第30章 本章综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级下册数学课时通（冀教版）

由抛物线的表达式知，点D的坐标为(-1，）)】 为定值. d 设直线AC的函数表达式为y=mx十，则{m十n=0,解 :y2=-mx-2m.x+3m=-m(x+1)2+4n, n=4, .顶点P(一1,4m),点B(1,0). 得仁-4 分别过点P,B作直线y=mx十3m(m>0)的垂线，垂足为点Q, C,作PE∥/y轴交直线y1=mu十3m(m>0)于点E,作BF∥)轴 故直线AC的函数表达式为y=一4x十4，则设直线DH的 交直线y1=mx+3m(m>0)于点F,如图所示， 表达式为y=一4x十1， 则d1=BC,d:=PQ,∠PQE=∠BCF=90°，∠PEQ= 将点D的坐标代入上式，得9-4十，解得1一号，放直线 4 ∠BFC,点E(-1,2m),点F(1,4m), 3 DH的函数表达式为y=一4女十3， 4 x28 4 y=- x=2, 3 3x+4, 联立 解得 20(不合题意的值 4 y=-4x+ y=- 3 3 已合去)散点M的坐标为么，-智》， PE yp yE -2m,BF yg ya 4m, 特色素养专题（一）跨学科专题 △PEQ∽△BFC, 1.C2.D3.D4.B5.D BCBF_4m=2. 特色素养专题（二）新定义题型专题 “pQp呢-2m 1.B2.C3.D4.C5.C6.-27.2 8.解：(1)是.理由如下：y=x一4x十3=(x一2)一1，该函数 图像开口向上，顶点坐标为(2，一1)， 本章综合提升 y=-2x2十8x-9=-2(x2一4x)一9=-2(x-2)2一1，该函数 【本章知识归钠】 图像开口向下，顶点坐标为(2，一1)， b a>0a<0x= a0 4ac-b* ∴.二次函数y=x2-4x十3与y=-2x2十8x一9为“共顶反 2a 向二次函数”. a<0 4ac-b2 4a a>0a<0自变量>0■0<0 (2)二次函数y=x2-2x+3与y=一x+2x+1为“共顶反 向二次函数” 【思想方法归纳】 理由如下：y=x2-2x十3=（红-1）”十2，该函数图像开口向 【例1】解：设BC长为x米，矩形面积为y平方米，则AB长为 上，顶点坐标为(1,2)， 80。米根据题意，得y三z·80二=一1 y=一x2+2x+1=一(x一1)2+2，该函数图像开口向下，顶 2 2x-80x)= 点坐标为(1,2)， 1 ∴二次函数y=x2一2x十3与y=一x2+2x十1为“共顶反向 2 (x-40)+800. 二次函数”，（答案不唯一） (3):y1=x-2mz十m2+1的图像经过点(1,1)， -2<0,0<x≤50， ∴.1=1-2m十m十1， .当x=40时，y最大，此时BC=40米，AB=20米， m2一2m十1=0，解得m1=m3=1, 所以小亮应该设计该矩形的长为40米，宽为20米. y1=x2-2x十2=(x一1)2+1，该函数图像开口向上，顶点 【变式训练1】 坐标为(1,1)， 而y1十y:=x2-2x+2+ax2+bx-2 解：(1把（6,6代人L1y=-+b红，得 =(a+1)x2+(b-2)x =(a+1D(+6-3） 6=-号×6+60，解得6-4 a+1 1 b-212(b-2)2 六抛物线L,的表达式为y=一2t十4红， =(a+1)(x+2(a+D) 4(a+1)' 该函数图像的顶点坐标为 b-2 (b-2)27 “y=-名2+4=-2-40+8， -2a+1)'4(a+1D月 抛物线L1的对称轴为直线x=4. ”y1十y:与y为“共顶反向二次函数”， (2)小球M能飞过这棵树，理由如下： b-2 (b-2)2 2a+i=1.-4a+D =1,a+1<0, 当x=2时，对于Ly=2=1, ∴b-2=-2(a+1),(6-2)2=-4(a+10, ∴.4(a+1)2=-4(a+1), 对于L1y=-2x+4红y=6,6-1=5>4, .4(a+1)(a+1+1)=0. .小球M能飞过这棵树 a+1<0, (3)根据题意，得小球M在飞行的过程中离斜坡OA的距离 ∴a+1+1=0 .a=-2, 为-+4红-=-+=-(-）+智 .b-2=-2(a+1)=-2×(-1)=2, 1 .b=4, 2<0, 故y:=-2x2+4x-2, y2的函数表达式为ya=一2x2十4x一2. 小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为智 9.解：【初步理解】（一3,0） 【例2】解：(1)把(2,2)代人y=kx+3,得2k+3=2,解得k= 【理解应用】（一3,0）(1,0) -2“直线AB的函数表达式为y-2x十3， 1 【知识迁移】 26 1 当y=0时，-2x+3=0,解得x=6, 如图所示，过点O作OE⊥AC于点E,由(1)可得点C的坐 标为(0,4). .B(6,0) 设直线AC的函数表达式为y= 把(6,0)，(2,2)分别代入y=ax+bx,得 36a+6b=0,解 mx十n,把（一3,0），(0,4)代人，得 l4a+2b=2, 4 一3m+n=0解得m=了 4 ln=4, n=4, ·直线AC的函数表达式为y= .抛物线的表达式为y= ir't3 t. 3x+4, A(-3,0),C(0,4),∴AC=5. (2)存在. 如图所示，设点P的坐标为(，-+2)2<1<6， :Sam=20A0C-20E·AC, 1 当x=0时y=-22+3=3, 0E-号 .A(0,3). 过点E作EF⊥x轴于点F,易知△EOF∽△ACO, SAPAD=SAPBO 腮- 号×3×-2×6×（←+2） 整理，得t2一4t=0, 0F-号 解得t1=0(合去)，t:=4, .P(4,2) 同理可得EF一碧 1 (-器》 “直线0E的函数表达式为y=一 4. 设过点B与OE平行的直线的表达式为y=-?x+口，把 (仔o)代入y=-是十d,得0=-是×音+d,解得 【变式训练2】 解：(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx十c(a≠0，a,b,c为 d=1, 常数)， 9a-3b+c=0, 1a=-1, 六直线BD的函数表达式为y=一子x十1，与抛物线表达 根据题意，得{a+b十c=0,解得b=一2， 式y=一弓+4联立) c=3, c=3, .二次函数的表达式为y=一x2一2x+3. 3 y=一 x+1, 4 (2)一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x<一2或 5 x>1. y=-2-3x+4 (3)对称轴为直线x=一1，D(一2,3) 设直线BD的表达式为y=mx十，代人B(1,0),D(一2,3)， 解得x,= (合去)=-号 4 得仁8. ÷点D的坐标为(-号得) 帛格低， 11.解：(1)根据题意可设w=k1x2十k2(x十2). 故直线BD的表达式为y=一x十1， x=3,0=21x=8,w=134, ∫21=9k1+5k2, 把x=0代人求得E(0,1), 134=64k1+10k:, .0E=1, 又：AB=4, 使：=2， 解得 3 1 1 六Sae=2X4X3-2X4X1=4 k:=6 【通模拟】 =2+u+2=2+号+号 6 1.A2.C3.D4.D5.A6.A7.A 直线-号@00或aD@<a<号 (2)由1)得w=2x'+3z+6 9.(1)250(2)490 y-红-红-(++）=-22+号- 5x- 10.解：1)把(-3,0，（告，0）代入y=-+b证+c,得 =-24+号--2(-)+ 1-9-36+c=0, 5 +6+ 。解得 =-31 c=4, :z为整数，2<品<3，当工=2时，y=76,当=3时 y=6, 心此二次函数的表达式为y=一x2- 3x+4. 六y0大=7.6. (2)存在点D,使得BD⊥AC. 答：种植的面积为2公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最 27 大值为7.6万元. 第三十一章随机事件的概率 【通中考】 12.A 31.1确定事件和随机事件 13.解：(1)：抛物线C1:y=a(x一3)2+2， C1的最高点坐标为(3,2) 1.A2.B3.A4.D5.A6.①①7.C8.随机 :点A(6,1)在抛物线C1y=a(x-3)+2上， 9.解：(1)可能发生，也可能不发生，是随机事件. 1=a(6-3)2+2, (2)一定不会发生，是不可能事件」 1 a=-g' (3)可能发生，也可能不发生，是随机事件 (4)可能发生，也可能不发生，是随机事件， 物线Cy-—号-3y+2. 10.C11.D12.C 13.解：(1)(4)是必然事件 当x=0时，c=1. (5)是不可能事件.(2)(3)是随机事件】 (2)嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不 14.解：活动一：3 超过1m的范围内可以接到沙包， 活动二：(1)4(2)7 此时，点A的坐标范围是(5,1)一(7,1)， 活动三：根据题意，得m+m十m+1=100, 当经过6,10时，1=-日×25+g×5+1+1, 解得m■33. .袋中有33个小球 解得一号。 31.2随机事件的概率 当经过0,1)时，1=-日×49+号×7+1+1， 第1课时概率的意义 1.D2.B3.D4.D5.D6.27.B8.D9.D 解得a-号 10.A11.A 12.解：(1)，转盘被平均分成12份，其中有颜色部分占5份， P(获得奖品)=是 :n为整数， 符合条件的n的整数值为4和5. (2):转盘被平均分成12份，其中红色、黄色、绿色部分分别 占1份、2份、2份， 14.解：(1)抛物线C:y=ax2-2x过点(4,0)，顶点为Q. 六16a-8=0,解得a=立， 1 :P(获得玩具熊)=2 21 ∴抛物线C,为：y 7-2-7-2-2 P(获得童话书)=2一6 21 .Q(2,-2). P(获得水彩笔)=立=6 (2)把Q(2,一2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标 13.解：为了尽可能获胜，我将选择第二种猜数方法，猜“不是3 为(0，一2)，当x=0时， 的倍数” Gw=--0+ 22-2= 20-2=-2. 1 理由：由幻方中的数据，可得 ∴(0，-2)在C:上， ~是大于5的数“的概率是， ∴嘉嘉说法正确： 6y=-x-r+ 2-2= 1 1 不是大于5的数的概率是 x2+x一2，当 3 x=0时，y=一2， “是3的倍数”的概率是 Cy=-x-)+-2过定点0，-20： “不是3的修数的概率是号 ∴淇淇说法正确 3<4<56 99gg· 1 (3)①当t=4时，C:y=一 (x-t)2+ 1 t2-2 .为了尽可能获胜，我将选择第二种猜数方法，猜“不是3的 倍数” =-2红-40r+6 14.解：(1)42或3 顶点P(4,6),而Q(2,一2)， (2②)根据题意，得-专解得m=2,所以m的值为2 设直线PQ的表达式为y=ex十f, 15.解：(1)最后一个三分球由甲来投获胜的机会更大. (2)因为甲在平时训练中三分球的命中率较高，（合理即可） 16.解：(1)甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个，从甲袋中 条用化“。 摸到红球的可能性为8+5+1225 8 8 ∴直线PQ的表达式为y=4x-10. 乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个，从乙袋中摸到 ②直线1与x轴交点的横坐标为号-2,6或号+26。 18 189 红球的可能性为18+9+235025 28本章综合提升（答案26）》 本章知识归纳 一般式：=r+br+a,b,c为常数。且a≠0) 顶点式：=(-h+a,h,k为常数，且a≠0) 表示形式 交点式：y=r-Mx-a为常数，且a≠0 开口方向：当 时，开口向上：当 时。开口向下 图像 对称轴：直线 顶点坐标」 当 时，通数有最小值，当多时，y 最值 当 时，函数有最大值，当=之时， 2n 性质 当0 时，y随的增大而增大：当心么时，随x的增大而减小 20 2a 增减性 当D 时，y随的增大而减小：当x<之时，随x的增大而增大 2n 利用待定系数法求二次函数的表达式 建立二次函数模型解决抛物线彩问题 求销售问题中的最大利润 应用 注意实际问题中的取值范国 求图形的最大面积 抛物线与x轴的位置 美系和一元二次方程 ax2+x+c=0的实数根 抛物线与x轴有两个交点←→24ac 的个数 抛物线与x抽有且只有一个交点台2-4a 抛物线与x轴没有交点一6-4 与一元二次方程的关系 利用二次西数的图像与性质求一元二次方程的根的近似值 思想方法归纳>99992299 【例1】模型观念小亮家院子呈矩形状，其 南北长50米，东西宽20米.家里要在院外的空 1.建模思想 地上用80m的栅栏围建一个矩形羊圈ABCD, 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数 父亲让小亮帮忙设计.为了使羊圈面积最大，在 学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题 设计中小亮借助了院子的外墙.为了方便，规定 的素养 矩形羊圈ABCD的AD边与使用的外墙在同一 子链接本章 直线上.如图所示，小亮把羊圈设计在院子东墙 本章在利用二次函数的图像和性质解 外，请问他是如何设计该矩形的长和宽的？ 决实际问题时，基本方法是根据实际问题建 D 立二次函数模型，通过对二次函数的求解， 解决实际问题中的某些“最大”或“最小” 问题. 一九半级历数学山 71 【变式训练1】 P,使得S△PAo=S△Po？若存在，请求出点P的 一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，建 坐标，若不存在，请说明理由 立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是 1 抛物线L1:y=一2x+虹的一部分，斜坡可以 看作直线L:y=号：的一部分若小球经过点 (6,6),解答下列问题： (1)求抛物线L1的表达式，并直接写出抛物 线L,的对称轴. (2)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的 横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【变式训练2】 通过计算说明理由。 (2024·武威民勤三模)如图所示，二次函数 (3)求出小球M在飞行的过程中离斜坡OA 的图像与x轴交于A(一3,0)和B(1,0)两点，交 的最大高度 y轴于点C(0,3),点C,D是二次函数图象上的 一对对称点，一次函数的图像过点B,D. (1)求二次函数的表达式， (2)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函 数值的x的取值范围。 (3)若直线与y轴的交点为E,连接AD,AE,求 △ADE的面积 2.数形结合思想 受链接本章……… 本章中涉及数形结合方法的题型有很 多，结合二次函数图像的性质及特点求函数 表达式，利用二次函数图像观察其性质、自 通食拟 变量的取值范围等， 1.(唐山丰涧区模拟)抛物线y=(x十a)2十a一1 【例2】如图所示，在平面直角坐标系中，直 的顶点一定不在第( )象限 线AB:y=kx十3与坐标轴交于A,B两点，经过 A.一 B.二 C.三 D.四 点B的抛物线y=ax2+十bx交直线AB于点 2.(廊坊广阳区一模)已知二次函数y=一x2十 C(2,2) bx十3图像的对称轴为直线x=m,则它与直 (1)求该抛物线的表达式。 线y=m的交点个数为() (2)在直线AB上方的抛物线上是否存在点 A.0 B.1 C.2 D.0或1 优学案课阴通 3.(2024·邢台模拟)在平面直角坐标系中，已知7.(2024·唐山丰润区一模)在学习“二次函数的 抛物线y=mx2一2mx十m一3与y轴正半轴 性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以 1 3 有交点，且当0<x<2时，y>0:当1<x< 下研究：如图所示，将抛物线C1y=一(x十1)2+ 2平移到抛物线C2:y=-(x-2)2-1,点P 时，y<0,则m=() (m,n1),Q(m,n2)分别在抛物线C1,C2上. A.9 B.10 C.11 D.12 甲：无论m取何值，都有n2<0: 4.(秦皇岛一模)某商店销售一批头盔，售价为每 乙：若点P平移后的对应点为P',则点P移动 顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城 到点P'的最短路程为3√2； 市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现： 丙：当一3<m<1时，随着m的增大，线段PQ 每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的 先变长后变短 进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利 下列判断正确的是( 润时，每顶头盔的售价为() A.只有丙说得错 A.50元 B.90元C.80元 D.70元 B.只有乙说得错 5.(2024·邯郸三模)函数y= C.只有甲说得对 x+1(x≥1)， D.甲、乙、丙说得都对 (x+1)2-1(x<1) 3 的图象大致是( 8.(衡水三模)已知，二次函数y=ax2十bx十c 的两系数a,b互为相反数， (1)直接写出其所在抛物线的对称 轴为 (2)若c=1,则： 6.(2024·石家庄新华区模拟)老师给出了二次 ①二次函数y=ax2十bx+c的图像必 函数y=ax2十bx十c(a≠0)的部分对应值 过点 如表： ②如果直线y=a与二次函数的y=ax2十 bx+c的图像无公共点，请直接写出a的取值 0 范围为 0 -8-9-57 9.(秦皇岛一模)小王和小李先后从A地出发沿 同学们讨论得出了下列结论： 同一直道去B地.设小李出发第x(min)时，小 ①抛物线的开口向上； 李、小王离B地的距离分别为y1(m),y2(m). ②抛物线的对称轴为直线x=2: y1与x之间的函数表达式是y1=一180x十 ③当一2<x<4时，y<0: 2250,y2与x之间的函数表达式是y2= ④x=3是方程a.x2+bx十c+5=0的一个根； -10x2-100x+2000. ⑤若A(x1,5),B(x2,6)是抛物线上的两点， (1)小李出发时，小王离A地的距离为 则x1<x2: m. 其中正确的是( (2)小李出发至小王到达B地这段时间内，当 A.①③④ B.②③④ 小李出发 min时两人相距最近.这个 C.①④⑤ D.①③④⑤ 最近距离是 m. 一九年级册数学 73 10.探究拓展如图所示，已知二次函数y=一x2十 (1)求前期准备所需总费用心与x之间的函 bx+c的图像与x轴的交点为A(一3,0)，B 数关系式 (传，0，与y轴的交点为C (2)若种植1公顷蔬菜需种子、化肥、农药的 开支0.4万元，收获1公顷的蔬菜年均可卖 (1)求此二次函数的表达式。 9.4万元.设当年收获蔬菜的总收益（扣除修 (2)在抛物线上是否存在一点D,使得BD⊥ 建和种植成本)为y万元，写出y与x之间的 AC?若存在，求出点D的坐标：若不存在，请 函数关系式 说明理由 (3)求种植的面积为多少公顷时，当年收获蔬 菜的总收益最大，最大值为多少？ 11.(唐山丰南区一模)建大棚种植蔬菜是人民致 富的一条好途径.经市场调查发现：搭建一个 面积为x(x为整数)公顷的大棚，前期准备所 通中考> 需总费用由建设费用和内部设备费用两部分 12.(河北中考)已知二次函数y=一x2十m2x和 组成，其中建设费用与x2成正比例，内部设 y=x2一m2(m是常数)的图像与x轴都有两 备费用与x十2成正比例，部分数据如下： 个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距 大棚面积x/公顷 3 8 离都相等，则这两个函数图像对称轴之间的 前期准备所需总费用/万元 21 134 距离为() A.2 B.m2 C.4 D.2m2 忧十学课时通一 13.(河北中考)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同 14.(2024·河北中考节选)如图所示，抛物线C1: 学借此情境编制了一道数学题，请解答这 y=ax2一2x过点(4,0)，顶点为Q.抛物线 道题。 C:y=-x-+-2其中1为常 1 如图所示，在平面直角坐标系中，一个单位长 度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包 数，且t>2),顶点为P. (看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1:y= (1)直接写出a的值和点Q的坐标 (2)嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向 a(x一3)十2的一部分，淇淇恰在点B(0,c) 左平移2个单位长度后一定落在C。上. 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛 淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点 物线Cy=一吉女+骨十+1的一部分 请选择其中一人的说法进行说理 (1)写出C1的最高点坐标，并求a,c的值， (3)当t=4时， (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点 ①求直线PQ的表达式； ②作直线l∥PQ,当L与C:的交点到x轴的 A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙 距离恰为6时，直接写出1与x轴交点的横 包，求符合条件的n的整数值， 坐标. +y/m --0 C 9 6 x/m 6 54 32 112345678910111213 一九年级册数学 75 第三十一章随机事件的概率 大单元建构 随机现象的变化趋势 简单随机事件的概率计算 概率的意义及计算公式 事件的分类 随机事件 随机事件的慨率用率估计概率 列表法 必然事件 用列举法求随机事件的概率 确定事件 画树形图法 不可能事件 本章核心素养 学科核心素养 具体内容 借助其体实例，通过操作、观察，得出事件发生的可能性大小，并由此确定必然事件，不可 抽象能力 能事件、随机事件的概念，体验从实际问题情境中利用数量关系抽象出数学概念的过程， 积累从具体到抽象的活动经验 几何直观 借助随机事件的计算公式，并结合实例中的几何图像，计算几何图形中的概率问题 在理解事件发生的可能性大小的基础上，理解并掌握概率的计算方法，通过计算某事件发 运算能力 生的概率，提高运算能力 在判断事件的类型时，将实际问题转化为可能性大小问题，确定物体的类型.在判断游戏 模型观念 规则公平性问题中，将实际问题转化为概率问题，构建概率模型来解决，有利于积累数学 活动经验，提高应用能力 利用概率的相关知识，解决实际生活中的概率问题及公平性问题，帮助学生提高用数学的 应用意识 眼光观察世界的能力，提高学生运用数学知识解决问题的能力 76 优学案课阴通