精品解析：2025年山东省聊城市高唐县中考一模数学试题

2025年初中学业水平模拟检测（一） 数学试题 （本卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了算算术平方根、负整数指数幂、零指数幂、立方根等知识．根据相关运算法则计算并求绝对值后，比较即可得到答案． 【详解】解：，，， ∵, ∴原题中绝对值最小数是， 故选：C 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米纳米； 故选B． 4. 如图所示几何体的主视图是（ ）     A.     B.     C.     D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了主视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案，掌握三视图的特征是解题的关键． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图是， ， 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则计算计算即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 6. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的运用，理解数量关系，掌握分式方程的运用是关键． 设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件，由此列式求解即可． 【详解】解：某工厂将生产线改造后比改造前每天多生产100件， ∴设改造后每天生产的产品件数为件，则改造前每个生产的件数为件， ∵改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， ∴改造后每天生产的产品件数为件， 故选：C ． 7. 如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键． 根据题意得到，则，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 8. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：∵四瓶溶液分别用甲、乙、丙、丁表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中两瓶溶液只有一瓶变红色的结果有种， ∴这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为， 故选：． 9. 如图，是的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识得到是关键． 如图所示，取线段的中点，连接，得到，可证，得，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，连接， ∵是的中线，即点是中点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 10. 如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到图形是由和扇形组成的，求出相关线段的长度，根据进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知， ∵点为曲线的最低点， ∴此时点运动到点H，且，，如图，连接， ∴， ∴， ∴ 由图象可知，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴该图形的面积为， 故选：A 【点睛】此题考查了扇形面积公式、勾股定理、从函数图象获取信息、等腰直角三角形的判定和性质、含角的直角三角形等知识，根据函数图象得到相关正确信息是关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 若实数满足不等式组，则的最小值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将取最小值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 的最小值是3， 故答案为：3． 13. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是关键． 根据题意，分类讨论：当时；当时，得到；由此即可求解． 【详解】解：当时，即， ∴， 解得，，不符合题意； 当时，即， ∴， ∴， 解得，，符合题意； 故答案为： ． 14. 如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理等知识，连接，证明是等边三角形，得出，过点作于点，证明点在上，过点作于点，得，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，如图， ∵点是斜边的中点，， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴点在上， 过点作于点，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴点到的距离是， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交射线和轴于点，再以点为圆心，大于的长为半径作弧，在与轴之间交于点，连接并延长交函数图象于点，以点为圆心，为半径作弧交轴正半轴于点．若点的坐标为，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法求解反比例函数的解析式，设点，过点A作轴于G，过点C作轴于E，于F，利用勾股定理求出的长，根据角的正切值求出，由作图方法可知，是的平分线，利用求出C点坐标，根据等腰三角形三线合一可得，进而求出结果 【详解】解：在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数为， 设点， 如图，过点A作轴于G，过点C作轴于E， ， ， ， ， 由作图方法可知，是的平分线， ， ， ， ∵点C在第一象限， ， ， 由题意可知， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象性质，角平分线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象性质，角平分线的性质是解题的关键． 16. 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）先算负指数幂，特殊角的三角函数值，立方根的结果，最后再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算化简，再代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 18. 光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上 测量 示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 （1）求“方案一”两次测量塔影长的平均值； （2）根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度； （3）根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：．结果保留1位小数）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，仰俯角解直角三角形，理解题意，掌握相似三角形的性质，解直角三角形的计算是关键． （1）根据平均值的计算即可求解； （2）根据题意得，则，代入求值即可； （3）设，则，，解得，所以，由此即可求解． 【小问1详解】 解：“方案”两次测量塔影长的平均值是； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∴， ∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：光岳楼的高度约为． 19. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 88.5 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）； （2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）； （3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）； （4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由． 【答案】（1）； （2）A （3）乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； （4）预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选． 【解析】 【分析】本题考查了中位数，数据的集中趋势，直方图，样本估计总体，熟练掌握中位数的定义，直方图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）发现A的成绩在中位数前，而读表得出B的成绩在中位线以下，以此判断排名； （3）计算出甲校的中位数，优秀率，比较回答即可； （4）先计算的人数为96人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，根据题意，得，解得x即可． 【小问1详解】 解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩 由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和82， ∴中位数为：； 优秀率为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分； ∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分； 故A的排名更靠前； 故答案为：A； 【小问3详解】 解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高， 故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校； 【小问4详解】 解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人， 根据题意，得， 解得， 而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分， 答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选． 20. 某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； （3）若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 【答案】（1），，图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键． （1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可； （2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为，即，即可求解； （3）运用待定系数法得到直线的解析式为，则即，由勾股定定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴根据列表数据可知，该函数是反比例函数，其解析式为， 当时，； 画出该函数的图象如解图： 【小问2详解】 解：点的坐标为，如解图，根据对称性可知，当上方的函数图象沿直线翻折， ∵点的纵坐标为，即直线与轴的距离为， ∴折叠后与轴的交点关于对称， ∴交点与原图之间的距离为，即， ∴， 解得， ∴轴的交点坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为（为常数，），将代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，，即， ∴． 21. 如图，矩形的两条对角线相交于点，过点作，交的延长线于点，以为直径作． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的直径． 【答案】（1）相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，切线的判定以及相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． （1）连接，证明即可； （2）求出，证明，运用相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴点在上， ∴为的半径，， ∴． ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， ∵为的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 22. 数学活动课上，老师说：正方形是一个很奇妙的图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，而且通过添加线段，可以得到更多美妙的结论．下面让我们一起来探究“奇妙的正方形”吧． 活动一：如图①，在正方形中，、分别是边上的点，且．请判断线段与之间的位置关系，并说明理由； 活动二：“探究小组”在“活动一”的基础上发现，当是的中点时，连接，如图②，可求出的正切值． 他们给出的思路是：先证，再过点作的垂线，垂足记为，然后在中利用勾股定理找和的数量关系． 请根据“探究小组”的思路，求出的正切值； 【答案】活动一：，理由见解析；活动二： 【解析】 【分析】活动一：根据正方形的性质证明，得到，由，得，即可求解； 活动二：如解图①，过点作于点，过点作于点，由活动一可知，则，即，可证，，再证，得到，，则垂直平分，，设，则，在中，由勾股定理得，即，解得，结合正切值的计算即可求解． 详解】解：活动一：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 活动二：如解图①，过点作于点，过点作于点， ∵四边形正方形， ∴， 由活动一可知， ∴， ∵是的中点， ∴是的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正切值的计算，勾股定理的运用，掌握正方形的性质，正切值的计算方法是关键． 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标． （2）若该抛物线与x轴交于和两点（其中． ①若，求a的值； ②若，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数解析式求得，求得对称轴为，再根据二次函数的对称性求解即可； （2）①根据二次函数的对称性求得，，即可求得，再代入解析式求解即可； ②由可知，，当时，图象经过点，则，故此需满足，根据二次函数的对称性可得当时，；时，，求得；当时，由图象经过点，根据对称性得，故此时需满足，故时，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数解析式得：， 解得， 抛物线对称轴为：直线， ∴对称轴为直线， ∴点A的对称点B为； 【小问2详解】 解：①由抛物线与x轴交于和两点，点P和点Q关于直线对称． 又∵， 则，， ∴， 将点代入二次函数解析式得，， 解得； ②由可知，， 当时，由图象可知，，则，故此时需满足， 故当时，；时，，则； 当时，由图象可知，，则，故此时需满足， 故时，，则， 综上，或． 【点睛】本题是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，数形结合、分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平模拟检测（一） 数学试题 （本卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列实数中，绝对值最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 4. 如图所示的几何体的主视图是（ ）     A.     B.     C.     D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产800件的时间与改造前生产600件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 7. 如图，从光源点照射到抛物线上的光线经反射以后分别沿着与所在直线平行的方向射出，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（ ） A B. C. D. 9. 如图，是的中线，是的中点，延长与交于点，若，则的长为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 如图①为一个不规则的图形，是以点为圆心，长为半径的一段圆弧，，已知点沿的方向以每秒1个单位的速度匀速移动，设移动的时间为秒，的长为，与之间的函数关系如图②所示．若点为曲线的最低点，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：______． 12. 若实数满足不等式组，则的最小值是________． 13. 已知关于的方程没有实数根，则的取值范围是_______． 14. 如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是________． 15. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交射线和轴于点，再以点为圆心，大于的长为半径作弧，在与轴之间交于点，连接并延长交函数图象于点，以点为圆心，为半径作弧交轴正半轴于点．若点的坐标为，则点的坐标为_______． 16. 如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：_______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 三点在同一条直线上 三点在同一条直线上 测量 示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 【问题解决】 （1）求“方案一”两次测量塔影长的平均值； （2）根据“方案一”测量数据，求出光岳楼的高度； （3）根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：．结果保留1位小数）． 19. 甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 82 83 83 84 85 86 86.5 87 87 88 88.5 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 83.3 84 78 46% 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）； （2）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）； （3）根据上述信息，推断_____学校综合素质展示水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）； （4）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由． 20. 某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … （1）根据上表数据，求出其对应函数解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； （3）若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 21. 如图，矩形的两条对角线相交于点，过点作，交的延长线于点，以为直径作． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的直径． 22. 数学活动课上，老师说：正方形是一个很奇妙的图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，而且通过添加线段，可以得到更多美妙的结论．下面让我们一起来探究“奇妙的正方形”吧． 活动一：如图①，在正方形中，、分别是边上的点，且．请判断线段与之间的位置关系，并说明理由； 活动二：“探究小组”在“活动一”的基础上发现，当是的中点时，连接，如图②，可求出的正切值． 他们给出的思路是：先证，再过点作的垂线，垂足记为，然后在中利用勾股定理找和的数量关系． 请根据“探究小组”的思路，求出的正切值； 23. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该抛物线的对称轴，以及点A的对称点B的坐标． （2）若该抛物线与x轴交于和两点（其中． ①若，求a的值； ②若，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$