精品解析：江苏省无锡市滨湖区2024-2025学年下学期期中质量检测卷九年级数学

2025年春学期初中期中质量初三数学监测卷 注意事项： 1．考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：8的相反数是， 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，整式加法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．根据同类项的加法，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方，一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 3. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据分母不等于零，分式有意义，即可得出答案． 【详解】解：有意义， ， ． 故选：C． 5. 一组数据：3，4，6，4，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 4，6 D. 6，4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．这组数据中出现次数最多的数即是这组数据的众数．根据众数和中位数的定义判断即可． 【详解】解：先从小到大排列一遍：3，4，4，6，7， 那么排在中间的数是4，出现次数最多的是4， 所以中位数是4，众数是4， 故选：A． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同旁内角互补 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角，两点确定一条直线，两直线平行，同旁内角互补等定理的理解，熟练各定理是解决本题的关键． 对每个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故不符合题意； B、两点确定一条直线，故符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线的平行，故不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，故不符合题意； 故选：B． 7. 某城市规划建设两栋住宅楼，前排楼高19.6米．为了确保后排建筑底层在冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为（ ）（已知当地冬至日正午太阳光线与地平面的夹角为，，，） A. 28米 B. 29米 C. 30米 D. 33米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设两楼之间的最小间距应为米，由题意得，据此计算即可求解． 【详解】解：设两楼之间的最小间距应为米， 由题意得， ∴米， ∴两楼之间的最小间距应为28米， 故选：A． 8. 《四元玉鉴》中提出了下列问题：今有布帛二色，共织三丈六尺，已知白布每尺价八文，彩布每尺价十文，若白布减五尺，彩布增三尺，二者总价相等，问白布、彩布各几何尺？这段话的意思是：现在有白色和彩色两种布帛，总共织了三丈六尺（一丈等于十尺，三丈六尺就是36尺）．已知白色布每尺价格是8文钱，彩色布每尺价格是10文钱，如果白色布的长度减少5尺，彩色布的长度增加3尺，那么白色布和彩色布的价钱就相等．问白色布和彩色布各有多少尺？设白色布有尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系是解题的关键．由题意可知，现在有白色和彩色两种布帛共有36尺，设白色布有尺，那么彩色布帛有尺，如果白色布的长度减少5尺，彩色布的长度增加3尺，那么白色布有尺，彩色布有尺，然后根据白色布每尺价格乘以白色布数量等于彩色布每尺价格乘以彩色布数量列出方程即可． 【详解】解：设白色布有尺，那么彩色布帛有尺，由题意可知， 故选：B． 9. 如图，中，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质与判定，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作于，延长至点，使得，连接，利用等腰三角形的性质得到，结合推出，则有，得到，设，，在利用勾股定理建立方程，求出之间的关系，再利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，作于，延长至点，使得，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，，则， ， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标（为常数，且），则称点是点关于的“关联点”．如图，边长为4的正方形，点坐标为，点在轴正半轴上．给出下列四个结论： ①点关于2的“关联点”在线段上； ②点关于2的“关联点”到原点的距离为； ③若点关于的“关联点”与点关于的“关联点”重合，则； ④若点是正方形边上一点（端点除外），其关于的“关联点”始终在正方形内部，则； 则正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点关于的“关联点”，点到点的距离公式，理解题意，数形结合是解题的关键．先写出，，，求得点关于2的“关联点”以及点关于2的“关联点”，即可判断①和②；写出若点关于的“关联点”为，点关于的“关联点”为，根据重合，即可得到，判断③；若点是正方形边上一点（端点除外），不妨设，其中，那么其关于的“关联点”为，根据始终在正方形内部，得到，，从而得到的范围，判断出④，最后得出答案． 【详解】解：边长为4的正方形，点坐标为， ，，， 点关于2的“关联点”为，即； 点关于2的“关联点”不在线段上；故①错误； 点关于2的“关联点”为，即， 到原点的距离为：，故②正确； 若点关于的“关联点”为，点关于的“关联点”为， 点关于的“关联点”与点关于的“关联点”重合， ， ，故③错误； 若点是正方形边上一点（端点除外），不妨设，其中， 那么其关于的“关联点”为， 其关于的“关联点”始终在正方形内部， ，， ，故④正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12. 2025年总台春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，接待游客约1560000人次，将1560000用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解： 故答案为：． 13. 已知，，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．利用进行计算即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 14. 已知一次函数（、为常数，）的图象经过点，且随的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知，根据随的增大而减小，可知，写出一个符合题意的答案即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， 随的增大而减小， ， 可取，符合题意； 故答案为：． 15. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为3，则________． 【答案】-6 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以得到△AOB的面积等于|k|的一半，由此可以得到它们的关系． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得△AOB的面积等于|k|=3， 解得k=±6， ∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象在第二和第四象限， ∴k=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键． 16. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 【答案】15π 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案. 【详解】解：设圆锥母线长为l， ∵r=3cm，h=4cm， ∴母线l=cm， ∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15πcm2， 故答案为15π. 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键. 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 【答案】## 【解析】 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键． 18. 已知，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点，若有且只有3个点，使得为直角三角形，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，推导出一定过，当时，过点作交于点，即可找到唯一点；当时，过点作交于点，即可找到唯一点； 点为直线上一点，若有且只有3个点，以为直径，以的中点画，找到与有唯一交点，是的切线，切点为，先利用求得，过点作轴于，先利用勾股定理，求得或，然后将其代入，即可得到答案． 【详解】解： 不管为何值，当时， 一定过， 不妨设， 点为直线上一点，使得为直角三角形， 当时，过点作交于点，即可找到唯一点； 当时，过点作交于点，即可找到唯一点； 以为直径，以的中点画，找到与的交点， 直径所对的圆周角等于 点为直线上一点，若有且只有3个点， 以为直径，以的中点画，找到与有唯一交点， 是的切线，切点为，如图所示： 点，， 半径为2， 是的切线，切点为， 过点作轴于， 或 将、分别代入， 或 或， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角等于90度，切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，待定系数法求一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和确定不等式组解集的方法是解答本题关键． （1）原式分别计算负整数指数幂、零次幂和算术平方根，然后计算加减法即可；； （2）分别求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） （2）， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用分式的运算法则化简式子，代入特殊角的三角函数值求出的值，再代入的值到化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 如图，中，分别是边上的点，，连接． （1）求证：； （2）连接，若，点为的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，，利用可证； 连接，因为，根据等腰三角形的性质可知，利用锐角三角函数可求出，根据全等三角形的性质可得：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示， ，点为的中点， ，即， 又，， ， ， 由得， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、等腰三角形的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 22. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同． （1）从袋子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率； （2）从袋子中同时摸出2个球，求摸到的两个球都是红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有3种， ∴摸到红球的概率为（红球）； 【小问2详解】 解：设红球分别位，白球分别为，用列表格法列举： 共有20种等可能结果，其中两个球都是红球有6种， ∴． 23. 某学校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制了如下不完整的统计图表． 等级 人数 百分比 A B m C D n 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）被抽取学生总人数________，________，________； （2）补全学生测试成绩条形统计图； （3）若该校共有名学生，估计该校对“垃圾分类”知识掌握达到A、B等级学生的总人数． 【答案】（1），，5 （2） 条形统计图为： （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查频数统计表和条形统计图，掌握统计表和条形统计图的特征，是解题的关键． （1）根据，即可得到答案； （2）根据统计表的数据，即可画出条形统计图； （3）根据全校总人数A、B等级学生的总人数的学生的百分比，即可得到答案． 【小问1详解】 解：被抽取学生总人数：（人） （人） 故答案为：，，5． 【小问2详解】 解：A等学生数：（人） 【小问3详解】 A等级学生百分比： 解：（人） 答：估计该校对“垃圾分类”知识掌握达到A、B等级的学生总人数为人． 24. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，以点为圆心作一个圆，使与、都相切；（不写作法，保留作图痕迹，作图痕迹描粗加黑） （2）已知中，，求的半径．（如需画辅助线，请使用图2） 【答案】（1） 如图，即为求作的圆． （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，角平分线性质，切线的性质，解题的关键是掌握基本作图方法． （1）先用尺规作图作出的角平分线，交于点，过点作到的垂线，得到到的垂线段，以点为圆心，到的垂线段为半径作圆即可； （2）连接，作于点，作于点，可得，根据三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，作于点，作于点， 与、都相切， ， 中，， ∴， ∴， ∴． 25. 某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 【答案】（1）； （2）该商品销售单价为每件40元． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，代入，，然后解方程组即可； （2）根据“销售利润单个利润销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解； 【小问1详解】 解：设，代入，， 则， ，， ； 【小问2详解】 解：根据题意，得， ，， ， ． 答：该商品销售单价为每件40元． 26. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到，求得，过点B作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 已知，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接． （1）如图，若，时，求的长； （2）若为的三等分点，求的值． 【答案】（1） （2）或1 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）作于点，设与交于点，根据矩形的性质得到，，，利用勾股定理求出，再通过证明得到，代入数据即可求出的长； （2）延长与交于点，利用折叠的性质推出，通过证明得到，结合为的三等分点，分2种情况讨论，设，利用相似三角形的性质和勾股定理表示出，进而表示出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图，作于点，设与交于点， 矩形， ，，， 点落在边的中点， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得，垂直平分， ， ， ， 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：延长与交于点， 由折叠的性质得，，， ， ，即， ， ， ， ， 为的三等分点， 或， ①当时，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ； ②当时，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或1． 28. 