第5章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（青岛版）

本章综合提升（答案P21) 本章知识归纳 反比例函数：形如y是常数。青≠0的函数叫微反比例函数 辄念 一次函数：形如=a+bx+ca,b.c是常数，日a+0的函数叫做二次函数 分段函数：函数关系是分段给山的 顺数的表示达：解析达、列表法、图象达 ·图象的两个分支分别位第一、三象限内，在每个象限内，随： 反比例 的增人面减小 两数 图象的丙个分支分别位第二、四象限内，在个象限内，随x 的增大面增大 二次函数 般式：a+6+e,对称轴为： ,顶点为 的表达式 性质 顶点式：=aG-)“+,对称轴为：h,顶点为：（乐，） 二次两数的平移：二次函数=x-+k的图象可以巾=x的图象平移得到，平移时， >0,则向平移个单位长度，若<0.则向左平移个单位长度；若>0， 一二次函数 则问上平移k个单位长度，若<0，则问下平移k个单位长度 对函敏的再探索 开口向上， 刈称轴为白线=- 24' x>-多时，)随x的增大而增大.当 IK- 2a时，随x的增大而减小 开口向下，对称轴为直线=一 20 乡封，)随x的增大面减小，当 b x<- 时，随x的增大而增大 反比例函数的图象是双曲线 图象 二次函数的图象是靴物线 双山线与直线的交点的综合运川 次函数与反比例所数 反比例函数中比例系数的几何总义 二次函数的应川 应用 确定二次函数的表达式 二次函数1=+x+H的图象与x的交点的横坐标是一元二次方程r+x=0 二次函数 的根 有两个公共点： 有一个公共点： 没有公共点 川图象法解一元二次方程 川图象法解一元二次不等式 一九年级下册数学00 55 思想方法归纳 【变式训练1】 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 1.数形结合思想 y=-x2+2x十c经过点A(0,1),点P,Q在此 对于所研究的代数问题，有时可研究其对应 抛物线上，其横坐标分别为m,2m(m>0),连接 几何的性质，发挥形的生动性和直观性，以形助 AP.AQ. 数；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应 (1)求此抛物线的函数表达式 图形的数量关系，发挥数的思路的规范性与严密 (2)当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m 性，以数助形 的值， 意子链接本章 (3)当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与 结合二次函数图象的性质及特点求函 点Q的纵坐标的差. 数表达式，利用二次函数图象观察其性质、 自变量的取值范围等： 例1】“元问直观如图所示，在平面直角 坐标系中，已知抛物线y=a.x2+bx一6(a≠0)与 x轴交于点A(一2,0)，B(6,0),与y轴交于点 C,顶点为D,连接BC (1)抛物线的函数表达式为 ,(直接 写出结果) (2)在图中，连接AC并延长交BD的延长线 于点E,求∠CEB的度数」 2.方程思想 从分析问题的数量关系入手，通过设定未知 数，把问题中的已知量与未知量的数量关系转化 为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理 论，使问题得到解决。 链授亦章… 令函数值为具体数值，将二次函数转化 为一元二次方程，然后解方程或利用一元二 次方程根的判别式、根与系数的关系等知识 解决问题 56 优计学旅说的温 【例2】推理能力》如图①所示，在平面直角坐 【变式训练2】 标系中，抛物线y=a.x2一6a.x十c与x轴交于点 (2024·泸州中考)如图所示，在平面直角坐 A和点B(5,0)(点A在点B左侧)，与y轴交于 标系xOy中，已知抛物线y=ax2十bx+3经过 点co,-): 点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1 对称 (1)求抛物线的函数表达式. (1)求该抛物线的表达式. (2)D为抛物线的顶点，点P在抛物线的对 (2)当一1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤ 称轴上（不与点D重合），将线段PD绕点P按 2t-1,求t的值. 顺时针方向旋转90°，点D恰好落在抛物线上的 (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点， 点Q处，求点Q的坐标， 过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴 (3)如图②所示，将抛物线在x轴下方部分 上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四 的图象沿x轴翻折到x轴上方，与原抛物线在 边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长：若不 x轴上方部分的图象组成新图象，再将新图象向 存在，说明理由. 左平移m个单位长度，若平移后的图象在一1≤ x<0范围内，y随x的增大而增大，直接写出m 的取值范围 产， 3.分类讨论思想 当问题的对象不能进行统一研究时，就需要 对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研 究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到 整个问题的解答 :链授本章… 在二次函数图象中寻找使不同图形成 立的点时，从存在与不存在及存在多少等方 面思考 一九年级下册数学00 57 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，抛 【变式训练3】 物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0),B(1,0), (2023·青岛黄岛区二模)如图所示，在平面 直线y=x+2与抛物线分别交于C,D两点，点 直角坐标系中，二次函数y=a.x2十2x十c的图 P是CD下方抛物线上的一点.过点P作PE⊥ 象与坐标轴相交于A,B,C三点，其中A点坐标 CD,垂足为E 为(-3,0)，B点坐标为(1,0)，连接AC,BC.动 (1)求抛物线的函数表达式 点D从点A出发，在线段AC上以每秒2个单 (2)当PE取得最大值时，求点P的坐标和 位长度的速度向点C做匀速运动：同时，动点E PE的最大值. 从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度 (3)将抛物线向右平移3个单位长度得到新 的速度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点 抛物线，G为原抛物线对称轴上的一点，点H为 时，另一点随之停止运动，连接DE,设运动时间 新抛物线上的一点.当(2)中PE最大时，直接写 为t秒.请解答下列问题： 出所有使得以点A,P,G,H为顶点的四边形是 (1)求二次函数的表达式 平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点 (2)在D,E运动的过程中，当t为何值时， H的坐标的过程写出来. 四边形BCDE的面积最小，最小值为多少？ (3)当t为何值时，△AED是等腰三角形？ 请直接写出t的值. 备用图 58 优学条说的温 4.(2023·聊城中考)如图①所示，抛物线y ax2十bx一9与x轴交于点A(一3,0)，B(6 1.(2024·济南槐荫区二模)某农户想要用栅栏 0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是x 围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边 轴上任意一点。 靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为 (1)求抛物线的表达式 20m,设长方形靠墙的一边长为xm,面积为 (2)点Q在抛物线上，若以点A,C,P,Q为顶 ym,当x在一定范围内变化时，y随x的变 点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点 化而变化，则y与x满足的函数关系是() Q的坐标。 (3)如图②所示，当点P(m,0)从点A出发沿 x轴向点B运动时（点P与点A,B不重合）， A.y=20x 自点P分别作PE∥BC,交AC于点E,作 B.y=20-2.x PD⊥BC,垂足为点D.