精品解析：上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期 高一数学期中试卷 （说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 若复数，其中是虚数单位，则______. 2. 函数（常数且）的图像必定经过点________． 3. 已知，．若，则值是________． 4. 物体受到三个力的作用，，，合力，则第三个力的大小为________（单位：牛顿）. 5. 已知，，则在方向上投影向量为________．（用坐标表示） 6. 函数的频率为________． 7. 函数，值域为________． 8. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为________． 9. 已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________． 10. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为________． 11. 平面直角坐标系中，将函数，的图像绕原点逆时针旋转后，仍是某个函数的图像．则的取值范围是________． 12. 已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________． 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 设、，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 复数，在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 15. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 16. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤． 17. 已知平面上的两个向量（），. （1）求证：向量与垂直； （2）当向量与的模相等时，求的大小. 18. 已知（，，），函数的部分图象如图所示. （1）求，，，的值； （2）求函数的值域. 19. 如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜. （1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看.问望远镜仰角应调整为多少度？（精确到1度） （2）在同学甲向其母亲挥手致意同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米） 20. 已知，为虚数单位．定义，． （1）计算，； （2）求集合在复平面上对应的区域的面积； （3）若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 21. 已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质． （1）下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）； ①；②；③（表示不超过的最大整数）． （2）已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”． （3）已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期 高一数学期中试卷 （说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟．本套试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 若复数，其中是虚数单位，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】求得，由此求得. 【详解】由于，所以，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数乘法运算，属于基础题. 2. 函数（常数且）的图像必定经过点________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质计算可得. 【详解】对于函数（常数且）， 令，解得，此时， 即函数（常数且）的图像必定经过点. 故答案为： 3. 已知，．若，则的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，解得. 故答案为：6. 4. 物体受到三个力的作用，，，合力，则第三个力的大小为________（单位：牛顿）. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设第三个力为,根据向量的加法列等式,求出,即得向量, 再根据求模公式算出力的大小. 【详解】解：因为物体受到三个力的作用. ,,合力. 设第三个力为 即 故答案为： 【点睛】本题考查向量的加法运算和向量求模,属于简单题. 5. 已知，，则在方向上的投影向量为________．（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，，再由在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 6. 函数的频率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数频率的定义，即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故答案：. 7. 函数，的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因，所以，所以， 所以函数，的值域为. 故答案为： 8. 已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 9. 已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围． 【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为， 则在上，函数图像上的点要在函数上面. 分情况讨论， 当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意. 当，不等式的解集不为，不合题意， 所以若不等式的解集为，必有. 根据图像知道，在1处刚好取等即可，则， 可得． 令，这是一个二次函数，函数图象开口向上． 当时，． 所以， 综上所得， 的取值范围是． 故答案为：． 10. 已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为________． 【答案】或0 【解析】 【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，， 当时，、均为实数，则，即， 即，解得，符合题意； 当时，、均为虚数，则，即， 即，解得，符合题意； 则实数的值为或0. 故答案为：或0. 11. 平面直角坐标系中，将函数，的图像绕原点逆时针旋转后，仍是某个函数的图像．则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件知，的图像与至多有一个交点，进而转化成与只有一个交点，利用二次函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题知，的图像与至多有一个交点， 由，消得到，所以至多一个解， 令，则与至多有一个交点， 又的对称轴为，所以， 故答案为：. 12. 已知集合，．若对任意向量，均存在、满足，使得，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析方程表示的曲线，设，可知三点共线，根据题意可知的最小值即为的最大值，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设方程表示的曲线为， 用代换方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用代换方程不变，可知曲线关于x轴对称； 当时，方程可化为， 据此可知曲线为边长为的正方形， 且方程表示圆心为，半径的圆， 显然曲线在圆内， 设，即点在曲线上，点在圆上， 则， 因为，即，可知三点共线， 即过曲线上任一点作圆的弦， 由圆的性质可知的最小值， 因为存在点，使得，则， 结合点的任意性可知的最小值即为的最大值， 若取到最大值，即取到最小值， 可知的最小值即为正方形的内切圆半径，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项） 13. 设、，则“”是“”（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等的定义以及充分必要条件的定义判断即可 详解】若，则，故充分性成立； 设1，，符合，但不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14. 复数，在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算先求复数，由复数的几何意义即可求解. 【详解】由，所以复数在复平面对应的点，所以点在第三象限， 故选：C. 15. 已知，，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，由得即可求解. 【详解】设点，由得， 所以. 故选：D. 16. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤． 17. 已知平面上的两个向量（），. （1）求证：向量与垂直； （2）当向量与的模相等时，求的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知计算即可得证明. （2）由，两边平方求解. 【小问1详解】 证明：因为， 所以与垂直. 【小问2详解】 由， 两边平方，得， 整理，得， 而，所以， 即. 即， ∴，即，. 又，∴或. 18. 已知（，，），函数的部分图象如图所示. （1）求，，，的值； （2）求函数的值域. 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知函数的最大值和最小值，代入解析式，解方程组可得和的值，根据图象代入点和，结合图中周期的范围及题中，的范围即可求解； （2）由（1）可得函数的解析式，代入，利用诱导公式和二倍角公式化简可得，利用换元法，令，则，，根据二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由图可知：，解得， . 又，∴. ∵，∴，∴. ∵，∴， ∴，解得. 由图可知函数周期，∴. ∵，∴，∴，. 综上，，，，. 【小问2详解】 由（1）知， ∴. 令，则，. 由二次函数性质可知函数的图象开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，函数取得最小值，最小值为； 当时，函数取得最大值，最大值为. 综上，函数的值域为. 【点睛】本题第（1）问的解题关键是根据函数图象可知周期求解的值； 本题第（2）问的解题关键是与的关系，利用诱导公式和二倍角公式化简可得后，利用换元法和二次函数的性质即可求解，注意新元的范围. 19. 如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜. （1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看.问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度） （2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米） 【答案】（1）（2）94米. 【解析】 【分析】因为摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过，过点C作于点H，利用解三角形可得望远镜B的仰角由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度． 【详解】（1）逆时针分钟转一圈， 分钟转过， 过点作于点， 则， ， 答：望远镜的仰角设置为 （2）在中，， 由正弦定理得： 答：绿化带的长度为94米. 【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，求解三角形的边与角，属于中档题． 20. 已知，为虚数单位．定义，． （1）计算，； （2）求集合在复平面上对应的区域的面积； （3）若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】（1）， （2） （3），此时 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【小问1详解】 因为，， 所以，； 【小问2详解】 设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. 【小问3详解】 设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 21. 已知函数的定义域为．满足条件“存在非零实数，只要（、且），都有”的的全体记作集合．若，称函数具有性质． （1）下列三个函数中哪些函数具有性质？并写出对应的集合（无需证明）； ①；②；③（表示不超过的最大整数）． （2）已知定义域为的函数具有性质．求证：“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”． （3）已知函数具有性质且，且满足：当时；当时．若方程恰有4个解，试求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）只需根据新定义来判断即可； （2）证明不必要性只需举出例子即可，证明充分性只需结合新定义以及周期性的定义来证明即可； （3）首先得出函数的一般的表达式，进一步画出函数图象，只需通过观察函数图象的交点个数并结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 对于①，，若，、，，则只能， 若，，则， 故函数不具有性质； 对于②，， 若，、，， 由可得， 故， 取，且，则，故， 若，则时， 或，（）， 若，则恒成立， 若，则， 而，故也成立， 综上，， 对于③，， 若， 则对任意的非零整数总有， 若存在， 也满足恒成立， 取，则， ， ， 故不存在非整数，使得具有性质， 综上，. 【小问2详解】 若定义域为的函数具有性质， 则当且仅当使得当（、且）时，都有； 若为偶函数，因为为偶函数，故， 当时，则有，故， 故，故为周期函数，且周期为. 取，，则时，总有， 当为奇函数， 综上，“函数是周期函数”的一个充分非必要条件是“为偶函数”； 【小问3详解】 由题意当且时，若，则只能， 又函数具有性质且（事实上根据新定义可知，函数具有性质且）， 从而， 又，所以，从而在上的图象关于直线对称， 当且时，若，则只能， 因为函数具有性质且， 所以，而，从而在上图象关于直线对称， 当时，此时的图象关于直线对称； 当时，此时的图象关于直线对称； 依次类推可得的图象在时关于直线对称， 当时，， 依次类推当时，， 因为当时，，所以当时，， ……， 所以当时，， 由此可画出函数的图象，如下图所示： 显然当时，方程有无数多个解，故不符合题意， 当时，的图象与反比例函数的图象在第二象限的一支会有无数多个交点，故不符合题意， 现在我们来看的情形，此时方程的根只能是正根， 当时，结合二次函数性质可知，方程的根的情况如下： （i）当时，方程有2个根； （ii）当时，方程有1个根； （iii）当时，方程有0个根； 若方程恰有4个解， （i）当时，若方程上有2个根， 则需满足，但这不可能成立； （ii）当时，若方程上有3个根， 则需满足，但这不可能成立； （iii）当时，若方程上有4个根， 则需满足，解得； 综上所述，满足题意的实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $