精品解析：2025 年甘肃省天水市麦积区初中毕业暨升学诊断性检测（一模）数学试卷

麦积区2025年初中毕业暨升学诊断性检测试卷 九年级数学 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）． 1. 的绝对值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧洲、港澳及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画电影票房新标杆．截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民币．150.12亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的对角线、相交于O，过点O与、分别相交于，若，那么四边形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 6. 关于的一元二次方程的一个根为1，则实数的值是（ ） A. 4 B. 0或2 C. 1 D. 7. 随着习近平总书记视察甘肃天水花牛苹果种植基地，花牛苹果一度热销全国，为了给全国消费者提供最美消费体验，当地农业部门及果业销售部门联合广大果农对销往外地的花牛苹果进行严格的精细筛选，同时也加强了苹果包装礼盒的外观与质量．小王在某知名农业大学毕业后毅然加入到建设家乡的队伍，他带领乡亲们成立了果业加工及销售公司，经过调研他们创造出组合式包装销售模式，大大提升了销售量．为了较准确掌握哪一个种包装比较受网购消费者喜欢，他需要研究近段时间每天苹果销售各种包装的哪种数据（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 9. 光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射角为多少度？（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 因式分解：__________． 12. 对于任意实数、，定义一种运算，例如，请根据上述定义解决问题：若，则的值是_____． 13. 如图，正六边形与相切于点、，则______°． 14. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是和，则教学楼的坐标是________． 15. 反比例函数图象上有两点、则_____．（填或） 16. 在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．若是“亚直角三角形”，且，则中最小锐角的度数为_____． 三、解答题：（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算 18. 解不等式组 19. 先化简：，并在三个数中选一个恰当的数代入求值． 20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 21. 2024年9月10日至11日习近平总书记视察甘肃天水，考察了全国重点文物保护单位伏羲庙，调研了麦积区南山花牛苹果基地，考察了麦积山石窟．习近平总书记视察结束后，许多单位积极开展“追随步伐”活动，以实际行动贯彻落实总书记的重要指示精神．某单位计划了以下活动：A：去秦州区参观伏羲庙；B：参观麦积山石窟；C：参观麦积区南山花牛苹果基地；D：去麦积区马跑泉公园参观革命烈士纪念馆，单位规定每个人只能去以上四个地方中两个地方参观． （1）用列表法或树状图列举所有可能组合（用代码代替参观地点名称）； （2）请你计算小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的概率． 22. 2025年3月16日，由甘肃省文化和旅游厅策划主办的“跟着艺术游甘肃”西北戏曲荟萃展演系列活动将在龙城天水拉开帷幕．来自西北五省区、新疆生产建设兵团的33家戏曲院团在天水伏羲广场接连上演精彩大戏．小明跟随爷爷去看戏，发现伏羲广场有一棵树龄300多年的老槐树．为测量该树的高度，他和同学买了三角尺和量角器自制了测角仪，测角仪高米．他们先在大树前的平地上点处架起测角仪测得大树顶端的仰角，然后向前直走24米到达处，又测得大树顶端的仰角，已知在同一直线上（如图所示），求老槐树的高度．（参考数据：） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 人工智能（，简称）已经成为现代人生活中不可或缺的一部分，它在智能家居、交通、健康医疗、办公自动化、教育智能辅导、虚拟教师、娱乐、社交网络、经济生产、智能制造、供应链优化、金融服务、社会治理、智能城市、环境保护、公共安全、个性化服务等等多个方面深刻地改变了人们的生活方式、工作效率和社会结构，人工智能的发展在带来诸多便利的同时，也引发了一系列负面影响和伦理挑战，比如隐私和安全、就业结构调整、伦理和道德问题等等．某科技兴趣小组准备在全校进行一项关于人工智能的利与弊的随机抽样调查活动． 调查分为：利大于弊，应该大力普及推广；：利弊均等，应选择性应用；：离中学生生活比较遥远，不适合应用；D：接触了解不多，无法判断四个组，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图．请你根据图中提供的信息完成下列问题： （1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中的D组对应的扇形圆心角的度数； （3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对人工智能了解不多的大约有多少人？ 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， （1）求和的值 （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）求的面积． 25. 如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 26. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 27. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麦积区2025年初中毕业暨升学诊断性检测试卷 九年级数学 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）． 1. 的绝对值为（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案． 【详解】-3的绝对值是3， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． 2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； 沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； 其中轴对称图形有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 3. 《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧洲、港澳及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画电影票房新标杆．截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民币．150.12亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：亿， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算性质及单项式乘单项式的法则即可完成． 【详解】A、，故运算错误； B、，故运算错误； C、，故运算错误； D、，故运算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算：同底数幂的乘法与除法、积的乘方、单项式乘单项式等知识，掌握这些运算法则是解题的关键． 5. 如图，的对角线、相交于O，过点O与、分别相交于，若，那么四边形的周长为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，再证明得到，据此根据四边形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵的对角线、相交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长 ， 故选：D． 6. 关于的一元二次方程的一个根为1，则实数的值是（ ） A. 4 B. 0或2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 7. 随着习近平总书记视察甘肃天水花牛苹果种植基地，花牛苹果一度热销全国，为了给全国消费者提供最美消费体验，当地农业部门及果业销售部门联合广大果农对销往外地的花牛苹果进行严格的精细筛选，同时也加强了苹果包装礼盒的外观与质量．小王在某知名农业大学毕业后毅然加入到建设家乡的队伍，他带领乡亲们成立了果业加工及销售公司，经过调研他们创造出组合式包装销售模式，大大提升了销售量．为了较准确掌握哪一个种包装比较受网购消费者喜欢，他需要研究近段时间每天苹果销售各种包装的哪种数据（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的应用，根据题意要找到何种包装喜欢的人数最多，据此可得答案． 【详解】解：∵要较准确掌握哪一个种包装比较受网购消费者喜欢， ∴一定要掌握何种包装喜欢的人数最多， ∴要研究各种包装的众数， 故选：C． 8. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图：以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴两个交点的横坐标的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：当时，解得或， ∴水喷出的最远水平距离是米， 故选：A． 9. 光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线在射入水面点的反射光线为，折射光线为，若反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为，则入射角为多少度？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据周角的定义可求出的度数，再根据入射角等于反射角，求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵反射光线与折射光线夹角为，入射光线与折射光线夹角为， ∴， ∴， ∵入射角等于反射角， ∴， 故选：C． 10. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，在用公式法分解因式即可. 【详解】，故答案为. 【点睛】本题考查因式分解，解题时注意要先提公因式，再用公式法进行因式分解. 12. 对于任意实数、，定义一种运算，例如，请根据上述定义解决问题：若，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，正六边形与相切于点、，则______°． 【答案】120 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出的度数． 【详解】解：六边形是正六边形， ． 、与相切， ， ， 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、正六边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键． 14. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，且综合楼和食堂的坐标分别是和，则教学楼的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中根据点的坐标求点的位置，和根据点的位置求点的坐标，确定原点的位置是解决本题的关键． 先根据已知点的坐标确定原点的位置，再得出教学楼的位置． 【详解】解：∵综合楼和食堂的坐标分别是和， ∴确定原点为点的位置． ∴教学楼的坐标是， 故答案为：． 15. 反比例函数图象上有两点、则_____．（填或） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值的大小，根据解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由即可得到． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∵、都在反比例函数图象上，且， ∴， 故答案为：． 16. 在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．若是“亚直角三角形”，且，则中最小锐角的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设中另外两个内角的度数分别为，根据三角形内角和定理可得，根据“亚直角三角形”的定义可得，据此列方程组求解即可． 【详解】解：设中另外两个内角的度数分别为， ∵是“亚直角三角形”， ∴， 由题意得，， 解得， ∴中最小锐角的度数为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先把小括号内的二次根式化简，再计算小括号内的加减法，最后计算二次根式除法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简：，并在三个数中选一个恰当的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴， ∴当时，原式． 20. 有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【解析】 【分析】（1）按照题意作图即可； （2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键． 21. 2024年9月10日至11日习近平总书记视察甘肃天水，考察了全国重点文物保护单位伏羲庙，调研了麦积区南山花牛苹果基地，考察了麦积山石窟．习近平总书记视察结束后，许多单位积极开展“追随步伐”活动，以实际行动贯彻落实总书记的重要指示精神．某单位计划了以下活动：A：去秦州区参观伏羲庙；B：参观麦积山石窟；C：参观麦积区南山花牛苹果基地；D：去麦积区马跑泉公园参观革命烈士纪念馆，单位规定每个人只能去以上四个地方中两个地方参观． （1）用列表法或树状图列举所有可能组合（用代码代替参观地点名称）； （2）请你计算小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的概率． 【答案】（1）A和B，A和C，A和D，B和C，B和D，C和D （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据题意列出对应的表格，再找到所有的组合即可； （2）根据表格得到所有等可能性的结果数，再找到小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；列表如下： 由表格可知，共有A和B，A和C，A和D，B和C，B和D，C和D6种组合； 【小问2详解】 解：由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的结果数有2种， ∴小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的概率为． 22. 2025年3月16日，由甘肃省文化和旅游厅策划主办的“跟着艺术游甘肃”西北戏曲荟萃展演系列活动将在龙城天水拉开帷幕．