已知，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接，若点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点． ①点为线段上一动点，轴，垂足为点，点为线段上一动点，连接．当的面积最大时，求的最小值； ②在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）二次函数的图象经过，对称轴经过点，运用待定系数法求解即可； （2）①根据二次函数与坐标轴的关系得到，，，直线的解析式为，设，则，则，根据二次函数最最值的方法得到当时，的面积最大，最大值为，如图所示，可得是定值，四边形是平行四边形，，此时，根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小，可证，得到，设，则，在中，，即，则，由此即可求解； ②如图所示，点在点上方，四边形是菱形，得，即；如图所示，点在点下方，四边形是菱形，，即；由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过，对称轴经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：①二次函数中，令时，，则， 令时，， 解得，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，如图所示， ∴，，，且， ∵点为线段上一动点，轴， ∴，， ∴是定值， 如图所示，将连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，此时， 根据点到直线垂线段最短得到，当且三点共线时，的值最小， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②存在，理由如下， 如图所示，点在点上方，四边形是菱形， ∴，且，则，， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴，即，则， ∴轴， ∵， ∴轴， ∴； 如图所示，点在点下方，四边形是菱形， ∴，且，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴； 综上所述，在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与线段，特殊四边形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数求图形面积，线段最小值的计算，相似三角形的判定和性质，二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理等知识的综合运用，数形结合分析，分类讨论思想是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期初中期中质量初三数学监测卷 注意事项： 1．考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 8的相反数是（ ） A. B. 8 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据：3，4，6，4，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 4，4 B. 4，5 C. 4，6 D. 6，4 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两点确定一条直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同旁内角互补 7. 某城市规划建设两栋住宅楼，前排楼高19.6米．为了确保后排建筑底层在冬至日正午有日照，两楼之间的最小间距应为（ ）（已知当地冬至日正午太阳光线与地平面的夹角为，，，） A. 28米 B. 29米 C. 30米 D. 33米 8. 《四元玉鉴》中提出了下列问题：今有布帛二色，共织三丈六尺，已知白布每尺价八文，彩布每尺价十文，若白布减五尺，彩布增三尺，二者总价相等，问白布、彩布各几何尺？这段话的意思是：现在有白色和彩色两种布帛，总共织了三丈六尺（一丈等于十尺，三丈六尺就是36尺）．已知白色布每尺价格是8文钱，彩色布每尺价格是10文钱，如果白色布的长度减少5尺，彩色布的长度增加3尺，那么白色布和彩色布的价钱就相等．问白色布和彩色布各有多少尺？设白色布有尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标（为常数，且），则称点是点关于的“关联点”．如图，边长为4的正方形，点坐标为，点在轴正半轴上．给出下列四个结论： ①点关于2的“关联点”在线段上； ②点关于2的“关联点”到原点的距离为； ③若点关于的“关联点”与点关于的“关联点”重合，则； ④若点是正方形边上一点（端点除外），其关于的“关联点”始终在正方形内部，则； 则正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 因式分解：______． 12. 2025年总台春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，接待游客约1560000人次，将1560000用科学记数法表示为_______． 13. 已知，，那么______． 14. 已知一次函数（、为常数，）的图象经过点，且随的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式_____． 15. 如图，已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点A，过A点作轴，垂足为B．若的面积为3，则________． 16. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为____． 18. 已知，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点，若有且只有3个点，使得为直角三角形，则_____． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，中，分别是边上的点，，连接． （1）求证：； （2）连接，若，点为的中点，，求的长． 22. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同． （1）从袋子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率； （2）从袋子中同时摸出2个球，求摸到的两个球都是红球的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 某学校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制了如下不完整的统计图表． 等级 人数 百分比 A B m C D n 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）被抽取学生总人数________，________，________； （2）补全学生测试成绩条形统计图； （3）若该校共有名学生，估计该校对“垃圾分类”知识掌握达到A、B等级学生的总人数． 24. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在上找一点，以点为圆心作一个圆，使与、都相切；（不写作法，保留作图痕迹，作图痕迹描粗加黑） （2）已知中，，求的半径．（如需画辅助线，请使用图2） 25. 某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 26. 如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 27. 已知，在矩形中，点分别在边上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接． （1）如图，若，时，求的长； （2）若为的三等分点，求的值． 28. 已知，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接，若点为直线下方的函数图象上一动点，过点作轴，垂足为点，交于点． ①点为线段上一动点，轴，垂足为点，点为线段上一动点，连接．当的面积最大时，求的最小值； ②在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $