2025学年砺成中学七年级下学期期中考试卷 参考答案 1．A 2．D 3．C 4．A 5. B 6．C 7．A 8.C 9. B 10. D 10．解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为，， 同理可得;；；；； ；A9B9=2— 故选：D． 11．1 12. 13. 2025 14. 3 15. 或． 16. 36° 16．解：依题得：， （1）点在线段上，过点作，如下图 ①当∠ACD=3∠CDE ， ∵∠ACD=3∠CDE 又∠ACG=∠ACD＋∠DCG=4∠CDE ∴∠CDE=9° ②当3∠ACD=∠CDE ∵3∠ACD=∠CDE 又∠ACG=∠ACD＋∠DCG=∠CDE ∴∠CDE=27° （2）点在外时，过点作，如下图： ①当∠ACD=3∠CDE ， ，， ∵∠ACD=3∠CDE， 又， ∴3∠CDE=∠ACG+∠GCD 即∠CDE=18° ②当∠ACD=3∠CDE 由图可知，， 此情况不成立； 综上，∠CDE=9°或27°或18° 17. 解：原式＝ 18. （1）解：建立平面直角坐标系如图： （2） 解：现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为：或． 19. (1)∠D，两直线平行，同位角相等，∠B，内错角相等，两直线平行 （2）解：∵∠B＝∠D，∠B＋∠F=102° ∴∠D＋∠F=102° 又∠DEF+∠D＋∠F=180° ∴∠DEF+102°=180° 得∠DEF=78° 20．(1)，垂线段最短 （2）解：∵，，，，， ∴，即， ∴， ∴点A到线段的距离为． 21．（1）； （2），， （3）解： 得 ， ， ，得 ， ，得 ， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 22．（1）解：∵＜＜ ∴8<<9 整数部分的值为8． 面积为72的正方形的边长是，且8<<9 设=8+x，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积． 又∵=72， ∴82+2×8x+x2=72 当时，可忽略，得64+16x≈72，得到x≈0.5 ∴≈8.5 （2）如图：设， 正方形的面积为：，而， 当较小时，省略，得， ， ． 20．解：（任务1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （任务2）设在不加料的情况下，购买a杯A款奶茶，b杯B款奶茶， 根据题意得：10a+12b=180 ∴a=18-b 又∵a，b均为正整数， ∴或 ∴共有2种购买方案； （任务3）∵（元）， ∴A款加料的奶茶的单价与B款不加料的奶茶的单价相同． 设购买A款不加料的奶茶m杯，A款加料和B款不加料的奶茶共n杯，则购买B款加料的奶茶杯， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n，均为正整数， ∴， ∴（杯）． 答：一共买了33杯奶茶． 24．(1)；0；2；0 （2）解：如图，过E作． 轴， 轴，， ． 又， ， ． ， ， ，． ，分别平分，， ，， ． （3）①当P在y轴正半轴上时，如图， 设点，过点P作轴交的延长线于M，过A作轴交的延长线于N，则，，，． ， ， ， 解得， 即点P的坐标为． ②当P在y轴负半轴上时，如图，过P作轴交的延长线于M，过A作交于N． 设点，则，，． ， ， 解得， 点P的坐标为． 综上所述，P点的坐标为或． 25．（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解： ①如图1，设， ∵，∠BAH=3∠PDG ∴，，∠BAH=3α． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得， 又DE⊥CG ∴∠CGD+∠ADE=90° ∵∠ADE与∠BAH互余 ∴∠BAH+∠ADE=90° ∴∠CGD=∠BAH=3α． ∴90°-2α=3α 解得α=18° ∠CGD=3α=54° ∴∠BCD=2∠BCG=2∠CGD=108 ° ②由①得， ∴， 过点M作，则 当点M在线段上时，如图2， 由①得，， 则∠GDM=2∠GDP=2 ∵， ∴∠TMQ=∠GDM=2 ∴∠GMQ=∠GMT+∠TMQ=90°， ∴ 当点M在线段的延长线上时，如图3， 同理可得，∠GDM=2∠GDP=2 ∵， ∴∠TMQ=∠GDM=2 ∴∠GMQ=∠GMT-∠TMQ=90°-4， ∴ 综上所述，的值为或2 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$