当m为何值时， 20 △PED面积最大，并求出最大值. C.y= D.y=x(20-2x) 2.学科融合》(2023·菏泽单县一模)公元前3世 纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原 理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂一动力×动力 臂.当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻 力臂分别为1200N和0.5m,关于动力F和 动力臂L:①F与L的积为定值：②F随L的 增大而减小：③当L为1.5m时，撬动石头至 少需要400N的力：④F关于L的函数图象位 于第一、第三象限.上面四种说法正确的 是 .(只填序号) 通中考 3.(2023·菏泽中考)若一个点的纵坐标是横坐 标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3),B(-2,一6)，C(0,0)等都是“三倍点” 在一3<x<1的范围内，若二次函数y= 一x2一x+c的图象上至少存在一个“三倍 点”，则c的取值范围是( A.-ie< B.-4≤c<-3 D.-4≤c<5 一九年级下桥数学0的 59x1-xa<0,x1十xe<0, 【思想方法归纳】 2-t2>0,-)2-+ 1 <0, rixi 【例】解：y=2-2x-6 f(z1)-f(x2)<0, (2),A(-2,0),C(0,-6), f(x1)<f(x), 设直线AC的函数表达式为y=k1x十b, 六两数x)=+2x(红<0)是增雨数 ÷厂2，+6=0. b1=-6, 2.解：(1)当x=0时，y=c. :函数y=x十hx十c是“M函数”， 条得次一 .当x=c时，y=0,即点(c,0)在抛物线y=x”十 .直线AC的函数表达式为y=一3x一6. hx+c上， ∴.0=e2+bc+c, 由y-名2-2x-6-名c-2-8可得顶点D ,.0=c(c+b+1). 的坐标为(2，一8)， c≠0， 同理，由点D(2,一8)，B(6,0),可得直线BD的函 .b+c=-1. 数表达式为y=2x一12， (2)由(1)可得c=-b-1,即y=x十hx一b-1, 将(3，-4)代人y=x+bx-b-1, 令-3x-6=2x-12,解得x= 5 得-4=32+3b-b-1.解得b=-6. ÷点E的坐标为（停。一9》。 .抛物线的函数表达式为y=x2一6x+5, 令x2-6x+5=0,解得x1=1xg=5, 由题意可得，OA=2,OB=(OC=6,AB=8, A(1.0),B(5,0), ∴.AC=OA2+OC=/22+6=210. 如图所示，连接PB,MD,根据平移的性质可知，PB 如图所示，过点E作EF⊥x轴于点F, 与MD平行且相等， ∴.四边形MPBD是平行四边形. AE=AF+EF=(2+g）'+() 易知，P,B之间的曲线部分，M,D之间的曲线部分， 线段MP,BD所围成的图形的面积就是平行四边形 16/10 5 MPBD的面积. 过点B作BF⊥PA于点F,过点P作PE⊥AB于点 8 /10 E,如图所示. 始提 4 5 A(1,0),B(5,0),P(3,-4), .PA=/4+(3-1)=25,AB=4,PE=4, 福提 ∴.sin∠PAB= PE BF :∠BAC=∠EAB,∴.△ABC∽△AEB, PA AB' ∴.∠ABC=∠AEB.:OB=OC,∠COB=90°， ..BF= 1685 .∠ABC=45,∴.∠AEB=45, 25 5 ∴.∠CEB=45. .SMPBD=PM·BF= 85 【变式训练1】解：(1)：抛物线y=-x+2x+c经过点 PM=8W5, A(0,1), .PM=5. ∴.c=1,∴.抛物线的函数表达式为y=一x2+2x十1 本章综合提升 (2)y--x2+2.x十1=-(x-1)2+2, 【本章知识归纳】 ∴顶点坐标为(1,2). ,点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2m, k>0k<0 a>0 a<0b2-4ac>0b-4ac=0b2-4ac<0 2m=1,解得m=2 21 (3)①AQ∥x轴时，点A,Q关于对称轴x=1对称， 【变式训练2】解：(1)由题意，得A(3,0),抛物线的对称 xo=2m=2,.=1, 轴为直线x=1,则抛物线和.x轴的另外一个交点为 则-12+2×1+1=2，-22+2×2+1=1， (-1.0), .P(1,2),Q(2,1), 则抛物线的表达式为y=a(x十1)(x一3)=a.x+ ∴点P与点Q的纵坐标的差为2一1=1： b.x+3, ②当AP∥x轴时，则A,P关于直线x=1对称，xp 解得a=-1, m=2,xo=21=4, 则抛物线的表达式为y=-x十2x十3. 则-4+2×4+1=-7. (2)当x=一1时，y=-x2+2x十3=0取得最 .P(2,1),Q(4,-7), 小值. ∴.点P与点Q的纵坐标的差为1一（一7）=8. 当一1≤1<1时，y随x的增大而增大， 综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8. 此时当x=t时，y=一t2+2十3取得最大值， 【例2】解：1)将50.(0，-)分别代入y=ar ∴.-t十21+3=21-1，解得t=士2（舍去）： 当1≥1时，y在x=1时取得最大值4， (0=25a-30a十c, 即2t-1=4,解得t=2.5. 6ar十c,得方程组 (3)存在. 由抛物线的表达式，知点B(0,3).如图所示， c-5a=0, 当BC是对角线时，对应菱形为BDCE, 49 整理，得 5解得 C=- 4 1 3 5 故抛物线的函数表达式为y= 2- 4 (2):抛物线的表达式为y=-4（x-6x) 4x-3)2+1, 由点A,B的坐标，得直线AB的表达式为y= 一x+3, .D(3.1).设点P(3,m). 设点C(.x,-x2+2x+3),点D(.x,-x+3), .PD=PQ=1-m, 则CD=-x2+2x+3-(-x+3)=BD=√2x, .Q(3十1一m,m),即Q(4一m,m),将点Q的坐标 解得x=3一√2（不合题意的值已舍去）， 代入范物线得m-4-m)+24-m）一， 则BD=2x=3V2-2, 整理得m2十2n一3=0. 即菱形的边长为32-2. .(m-1)(m+3)=0, 当BC为边时，对应菱形为BEDC, ∴m=1或-3， 同理可得BC=CD,则x+(-x2十2x)2 .P(3.1)或P(3,-3). (-x2+3.x)2, 又：点P不与点D重合， 解得x=2(不合题意的值已舍去)， .m=-3,Q(7,-3). 则CD=-2+6=2, (3):当y=--3》+1=0时=1或5 即菱形的边长为2. 综上，菱形的边长为32-2或2. .A(1,0). 【例3】解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x一 根据图象，在AD段和点B的右侧抛物线，y随xx:)·(x一x), 的增大而增大 则y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3. 新图象向左平移m个单位长度后，A(1一m,0),B (2)如图所示，过点P作PH∥y轴交AD于 (5-m,0).D(3-m,1). 点H, :平移后的图象在一1≤x<0范围内，y随x的增 大而增大，当AD段平移到一1≤x<0范围内时， 有1-m≤-1.3-m≥0，.2≤m≤3. 当B点右侧抛物线平移到一1≤x<0范围内时，有 5-m≤-1，即m≥6. ,'.m的取值范围是2m≤3或m≥6. 22 由直线AD的表达式知，其与x轴正半轴的夹角 为45°，则∠EHP=45°， 则PE-号PH. 设点P(xx2+2x-3),则点H(x,x十2)， 则PE=号PH=竖+2--2x+3)= 2 ÷AH=DH=4=1,即H(-3+,0, 2 +》+2<2 又E(1-t.0), 8 8 ,.S四边形DE=S△ABC一S△ADE 放PE的最大值为。，比时，点P的坐标为 -号×4x8-2×[3+1- (2-5》 =-2+6 (3)平移后抛物线的表达式为y=(.x一3)2+ 21-2)2+4. 1 2(.x-3)-3=x2-4.x, 设点G(-1,m),点H(n,n”-4n), 当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， 当AG是对角线时，由中点坐标公式，得 AC=/3+3=3W2,AB=4, -3-1=n-2 1 .013, 解得=一？」 15 2· ∴.当t=2时，四边形BCDE的面积最小，最小值为4. m=n2-4n-4' (3)由(2)知H(-3+1,0), ∴.D(-3+t,-t). 即点H的坐标为(-子，1)： A(-3,0),E(1-t,0), 当AP或AH为对角线时，由中点坐标公式，得 ∴.AD2=12+1=212, AE2=[3+(1-t)]2=(4-t)2, 2-3=n-1, -3十n=-1-2' 1 DE2=(1-t+3-t)2+12=(4-2t)2+12. 或 15 ①当AD=AE时，22=(4-1)2， =m十n2-4n 5 n2-4切=m一4 ∴t=42一4（负值舍去）： 解得n=一 5 3 或2 ②当AD=DE时，2t2=(4-2t)2+t2, 即点H的坐标为-吕)或（受一）。 1=或4（会去： ③当AE=DE时，(4-t)2=(4-2t)”+t2, 综上所述，点H的坐标为(-子，10)或（受，-）或 .1=0(舍去)或2. (9. 综上所述1的值为4厄-4或号或2 【通模拟】 【变式训练3】解：(1)，二次函数y=a.x2+2x十c的图 1.D 象经过点A(-3,0),B(1,0), 则/9a-6+c=0, 2.①②③解析：由题意知，FL=1200×0.5=600, la+2+c=0, 则F=600 L>0. 解得/1， F与L的积为定值，①正确： c=-3, .600>0, .二次函数的表达式为y=x+2x一3. F随L的增大而减小，②正确： (2),二次函数的表达式为y=x2+2x3, ∴.C(0,-3) 当L=1.5F-0g=400,③正确： B(1,0), 由题意知，F关于L的函数图象位于第一象限，④ ∴.△OAC是等腰直角三角形， 错误. .∠BAC=45. 【通中考】 由点D的运动可知：AD=√2t, 3.D解析：由题意得，三倍点所在的直线为y=3x, 如图所示，过点D作DH⊥x轴，垂足为H, 在一3<x<1的范国内，二次函数y=一x2一x十c 23 的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴.△APE△ABC,∠EPD=∠PDB=90°， 即在一3<x<1的范国内，二次函数y=一x2一x十 c和y=3.x的图象至少有一个交点， 腮品 令3.x=一x2-x十c,整理，得x2十4x-c=0, PE_m+3 则△=16十4c≥0，解得c≥-4. 313 9 把x=-3代入y=-x-x+c,得y=一6+c,代 ∴PE=⑧·(m+3) 入y=3.x,得y=-9. 3 .-9>-6十c,解得c<-3: 把x=1代入y=一x-x+c,得y=一2+c,代入 4S-PE,PD-(m+3)(6-m)-- y=3x,得y=3, ∴.3>-2十c,解得c<5, 》+ 综上所迷，c的取值范围为一4≤c<5. 81 当m二之时.S夫=8司 4.解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x+3)(x-6) -9=a3X(-6)a=2 1 ∴当m=含时，△PDE的面积最大值为 综合与实践实际问题与分段函数模型 y=2+3x-6=7- 2x9. 1.A2.B (2)如图所示， 3.解：(1)该电动汽车充满电后行驶200千米时，剩余 Q 11 Q 电量为10千瓦时62 2②60-60X号-50（于瓦时. 答：当行驶了60千米时，若电池的剩余电量为50千 瓦时. （3)35-15+150=190(千米. 1 2 抛物线的对称轴为直线工=一3+6_3 答：当行驶190千米时，剩余电量降至15千瓦时. 2 4.解：(1)设线段AB的表达式为y=kx十b(k≠0) 由对称性可得Q,(3.一9)， (10≤x≤22)， 当y=9时， 把(10,2)，(22,6)代入，得 2r-9=9=3±317 - 10k+b=2. 2 22k+b=6. o.(+ao).a(-3. 1 2 k= 3 解得 综上所述，点Q的坐标为3，-9)或(3+3,9】 4 0=- 2 3 32 找段AB的表达式为y-号-言10<x<2. (3)设△PED的面积为S, 设反比例函数的表达式为y-'≠0，把（22.6) 由题意，得AP=m+3,BP=6-m,OB=6.OC= 9,AB=9. 代入，得6-22 .BC=V6+9=3/13. 解得k'=132, :sin∠PBD=BP-BC' PD OC .反比例函数的表达式为y 132(x>22). 9 6-m3/ (2②把y=4代入-日一合得 PD=3(6-m) 13 ,PE∥BC, 解得x-16. 24