来自西北五省区、新疆生产建设兵团的33家戏曲院团在天水伏羲广场接连上演精彩大戏．小明跟随爷爷去看戏，发现伏羲广场有一棵树龄300多年的老槐树．为测量该树的高度，他和同学买了三角尺和量角器自制了测角仪，测角仪高米．他们先在大树前的平地上点处架起测角仪测得大树顶端的仰角，然后向前直走24米到达处，又测得大树顶端的仰角，已知在同一直线上（如图所示），求老槐树的高度．（参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设米，解求出的长，解求出的长，再根据米，建立方程求解即可． 【详解】解：设米， 由题意得，米，米， 在中，（米）， 在中，（米）， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）, 答：老槐树的高度为米． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 人工智能（，简称）已经成为现代人生活中不可或缺的一部分，它在智能家居、交通、健康医疗、办公自动化、教育智能辅导、虚拟教师、娱乐、社交网络、经济生产、智能制造、供应链优化、金融服务、社会治理、智能城市、环境保护、公共安全、个性化服务等等多个方面深刻地改变了人们的生活方式、工作效率和社会结构，人工智能的发展在带来诸多便利的同时，也引发了一系列负面影响和伦理挑战，比如隐私和安全、就业结构调整、伦理和道德问题等等．某科技兴趣小组准备在全校进行一项关于人工智能的利与弊的随机抽样调查活动． 调查分为：利大于弊，应该大力普及推广；：利弊均等，应选择性应用；：离中学生生活比较遥远，不适合应用；D：接触了解不多，无法判断四个组，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图．请你根据图中提供的信息完成下列问题： （1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中的D组对应的扇形圆心角的度数； （3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对人工智能了解不多的大约有多少人？ 【答案】（1）120人，补全统计图如下： （2） （3）150人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用B的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，再求出A、C的人数后补全统计图即可； （2）用360度乘以D的人数占比即可得到答案； （3）用1500乘以样本中D的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴参与调查的学生人数为120人， ∴C的人数为人， ∴A的人数为人， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中的D组对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校学生对人工智能了解不多的大约有150人． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，过点作轴，垂足为， （1）求和的值 （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）一次函数解析式为；反比例函数解析式为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，在由可求出m的值，则可求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，即可得到n的值； （2）根据（1）所求可得反比例函数解析式，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （3）求出点C坐标得到的长，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵轴，垂足为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 把代入中得，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴点的坐标为， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得反比例函数解析式为，点的坐标为，点的坐标为， 把点A和点B坐标代入一次函数解析式中得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，如图所示， ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线． （2）根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 由（1）得，， ， ， ． ， ． 设则， 在中，， ． 在中，． ， ， ． ． ， ． ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度． 26. 数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠”为主题开展探究活动． 【操作推断】 （1）如图①，点P是正方形纸片的边的中点，沿折叠，使点A落在点M处， 延长交于点F， 连接， 则 ； 【迁移探究】 （2）如图②， 延长交于点 E， 连接． ① ； ②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现 ．请判断该发现是否正确？并说明理由； 【拓展应用】 （3）将边长为2的两个相同正方形拼成矩形，如图③，点P 是 上一动点，沿折叠，使点A落在点M处，射线交射线于点F．当时，直接写的长． 【答案】（1）90 （2）① 45； ②判断正确，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （3）1或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质即可解答； （2）①根据正方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，进而完成解答；②根据相似三角形的判定和性质定理即可解答； （3）根据矩形的性质得到，再分点F在的延长线上和上两种情况，分别运用正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 【小问2详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵点P是正方形纸片的边的中点， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． ②略 【小问3详解】 解：∵将边长为2的两个相同正方形拼成矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠，使点A落在点M处， ∴． 当点F在的延长线上时，设与交于E， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当点F在上时， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27. 如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3． 【解析】 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1． （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ． ∵﹣＜0， ∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）． （3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $