精品解析：天津市第五中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷

天津市第五中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2.本卷共10题，每小题3分，共30分． 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上. 1. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的概念，平行、垂直的坐标表示逐个判断即可. 【详解】对于A，B显然错误； 对于C：易知，两向量平行，故正确， 对于D：因为，故两向量不垂直，所以D错误， 故选：C 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 故选：B 3. 已知：，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：D. 4. 在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，由向量的加法和数乘，结合平面向量的基本定理计算即得. 【详解】如图， 故选：B. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】在中，考查“”和“”的推理关系，看谁可以推出谁，即可得到答案. 【详解】在中，当时，由正弦函数的单调性可知，成立， 当时，不妨取，即不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 6. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解. 【详解】令该扇形圆心角的弧度为，半径为， 则，解得， 故选:D. 7. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中条件、完全平方公式与同角三角函数的平方关系可求出即可判断选项A；根据的符号及的范围可判断，，再利用完全平方公式与同角三角函数的平方关系以及选项A中结论即可判断选项B；根据的值和的值可解出，的值，进而可求，利用诱导公式即可判断选项C；根据二倍角的正切公式即可判断选项D. 【详解】， ， ，故选项A错误； ，. 又，， 又， ∴，故选项C错误； 联立方程组，解得，∴. ∴，，故选项B错误，选项D正确. 故选：D. 8. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又， 解得， 则. 故选：A. 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，由图可知，求出周期，再利用周期公式可求出进行判断，对于B，由图可知的图象过点，代入函数解析中可求出的值，对于C，根据图象进行判断，对于D， 【详解】对于A，由图可知，得，所以，得，所以A正确， 对于B，由选项可知，由图可知的图象过点， 所以，所以，得， 因为，所以，所以B错误， 对于C，由的图象可知是函数的一条对称轴，所以C正确， 对于D，由选项AB的解析可知，由， 得，所以是函数的对称中心，所以D正确. 故选：B 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） ①的最小正周期为； ②关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上恰有7个不同的实数根 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由即可判断①；由即可判断②；，分类讨论求其值域即可判断③，分类讨论令求其在上的根即可判断④. 【详解】对于①，因为，故①错误； 对于②，因为 ，， 所以，所以的图象关于对称，故②正确； 对于③，因为， 当时，， 当时， 所以的值域为，故③正确； 对于④，当时，，则， 解得或，故，，，或，， 当时，，则（舍）， ，此时在上有两个解， 综上，在区间上恰有7个不同的实数根，故④正确； 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卡上. 11. ______. 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 12. 的终边在第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可. 【详解】因为，所以与终边相同， 故的终边在第三象限. 故答案为：三 13. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】，再利用两角差的正切公式化简计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 14. 已知平面向量，则在上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为 . 故答案为： 15. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是______. 【答案】 【解析】 【分析】由角的概念即可求解. 【详解】一个周角是，因此分针拨慢20分钟， 也即逆时针旋转． 故答案为： 16. 已知，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据角的范围及不等式的性质求得角与的范围，再根据同角三角函数的平方关系求出和的值，最后利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】，， ，，. ∵，， ∴，. . 故答案为：. 17. 某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，可知，由三角函数的性质求出函数的最小值即可. 【详解】，， 当，即时， . 故答案：. 18. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线AC与BD的交点，为直线AE与DC的交点，若，，且，，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】取为基底表示向量，再利用数量积定义及运算律计算即得. 【详解】在中，由，得，即， 则，又， 则，所以； 又， 而， 所以 . 故答案为：；. 三、解答题：本大题共4小题，共46分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案直接答在答题卡上． 19. 已知向量满足. （1）若的夹角为，求； （2）若，求与的夹角. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的定义以及向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，再由数量积的定义代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得， 则， . 【小问2详解】 由可得，即， 即， 所以，且，所以， 即与的夹角为. 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小. （2）若的面积为，求的周长. （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由三角形的面积公式，余弦定理求出各边求解周长即可； （3）先求出，由二倍角公式与两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得：, 由于，所以，即， 又，所以，故. 【小问2详解】 由于，所以， 所以，所以. 由余弦定理得：， 故，所以的周长为：. 【小问3详解】 由，所以， 所以， ， . 21 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标． 【答案】（1）；（2）； （3）对称轴为，对称中心为. 【解析】 【分析】 （1）首先可通过三角恒等变换将函数转化为，然后根据周期计算公式即可得出结果； （2）可通过正弦函数的单调性得出结果； （3）可通过正弦函数的对称性得出结果. 【详解】（1） ， 最小正周期 （2）当时， 即时，函数单调递增， 故函数的单调递增区间为. （3），即， ，即， 则函数的对称轴方程为，对称中心为. 22. “天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 （1）的解析式； （2）甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ （3）游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式； （2）代入，即可求解． （3）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 由题意可得，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 【小问3详解】 甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度，     点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：， 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第五中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利! 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2.本卷共10题，每小题3分，共30分． 一、选择题：每小题四个选项中只有一个是正确的，请将答案的代号涂在答题卡上. 1 若向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知：，，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 7. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 8. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） ①的最小正周期为； ②关于直线对称； ③的值域为； ④在区间上恰有7个不同的实数根 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请将答案填在答题卡上. 11. ______. 12. 的终边在第______象限． 13. 若，则______. 14. 已知平面向量，则在上的投影向量为______. 15. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是______. 16. 已知，，，则______. 17. 某地一天时的气温y（单位：）与时间t（单位：h）的关系满足函数，则这一天的最低气温是______. 18. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线AC与BD的交点，为直线AE与DC的交点，若，，且，，则______，______. 三、解答题：本大题共4小题，共46分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案直接答在答题卡上． 19. 已知向量满足. （1）若的夹角为，求； （2）若，求与的夹角. 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小. （2）若的面积为，求的周长. （3）若，求. 21. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求图像的对称轴方程和对称中心的坐标． 22. “天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 （1）的解析式； （2）甲进舱10分钟后距离地面高度是多少米？ （3）游客乙在甲后第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $